Banchi ortogonali 5. Trasformata a blocchi: analisi. Trasformata a blocchi: analisi (3) Banchi ortogonali. Trasformata a blocchi.

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1 Trasformata a blocchi: analisi Banchi ortogonali Divido il segnale di ingresso in blocchi (Nn) u k = (Nn + 1). u k,l = (Nn + l), l = 0,...,N 1 (Nn+N 1) Trasformo ogni blocco v k = T v k, N 1 v k,m = T m,l u k,l = u k,t m,: l=0 Banchi ortogonali 3 Banchi ortogonali Casi importanti Trasformata a blocchi: analisi () Trasformata a blocchi (JPEG, MPEG) Banchi a due canali (JPEG 000) Banchi modulati Trasformata di Fourier a blocchi (OFDM) Banchi coseno-modulati (AC3, MUSICAM) Voglio scrivere la trasformata a blocchi come un banco di filtri Definisco i segnali di comodo Nota: anticausale h m ( l) = y m (k) = v k,m { Tm,l 0 l N 1 0 altrove (filtro) (uscita) Banchi ortogonali 1 Banchi ortogonali Trasformata a blocchi Trasformata a blocchi: analisi (3) Per fare una trasformata a blocchi 1. Dividi il segnale a blocchi lunghi N. Trasforma ogni blocco con T Per invertire una trasformata a blocchi 1. Applica ad ogni blocco T 1. Rimonta il segnale Vogliamo dimostrare che una trasformata a blocchi è implementabile tramite un banco di filtri Riscrivo come N 1 y m (k) = h m ( l)(nk + l) l=0 h m ( l)(nk + l) = l Z N 1 v k,m = T m,l u k,l l=0 = h m (r)(nk r) = h m (Nk) r Z Definizione di h e u Supp. finito di h Sostituzione l r Banchi ortogonali Banchi ortogonali 5

2 Trasformata a blocchi: analisi () Riassunto Esempio di trasformata a blocchi: la DCT Q: Cosa abbiamo scoperto? A: Una trasformata a blocchi con trasformazione N N T può essere implementata con un banco di filtri con N canali le cui risposte impulsive sono le righe di T rovesciate Nota: le risposte impulsive hanno lunghezza N Un tipo molto comune di trasformata a blocchi prevede è la DCT Vantaggi: 1. Esiste un algoritmo veloce. Buone proprietà scorrelanti Q: Qual è la risposta in frequenza dei filtri associati alla DCT? Banchi ortogonali 6 Banchi ortogonali 9 Trasformata a blocchi: ortogonalità DCT I filtri associati La base di l (Z) associata con la trasformata a blocchi è formata dalle righe di T traslate di multipli di N Il banco è ortogonale se e solo se T è ortogonale Funzioni di base [( a k,n = c(k) N cos n + 1 ) kπ N I filtri h k ( n) = a k,n possono essere scritti ( ) nkπ h k (n) = D k r(n) cos N φ k ] ; c(k) = ; r(n) = { 1/ se k = 0 1 se k 0 { 1 se (N 1) n 0 0 altrimenti Banchi ortogonali 7 Banchi ortogonali 10 Trasformata a blocchi: ortogonalità () DCT () Le risposte in frequenza Riga 0 Supporti disgiunti Ogni filtro è un rect moltiplicato per un coseno 3.5 Banco DCT a 16 canali Riga 1 Riga La risposta in frequenza del k-simo filtro è un sincoide centrato intorno a k/n H (f) Righe di T ortogonali Riga 3 I filtri della DCT non sono molto selettivi Freq. normalizzata Banchi ortogonali 8 Banchi ortogonali 11

3 Trasformate a blocchi: caratteristiche Banchi ortogonali a due canali Vantaggi Semplici da implementare Eredita un eventuale algoritmo veloce per T Si può cambiare T al volo senza perdere l ortogonalità Svantaggi Filtri corti cattiva risposta in frequenza Banchi più generali possono avere prestazioni migliori Introduzione di artefatti a blocchi Perché? Due canali non sono un po pochini? Didatticamente semplici Mattoni base usati in schemi più complessi Usati anche nel progetto di certi banchi modulati Banchi ortogonali 1 Banchi ortogonali 15 Artefatti a blocchi Banchi iterati Ricorda: Usa le identita nobili H B H B H A H B y H A Originale Codificata JPEG H A Banchi ortogonali 13 Banchi ortogonali 16 Artefatti a blocchi () Dettaglio del cappello Banchi iterati () Equivalente del primo ramo H B H B H B H B (z ) B (z) H B (z ) Banchi ortogonali 1 Banchi ortogonali 17

4 Banchi iterati (3) Banco equivalente Banco a due canali: lunghezza dei filtri B (z) H B (z ) Sia h B il filtro di un banco ortogonale a due canali B (z) H A (z ) A (z) H B (z ) y Sia h B lungo L nel senso che h B (n) 0 0 n L 1 h B (0) 0 h B (L 1) 0 A (z) H A (z ) Risultato: L è pari Banchi ortogonali 18 Banchi ortogonali 1 Banchi iterati non uniformi Banco a due canali: lunghezza dei filtri () H B Se L fosse uguale a k + 1, h B non sarebbe ortogonale a τ k h B n=0 n=1 n=l 1=k H B H A h(0) h(1).... h(k) h H B τ k h h(0) h(1).... H A y H A τ k h, h =h(0) h(k) = 0 Banchi ortogonali 19 Banchi ortogonali Banchi iterati non uniformi () Banco equivalente Banco a due canali: filtro complementare B (z) H B (z ) H B (z ) B (z) H B (z ) H A (z ) 8 8 Risultato: Se h B è il filtro di un banco ortogonale a due canali, h A è univocamente determinato a meno di una traslazione pari ed il prodotto per una costante α, α = 1. B (z) H A (z ) y In particolare, h A può essere scelto pari a h A (n) = ( 1) n h B (L 1 n) H A (z) Banchi ortogonali 0 Banchi ortogonali 3

5 Banco a due canali: filtro complementare () Prova Banco a due canali: filtro complementare (5) Dalla condizione di ortogonalità H t (z 1 )H(z) si ottiene H B,0 H B,0 + H B,1 H B,1 = R BB = 1 H A,0 H A,0 + H A,1 H A,1 = R AA = 1 H A,0 H B,0 + H A,1 H B,1 = R BA = 0 H A,0 H B,0 + H A,1 H B,1 = R AB = 0 dove H(z) = H(z 1 ) Nota: le ultime due condizioni sono equivalenti dato che R AB = R BA. Otteniamo da cui H B,0 (z)h A,0 (z) = H B,0 (z)h B,1 (z)k(z) H B,1 (z)h A,1 (z) = H B,1 (z)h B,0 (z)k(z) H A,0 (z) = H B,1 (z 1 )K(z 1 ) H A,1 (z) = H B,0 (z 1 )K(z 1 ) Banchi ortogonali Banchi ortogonali 7 Banco a due canali: filtro complementare (3) Banco a due canali: filtro complementare (6) Dalla prima condizione R B B = H B,0 H B,0 + H B,1 H B,1 = 1 si ottiene che MCD(H B,0,H B,1 ) = 1 Dim: Se fosse MCD(H B,0,H B,1 ) = K(z) 1, R BB (z) sarebbe multiplo di K(z) Infine, sfruttiamo la seconda condizione H A,0 H A,0 + H A,1 H A,1 = 1 per trovare K(z) Sostituendo, si ottiene H A,0 H A,0 + H A,1 H A,1 = H B,1 H B,1 KK + H B,0 H B,0 KK = KK(H B,1 H B,1 + H B,0 H B,0 ) = KK = 1 Banchi ortogonali 5 Banchi ortogonali 8 Banco a due canali: filtro complementare () Dalla quarta condizione H B,0 H A,0 + H B,1 H A,1 = 0 si ottiene H B,0 H A,0 = H B,1 H A,1 = mcm(h B,0,H B,1 )K(z) Dato che H B,0 e H B,1 sono primi tra loro, mcm(h B,0,H B,1 ) = H B,0 H B,1 Banco a due canali: filtro complementare (7) La condizione K(z)K(z) = 1 implica che K ha un inverso moltiplicativo K = αz Da deduciamo α = 1. Imponendo α = 1 otteniamo con a scelta K(z)K(z) = α = 1 H A,0 (z) = H B,1 (z 1 )z H A,1 (z) = H B,0 (z 1 )z Banchi ortogonali 6 Banchi ortogonali 9

6 Banco a due canali: filtro complementare (8) Portando le condizioni nel dominio del tempo otteniamo h A,0 (n) = h B,1 ( n) h A,1 (n) = h B,0 ( n) da cui h A (n) = h B ( n 1) h A (n 1) = h B ( n) unificabili in h A (m) = ( 1) m h B ( 1 m) Scegliendo = L si ha la tesi Banchi ortogonali 30 Banco a due canali: filtro complementare (9) Costruzione grafica h B(n) h B(0) h B(1) h B() h B(M 3) h B(M ) h B(M 1) h A(n) h B(M 1) h B (M ) h B (M 3) h B () h B(1) h B (0) Con cambio di segno Senza cambio di segno Banchi ortogonali 31