ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica

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1 ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica ELETTRODINAMICA + Correnti + Campi Magnetici + Induzione e Induttanza + Equazioni di Maxwell + Onde Elettromagnetiche

2 Potenziale Elettrico In presenza di una forza elettrostatica tra 2 o piu particelle cariche possiamo associare un potenziale U al sistema (come abbiamo fatto per la forza gravitazionale o elastica) Se il sistema cambia configurazione Ui Uf sappiamo che la forza ha compiuto un lavoro L sul sistema pari a: ΔU = - L come per gli altri campi conservativi il lavoro e indipendente dal percorso e puo essere espresso come la differenza del potenziale tra le 2 configurazioni, indipendentemente da come vengono raggiunte

3 definiamo il potenziale di riferimento: quando le particelle cariche si trovano a distanza infinita tra loro la forza esercitata e nulla (1/r 2 ), definiamo quindi: U( ) = 0 Consideriamo ora il caso in cui avvicino 2 particelle cariche da distanza infinita: cioe Ui( ) = 0 ΔU = Uf - Ui = - L cioe U = - L Il potenziale di una data configurazione di cariche e il lavoro svolto dalle forze elettrostatiche esistenti per portare le cariche da distanza infinita a quella particolare configurazione

4 spesso i raggi cosmici (elettroni, protoni o altre particelle con energia molto elevata) interagiscono con gli atomi delle molecole d aria e possono strappare un elettrone da queste Una volta libero l elettrone e soggetto ad una forza elettrostatica F ad opera del campo E terrestre pari a 150 N/C ed orientato verso la superficie terrestre. Qual e la variazione di potenziale per per l elettrone se percorre verso l alto una distanza d = 520 m?

5 U = L L = F d F = q E L = qedcosθ spesso i raggi cosmici (elettroni, protoni o altre particelle con energia molto elevata) interagiscono con gli atomi delle molecole d aria e possono strappare un elettorne da queste Una volta libero l elettrone e soggetto ad una forza elettrostatica F ad opera del campo E terrestre pari a 150 N/C ed orientato verso la superficie terrestre. Qual e la variazione di potenziale per per l elettrone se percorre verso l alto una distanza d = 520 m? ( C)(150N/C)(520m)cos180 o = J U = L = J

6 Potenziale Elettrico L = F d F = q E U = L il lavoro dipende da q, cosi come il potenziale Se consideriamo il rapporto tra il potenziale e la carica, questo ha un valore univoco per ogni punto del campo elettrico E definisco il potenziale elettrico come: V = U q V = V f V i = U q = L q Cioe l opposto del lavoro svolto da una forza per spostare una carica unitaria U( ) = 0 implica V( ) = 0 quindi in un punto qualunque: V = L q = [J] [C] =[V ]=Volt

7 V = L q = [J] [C] =[V ]=Volt si puo esprimere E in [V]/[m] elettronvolt [ev] si puo definire una nuova unita di misura per l energia (particolarmente utile in fisica atomica): l elettronvolt. 1 ev e il lavoro necessario per spostare una carica unitaria (l elettrone) attraverso una differenza di potenziale di 1 V segue: 1 ev = qv = 1, [C].[J]/[C] = 1, [J]

8 lavoro svolto da una forza applicata sposto una carica in un campo elettrico applicando una forza Fapp K = K f K i = L app + L se vi = vf = 0 allora Ki = Kf L app = L cioe per spostare la carica svolgo lavoro contro il campo elettrico U = U f U i = L app L app = q V il lavoro che bisogna svolgere per muovere una carica q tra una differenza di potenziale ΔV

9 superfici equipotenziali def: e il luogo dei punti nello spazio a cui compete il medesimo potenziale l esempio qui a fianco mostra una famiglia di superfici equipotenziali data la natura conservativa della forza elettrostatica possiamo notare che: L = 0 per i percorsi I e II L 0 per III e IV inoltre LIII = LIV

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11 Come calcolare U conoscendo E Calcolare il lavoro L svolto da E su una carica di prova positiva tra una configurazione iniziale e una finale. ΔV sara infine pari a -L/q dl = F ds F = q E dl = q E ds L = q f i V f V i = E ds f i E ds se V i = V ( ) =0 V = f i E ds

12 (a) trovare la d.d.p. Vf - Vi muovendo una carica di prova positiva da i a f

13 (a) trovare la d.d.p. Vf - Vi muovendo una carica di prova positiva da i a f E ds = Edscosθ = Eds V f V i = V f V i = E f i f i E ds = ds = Ed f i Eds

14 (b) trovare la d.d.p. Vf - Vi muovendo una carica di prova positiva da i a f cf = f c E ds = d sin 45 o f c V f V i = V f V i = c i E ds f E(cos 45 o )ds = E(cos 45 o )ds Ed sin 45 o cos 45o = Ed c E ds = f c ds

15 casi specifici potenziale di una carica puntiforme spostiamo una carica q0 da un punto P a distanza infinita E ds = Ecosθ ds = Eds V f V i = E = 1 4π 0 q r 2 R (ds dr) Edr 0 V = q 4π 0 R 1 r 2 dr = q 4π 0 1 r R = 1 4π 0 q R V (r) = 1 4π 0 q r

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17 potenziale per un sistema di cariche puntiformi V = n i=1 V i = 1 4π 0 n i=1 q i r i il potenziale e definito tramite il lavoro, una grandezza scalare. segue: 1) la relazione sopra e semplicemente algebrica, non vettoriale 2) il principio di sovrapposizione vale per definizione

18 potenziale di un dipolo V = V + + V = 1 4π 0 q + q = r + r q r r + 4π 0 r + r r- - r+ ~ dcosθ r-r+ ~ r 2 V = q dcosθ 4π 0 r 2 q pcosθ V = V + + V = 1 q 4π 2 + q = 0 r + r q r r + 4π 0 r + r

19 dipoli indotti Abbiamo visto il caso di dipoli permanenti come le molecole d acqua: la distribuzione della nuvola elettronica e tale da sbilanciare spazialmente la carica nella molecole: risulta un momento di dipolo non nullo. In generale: se mettiamo pero un atomo o una molecola non polare in un campo elettrico intenso, questo puo modificare la distribuzione spaziali degli elettroni, parliamo di momento di dipolo indotto

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21 potenziale di una distribuzione continua di carica ponendo sempre V( ) =0, generalizziamo il concetto di potenziale di una carica puntiforme ad un elemento di carica dq dv = 1 dq 4π 0 r V = dv = 1 4π 0 dq r vediamo ora per 2 casi particolari: distribuzione lineare di carica e un disco carico

22 distribuzione lineare di carica dq = λdx dv = 1 4π 0 λdx (x 2 + d 2 ) 1/2 V = λ 4π 0 λ 4π 0 L 0 dx (x 2 + d 2 ) = 1/2 L ln(x +(x 2 + d 2 ) 1/2 ) = 0 L +(L 2 + d 2 ) 1/2 λ 4π 0 ln d

23 disco carico dq = σ(2πr )dr dv = 1 σ(2πr )dr 4π 0 z2 + R 2 V = dv = R σ (z 2 + R 2 ) 1/2 R dr = σ ( z R 2 z) 0

24 derivare il campo E dal potenziale sembra semplice dal punto di vista grafico. cerchiamo ora una soluzione analitica...

25 il lavoro del campo elettrico puo essere espresso come dl = -q0dv ma anche dl = q0ecosθds ovvero: Ecosθ = dv ds Ecosθ e la componente di E lungo la direzione ds E s = V s

26 In una terna cartesiana: E x = V x E y = V y E z = V z

27 il potenziale sull asse di un disco carico e : V = σ (z2 + R 2 2 z 0 qual e l espressione del campo elettrico in ogni punto dell asse del disco?

28 il potenziale sull asse di un disco carico e : V = σ (z2 + R 2 2 z 0 qual e l espressione del campo elettrico in ogni punto dell asse del disco? E z = V z = σ 2 0 d dz (z2 + R 2 z = σ z z2 + R 2

29 campo elettrico generato da un disco carico - calcolo diretto dq = σda = σ(2πr)dr de = zσ2πrdr 4π 0 (z 2 + r 2 ) 3 2 de = σz 2rdr 4 0 (z 2 + r 2 ) 3 2 E = de = σz 4 0 R 0 considero il disco come una serie di tanti anelli concentrici di raggio r, sfrutto il risultato precedente (q->dq) (z 2 + r 2 ) 3 2 2rdr cambio di variabile: x = z 2 + r 2 dx = 2rdr E = σ z z2 + R 2

30 Energia potenziale elettrica per un sistema di cariche avviciniamo 2 cariche uguali: il lavoro che svolgiamo viene immagazzinato come potenziale elettrico una volta libere le cariche si respingono (si muovono) e recuperano l energia immagazzinata sotto forma di energia cinetica l energia potenziale di un sistema di cariche fisse e pari al lavoro svolto da un agente esterno per portare il sistema nella configurazione considerata spostando ogni carica da una distanza infinita alla propria posizione vediamo per 2 cariche: 1) q1 da alla sua posizione: non si compie lavoro (non c e alcuna forza elettrostatica) 2) portando q2 da infinito si compie invece lavoro: c e una forza elettrostatica a causa di q1

31 V = L q L = q 2 V il lavoro che svolgiamo noi, non il campo elettrico U = L = q 2 V = 1 q 1 q 2 4π 0 r U > 0 per cariche dello stesso segno U < 0 per cariche di segno opposto

32 3 cariche poste come in figura, ferme. q1 = +q q2 = -4q q3 = +2q d = 12 cm determinare l energia potenziale elettrica

33 3 cariche poste come in figura, ferme. q1 = +q q2 = -4q q3 = +2q d = 12 cm determinare l energia potenziale elettrica devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema

34 3 cariche poste come in figura, ferme. q1 = +q q2 = -4q q3 = +2q d = 12 cm determinare l energia potenziale elettrica devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema U 12 = 1 q 1 q 2 4π 0 d

35 3 cariche poste come in figura, ferme. q1 = +q q2 = -4q q3 = +2q d = 12 cm determinare l energia potenziale elettrica devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema U 12 = 1 q 1 q 2 4π 0 d U 13 + U 23 = 1 q 1 q 3 4π 0 d + 1 q 2 q 3 4π 0 d

36 3 cariche poste come in figura, ferme. q1 = +q q2 = -4q q3 = +2q d = 12 cm determinare l energia potenziale elettrica devo calcolare il lavoro svolto per costruire il sistema U = U 12 + U 13 + U 23 = 1 (+q)( 4q) + (+q)(+2q) 4π 0 d d = J = 17mJ + ( 4q)(+2q) d =

37 una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d oro (nucleo e composto da 79 protoni e 118 neutroni) trascuriamo l interazione della particella α con la nuvola elettronica osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23 fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro trascuriamo il rinculo del nucleo Qual era Ki della particella?

38 una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d oro (nucleo e composto da 79 protoni e 118 neutroni) trascuriamo l interazione della particella α con la nuvola elettronica osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23 fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro trascuriamo il rinculo del nucleo Qual era Ki della particella? 1) durante tutto il moto l energia del sistema si conserva 2) quando la particella e lontana U = 0 (l atomo e complessivamente neutro) 3) quando la particella penetra la nuvola elettronica il campo generato dagli elettroni e nullo (la situazione e analoga ad un conduttore) rimane solo il campo del nucleo

39 una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d oro (nucleo e composto da 79 protoni e 118 neutroni) trascuriamo l interazione della particella α con la nuvola elettronica osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23 fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro trascuriamo il rinculo del nucleo Qual era Ki della particella? Ki + Ui = Kf + Uf con: Ui = 0 Kf = 0 quindi Ki = Uf

40 una particella α (2 protoni e 2 neutroni) in moto verso un atomo d oro (nucleo e composto da 79 protoni e 118 neutroni) trascuriamo l interazione della particella α con la nuvola elettronica osserviamo che la particella α rallenta progressivamente fino ad una distanza r=9,23 fm dal nucleo dove poi inverte il suo moto e rimbalza indietro trascuriamo il rinculo del nucleo Qual era Ki della particella? quindi Ki = Uf U = 1 4π 0 (2e)(79e) 9, 23 fm =3, J = 24, 6MeV

41 potenziale per un conduttore carico isolato in un conduttore con carica in eccesso, questa si distribuisce sulla superficie tutti i punti sono equipotenziali sia internamente che esternamente la proprieta vale anche per conduttori cavi V f V i = f i E ds =0 (E = 0) V f = V i

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