Calcolo vettoriale. Esercizio 1 Dati due vettori:

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1 Calcolo vettoriale Esercizio Dati due vettori: r r r v = 4 u x 3 u y r r r v = 6 u x + u y r r ) calcolare in forma analitica e grafica v v r r ) determinare il modulo di v + v r r 3) si calcoli v v r r 4) si calcoli v v r r r 5) la componente del vettore w = 3 u x u y nella direzione e verso del vettore somma determinato al punto () 6) calcolare l area del parallelogramma che ha per lati i vettori v r e v r r r [) u x 5 u y ; ) 0.05; 3) 8; 4) + 6 u r z ; 5) 0.; 6) 6] Esercizio Dati i due vettori: r r r r v = 3 u x + 4 u y 5 u z r r r r v = u x + u y + 6 u z ) se ne determini l angolo compreso r r ) si determini il modulo quadro del vettore somma v + v e si verifichi la seguente relazione: r r r r r r v + v = v + v + v v cos( ϑ) dove ϑ è l angolo compreso tra i due vettori r 3) si determini la componente z del seguente vettore: v iˆ ˆj zkˆ 3 = + affinché i tre vettori siano complanari [) 3,5 ; ) 4; 3) +4/5]

2 Cinematica Esercizio 3 Un automobile parte da Torino e si dirige verso Milano (distante 30 km) alla velocità costante di 80 km/h. Una seconda auto parte da Torino dopo 0 minuti dalla prima, e si dirige anch essa verso Milano alla velocità costante di 00 km/h 4) dopo quanto tempo, e a quale distanza da Torino, la seconda auto raggiungerà la prima? 5) date le stesse velocità del punto, con quale ritardo può partire, al massimo, la seconda auto se deve raggiungere l altra prima che questa arrivi a Milano? [) dopo50 minuti, a 66,7 km da Torino; ) al massimo dopo 9 30 ] Esercizio 4 Un oggetto viene lanciato verticalmente, a partire da terra, con una velocità v 0 =0 m/s. ) quale altezza massima raggiunge, prima di ricadere? ) quanto tempo impiega per arrivare a tale altezza massima? [) h max =5. m; ) t max =.0 s] Esercizio 5 Un sasso viene lanciato verticalmente verso l alto con velocità iniziale v 0 = 0 m/s, da una piattaforma di altezza h=3 m da terra. Si calcoli dopo quanto tempo il sasso raggiunge il suolo. [0.3 secondi] Esercizio 6 Si sta progettando una nuova tratta di metropolitana sotterranea. Schematicamente la tratta è la seguente: A: treno fermo A-B: tratto di 500 m percorso ad accelerazione costante a B-C: tratto di 4 km percorso a velocità costante v = 7 km/h C-D: tratto di 50 m percorso con un decelerazione costante a 3 ) si rappresentino qualitativamente su di un grafico l accelerazione, la velocità e la posizione in funzione del tempo; ) si calcoli il valore dell accelerazione a necessaria al treno per raggiungere in B la velocità prevista sul tratto BC 3) si calcoli il valore della decelerazione a 3 in necessaria al treno per arrestarsi nel punto D, cominciando a frenare in C 4) si determini il tempo di percorrenza del tratto AD [) a =+0.4 m/s ; )a 3 =-0.8 m/s ; 4) 75 secondi ] Esercizio 7 Un vagoncino delle montagne russe si muove secondo l equazione d(t)=α 0 (b-t ) t, dove d(t) è la distanza dal punto di partenza, α 0 =30 m/s 3, b=300 s e t è il tempo misurato in secondi. ) Calcolare la velocità e l accelerazione del vagoncino in ogni istante. ) Dopo quanto tempo il vagoncino si ferma? [) v= t, a=-80t; ) 0 secondi]

3 Esercizio 8 Un oggetto viene lanciato orizzontalmente con velocità v 0 =0 m/s dal bordo di una scarpata alta v 0 h=0 m (vedi figura). ) calcolare a quale distanza d dal piede della scarpata h raggiungerà il fondo; ) nel punto della caduta, calcolare il modulo del vettore d velocità e l angolo che quest ultimo forma con il terreno. [) d=0. m; ) v d =. m/s; ϑ=-63. ] Esercizio 9 Due particelle, indicate con P e Q in figura, si muovono rispettivamente la prima sulla semicirconferenza ACB, la seconda sul diametro AB=3m, come in figura. Le due particelle partono da ferme nello stesso istante dal punto A e l'angolo θ, percorso dalla particella P, varia con il tempo secondo la seguente legge: θ(t)=t. La particella Q si muove invece P con accelerazione costante a. ) quale deve essere il valore di a affinché le due B A particelle si incontrino in B? ) quali sono, in modulo e verso, le velocità con cui le due particelle arrivano in B? θ [) a=3.8 m/s ; ) v P =-7.5u y m/s; v Q =-4.78u x m/s] Esercizio 0 Le norme americane RIAA prevedono che un giradischi raggiunga in mezzo giro, partendo da fermo, la piena velocità di rotazione (33 giri e /3 al minuto, per un LP del diametro di 30 cm). ) calcolare la velocità tangenziale e l accelerazione centripeta di un punto che si trovi sul bordo del disco, quando questo ruota alla piena velocità; ) calcolare quale deve essere l accelerazione angolare del disco durante l avviamento affinché siano rispettate le norme RIAA. [) v=0.5 m/s; a c =.8 m/s ; ) α=0.55 rad/s ] Esercizio Un cannone deve centrare una nave pirata distante 560 m. ) Sapendo che può sparare proiettili con velocità iniziale di 8 m/s, quale alzo (angolo di sparo α) deve avere per colpire la nave? ) A che distanza dovrebbe spostarsi la nave per uscire fuori dalla portata del cannone? [) α=7,4 ; ) d=685 m]

4 Dinamica Esercizio Un blocco di massa m =5 kg è posto su di un piano orizzontale scabro, avente un coefficiente d attrito µ=0.5. Esso è legato, tramite una corda che passa su di una puleggia, ad un secondo blocco, di massa m =3 kg, libero di scendere oltre il m bordo del piano. Si considerino la corda e la puleggia di massa trascurabile. m ) rappresentare graficamente tutte le forze che agiscono sui due blocchi; ) calcolare con quale accelerazione si muove il blocco ; 3) calcolare la tensione nella corda durante lo scorrimento del blocco; 4) discutere qualitativamente cosa succederebbe se la massa della corda non fosse trascurabile rispetto a quella dei due blocchi. [) a=.76 m/s ; 3) T=3 N; 4) l accelerazione aumenterebbe nel tempo] Esercizio 3 Un blocco di massa m=4 kg viene lanciato con una velocità iniziale v 0 =6 m/s su di un piano scabro. ) calcolare quale lavoro deve compiere la forza d attrito sul blocco per arrestarlo; ) se la forza d attrito è di 8 N, calcolare la velocità del blocco in funzione del tempo; 3) calcolare inoltre quale distanza percorre il blocco prima di fermarsi. [) L=7 J; ) v(t)=6-t; 3) d=9m] Esercizio 4 Una massa m è trascinata lungo un piano orizzontale scabro (attrito dinamico μ d ) da una forza F inclinata rispetto all orizzontale di un angolo Θ. Si determino: ) il modulo della forza affinché la massa si muova di moto rettilineo uniforme ) l angolo Θ 0 per cui la forza necessaria è minima. [) F = μ mg / cosθ ; ) 0 (ovviamente!)] Esercizio 5 Due corpi A e B, di masse uguali (m A = m B = kg), si muovono lungo un piano inclinato di un angolo α=30 rispetto all orizzontale. Il piano è scabro, con coefficienti di attrito dinamico diversi per i due corpi (μ A =0.5, μ B =0.). I due corpi partono attaccati (come mostrato nel disegno). ) Restano attaccati durante il moto? In caso affermativo, trovare la forza di interazione che si esercita tra di essi. ) Trovare l accelerazione dei due corpi. 3) Di quanto dovrebbe essere inclinato il piano affinché il moto dei due corpi sia rettilineo uniforme? [) sì; F = mg cosα( μ A μ B ) ; ) a = g[ sinα cosα( μ A + μ B )] ; 3) tan α = μ A + μ B ]

5 Esercizio 6 Nel sistema in figura, tra m ed il tavolo si ha un coefficiente di attrito μ e tra m ed il tavolo μ. ) Determinare che relazione deve esistere tra m,m ed m affinché il moto sia uniforme. ) Se tale relazione è soddisfatta e m = 8 Kg, m = 6 Kg, μ = 0.3 e μ = 0.5, calcolare i valori delle tensioni T e T. [) m = μ m + μ m ; ) m=5.4 kg, T =53 N, T =9,4 N] Esercizio 7 Due masse m ed m, vincolate fra di loro con una fune omogenea ed inestensibile ed una carrucola di massa ed attrito trascurabili, sono libere di muoversi su un piano inclinato privo di attrito (vedi figura). Determinare, in funzione dell angolo di inclinazione del piano: ) l accelerazione di ciascuna delle due masse ) la tensione della fune. [) m sin α m a = g m + m ; ) T ( + sinα) m m = m g m + m Esercizio 8 Un pendolo semplice è costituito da una pallina sospesa ad un filo in estensibile di massa trascurabile e lunghezza L. Nel punto inferiore della traiettoria la velocità della pallina è 3 gl. ) si calcoli la tensione della fune in funzione dell angolo T formato dal filo con la verticale ) si dica, giustificando la risposta, se il filo rimane teso durante tutto il moto della pallina [) = mg( cosα + ) T ; ) sì perché T>0 se α<0 ] Esercizio 9 Calcolare la frequenza di oscillazione naturale di un corpo di massa m legato a due molle, di costanti elastiche k e k, nel caso in cui queste siano: ) in parallelo (figura a); ) in serie (figura b) ] Figura a) Figura b)

6 Esercizio 0 Un carrello di massa m si muove su di un piano orizzontale, fissato ad una parete con due molle una k k m in serie all altra, come mostrato in figura. Le costanti elastiche delle due molle sono k e k, e tutti gli attriti sono trascurabili. Calcolare la frequenza di oscillazione naturale del sistema. [ω 0 = (k /m) con k =k k/(k +k )] Esercizio Dimostrare questa affermazione contenuta nell Horologium Oscillatorium di Christian Huygens: Se un pendolo semplice viene portato con la fune in posizione orizzontale e poi lasciato andare, nel punto più basso la tensione della fune è pari al triplo del peso della sferetta. [Calcolare la velocità della sferetta nel punto più basso, e trovare la forza centripeta che le fa compiere la traiettoria circolare di raggio l e con la velocità così trovata] Esercizio Un corpo di massa m= kg, scorre senza attrito su di un piano orizzontale, trattenuto da una molla di costante elastica k=00 N/m legata ad una parete verticale (vedi figura). Il corpo è inizialmente fermo e la molla è a riposo. Al tempo t=0 il corpo viene spinto verso destra con una velocità iniziale v 0 = m/s. ) scrivere l equazione del moto; ) calcolare la massima elongazione che il corpo può raggiungere rispetto alla posizione iniziale di equilibrio. 3) determinare posizione e velocità del corpo in funzione del tempo. [) equazione del moto armonico. ) x max =4 cm. 3) x(t)=x max cos(ωt); v(t)=v 0 cos(ωt)] Esercizio 3 L estremità di uno dei due bracci di un diapason oscilla alla frequenza di 440 Hz, e l ampiezza dell oscillazione è di 0.5 mm. Supponiamo che l oscillazione del braccio si possa considerare come un moto armonico ideale. ) calcolare la velocità e l accelerazione massime durante il moto del braccio; ) calcolare velocità ed accelerazione dell estremità del braccio nel momento in cui si trova a 0. mm dalla posizione di equilibrio. [) v max =.38 m/s, a max =383 m/s. ) v=.7 m/s, a=53 m/s ]

7 Lavoro ed energia Esercizio 4 Un blocco di massa m=0.75 kg, inizialmente in quiete, viene lasciato andare su di un piano inclinato alla distanza l= m da una molla non compressa (vedi figura). La costante della molla è k=5 N/m ed il piano forma un angolo α=35 con l'orizzontale. Trascurando m tutti gli attriti e la massa della molla, calcolare: ) la velocità del corpo nel momento in cui tocca la molla; ) la massima compressione di quest'ultima; 3) la distanza l' alla quale ritorna il corpo quando la molla si k ridistende. l α [v=3.36 m/s; Δl=77 cm; l'= m] Esercizio 5 Un corpo, inizialmente fermo, è posto su di un piano inclinato, al termine del quale vi è un tratto piano e poi un secondo piano inclinato, come mostrato in figura. I due piani sono lisci, mentre il tratto orizzontale è scabro, con un m coefficiente d'attrito µ=0.. Sapendo che l'altezza iniziale da cui L parte il corpo è H=4m, e che il tratto scabro ha una lunghezza L=4 m, calcolare quante volte il corpo percorrerà il tratto orizzontale avanti e indietro prima di fermarsi. H [Il corpo percorre in totale cinque volte il tratto scabro] Esercizio 6 Una catena di massa totale M= kg e lunghezza L= m è appesa ad un gancio fissato al soffitto. L'ultimo anello viene sollevato verticalmente è agganciato al gancio, come mostrato in figura. ) determinare l'aumento dell'energia gravitazionale della catena, considerando il cambiamento nella posizione del suo baricentro; ) scrivere l'equazione della forza esterna F(y) diretta verso l'alto necessaria per sollevare lentamente la catena; 3) trovare il lavoro compiuto sulla catena mediante integrazione diretta di F dy. [ΔU=+.45 J; F(y)=½Mgy; L=+.45 J]

8 Esercizio 7 Un pendolo semplice è formato da una corda di lunghezza l= m e di massa trascurabile, fissata nell estremità superiore, e alla cui estremità inferiore è fissata una sferetta di diametro trascurabile e massa m= kg. ) se la sbarra viene sollevata di un angolo θ=45 e lasciata andare, quale sarà la massima velocità che la massa raggiunge durante l oscillazione? l ) qual è il periodo di oscillazione del pendolo? (si supponga che l angolo massimo dell oscillazione θ sia abbastanza piccolo da poter θ m approssimare sin θ θ). 3) qual è l energia meccanica totale del pendolo? [) v max =.4 m/s; ) T= secondi; 3).9 J] Esercizio 8 Due recipienti cilindrici identici, aventi sezione S=0 cm, sono appoggiati su di un piano, e sono collegati alla base da un tubicino chiuso da un rubinetto. I due recipienti contengono acqua, fino al livello h =0 cm il primo e h =0 cm il secondo. Ad un certo momento il rubinetto viene aperto e nel tubicino fluisce acqua fino a che il livello nei due recipienti è lo stesso. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per eguagliare il livello dell acqua nei due recipienti [L=(ρgS/4)(h -h ) =4 0-6 J] Esercizio 9 Una scala mobile unisce il piano terra di un edificio al secondo piano, ad un altezza di 8 metri dal suolo. La scala è lunga metri e scorre alla velocità di 0,5 metri al secondo. ) quale potenza deve avere il motore della scala, per poter trasportare 00 persone al minuto, ciascuna della massa media di 70 kg? ) Una persona della massa di 70 kg sale lungo la scala, impiegando 0 secondi per arrivare in cima: quale lavoro compie il motore per trasportarlo? E quale potenza impiega? 3) se questa persona si volta a metà della scala, e comincia a scendere gli scalini, in modo da rimanere sempre alla stessa altezza, il motore compie lavoro su di lui? [) P=9. kw; L=5500 J; 3) P=459 W, 3) No] Esercizio 30 Un corpo di massa m scende lungo un piano inclinato di lunghezza l e inclinazione θ. Supponiamo che il piano inclinato sia liscio, e che arrivato in fondo ad esso il corpo scivoli su di un piano orizzontale scabro avente coefficiente d attrito µ. ) calcolare, con metodi energetici, quale distanza d il corpo percorra sul piano orizzontale prima di fermarsi. ) ripetere il calcolo utilizzando solo la legge di Newton. [d=(l/µ)senθ]

9 Esercizio 3 Un corpo che si muove lungo l asse x è soggetto ad una forza F(x)=kx che tende ad allontanarlo dall origine. ) calcolare l energia potenziale relativa alla forza F, ed esprimere la velocità del corpo in funzione della posizione x. ) studiare il tipo di equilibrio del corpo nell intorno del punto x=0. [) U(x)=-(k/)x ; v (x)=(k/m)(x +x 0 ). ) Massimo di U=equilibrio instabile] Esercizio 3 Fra i due atomi di una molecola di ossigeno O, esiste una forza la cui energia potenziale può essere espressa dalla funzione: U ( x) = a x b 6 x dove x è la distanza fra i due atomi, e a e b sono due costanti positive. ) per quali valori di x l energia potenziale è nulla? e per quali è minima? ) determinare l espressione della forza fra i due atomi. [) U(x)=0 per x=(a/b) /6 e per x ; U(x) ha un minimo per x=(a/b) /6. ) F(x)=a/x 3-6b/x 7 ] Esercizio 33 La figura rappresenta una pista di minigolf. Una pallina viene lanciata in A con una velocità uguale a quella minima necessaria per oltrepassare il dosso B, e giunge in buca a ms -. Determinare il valore del coefficiente d attrito (dinamico) del tratto scabro lungo 0.3 m. [μ=0.83]

10 Moti relativi Esercizio 34 Sul pianale di un autocarro vi è una massa m legata ad una molla di costante elastica k. L autocarro accelera verso destra con un accelerazione costante a. Calcolare la compressione della molla rispetto alla situazione di equilibrio. a [x=-am/k] Esercizio 35 Uno studente di ingegneria viaggia su un treno che si muove alla velocità di 00 kmh -. Il libro di fisica appoggiato sul sedile (alto 40 cm) cade nel momento in cui il treno inizia a rallentare, in prossimità della stazione, con decelerazione di.8 ms -. Determinare la traiettoria del libro vista dallo studente e vista da un osservatore fermo in stazione e il punto in cui il libro tocca terra. [Vista da terra x( t) gt cui il treno inizia a frenare). Visto dal treno = v0 t ; y( t) = y0 (origine della coordinata x e del tempo nell istante in x ( t) = ) a t ; y T ( t = y0 gt ] Esercizio 36 Una stazione spaziale ruotante (di forma toroidale) è progettata per creare al suo interno una situazione di gravità simulata, in modo che gli abitanti possano muoversi camminando lungo la superficie interna della parete più esterna (una misura del loro peso fornirebbe lo stesso risultato che in prossimità della superficie terrestre). ) Se la distanza di questa parete dall asse di rotazione è 50 m, quale deve essere la velocità angolare di rotazione della stazione spaziale attorno al suo asse? ) Dire come interpreta la situazione un osservatore posto al centro del disco, nei due casi: l osservatore è fisso rispetto al piano orizzontale (non ruota); l osservatore ruota solidalmente al disco. [ω=0,44 rad/sec] Esercizio 37 Una sfera di massa m=50g è legata con due cordicelle ad un'asta ω verticale, come mostrato in figura, e tutto il sistema ruota con velocità angolare uniforme ω attorno all'asse dell'asta. La cordicella inferiore ha una lunghezza R=5 cm, mentre quella superiore forma un angolo θ=30 con la verticale. ) supponendo che ω sia abbastanza grande per tenere tese le due 90 cordicelle, calcolare le forze esercitate da ciascuna di esse sulla R sfera; m ) calcolare la minima velocità angolare ω min necessaria affinché la cordicella inferiore resti tesa. θ [T =mg/cosθ, T =mω R-mg tanθ ; ω min =(g tanθ /R) / ]

11 Esercizio 38 Una cassa di massa M=50 kg è trattenuta dall'attrito sul pianale di un camion, che percorre a velocità costante v=50 km/h una curva di raggio R=300 m. ) indicare tutte le forze che agiscono sulla cassa, sia viste da un osservatore solidale con la strada che da uno solidale con il camion; ) determinare quale condizione deve soddisfare il coefficiente d'attrito µ fra il pianale del camion e la cassa affinché quest'ultima rimanga ferma; Se la curva è sopraelevata, si osserva che la cassa rimane ferma anche in assenza di attrito: 3) rappresentare ancora tutte le forze, viste nei due sistemi di riferimento; 4) qual è l'inclinazione α della curva? [µ>v /gr; a=arctan(v /gr)] Esercizio 39 Un oggetto animato di velocità iniziale v 0 viene lanciato in modo da strisciare su un piano orizzontale scabro, arrestandosi dopo aver percorso una distanza d. Se il piano viene accelerato verso l'alto si osserva che l'oggetto, lanciato con la stessa velocità iniziale, si arresta percorrendo una distanza d/. Determinare l'accelerazione del piano. [ a g( d d ) g = ] fermo accel = Esercizio 40 La curva parabolica di un autodromo ha un raggio di 00 metri e una sopraelevazione di 5. Qual è la massima velocità a cui le auto possono percorrerla se: ) non si tiene conto dell'attrito, ) si considera un coefficiente d'attrito pari a 0.5? [77 km/h; 7 km/h] Esercizio 4 Un furgone parte da fermo al tempo t=0 e accelera uniformemente fino a raggiungere, dopo 0 secondi, una velocità di 0 m/s. Un pacco di massa m=5 kg è posto sul pianale del furgone e inizialmente si trova a 3 metri di distanza dal bordo posteriore dell'automezzo. Il pacco inizia a scivolare al tempo t=0, e il coefficiente di attrito fra di esso e il pianale del furgone è pari a 0,5. ) rappresentare tutte le forze agenti sul pacco, sia in un riferimento solidale col terreno sia in uno solidale con il furgone; ) calcolare l'accelerazione del pacco rispetto al terreno; 3) determinare dopo quanto tempo il pacco raggiunge il bordo posteriore del furgone; 4) determinare la componente orizzontale della velocità del pacco nel momento in cui tocca terra. [a=+.47 m/s ; t=3.36 s; v x =+4.94 m/s. NB: la direzione positiva è quella del moto del furgone]

12 Dinamica dei sistemi: urti, teorema dell impulso Esercizio 4 Un autocarro della massa di 50 tonnellate tampona, alla velocità di 00 km/h, un auto della massa di 000 kg. Al momento dell urto l auto è ferma, e dopo l urto i due veicoli rimangono agganciati. ) calcolare la velocità con cui l autocarro procede dopo l urto; ) ripetere il calcolo precedente nel caso in cui sia invece l auto a tamponare il camion (si consideri ora l auto viaggiante alla velocità di 00 km/h e il camion fermo). [) v=96 km/h; ) v=3.9 km/h] Esercizio 43 Un corpo di massa m=00 g è inizialmente fermo ad una quota h=50 cm su uno scivolo inclinato di 30 privo di attrito di massa M=500 g. Lo scivolo poggia su un piano liscio. Ad un certo istante la massa m viene lasciata libera di scivolare. Calcolare il modulo della velocità dei due corpi quando m ha raggiunto il piano orizzontale. [v m =.75 m/s; v M =0.95 m/s] Esercizio 44 Un corpo di massa 3M si trova su un pilastro alto 5 m. Ad un certo punto esso deflagra, spezzandosi in due parti di massa rispettivamente M e M, che partono in direzione opposta con velocità inizialmente orizzontale. Sapendo che il frammento di massa M cade ad una distanza di 8 m dal pilastro, calcolare a quale distanza dal pilastro tocca il suolo il frammento di massa M. [d=4 m] Esercizio 45 Una palla da biliardo di massa m in moto rettilineo uniforme con velocità v=3 m/s urta elasticamente e centralmente una seconda palla da biliardo di massa m, inizialmente ferma. Si calcolino i moduli delle velocità di entrambe dopo l urto. [v m = m/s; v m = m/s] Esercizio 46 Un corpo puntiforme, di massa m e velocità v, urta un secondo corpo di massa m =m, fermo di fronte ad un piano inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale. Determinare l altezza raggiunta da m nel caso di urto elastico e quella raggiunta dal sistema (m +m ) nel caso di urto totalmente anelastico. v v hel = ; hanel = 9g 8g Esercizio 47 Due automobili di massa m =950 kg e m =00 kg si scontrano a un incrocio. Dopo l urto rimangono incastrate e procedono per m in una direzione che forma un angolo di 30 con la direzione di provenienza dell auto. Fra le due auto e l asfalto durante la fase di slittamento dopo l urto, c è un coefficiente di attrito μ=0,4. ) ricavare i moduli delle velocità di entrambe le automobili prima dell urto. ) qual è l energia persa nell urto? [v = 0.5 m/s; v = 5.6 m/s; ΔE M = -90 kj]

13 Esercizio 48 Ad un incrocio, un automobile proveniente da est alla velocità di 50 km/h non rispetta la precedenza e si scontra con una seconda automobile, proveniente da nord alla velocità di 70 km/h. Le due automobili hanno massa rispettivamente di 500 kg e 500 kg. Dopo l urto rimangono incastrate.. Calcolare la velocità e la direzione delle due automobili dopo l urto.. Calcolare l energia spesa nell urto. [) v=4 km/h, direzione sud-ovest a 50 da sud; ) ΔE=68 kj] Esercizio 49 Una pallottola di massa m=30 g viene sparata ad una velocità v o = km/s contro un blocco di legno di massa M= kg e avente uno spessore d=5 cm. Nell'attraversare il blocco, la pallottola è soggetta ad una forza d'arresto il cui modulo è costante e pari ad F A. ) qual è il valore minimo di F A affinché la pallottola si fermi dentro il blocco? ) in questo caso, qual è la velocità finale del blocco con dentro la pallottola? [F A mv o /d; v B =mv o /(M+m)] Esercizio 50 L'alettone posteriore di un'auto di Formula ha un'area di m e un'inclinazione di 35 rispetto all'orizzontale. Se l'auto viaggia alla velocità di 50 km/h, e la densità dell'aria è di,3 kg/m 3, qual è la deportanza dell'alettone? (Nota: la deportanza è la forza aerodinamica con la quale l'alettone preme l'auto verso il basso) [Circa 000 N] Esercizio 5 Un razzo di massa M=4000 kg, è dotato di un motore in grado di espellere una massa λ=0 kg/s di gas alla velocità v g =400 km/h. Trascurando la diminuzione della massa del razzo in seguito al consumo di carburante, calcolare: ) la velocità del razzo in funzione del tempo durante una partenza da fermo nello spazio interplanetario; ) la velocità del razzo in funzione del tempo durante il decollo da fermo dalla superficie terrestre. [) v=(λv g /M)t; ) v=(λv g /M-g)t ] Esercizio 5 Una mitragliatrice spara pallottole della massa di 50 grammi alla velocità di 000 m/s. Il soldato che la manovra può esercitare, contro il rinculo, una forza media di 80 N. ) se la mitragliatrice ha una massa di 5 kg, calcolare con quale velocità rincula dopo ogni colpo. ) determinare quanti colpi al minuto può sparare la mitragliatrice affinché il soldato riesca a reggerla. [) v=3.3 m/s; N=6 colpi/min]

14 Gravitazione Esercizio 53 L orbita della Luna attorno alla Terra può essere considerata circolare, con buona approssimazione. Il raggio dell orbita è di km, e il periodo orbitale è di 7.3 giorni. In base a questi dati, stimare la massa della Terra. [M = kg] Esercizio 54 Un satellite viene chiamato geostazionario se il suo periodo orbitale eguaglia il periodo di rotazione della Terra (cioè 4 ore). In questo modo il satellite si trova sempre al di sopra dello stesso punto della superficie terrestre. ) calcolare il raggio delle orbite geostazionarie e a quale altezza dalla superficie terrestre si troverebbe un satellite geostazionario; ) calcolare la velocità orbitale del satellite; 3) calcolare l energia necessaria a portare in orbita geostazionaria un satellite della massa di 800 kg lanciandolo dall equatore; 4) calcolare quanta energia in più servirebbe se il lancio avvenisse dal polo. Dati utili: m Terra = kg, r Terra = 6378 km, G = m 3 kg s [) r=4800 km, h=36000 km; ) v=3 km/s; 3) E TOT = J; ΔE=85 MJ] Esercizio 55 Una molecola di gas si trova nell atmosfera di un pianeta di massa M a distanza r dal suo centro. ) Dimostrare che per sfuggire dall atmosfera e perdersi nello spazio, la velocità v della molecola deve soddisfare alla relazione v >GM/r. ) Calcolare tale velocità minima (detta velocità di fuga) per una molecola che si trovi nell atmosfera terrestre (massa M T = kg, raggio R T =6378 km) all altezza di 000 km dalla superficie. 3) Ripetere il calcolo nelle stesse condizioni per il Sole (M S = 0 30 kg, R S = km) e la Luna (M L =7.3 0 kg, R L =738 km). [) per la terra vf=0 km/s; 3) per il sole vf=69 km/s, per la luna vf=.9 km/s]