L insieme N dei numeri naturali è infinito?

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1 L insieme N dei numeri naturali è infinito? L infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito (David Hilbert, 1921) 1

2 L infinito in matematica In matematica si distingue fra numeri molto grandi e l infinito. Il numero di stelle nell Universo è molto grande, ma finito (circa ) e più grande, ma sempre finito, è il numero di atomi nell Universo (circa ); Il cervello umano è formato da circa neuroni ed ognuno di essi entra in contatto con 10 4 altri neuroni, perciò è grandissimo, ma finito, il numero di contatti nervosi. La matematica ha raggiunto uno straordinario risultato: elaborare ragionamenti e procedimenti per affrontare l infinito con il cervello finito dell uomo. 2

3 Attività 2: L insieme N è infinito? Dividetevi in gruppi di 2 4 persone. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 30 minuti di tempo 3

4 Che cosa abbiamo trovato? Ragionamenti e procedimenti per distinguere insiemi finiti e infiniti 4

5 A, B, C sono insiemi finiti B è in corrispondenza biunivoca con A B ha tanti elementi quanti A B è in corrispondenza biunivoca con A, che è un sottoinsieme di C B ha meno elementi di C 5

6 L insieme N è finito? N è in corrispondenza biunivoca con P, che è un sottoinsieme di N. 6

7 VOCABOLARIO MATEMATICO Insieme infinito Un insieme A è infinito se esiste una corrispondenza biunivoca fra A e un suo sottoinsieme. Insieme numerabile Un insieme A è numerabile se esiste una corrispondenza biunivoca fra A e l insieme N dei numeri naturali. 7

8 L albergo di Hilbert L hotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate. Si presenta un nuovo cliente e l albergatore dice: Posso sicuramente trovarle una sistemazione Il cliente che occupa la camera 0 passa nella 1, quello che occupa la 1 passa nella 2 e, in generale, chi occupa la camera n passa nella camera n+1, resta libera la camera 0 per il nuovo cliente. 8

9 L albergo di Hilbert L hotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate. Si presentano ancora 100 clienti e l albergatore dice: Posso trovare una sistemazione per tutti Il cliente che occupa la camera 0 passa nella 100, quello che occupa la 1 passa nella 101 e, in generale, quello che occupa la camera n passa nella camera n Così restano libere le camera da 0 a 99 per i nuovi clienti. 9

10 Paradosso di Galileo = = = = = 16. n n 2 L insieme N q dei numeri quadrati è un sottoinsieme dell insieme N dei numeri naturali. 10

11 Paradosso di Galileo A e B insiemi finiti N e N q insiemi infiniti B è in corrispondenza biunivoca con A N è in corrispondenza biunivoca con il suo sottoinsieme N q B ha tanti elementi quanti A Si estende a N e N q?? N q ha tanti elementi quanti N?? 11

12 Paradosso di Galileo Insiemi finiti collegati da una corrispondenza biunivoca vuol dire Insiemi con lo stesso numero di elementi. Origine del paradosso: estendere agli insiemi infiniti questa intuitiva affermazione, valida per gli insiemi finiti. 12

13 Risposta di Galileo (1638) Io non veggo che ad altra decisione si possa venire [ ]: infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la moltitudine dei quadrati essere minore di quella di tutti i numeri, né questa maggiore di quella, ed in ultima conclusione, gli attributi di uguale, maggiore e minore non aver luogo negli infiniti, ma solo nelle quantità terminate. 13

14 Confronto fra linguaggio comune e matematica Linguaggio comune È finito l insieme delle cifre che uso per scrivere i numeri, perché finisco di contare quando arrivo a 9. Cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 È infinito l insieme N dei numeri naturali, perché non è finito: posso continuare a contare senza arrivare mai ad un numero finale. 14

15 Confronto fra linguaggio comune e matematica Matematica È infinito l insieme N di tutti i numeri naturali, perché può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme. È finito l insieme delle cifre, perché non è infinito: non può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme. 15