CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE

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1 CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA SOMMARIO: 1. Itroduzioe Asimmetria Grafico a scatola (box plot) Curtosi. - Questioario. 1. INTRODUZIONE Dopo aver aalizzato gli idici di posizioe e di variabilità di ua distribuzioe di frequeza aalizziamo, i questo capitolo, alcui aspetti della forma di ua distribuzioe, della quale si cosiderao due caratteristiche: la simmetria e la curtosi. Ua curva di frequeza uimodale e simmetrica che assume la caratteristica forma a campaa (Fig. 1) è ota co la deomiazioe di curva ormale o gaussiaa. Si tratta della più importate distribuzioe statistica cotiua le cui caratteristiche sarao discusse i modo più approfodito ei capitoli dedicati alle distribuzioi teoriche; per ora basti sapere che, per tale distribuzioe, media, mediaa e moda coicidoo. y f ( µ )= f( Me) = f ( Mo ) 0 µ=me = Mo x Fig. 1 - Curva ormale Fu proposta da Gauss el 1809 ella teoria degli errori, ma è ache attribuita a Laplace (1812) che e defiì le pricipali proprietà prima della trattazioe più completa fatta da Gauss. Ache solo graficamete, dal cofroto della curva di frequeza di ua qualsiasi distribuzioe co la curva ormale è possibile evicere i due aspetti fodametali relativi alla forma della distribuzioe. I questo capitolo spiegheremo el dettaglio i cocetti di asimmetria e di curtosi e aalizzeremo alcui idici di disormalità o di forma. 2. ASIMMETRIA L asimmetria (i iglese skewess) è u termie statistico che idica l asseza di specularità di ua distribuzioe rispetto a qualsiasi asse verticale. Se i ua distribuzioe uimodale (Fig. 1)

2 136 Capitolo Settimo ( ) ( ) allora la distribuzioe è simmetrica esiste u valore a tale per cui si possa scrivere f x =g x a rispetto ad a. I tal caso Moda, Media e Mediaa coicidoo. Viceversa la coicideza di questi idici o garatisce la simmetria. Cosideriamo la seguete distribuzioe: X f Evidetemete la distribuzioe o è simmetrica: tuttavia è facile verificare che Moda, Media e Mediaa soo ulle. Per cui la o coicideza dei 3 idici è sitomo di asimmetria metre la coicideza o garatisce la simmetria. Rispetto alla curva ormale è possibile evicere se ua distribuzioe preseta asimmetria, se ha ua coda più luga; precisamete, se la coda più luga è a siistra, la distribuzioe preseta asimmetria egativa, se, ivece, la coda più luga è a destra, allora la distribuzioe preseta asimmetria positiva. Le relazioi esisteti tra media, mediaa e moda cosetoo di verificare se ua distribuzioe si preseta simmetrica o asimmetrica; ifatti, utilizzado la simbologia dei capitoli precedeti, si parla di: simmetria se µ = Me = Mo; asimmetria positiva se Mo < Me <µ, la distribuzioe preseta il ramo destro più allugato di quello siistro, i altre parole preseta ua coda verso destra; asimmetria egativa se µ < Me < Mo, la distribuzioe preseta il ramo siistro più allugato di quello destro, e si dice che preseta ua coda verso siistra. Graficamete, il cofroto di ua distribuzioe co ua curva ormale avete la stessa frequeza complessiva cosete di evicere se ua distribuzioe preseta ua coda più luga. y y y 0 µ = Me = Mo x 0 MoMe µ x 0 µ Me Mo x (a) (b) (c) Fig. 2 - Curva ormale (a); curva asimmetrica a destra (b); curva asimmetrica a siistra (c) Diversi idici di asimmetria si basao sulle relazioi viste tra media, mediaa e moda, alcui soo espressi ella stessa uità di misura del feomeo ivestigato, altri soo umeri puri. 2.1 Idici assoluti Due misure assolute soo forite dalle segueti differeze: α = µ Me; α = µ Mo (2.1) 1 2

3 Gli idici di forma 137 che soo ulle, positive o egative, a secoda che la distribuzioe preseti, rispettivamete, simmetria, asimmetria positiva o egativa. Altra misura assoluta è forita dalla differeza tra le distaze tra la mediaa e quatili simmetrici rispetto ad essa, i questo cotesto esamiiamo le distaze itercorreti tra la mediaa ( Me = Q2 ) e i quartili: = ( Q Q ) ( Q Q )= Q + Q 2Q (2.2) α che è ulla, positiva o egativa, a secoda che la distribuzioe preseti, rispettivamete simmetria, asimmetria positiva o egativa. 2.2 Idici relativi Per ovviare all icoveiete di disporre di idici espressi ell uità di misura del feomeo, le differeze appea viste soo state rapportate allo scarto quadratico medio della distribuzioe, otteedo idici relativi di otevole importaza. Rapportado la differeza tra media e mediaa allo scarto quadratico medio, si ottiee il seguete idice ormalizzato: µ α = Me 4 σ il cui sego poe i rilievo la simmetria/asimmetria della distribuzioe. (2.3) Rapportado, ivece la differeza tra media e moda allo scarto quadratico medio si ottiee l idice di asimmetria di Pearso: α P µ Mo = σ (2.4) U idice relativo di asimmetria proposto da Fisher, per ua serie, ha la seguete espressioe aalitica: γ 1 µ x i 1 σ i= = 3 (2.5) L espressioe etro paretesi è defiita scarto stadardizzato, per cui l idice di asimmetria è pari alla media dei cubi degli scarti stadardizzati. U altro idice di asimmetria è stato proposto da Yule e Bowley, ed ha la seguete espressioe aalitica: ( Q3 Q2) ( Q2 Q1) Q Q Q α Y = ( Q Q )+( Q Q ) = (2.6) Q Q ed è, praticamete, il rapporto tra la (2.2) e la differeza iterquartile.

4 138 Capitolo Settimo ESEMPIO 1 Dato il seguete isieme di umeri: 5, 7, 11, 22, 25, 24, 20, 14, 13, 8, 7, 5, 4, 1 determiare l idice di asimmetria di Fisher. L espressioe aalitica dell idice di asimmetria richiesto è forita dalla (2.5), la cui applicazioe richiede la coosceza della media aritmetica e della deviazioe stadard degli = 14 dati. La media aritmetica è pari a: 5 µ = = 118, 6 14 La deviazioe stadard è pari a: σ = ( 5 11, 86) + ( 7 11, 86) + ( 11 11, 86) + + ( 5 11, 86) + ( 4 11, 86) , ( ) = 771, Pertato, la media dei cubi degli scarti stadardizzati, ovvero l idice di asimmetria di Fisher, è: γ , ,, , , 771 +,, 771, = 14 = 0,46 Ovviamete calcoli del geere soo troppo lughi per cui illustriamo la modalità di determiazioe dell idice per l isieme riportato ell ESEMPIO attraverso u foglio Excel. Per calcolare l idice la procedura è la seguete: Nelle celle dalla A2 alla A14 riportiamo la successioe. Nella cella A19 calcoliamo la media aritmetica della successioe. Nella cella A20 calcoliamo lo scarto quadratico medio della successioe. Nella cella B2 calcoliamo lo scarto stadardizzato rispetto al primo dato della successioe;a tal fie digitiamo: =(A2-$A$19)/$A$20 e trasciiamo la selezioe fio alla cella B15, per otteere tutti gli scarti stadardizzati. Nella cella C2 calcoliamo il cubo dello scarto stadardizzato rispetto al primo dato della successioe; a tal fie digitiamo: =POTENZA(B2;3) e trasciiamo la selezioe fio alla cella B15, per otteere tutti i cubi degli scarti stadardizzati. Nella cella C16 calcoliamo la somma di tali cubi.

5 Gli idici di forma 139 Nella cella C21, dal rapporto tra tale somma (cella C16) e il umero dei dati (14), otteiamo l idice di asimmetria. ESEMPIO 2 Sia data la distribuzioe dei 125 atleti per classi di altezze di cui alla tabella 8 riportata el quito capitolo, determiare: a) l idice di asimmetria di Fisher; b) l idice di asimmetria i termii di quartili. a) La formula dell idice di asimmetria di Fisher richiede l impiego dello scarto quadratico medio della distribuzioe, il cui valore si desume dal seguete schema di calcolo: 2 2 ( µ ) ( xi - µ ) i xi -xi+1 i x i x i i xi - µ xi Totale Schema 1

6 140 Capitolo Settimo Dallo schema si desume che la media aritmetica della distribuzioe è: la variaza è: e lo scarto quadratico medio è: µ = = 185, σ 2 = =55, L idice di asimmetria di Fisher è pertato: σ = 55, 03 = 7, , , ( , 64) , , =.,, 408, [ ] = γ = (, ) +(, ) + ( ) + ( ) +( ) = La distribuzioe preseta lieve asimmetria egativa. b) Della distribuzioe data soo oti ache i tre quartili, essi soo, rispettivamete: Q = 180, 292 Q = Me = 185, 879 Q = 190, 721 Pertato l idice di asimmetria è: , , , 292 α y = 190, , 292 = 0, GRAFICO A SCATOLA (BOX PLOT) Il grafico a scatola, altrimeti detto box plot, è ua tipologia di rappresetazioe proposta dallo statistico americao J.W. Tukey; essa si ottiee da ua serie di dati o da u grafico a ramo e foglia, da cui ricava i dati sigificativi trascurado quelli o importati. Il grafico è costruito el modo seguete: si devoo calcolare i tre quartili della distribuzioe: Q 1, Q 2 = Me, Q 3. Quidi, i suoi valori miimo ( x = mi Q ) 0 e massimo ( x = max Q ) 4 ; su u asse orietato, su cui si fissa u uità di misura coicidete co quella del carattere ivestigato, si idividua u rettagolo (scatola/box) i cui estremi soo costituiti, rispettivamete, dal primo e dal terzo quartile, e la cui lughezza è rappresetata, evidetemete, dalla differeza iterquartile ( δ Q ); dalla scatola si traccia u segmeto verticale che delimita la posizioe della mediaa; si tracciao due liee estere alla scatola, dette baffi (whiskers), per questo motivo il diagramma è detto ache box ad whiskers plot. I baffi soo delimitati, rispettivamete, dai valori miimo e massimo della distribuzioe.

7 Gli idici di forma 141 Per ua distribuzioe di frequeza, il grafico i questioe cosete di evideziare: la misura della dispersioe rappresetata dalla differeza iterquartile; iformazioi relative alla forma della distribuzioe, ifatti, se le distaze tra ciascu quartile e la mediaa soo diverse tra loro, allora la distribuzioe è asimmetrica; la preseza di outlier se si verifica uo dei due segueti casi: a) il valore osservato è iferiore alla quatità Q1 15, δ Q ; b) il valore osservato è superiore alla quatità Q3 + 15, δ Q. Il grafico cosete, ioltre, di comparare 2 o più distribuzioi. Se ua distribuzioe è simmetrica, allora la media aritmetica coicide co la mediaa e, solo i questo caso, è possibile evicere il valore della media aritmetica dal grafico. No è semplice costruire u box plot. Per dare u idea del grafico ci serviremo di u esempio. ESEMPIO La tabella seguete riporta la distribuzioe delle età degli operai di 3 reparti di u azieda: Rappresetare le tre distribuzioi attraverso u box plot. Tabella 1 Per costruire il box plot si devoo determiare, per ciascua distribuzioe, il valore miimo, il primo quartile, la mediaa, il terzo quartile e il valore massimo. Essi soo, rispettivamete: per il reparto 1: per il reparto 2: per il reparto 3: Q 1 = 22; Q 0 = 19; Me = 26; Q 4 = 53; Q 3 = 34 Q 1 = 20; Q 0 = 18; Me = 23; Q 4 = 49; Q 3 = 36 Q 1 = 21; Q 0 = 19; Me = 33; Q 4 = 50; Q 3 = 43

8 142 Capitolo Settimo Calcolati gli idici suddetti, su u prefissato asse si devoo idividuare delle barre i corrispodeza della mediaa Me e dei quartili Q 1 e Q 3. Successivamete, le barre soo chiuse sio a formare ua scatola * * * * * * Fig. 3 - Box plot * * Q 1 Q 0 Me Q 4 Q 3 Dal grafico si evice che, a parte i valori aomali preseti elle tre distribuzioi (le tre età massime), il reparto 3 è caratterizzato da maggiore dispersioe dei dati itoro al valore mediao. Di seguito spiegheremo come otteere il grafico a scatola (o box plot) per la distribuzioe riportata ella tabella 1. Il foglio di lavoro, co i dati e co gli idici di posizioe ecessari, è il seguete:

9 Gli idici di forma 143 Si deve procedere, quidi, co la creazioe guidata del grafico: selezioare le caselle dalla E8 alla H12; digitare il tasto ; i «Tipo di grafico» scegliere «Liee»; procedere co il tasto «Avati>»; selezioare «Serie i righe»; digitare il tasto «Fie». Il foglio è il seguete: Dal grafico si devoo rimuovere le liee che cogiugoo i valori miimi, co i quartili, le mediae e i valori massimi. A questo puto: selezioare ciascua liea; posizioarsi sul meu «Formato»; scegliere «Serie di dati selezioati»; posizioarsi sul quadro «Motivo»; attivare l opzioe «Liea - Assete»;

10 144 Capitolo Settimo posizioarsi sul quadro «Opzioi»; selezioare le due voci «Liee di Mi-Max» e «Barre cresc.-decresc.». Il foglio Excel è il seguete: Il grafico cotiee ua legeda che agevola l iterpretazioe dei dati. 4. CURTOSI Dal greco kurtos (gobba) la curtosi fa riferimeto alla maggiore o miore gibbosità di ua curva i prossimità del suo massimo e, quidi, alla maggiore o miore lughezza delle code. La curtosi assume rilievo per ua distribuzioe di frequeza uimodale, la cui curva è di forma campaulare. Per valutare questo aspetto della forma di ua curva, la stessa è paragoata ad ua curva ormale (detta ache mesocurtica - Fig. 4(a)) avete la stessa frequeza complessiva precisamete si dice che la curva è: leptocurtica o iperormale (Fig. 4 (b)), se, rispetto alla curva ormale, preseta u eccesso di frequeza delle classi cetrali, ua frequeza miore delle classi itermedie e ua frequeza maggiore delle classi estreme; si tratta, quidi, di ua distribuzioe più alta al cetro e più bassa ai lati; platicurtica o ipoormale (Fig. 4 (c)), se, rispetto alla curva ormale, preseta ua frequeza miore delle classi cetrali e di quelle estreme, co ua frequeza maggiore di quelle itermedie; si tratta, quidi, di ua distribuzioe più bassa al cetro e più alta ai lati.

11 Gli idici di forma 145 y y y 0 x 0 x 0 x (a) (b) (c) Fig. 4 - Curva ormale (a); curva leptocurtica (b); curva palticurtica (c) Per misurare la curtosi di ua curva uimodale di forma campaulare è particolarmete utile l idice di curtosi di Pearso la cui espressioe aalitica, per ua serie, è la seguete: µ x i 1 σ i= β2 = 4 (4.1) L idice: vale 3 per ua curva ormale; è maggiore di 3 per ua distribuzioe leptocurtica; è iferiore a 3 per ua distribuzioe platicurtica. Se si dispoe della distribuzioe di frequeza, esso è: 1 β2 = 4 σ k ( xi µ ) i= 1 k i= 1 i 4 i (4.2) Per otteere ua misura paragoabile co lo zero, Fisher ha proposto u idice che, per ua serie, si ottiee sottraedo all espressioe (4.1) il umero 3, ossia: γ µ x i 1 σ i= = β 3= (4.3) Esso vale 0 per ua curva ormale, è positivo o egativo per ua curva, rispettivamete, più apputita o meo apputita di ua curva ormale. Recetemete l idice è stato criticato perché presuppoe ua distribuzioe simmetrica e, soprattutto, perché il suo valore dipede dal comportameto delle code della distribuzioe.

12 146 Capitolo Settimo ESEMPIO 1 Dato il seguete isieme di umeri: determiare l idice di curtosi di Fisher. 5, 7, 11, 22, 25, 24, 20, 14, 13, 8, 7, 5, 4, 1 Dell isieme dato, abbiamo già determiato l idice di asimmetria di Fisher ell esempio 1 del paragrafo secodo, i cui abbiamo calcolato la media ( µ = 1186, ) e la deviazioe stadard ( σ = 771, ). Pertato, l idice di curtosi di Fisher, applicado la (4.3), è pari a: γ , ,, , , 771 +,, 771, = 14 3 = 118, Di seguito illustriamo il modo per determiare l idice di curtosi di Fisher per l isieme riportato ell ESEMPIO attraverso u foglio Excel suppoedo di o aver già calcolato gli idici statistici esposti ella formula. Per calcolare l idice la procedura è la seguete: Nelle celle dalla A2 alla A14 riportiamo la successioe. Nella cella A19 calcoliamo la media aritmetica della successioe. Nella cella A20 calcoliamo lo scarto quadratico medio della successioe. Nella cella B2 calcoliamo lo scarto stadardizzato rispetto al primo dato della successioe, digitiamo: =(A2-$A$19)/$A$20 e trasciiamo la selezioe fio alla cella B15, per otteere tutti gli scarti stadardizzati. Nella cella C2 calcoliamo la quarta poteza dello scarto stadardizzato rispetto al primo dato della successioe, digitiamo: =POTENZA(B2;4) e trasciiamo la selezioe fio alla cella B15, per otteere tutte le poteze degli scarti stadardizzati. Nella cella C16 calcoliamo la somma di tali poteze. Nella cella C21, dalla differeza tra il rapporto tra tale somma (cella C16) e il umero dei dati (14) e il umero 3, otteiamo l idice di curtosi.

13 Gli idici di forma 147 ESEMPIO 2 Dire se la distribuzioe riportata ella tabella seguete è platicurtica o leptocurtica: x i i Totale 22 Tabella 2 Per determiare il grado di gibbosità della distribuzioe rispetto alla distribuzioe ormale, usiamo idifferetemete l idice di curtosi di Fisher o l idice di curtosi di Pearso. Per otteere l idice di Fisher è ecessario calcolare la media aritmetica e lo scarto quadratico medio della distribuzioe.

14 148 Capitolo Settimo La media aritmetica è µ = 3, metre lo scarto quadratico medio, cosiderado che: è pari a: Q = () +( ) +( ) +( ) +( ) = Pertato, l idice di curtosi di Fisher è: γ σ = 10 ( 3) = 10 9 = ( 1 3) 2+( 2 3) 3+( 3 3) 12+( 4 3) 3+ ( 5 3) 2 = 3 = 3, 18 3 = 0, 18 () 1 22 Dato il suo valore positivo, ma prossimo allo 0, si può affermare che la distribuzioe è lievemete leptocurtica. Questioario 1. I corrispodeza di quali idici statistici la curva ormale assume il suo valore massimo? (par. 1) 2. Se la mediaa di ua variabile statistica co asimmetria positiva è Me = 10, quali valori possoo assumere la media aritmetica e la moda della stessa? (par. 2) 3. Per quali distribuzioi da u grafico a scatola si evice la media aritmetica? (par. 3) 4. A parità di frequeza complessiva co ua curva ormale, i ua curva ipoormale i corrispodeza di quali classi si riscotrao le frequeze maggiori? (par. 4)