Corso di Laurea Specialistica in Informatica

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1 Corso di Laurea Specialistica in Informatica Dispense del corso di Analisi Numerica (Metodi numerici per la grafica) a cura di Maria Italia Gualtieri, Anna Napoli

2 Capitolo 0 Introduzione La Computer Graphics costituisce una delle più diffuse applicazioni dell informatica. È una disciplina che basandosi su metodi ed algoritmi di Analisi Numerica, insieme con particolari tecnologie e strumenti hardware, consente di visualizzare oggetti mediante il calcolatore. Senza dubbio si può affermare che non esiste applicazione in cui la grafica non possa essere di valido aiuto o quanto meno di complemento. È per questo che la grafica trova ampie applicazioni anche in settori non tecnici, ad esempio nelle indagini demografiche, nell analisi statistica e nelle applicazioni economiche in genere. A seconda del tipo di applicazione la computer graphics può dividersi in tre categorie principali: grafica per applicazioni economiche (business graphics); animazione; progettazione. In questi ultimi anni le applicazioni della computer graphics nei più svariati settori economici hanno determinato la nascita di un vero e proprio settore, la Business graphics. L obiettivo di tale disciplina è quello di presentare determinati risultati con l ausilio di grafici, rendendone così più immediata la comprensione. Dal punto di vista della programmazione queste applicazioni sono le più semplici poiché non richiedono né algoritmi particolarmente complicati né sofisticate risorse hardware per la loro realizzazione. Un altro interessante settore della Computer Graphics è quello dell animazione. Sfruttando l elevata velocità dei calcolatori attualmente disponibili sul mercato, è possibile codificare programmi in grado di animare disegni con una risoluzione così spinta da dare la sensazione del movimento continuo. I campi applicativi sono i più svariati: dalla preparazione dei videogiochi o di pellicole cinematografiche all analisi cinematica di un fenomeno; ad esempio esistono programmi che, simulando gli spostamenti del corpo di un guidatore in caso d incidente automobilistico, consentono di decidere quale debba essere la disposizione migliore all interno della vettura. Senza dubbio uno dei primi campi applicativi della computer graphics è stato quello della progettazione. A seconda dei settori di applicazione essa si divide in quattro categorie: progettazione elettronica; progettazione architettonica;

3 Introduzione progettazione industriale; progettazione meccanica. Per quanto riguarda il settore elettronico, le principali applicazioni vanno dalla progettazione dei circuiti integrati a quella di intere schede, con produzione automatica dei disegni esecutivi e della lista dei componenti necessari alla produzione. I vantaggi vanno oltre il semplice risparmio di tempo associato all esecuzione della parte grafica. Man mano che procede il progetto, l uso del computer consente di controllare le scelte del progettista in termini di compatibilità e di interfacciabilità tra i componenti usati e perfino di operare una selezione tra i diversi componenti similari sulla base delle caratteristiche richieste. Anche nella progettazione architettonica la computer graphics si è rivelata estremamente utile. Le principali applicazioni riguardano l abitabilità degli ambienti, l arredamento, l analisi strutturale e, nei programmi più complessi, il disegno di viste prospettiche. Quest ultima applicazione è ancora in fase di sviluppo, richiedendo software e hardware molto avanzati; le principali difficoltà risiedono negli algoritmi di cancellazione delle linee non in vista. Infatti la costruzione di una vista prospettica o di un assonometria richiedono lo sviluppo di una complessa logica per determinare se una data linea è in vista o se viene nascosta da altri elementi di figura. Le possibilità grafiche del computer sono oggi ampiamente utilizzate anche in quell importante settore tecnico-artistico che va sotto il nome di progettazione industriale (industrial design). Il campo applicativo dell industrial design è vastissimo e copre tutti i settori nei quali al progetto tecnico esecutivo di un determinato prodotto è necessario associare uno studio estetico approfondito del risultato che si desidera ottenere. Il computer offre l opportunità di semplificare enormemente il lavoro di sintesi di un idea artistica,che può riguardare la forma di una suppellettile come il disegno da riprodurre su un tessuto. Così anche gli stilisti ed i creatori di moda sono attualmente utenti di packages orientati alla soluzione rapida di problemi grafici associati a questo tipo di attività altamente creative. Infine, la progettazione meccanica è l aspetto più noto della progettazione assistita dal calcolatore. Essa è spesso identificata con il C.A.D. stesso, cioè la progettazione automatica nel suo complesso ed è, in realtà, il capostipite di tutte le altre applicazioni. Già agli inizi degli anni sessanta, la tecnologia dell hardware in campo industriale era ad un livello tale da permettere di riprodurre con assoluta precisione forme tridimensionali di ogni tipo per mezzo di macchine utensili. Il passo successivo da compiere era quello di rendere automatico il controllo di queste macchine utensili (in inglese Computer Aided Manifacturing o più brevemente C.A.M) nonché la progettazione delle forme stesse da realizzare (in inglese Computer Aided Design o C.A.D). Mentre, come si è detto, l hardware non costituiva un problema, il software in grado di realizzare ciò era assolutamente inesistente. I modelli ed i prototipi venivano prodotti a mano da personale altamente specializzato, con l ausilio di strumenti empirici. Ad esempio, fissati alcuni punti di riferimento, si costruiva un modello fisico mediante strumenti quali la spline, cioè un sottile righello in legno molto flessibile; si ricavava poi da tale modello un disegno, ad esempio facendo uso di fogli di alluminio. Le curve così generate venivano riprodotte mediante materiale rigido al fine di creare un modello guida definitivo. Tale modello guida veniva poi utilizzato per la produzione mediante macchine munite di pantografo. Naturalmente procedimenti di questo tipo risultavano lunghi e laboriosi (con

4 conseguente aggravio dei costi sia di progettazione che di produzione), senza contare poi il fatto che le forme così definite erano poco accurate ed il modello-guida facilmente danneggiabile. La possibilità di utilizzare il calcolatore per ottenere contemporaneamente precisione numerica e rapidità di calcolo avrebbe comportato l abbreviazione dei tempi di produzione, una maggiore precisione, migliore trasmissione dei dati e, in definitiva, costi più contenuti. Questa è l ovvia motivazione di sistemi chiamati appunto CAD/CAM. Al giorno d oggi anche in Italia la parola CAD è ormai entrata a far parte del patrimonio culturale di chi lavora nei più disparati settori industriali, nonché di professionisti come ingegneri, architetti, grafici pubblicitari. La diffusa conoscenza di questa applicazione dell informatica testimonia una altrettanto notevole diffusione in Italia di sistemi di progettazione computerizzati. L evoluzione del software e le crescenti potenzialità delle piattaforme hardware impiegate hanno reso l elaborazione grafica tramite il calcolatore molto più di una semplice alternativa al tavolo da disegno tradizionale. Il CAD permette infatti l agevolazione oltre che dell operazione di disegno vera e propria anche di tutto il processo progettuale grazie alla rapidità di esecuzione, di modifica, di archiviazione dei disegni ed alla presenza di pre e post-processori per la preparazione e la successiva elaborazione dei dati relativi. Un sistema CAD può essere visto come uno strumento di progettazione assistita. Infatti, oltre all esecuzione del disegno vero e proprio, esso consente di gestire ed integrare la distinta base (l elenco dei componenti il singolo progetto) e l archiviazione tecnica (possibilità di richiamare e di riutilizzare progetti precedenti), dunque di ottenere una maggiore efficienza della fase di progettazione oltre alla integrazione di questa con la fase di produzione. Si analizzano ora quali sono le caratteristiche che si richiedono ad un sistema CAD. Un tale sistema deve fornire la possibilità di progettare o lavorare su oggetti che appartengono in genere ad una di queste tre categorie: a) oggetti che fanno parte di un meccanismo complesso nel quale giocano un ruolo importante e la cui efficacia dipende strettamente dalla loro forma (ad esempio la lama di una turbina o la carrozzeria di una macchina da corsa). Di solito la loro forma è stata determinata con sperimentazioni successive e va riprodotta con la migliore precisione possibile. b) oggetti che hanno solo una funzione estetica: il modello è di solito fatto a mano da una persona dotata e va riprodotto correttamente anche se non è necessaria una precisione rigorosa. Importanti sono in questi casi la continuità della forma e la curvatura: nella riproduzione si rischia di perdere quella caratteristica generale di armonia che l artista ha dato al prototipo. c) oggetti che non hanno né pretese estetiche né di grande precisione ma che vanno assemblati tra di loro, ad esempio incollati: è necessaria grande precisione solo nelle zone di contatto. In tutti questi casi la caratteristica fondamentale del sistema CAD è la capacità di esprimere come insiemi di numeri la forma di un oggetto e di operare su di essa utilizzando il calcolatore, sia che si tratti dell ala di un aereo sia che si tratti di una semplice bottiglia. Inoltre a questa rappresentazione numerica della forma si richiede che: 3

5 4 Introduzione a) sia applicabile ad una gran varietà di forme geometriche (linee, cerchi, coniche ed eventualmente anche curve di grado superiore); b) permetta di operare su queste forme per mezzo di calcoli semplici; c) sia indipendente dal sistema di coordinate; d) sia facilmente utilizzabile anche da non matematici. Un tipo di rappresentazione di curve e superfici che risponde a queste esigenze è quella parametrica. Dal punto di vista matematico, tale rappresentazione offre, rispetto alla forma analitica, molti vantaggi di cui alcuni sono i seguenti: a) è una rappresentazione di tipo esplicito; b) permette di usare la forma vettoriale che ha il pregio di essere concisa e consente di esprimere la curva come combinazione lineare a coefficienti vettoriali di funzioni scalari; c) è indipendente dal sistema di riferimento; d) permette di calcolare separatamente le componenti e di usare la stessa routine per il calcolo di ciascuna componente riducendo così la complessità dei programmi; e) permette di esprimere coefficienti angolari infiniti il che è una caratteristica desiderabile dal momento che spesso i profili degli oggetti hanno tangenti verticali. La teoria delle curve e superfici parametriche era già ben nota negli anni sessanta e costituiva una parte assestata della geometria. Curve e superfici parametriche, peraltro, non erano state studiate da un punto di vista computazionale, pertanto ben poco era noto sulla loro potenzialità di utilizzo di un sistema CAM/CAD. Tant è che lo studio di tale ampia problematica ha costituito, praticamente da solo, il nucleo di base di una nuova disciplina a sé stante, il C.A.G.D. cioè Computer Aided Geometric Design, che venne ufficialmente riconosciuta come tale in occasione del congresso organizzato da R.E. Riesenfield presso l università dello Utah nel 974. Fu proprio Barnhill a coniare in quella occasione il nome di Computer Aided Geometric Design in cui, come egli stesso puntualizza, l aggiunta dell aggettivo geometric sta ad evidenziare il fatto che l attenzione è limitata agli aspetti matematici del CAD. In pratica i geometri computazionali studiano gli aspetti algoritmici e la misura della complessità di problemi geometrici che coinvolgono semplici oggetti geometrici come punti, linee, segmenti di linee, poligoni, cerchi e archi di circonferenza, sfere e poliedri. Alcuni problemi classici sono: calcolare il dominio convesso di un insieme di punti; determinare i punti di intersezione di un insieme di segmenti; triangolare un poligono semplice. Mentre lo scopo è teorico ed algoritmico, il campo della geometria computazionale riguarda oggetti geometrici. In questo corso saranno introdotte diverse rappresentazioni per curve e superfici e le relative operazioni geometriche. In particolare sarà analizzato il problema del disegno di curve attraverso diversi modelli di rappresentazione: interpolazione, spline parametriche, curve di Bezier, curve B-spline, curve NURBS. Infine i risultati ottenuti saranno estesi alle superfici.

6 Capitolo Elementi di geometria Sistemi di coordinate, punti, linee e piani. Oggetti bidimensionali.. Punti Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate, l asse e l asse, perpendicolari fra di loro. Un punto nel piano è rappresentato da una coppia di coordinate (, )... Rette Una retta nel piano ha equazione con A, B, C IR; C è il termine noto. Se B 0, l equazione della retta può essere riscritta come A + B + C 0 (..) m + q dove m A B e q C. La (..) è detta equazione esplicita della retta; m e b sono B rispettivamente la pendenza e l intercetta (ossia il punto di intersezione con l asse ). Se B 0 l equazione della retta diventa A + C 0 che rappresenta una retta parallela all asse che interseca l asse nel punto ( CA, 0 ). L equazione della retta ha tre coefficienti; ma solo due sono indipendenti, il che vuol dire che dividendo l equazione della retta per uno dei suoi coefficienti diverso da zero, la retta non cambia. Esempio

7 6 Elementi di geometria L operazione di dividere un equazione per una costante diversa da zero è detta normalizzazione. Una particolare normalizzazione molto importante è quella che si ottiene dividendo per il valore della distanza della retta dall origine. La distanza dall origine della retta di equazione A + B + C 0 è data da distanza C A + B. Un altra normalizzazione si ottiene dividendo l equazione per la radice quadrata della somma dei quadrati dei primi due coefficienti; in questo caso il valore assoluto del nuovo termine noto è proprio la distanza della retta dall origine...3 Rette parallele e rette perpendicolari Due rette A + B + C 0 e E + F + G 0 sono parallele se hanno la stessa pendenza. Poiché le pendenze sono date rispettivamente da A B e E F se (se B e F sono entrambi diversi da zero), due rette sono parallele se e solo A F B E. Da notare che se B e F sono entrambi uguali a zero le rette sono parallele all asse e quindi sono parallele fra loro. Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto delle loro pendenze è. Date le due equazioni precedenti la condizione di perpendicolarità diventa. Oggetti tridimensionali.. Punti A E B F. Il sistema di coordinate nello spazio è dato da tre assi, e z, pertanto un punto nello spazio ha tre componenti (,, z), rispettivamente lungo i tre assi... Punti nello spazio nd In generale un punto nello spazio nd è rappresentato da una n-upla ordinata di numeri reali (a, a,...,a n ). Operazioni definite su punti: P (p, p,...,p n ), Q (q, q,...,q n ) P + Q (p + q, p + q,...,p n + q n ) somma cp (cp, cp,...,cp n ) c IR prodotto per uno scalare

8 . Sistemi di coordinate 7 Proprietà: P (p, p,...,p n ), Q (q, q,...,q n ), R (r, r,...,r n ), c, c IR ) (P + Q) + R P + (Q + R) associativa ) P + Q Q + P commutativa 3) (c + c ) P c P + c P distributiva 4) c (P + Q) c P + c Q distributiva 5) 0 + P P + 0 P, 0 (0, 0,..., 0) neutro per la somma 6) P P neutro per il prodotto per uno scalare 7) P ( ) P, P + ( P) 0 esistenza dell inverso..3 Vettori Nel piano D e nello spazio 3D gli oggetti sono definiti attraverso un sistema di coordinate. Ciascun punto è individuato da un set di coordinate in un sistema di riferimento. Sistema di riferimento D Un sistema di riferimento D è rappresentato da una coppia di assi paralleli e Figura Un sistema di riferimento 3D è rappresentato da una terna di assi paralleli, e z. La disposizione degli assi determina l orientazione degli assi e la direzione delle rotazioni. Sistema di riferimento 3D left-handed Sistema di riferimento 3D right-handed Figura La direzione delle dita dà la posizione degli assi: il pollice è allineato all asse, l indice in alto all asse e il medio all asse z.

9 8 Elementi di geometria Un vettore rappresenta lo spostamento da un punto ad un altro. Un vettore possiede una sua ampiezza e una sua direzione, ma non una sua propria posizione. Un vettore applicato possiede anche una sua propria posizione. R P v Q v S I due segmenti PQ e RS rappresentano lo stesso vettore. Figura 3 La differenza tra due punti è un vettore. Un vettore nel piano ha due componenti, nello spazio ha tre componenti e, in generale, un vettore in uno spazio n-dimensionale ha n componenti. Per le particolari applicazioni considerate, si distingueranno due tipi di vettori: vettori posizione e vettori direzione. Un vettore posizione dà la posizione di un punto; più precisamente, un punto è un vettore. Un vettore direzione dà una direzione, quindi esso non è un punto. Nel seguito, vettori posizione e vettori direzione saranno rappresentati in grassetto, rispettivamente con lettere minuscole e maiuscole, ad es. a e A. In molti casi tale distinzione non è necessaria. È possibile sommare e sottrarre vettori fra loro, ma è possibile moltiplicare e dividere vettori solo per una costante. La lunghezza di un vettore a, indicata con a, è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti a a + a a n Un vettore unitario è un vettore di lunghezza. Un vettore può essere normalizzato dividendo le sue componenti per la lunghezza, ottendo così un vettore di lunghezza e mantenendo la stessa direzione. Per esempio, se a 3, 4, 5, a 50 e a normalizzato è 3 50, 4 50, Regola del parallelogramma La somma di due vettori p e q si ottiene come il vettore rappresentato dalla diagonale del parallelogramma che ha per lati i due vettori dati. Tale regola è nota come regola del parallelogramma.

10 . Sistemi di coordinate 9 Esempio.. P (, 3), Q (, ), P + Q (, 4) (,4) (,3) (,) Figura 4..5 Prodotto interno (Inner Product o Dot Product) Dati due vettori a e b, il loro prodotto interno, indicato con a b, è la somma dei prodotti delle rispettive componenti. Ad esempio, se a,, 3 e b,, 4 a b + ( ) Il prodotto interno può essere interpretato geometricamente: b β α a cioè Figura 5 ( ) a a cosα, a sin α, b ( ) b cosβ, b sin β a b a cos α b cosβ + a sin α b sin β ( ) ( ) a b cosαcosβ + sin α sin β a b cos β α, a b a b cos θ dove θ è l angolo compreso tra a e b. Questa formula permette di enunciare le seguenti proprietà:. a b 0, a 0, b 0 cosθ 0 e θ 90, cioè a e b sono perpendicolari fra loro;. a b > 0 θ < 90. In particolare a b a b cosθ e θ 0, cioè a e b sono paralleli tra loro e hanno la stessa direzione; 3. a b < 0 θ > 90. In particolare a b a b cosθ e θ 80, cioè a e b sono paralleli tra loro ma hanno direzione opposta.

11 0 Elementi di geometria..6 Rette Una retta nello spazio non può essere rappresentata da un singola equazione. Tuttavia, essa può essere considerata come l intersezione di due piani. Per semplificare la trattazione è conveniente una notazione che faccia uso dei vettori, sebbene la notazione tradizionale sia ancora molto utile. Una retta è definita da un punto base A e da un vettore direzione d che dà la direzione della retta. L equazione vettoriale di una retta è A + td dove t è un parametro. In molte applicazioni il vettore direzione è un vettore unitario...7 Piani Un piano nello spazio ha equazione A + B + Cz + D 0. Essa dipende da quattro coefficienti reali A, B, C e D; D è detto termine noto. In modo analogo al caso della retta, la distanza del piano dall origine è data da distanza D A + B + C. Un piano, in forma vettoriale, è definito da un punto base B e dal suo vettore normale n. Per ogni punto arbitrario, o vettore posizione X del piano, il vettore posizione da B a X, X B, deve essere perpendicolare al vettore normale n, quindi (X B) n 0 da cui l equazione del piano X n B n 0. Data la notazione vettoriale di rette e piani, è molto facile calcolare il punto di intersezione di una retta con un piano. Si considera la retta A + td e il piano definito dal punto base B e dal suo vettore normale n, avente equazione X n B n 0. Se la retta interseca il piano, deve esistere un valore t tale che il corrispondente punto della retta giace sul piano, cioè deve esistere t tale che il punto corrispondente soddisfa l equazione del piano. In formule, sostituendo nell equazione del piano, ( A + td ) n B n 0, da cui (B A) n t. d n Sostituendo il valore trovato nell equazione della retta si trova il punto di intersezione. Se d n 0, non c è intersezione. Il significato di d n 0 è che d e n sono perpendicolari fra loro. Poiché n è il vettore normale del piano e d è perpendicolare a n, d deve essere parallelo al piano. Se la retta è parallela al piano, non esiste punto di intersezione.

12 . Combinazioni convesse e affini Combinazioni convesse e affini Siano v,v,...,v m m vettori dello spazio n dimensionale. Definizione.. Si definisce combinazione lineare di v,v,...,v m un vettore del tipo w α v + α v α m v m. Definizione.. Si definisce combinazione affine di v,v,...,v m una combinazione lineare w α v + α v α m v m tale che m α k. k Definizione.3. Si definisce combinazione convessa di v,v,...,v m una combinazione lineare w α v + α v α m v m tale che m α k e α k 0 k,,..., m. k Una combinazione convessa è una particolare combinazione affine, con la condizione che tutti i coefficienti sono non negativi, quindi vale } α + α α m 0 α α k 0 k k. Esempio.3. L insieme di tutte le combinazioni convesse di due vettori v e v è data dal vettore v α v + α v, α, α 0, α + α, cioè da tutti i vettori del tipo v ( α)v + αv v + α (v v ), 0 α. Geometricamente, la combinazione convessa di due vettori v e v del piano è data da v + una qualche frazione di v v, cioè v giace sul segmento che congiunge v e v, quindi l insieme di tutte le combinazioni convesse di due vettori v e v è data dal segmento che congiunge i vettori stessi (figura 6). v α(v v ) v Figura 6

13 Elementi di geometria Esempio.4. L insieme di tutte le combinazioni convesse di tre vettori v, v e v 3 è data dal vettore w α v + α v + α 3 v 3, α, α, α 3 0, α + α + α 3, cioè da tutti i vettori del tipo w α v +α v +( α α )v 3 v 3 +α (v v 3 )+α (v v 3 ), 0 α, α. Geometricamente, l insieme di tutte le combinazioni convesse di tre vettori v, v e v 3 del piano è data dalla regione di piano delimitata dalle linee tratteggiate in figura 7. v w v v 3 Figura 7 3 Semplici curve e superfici Dopo aver presentato le curve e le superfici più semplici, cioè rette e piani, nel seguito si considerano modelli più complessi quali coniche e superfici quadriche. Sebbene le coniche e le superfici quadriche siano note da oltre 000 anni, rimangono ancora tra gli oggetti più interessanti in molti sistemi Computer Aided Design and Modeling. Nel seguito si darà un cenno su coniche e quadriche, rimandando eventuali approfondimenti ai testi di algebra lineare. 3. Curve 3.. Circonferenze La più semplice curva non lineare è la circonferenza. Una circonferenza di centro (a, b) e raggio r ha equazione ( a) + ( b) r. Se il centro è l origine del sistema (0, 0) l equazione diventa + r. Tale equazione prende il nome di equazione implicita della circonferenza.

14 3. Semplici curve e superfici 3 La forma parametrica è { a + r cost b + r sin t 0 t π. Se il centro è l origine l equazione parametrica diventa { r cost 0 t π. r sin t 3.. Coniche in forma normale Una diretta generalizzazione della circonferenza è la cosiddetta curva conica o semplicemente conica. Le coniche erano già ben note presso gli antichi Greci; infatti, Apollonio di Perga (6-00 a.c.) scrisse un libro in diversi volumi avente per argomento le coniche. Le coniche sono date dall intersezione di un piano con un cono circolare (ossia un cono la cui base è un cerchio e tale che gli assi coordinati sono perpedicolari alla base e attaversano il centro della base), da cui il nome coniche. Ci sono tre tipi di coniche non-degeneri: ellisse, iperbole e parabola. La figura seguente mostra i tre diversi modi di tagliare un cono con un piano. Le sezioni coniche ottenute sono, da sinistra verso destra, un ellisse, un iperbole e una parabola. Ellisse Iperbole Parabola Figura 8 Si chiama forma normale di un ellisse l equazione implicita a + b. Gli assi di un ellisse giacciono sugli assi coordinati e ; a e b sono le lunghezze degli assi, il più grande tra a e b è l asse maggiore e il più piccolo è l asse minore. Non è difficile verificare che un ellisse in questa forma ha equazioni parametriche { a cost t [0, π. b sin t

15 4 Elementi di geometria La forma normale di un iperbole è a b. Le definizioni di asse maggiore e asse minore sono identiche a quelle dell ellisse. L asse interseca la curva in due punti (a, 0) e ( a, 0) mentre l asse non interseca la curva. Una possibile forma parametrica dell iperbole è { a sec t t [0, π. b tant Il centro di un ellisse o di un iperbole, in forma normale, è l origine del sistema di coordinate e le curve sono simmetriche rispetto al centro e ai loro assi. La forma normale di una parabola è 4p. In questa forma, per ogni punto (, ) di una parabola, il valore di deve essere positivo e l apertura della parabola è verso l alto. L asse di questa parabola è l asse. È interessante notare che la forma normale di una parabola è già una forma parametrica, o, se si preferisce, si può riscrivere l equazione come t t 4p 3..3 Coniche in forma generale t, + [. Le coniche sono curve di grado poichè la loro forma più generale è il seguente polinomio implicito di grado A + B + C + D + E + F 0. In tale polinomio, i coefficienti di, e sono B, D e E, rispettivamente. Questo polinomio ha sei coefficienti; tuttavia, dividendo per un valore diverso da zero si possono ridurre a cinque i coefficienti. Così, in generale, cinque coefficienti possono determinare univocamente una conica. Per determinare il tipo di curva che il polinomio di secondo grado rappresenta, si dimostra che. se B < A C, l equazione generale rappresenta un ellisse;. se B A C, l equazione generale rappresenta una parabola; 3. se B > A C, l equazione generale rappresenta un iperbole. L espressione B A C è chiamata discriminante del polinomio generale di secondo grado. Sulla base di quanto detto, se il valore del discriminante è minore, uguale o maggiore di zero la conica è, rispettivamente, un ellisse, una parabola o un iperbole.

16 3. Semplici curve e superfici Coniche in forma matriciale La forma generale di una conica può essere riscritta in forma compatta usando le matrici. Ciascun punto X (, ) è considerato come un vettore colonna con la terza componente uguale a e i sei coefficienti del polinomio generale di secondo grado sono usati per costruire una matrice simmetrica 3 3 X, X T [,,, Q A B D B C E D E F Si verifica facilmente che il polinomio generale di secondo grado diventa 3. Superfici X T QX Superfici quadriche in forma normale Nella tabella seguente sono riportati i differenti tipi di superfici quadriche, o brevemente quadriche, il loro grafico e le relative forme normali in forma implicita:. Ellissoide a + b + z c Iperboloide ad una faccia a + b z c Iperboloide a due facce a b + z c Paraboloide Ellittico a + b cz Paraboloide Iperbolico Figura 9 a b cz Le cinque superfici in figura 9 sono dette quadriche di rango quattro.

17 6 Elementi di geometria Ci sono due tipi di quadriche di rango tre: coni e cilindri. I cilindri hanno tre sottotitipi, come si può vedere nella tabella seguente. Cono a + b z c 0 Cilindro Ellittico a + b Cilindro Iperbolico a b Cilindro Parabolico 4p Figura Superfici quadriche in forma generale La forma generale di una superfice quadrica è A + B + Cz + D + Ez + Fz + G + H + Iz + J 0. Essa ha dieci coefficienti, ma, come nel caso delle coniche, dividendo l equazione per uno dei suoi coefficienti diversi da zero, il numero dei coefficienti può essere ridotto a nove. Da notare che, eccetto per i coefficienti di, e z e per il termine costante, tutti i coefficienti hanno un fattore. Ci si chiede se è possibile sviluppare un algoritmo per la classificazione delle quadriche, cioè se, dato un polinomio generale di secondo grado, è possibile determinare il tipo di quadrica che rappresenta, semplicemente dall analisi dei suoi coefficienti. In effetti ciò è possibile, ma il calcolo richiesto è piuttosto complesso. Il problema può essere risolto usando autovalori e autovettori Superfici quadriche in forma matriciale L equazione di una quadrica può essere anche posta in forma matriciale. Se A D E G X z, XT [,, z,, Q D B F H E F C I G H I J

18 4. Coordinate omogenee 7 dove (,, z) sono le coordinate di un generico punto, la generica quadrica assume la forma X T QX 0. Tale forma è identica alla forma matriciale delle coniche, quindi le matrici permettono di usare una stessa forma per coniche e quadriche. Dopo aver introdotto la forma matriciale delle quadriche, si può discutere il significato nel caso di rango quattro e rango tre. Si considera la matrice simmetrica Q che contiene i coefficienti di un polinomio generale di secondo grado. Il rango della matrice è il numero di autovalori diversi da zero. Le quadriche di rango quattro sono quelle la cui matrice Q ha rango quattro. È facile verificare (dalla loro forma normale) che ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi sono quadriche di rango quattro, mentre coni e cilindri sono quadriche di rango tre. Se un generale polinomio di secondo grado è fattorizzabile nel prodotto di due polinomi distinti di grado (ossia piani), Q avrà rango due. 4 Coordinate omogenee Uno degli scopi principali dell uso delle coordinate omogenee è catturare il concetto di infinito. Nel sistema di coordinate euclideo, l infinito non esiste. I matematici hanno scoperto che numerosi concetti geometrici e computazionali possono essere molto semplificati se si usa il concetto di infinito. Questo diventa chiaro quando ci si sposta dal disegno delle curve al disegno delle superfici. Senza un sistema di coordinate omogenee, sarebbe molto difficile disegnare delle classi di curve e superfici particolarmente utili in Computer Graphics e in Computer-Aided Design. Si considerano due numeri reali a e w, e si calcola il valore a ; mantenendo fisso il valore w a di a si fa variare w. Più il valore di w diventa piccolo più il valore di diventa grande. w Se w tende a zero, a tende ad infinito. w Così, usando due valori a e w, e rappresentando il valore v a come la coppia (a, w), w si riusce a catturare il concetto di infinito. Se w 0 il valore di v è esattamente a w, altrimenti si identifica il valore infinito con la coppia (a, 0). Applicando tale idea al piano, si sostituiscono e con w e ; l equazione f (, ) 0 ( w diventa f w w), 0. Se la funzione f (, ) è un polinomio di grado n, moltiplicando per w n si eliminano tutti i denominatori. Sia data, ad esempio, la retta A + B + C 0.

19 8 Elementi di geometria Sostituendo e con w e w si ottiene A w + B w + C 0 e moltiplicando per w A + B + Cw 0. Si considera ora un polinomio di secondo grado A + B + C + D + E + F 0. Dopo aver sostituito e con w e w, e moltiplicato il risultato per w, si trova A + B + C + Dw + Ew + Fw 0. Si osserva che nei polinomi considerati tutti i termini sono dello stesso grado: nel caso della retta e nel caso del polinomio quadratico. Dato un polinomio di grado n, dopo aver introdotto w, tutti i termini sono di grado n. Tali polinomi sono chiamati polinomi omogenei e le coordinate (,, w) sono dette coordinate omogenee. Dato un polinomio di grado n in un sistema di coordinate omogenee, dividendo il polinomio per w n e sostituendo w e con e rispettivamente, il polinomio viene riportato w alla forma convenzionale. Per esempio, dato il polinomio di grado 3 in coordinate omogenee w + 0w 3 0, esso viene trasformato in coordinate usuali in Quanto detto ( si estende naturalmente al caso tridimensionale, sostituendo un punto (,, z) con w, w w), z e moltiplicando il risultato per un opportuna potenza di w. Il polinomio ottenuto è omogeneo. Per ritornare alla forma convenzionale il procedimento è analogo al caso bidimensionale. 4. Una nota importante Dato un punto (,, w) in coordinate omogenee, si pone il problema di deteminare il corrispondente punto nel piano. Per quanto detto sulla conversione ( da polinomi omogenei a convenzionali, è facile de- w w), durre che il punto cercato è omogenee è trasformato nel punto, quindi, ad esempio, il punto (3, 4, 5) in coordinate ) del piano. ( 3 5, 4 5

20 4. Coordinate omogenee 9 In maniera analoga, un punto (,, z, w) in coordinate omogenee è trasformato nel punto ( w, w, z w) dello spazio euclideo. Inversamente, per determinare le coordinate omogenee di un punto (, ) del piano, si assume la componente w, cioè (,, ). In effetti la rappresentazione in coordinate omogenee di un punto del piano non è unica, infatti ogni terna del tipo (w, w, w) con w 0, rappresenta le coordinate omogenee del punto (, ) del piano. Pertanto si può formulare il seguente importante risultato: La trasformazione da coordinate omogenee a convenzionali è unica ma da coordinate convenzionali a omogenee NO! Nello spazio euclideo il punto (,, z) è trasformato in (w, w, zw, w) per ogni w La dimensionalità delle coordinate omogenee Le coordinate omogenee hanno bisogno di 3 e 4 componenti per rappresentare un punto rispettivamente nel piano e nello spazio. Quindi un punto nel piano in coordinate omogenee ha 3 componenti; aggiungendo una terza componente di valore alle coordinate di un punto nel piano si trasforma il punto in coordinate omogenee. Analogamente, un punto nello spazio in coordinate omogenee ha 4 componenti; aggiungendo una quarta componente di valore si trasforma il punto in coordinate omogenee. 4.3 Punti ideali e punti all infinito Come già detto, le coordinate omogenee possono facilmente catturare il concetto di infinito. Si consideri un( punto (,, w) in coordinate omogenee; il corrispondente punto del piano ha coordinate w w), (. Se il valore di w tende a zero, allora w w), si allontana indefinitamente nella direzione di (, ). Quando w diventa zero, ( w w), si muove verso l infinito. Quindi si può definire il punto in coordinate omogenee (,, 0) come il punto ideale o punto all infinito nella direzione di (, ( ). 3 Ad esempio si consideri il punto del piano, w, 5 ), al variare di w. Se w 0, questo w punto giace sulla retta 5 3 o, in notazione vettoriale, sulla retta O + w d, dove il punto base O è l origine e d è il vettore direzione 3, 5. Quando w tende a zero, il punto si muove lungo la retta verso l infinito, per questo si può affermare che (3, 5, 0) è il punto ideale o punto all infinito nella direzione di (3, 5). La situazione è analoga nel caso di punti nello spazio, dove (,, z, 0) è il punto ideale o punto all infinito nella direzione di (,, z).

21 0 Elementi di geometria 4.4 Una semplice interpretazione geometrica Date le coordinate omogenee di un punto (,, w) nel piano, si considera (,, w) come un punto nello spazio con le coordinate lungo gli assi, e z rispettivamente. La retta che unisce questo punto e l origine delle coordinate interseca il piano z nel punto ( w, w, ). La figura illustra questo concetto. w (,,w) (/w,/w,) Figura Questa trasformazione tratta un punto in coordinate omogenee come un punto nello spazio tridimensionale e lo proietta (dall origine) sul piano w. Quindi quando un punto omogeneo si muove su una curva definita dal polinomio omogeneo f (,, w) 0, il suo punto corrispondente si ( muove nello spazio tridimensionale, che viene proiettato sul piano w. Ovviamente w w),, si muove lungo una curva nel piano w. La figura mostra chiaramente che, mentre la conversione dal sistema di coordinate euclidee alle coordinate omogenee è unica, non è vero il viceversa ( perché tutti i punti sulla linea che congiunge l origine e (,, w) saranno proiettati su w, ) w,.

22 Capitolo Trasformazioni geometriche Introduzione In geometria si definisce trasformazione geometrica piana una corrispondenza biunivoca del piano con se stesso, cioè un applicazione dei punti del piano in punti dello stesso piano che risulti invertibile. Quando si parla di trasformazioni geometriche bisogna prestare molta attenzione a quali siano gli oggetti da trasformare: o si trasforma l oggetto o si trasforma il sistema di coordinate. Queste due alternative sono strettamente correlate, ma le formule che le definiscono e il costo computazionale sono diversi. Nel corso di questo capitolo saranno trattate solo le trasformazioni di oggetti: in particolare si esamineranno le tradizionali trasformazioni euclidee, quindi le trasformazioni affini e infine quelle proiettive. Trasformazioni geometriche nel piano e nello spazio Un punto nel piano è individuato da due coordinate (, ), nello spazio da tre (,, z). Per definire un applicazione dal piano al piano, o dallo spazio allo spazio, che opera una trasformazione geometrica, si rappresentano i punti del piano e dello spazio come vettori colonna. Un insieme di punti è rappresentato considerando ogni singolo punto come colonna di una matrice, quindi Punto vettore colonna Insieme di punti matrice. Esempio.. P [ [ 3, Q 5 [, R 0 punti del piano [ matrice dei punti

23 Trasformazioni geometriche Una trasformazione [ nel piano è definita da [ una matrice. a b Se P è un punto del piano, e T è la matrice di trasformazione, c d T P [ a b c d [ [ a + b c + d [ P cioè (, ) sono le coordinate del nuovo punto ottenuto dalla trasformazione individuata dalla matrice T. La trasformazione che riporta P [, T in P [, T, cioè la trasformazione inversa, si ottiene invertendo la matrice di trasformazione (se questa è invertibile). T P P T T P T P P T P. Una trasformazione geometrica è detta reversibile se la matrice di trasformazione è invertibile. Una trasformazione geometrica nello spazio 3D è definita da una matrice di trasformazione Trasformazione Identità Una particolare trasformazione è l Identità, cioè l applicazione che trasforma un punto in se stesso, e si ottiene considerando come matrice di trasformazione la matrice identità a d, b c 0 T P [ 0 0 [ [ [ P. La premoltiplicazione per la matrice identità lascia il punto invariato. P P* Figura

24 . Trasformazioni Geometriche 3. Trasformazioni dell origine Si considera la trasformazione operata sul punto P dalla generica matrice di trasformazione T [ [ [ [ a b a + b T P c d c + d P. Se P è l origine del sistema di coordinate [ [ a b 0 T P c d 0 [ 0 0 P, cioè l origine è invariante rispetto a qualsiasi trasformazione individuata da una matrice di tipo T. Esempio.. Si applica la trasformazione individuata dalla matrice di elementi a d, b c 0 a un triangolo di vertici A (, ), B (4, ), C (, 4), [ [ [ T (A,B,C) (A,B,C ) C* C B* A A* B Figura Esempio.3. Si applica ora la stessa trasformazione dell esempio precedente ad un triangolo avente uno dei vertici nell origine: A (0, 0), B (4, ), C (, 4). [ [ [ T (A,B,C) (A,B,C ) C* C B* B AA* Figura 3 L origine rimane invariata, cioè il punto A è trasformato in se stesso.

25 4 Trasformazioni geometriche Tale limite è superato con l introduzione delle coordinate omogenee. In coordinate omogenee, l origine del piano D (0, 0) è rappresentata dalla terna (0, 0, ) e la trasformazione T sarà rappresentata da una matrice a 3 colonne T P [ a b h c d k 0 0 [ h k P In questo modo però il punto P non è rappresentato in coordinate omogenee e soprattutto la matrice T non è quadrata e quindi non è invertibile. Quando si usano le coordinate omogenee la matrice di trasformazione è completata da un ultima riga (0, 0, ). In questo modo la terza componente del punto da trasformare non viene modificata T X a b h c d k 0 0 In particolare, per trasformare l origine a b h T P c d k a + b + h c + d + k h k [ 0 0 P P.. X. Un analogo problema si pone quando si vuole trasformare l origine nello spazio 3D. Anche in questo caso si opera aggiungendo la quarta coordinata omogenea uguale a ai punti e la matrice di trasformazione in questo caso ha dimensione 4 4, con l ultima riga (0, 0, 0, ). 3 Trasformazioni euclidee Le trasformazioni euclidee sono le trasformazioni più comunemente usate. Esse non cambiano le misure degli oggetti trasformati, in particolare non modificano le lunghezze e le misure degli angoli, e quindi prendono anche il nome di trasformazioni isometriche o isometrie. Sono trasformazioni euclidee: le traslazioni, le rotazioni e le riflessioni. 3. Traslazioni nel piano Per traslare un punto (, ) del piano in una nuova posizione, si somma ad esso un vettore h, k. La nuova posizione (, ) è data dalla relazione { + h + k. Inversamente, dal punto trasformato si può ritornare alla posizione iniziale usando le relazioni { h k.

26 3. Trasformazioni euclidee 5 Per poter rappresentare la trasformazione di traslazione in forma matriciale è necessario operare su punti rappresentati in coordinate omogenee, usando delle relazioni simili alle precedenti + h + k h k. La relazione tra (, ) e (, ) può essere quindi rappresentata dalla matrice T [ 0 h 0 k. Infatti T X [ 0 h 0 k [ + h + k [ X. Per i motivi già visti nel caso delle trasformazioni dell origine, X non è in coordinate omogenee e la matrice T non è quadrata quindi non è invertibile. Si completa la matrice di traslazione con un ultima riga in modo tale che la terza componente del punto non sia modificata e si trova quindi la rappresentazione della trasformazione di traslazione e della trasformazione inversa Trasformazione di traslazione X T X 0 h 0 k 0 0 Trasformazione inversa X T X 0 h 0 k 0 0. Si può verificare facilmente che la matrice indicata con T è effettivamente l inversa della matrice di trasformazione T. 3. Traslazioni nello spazio Le traslazioni nello spazio sono definite in modo analogo a quanto fatto nel piano.

27 6 Trasformazioni geometriche Trasformazione per traslazione di un vettore h, k, m z X T X 0 0 h 0 0 k 0 0 m z + h + k z + m Traslazione inversa (di un vettore h, k, m ) z X T X z 0 0 h 0 0 k 0 0 m h k z m. 3.3 Rotazioni nel piano La rotazione consiste nello spostamento di un oggetto lungo un arco di circonferenza. Per generare una rotazione bisogna specificare l angolo di rotazione ϑ e la posizione ( o, o ) del punto rispetto al quale avviene la rotazione. Per convenzione l angolo viene considerato positivo se la rotazione avviene in senso antiorario, negativo in caso contrario. 3.4 Rotazione intorno all origine degli assi Inizialmente si considerano rotazioni intorno al punto (0, 0) (origine degli assi). Se un punto P di coordinate (, ) è ruotato di un angolo ϑ intorno all origine delle coordinate, si trasforma in un nuovo punto P le cui coordinate (, ) dipendono dal valore del seno e del coseno dell angolo di rotazione. In particolare ϑ 0 o ϑ 360 T è la matrice identità e P P ϑ k360, k Z OP forma con l asse X un angolo φ; dopo la rotazione di un angolo ϑ, P si sposta in P. P [ [ r cosφ r sin φ [, P [ r cos (φ + ϑ) r sin (φ + ϑ)

28 3. Trasformazioni euclidee 7 P* r P ϑ φ r Figura 4 [ [ [ P r (cosφcosϑ sin φ sin ϑ) cosϑ sin ϑ r (cosφsin ϑ + sin φ cosϑ) sin ϑ + cosϑ [ [ [ P cosϑ sin ϑ T P. sin ϑ cos ϑ Trasformazione di rotazione (Rotazione antioraria) X T X [ [ cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ [ [ Trasformazione inversa (Rotazione oraria) X T X [ [ cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ. Esempio.4. Rotazione di ϑ 90 intorno all origine [ [ cos 90 sin 90 T 0 sin 90 cos 90 0 [ [ [ T (A,B,C) (A,B,C ) B* A* C* C B A Figura 5

29 8 Trasformazioni geometriche Esempio.5. Rotazione di ϑ 80 intorno all origine [ [ cos 80 sin 80 T 0 sin 80 cos 80 0 [ [ [ T (A,B,C) (A,B,C ). 0 A* C B B* C* A Figura 6 Esempio.6. Rotazione di ϑ 70 intorno all origine [ [ cos 70 sin 70 T 0 sin 70 cos 70 0 [ [ [ T (A,B,C) (A,B,C ) C B C* A A* B* Figura 7 Per determinare la matrice di rotazione in coordinate omogenee si completa la matrice con una terza riga e una terza colonna che lasciano inalterata la trasformazione sulle coordinate (, ) e invariata la terza coordinata. Trasformazione di rotazione (Rotazione antioraria) X T X cosϑ sin ϑ 0 sin ϑ cosϑ Trasformazione inversa (Rotazione oraria) X T X cos ϑ sin ϑ 0 sin ϑ cosϑ

30 3. Trasformazioni euclidee Rotazione intorno a un punto qualsiasi Per effettuare una rotazione intorno ad un punto Q (, ) (0, 0), bisogna procedere con una trasformazione combinata: a) si effettua una traslazione che porta il punto Q nell origine del sistema di riferimento; b) si procede con la rotazione intorno all origine; c) si effettua la traslazione inversa che riporta il punto Q nella posizione originaria. 0 La matrice che trasla Q (, ) nell origine del sistema di riferimento (0, 0) è 0, 0 0 quindi la trasformazione di rotazione intorno al punto Q è 0 cosϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ cosϑ sin ϑ ( cosϑ) + sin ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ + ( cos ϑ) 0 0 Esempio.7. Per ruotare un quadrato di vertici A, B, C, D intorno al punto Q, centro del quadrato, si effettua prima la traslazione di Q nell origine che porta A, B, C, D in A, B, C, D e Q in Q O, quindi la rotazione intorno all origine che genera la figura A, B, C, D di centro Q Q e infine si trasla il nuovo centro Q nella posizione originaria Q ottenendo la figura finale A, B, C, D.. Quadrato Dopo la traslazione Dopo la rotazione Dopo la traslazione inversa D D* A C D C D Q B A B A C* Q A* C B B* 3.6 Rotazioni nello spazio Figura 8 In un sistema di riferimento 3D si considerano preliminarmente trasformazioni di rotazione intorno ad uno degli assi coordinati. In un sistema right-handed si assume positiva la rotazione in senso antiorario rispetto al punto di vista di un osservatore che guarda l origine del sistema ed è posto sul semiasse positivo dell asse di rotazione.

31 z 30 Trasformazioni geometriche 3.6. Rotazione intorno ad un asse coordinato La trasformazione di rotazione di un angolo ϑ intorno all asse equivale ad una rotazione intorno all origine su un piano parallelo al piano z. Figura 9 Tale trasformazione agisce solo sulle coordinate e z mentre la coordinata rimane invariata. Rotazione intorno all asse z X T X cosϑ sin ϑ 0 sin ϑ cos ϑ z z Trasformazione inversa X T X cosϑ sin ϑ 0 sin ϑ cosϑ z. Per verificare queste equazioni si considera un angolo ϑ 90. Il punto (0,, 0) è trasformato in (0, 0, ) e il punto (0, 0, ) in (0,, 0). L asse ruota fino a coincidere con l asse z e l asse z ruota nella direzione negativa dell asse originario. Esempio.8. Rotazione di un parallelepipedo di un angolo ϑ 90 intorno all asse T P Figura 0

32 z 3. Trasformazioni euclidee 3 La trasformazione di rotazione di un angolo ϑ intorno all asse z equivale ad una rotazione intorno all origine su un piano parallelo al piano. Figura Tale trasformazione agisce solo sulle coordinate e mentre la coordinata z rimane invariata. z Rotazione intorno all asse z X T X cosϑ sin ϑ 0 sin ϑ cosϑ z z Trasformazione inversa X T X cos ϑ sin ϑ 0 sin ϑ cosϑ z. Una rotazione di un angolo ϑ 90 intorno all asse z trasforma il punto (, 0, 0) in (0,, 0) e il punto (0,, 0) in (, 0, 0), quindi l asse ruota fino a coincidere con l asse e l asse ruota nella direzione negativa dell asse originario. Esempio.9. Rotazione di un parallelepipedo di un angolo ϑ 90 intorno all asse z T P Figura

33 z 3 Trasformazioni geometriche Nella rotazione intorno all asse, in un sistema di riferimento right-handed, il verso positivo degli angoli è inteso dall asse verso l asse z. Figura 3 Ruotare di un angolo ϑ intorno all asse nel senso di un sistema right-handed è equivalente a ruotare di un angolo ϑ misurando dall asse all asse z, e quindi i segni nella matrice di trasformazione risultano scambiati. Rotazione intorno all asse z X T X cosϑ 0 sin ϑ 0 0 sin ϑ 0 cosϑ z Trasformazione inversa X T X cosϑ 0 sin ϑ 0 0 z sin ϑ 0 cosϑ z Una rotazione di un angolo ϑ 90 intorno all asse trasforma il punto (, 0, 0) in (0, 0, ) e il punto (0, 0, ) in (, 0, 0), quindi l asse ruota verso la direzione negativa dell asse z e l asse z ruota fino a coincidere con l asse originario. Esempio.0. Rotazione di un parallelepipedo di un angolo ϑ 90 intorno all asse T P Figura 4

34 3. Trasformazioni euclidee 33 Più rotazioni intorno ad assi diversi si ottengono con matrici prodotto delle matrici rappresentanti le singole rotazioni. Esempio.. Rotaz. intorno all asse + Rotaz. intorno all asse, di angoli uguali ϑ T cosϑ 0 sin ϑ 0 0 sin ϑ 0 cosϑ cosϑ sin ϑ 0 sin ϑ cos ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ 0 cosϑ sin ϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ cos ϑ Esempio.. Rotaz. intorno all asse + Rotaz. intorno all asse, di angoli uguali ϑ T cosϑ sin ϑ 0 sin ϑ cosϑ cos ϑ 0 sin ϑ 0 0 sin ϑ 0 cosϑ cosϑ 0 sin ϑ sin ϑ cosϑ sin ϑ cosϑ sin ϑ cosϑ sin ϑ cos ϑ Osservazione. Si osserva nuovamente che l ordine delle trasformazioni è importante, in quanto il prodotto matriciale non è commutativo. Esempio.3. Rotazione di 90 intorno all asse + Rotazione di 90 intorno all asse T X Fig. originale Dopo rot. Dopo rot..5.5 z Figura 5

35 34 Trasformazioni geometriche Esempio.4. Rotazione di 90 intorno all asse + Rotazione di 90 intorno all asse T X Fig. originale Dopo rot. Dopo rot. z Figura Rotazione intorno ad un asse parallelo ad un asse coordinato Per ruotare un oggetto geometrico intorno ad un asse parallelo ad uno degli assi coordinati a) si trasla in modo che l asse di rotazione coincida con l asse coordinato parallelo; b) si ruota rispetto a tale asse; c) si effettua la traslazione inversa per riportare l asse di rotazione alla posizione originaria. Ad esempio la rotazione intorno ad un asse parallelo all asse è data da una matrice del tipo T Tr inv R T r 0 0 c 0 cosϑ sin ϑ c 0 0 z c 0 sin ϑ cosϑ z c { c essendo z z c angolo ϑ. l equazione della retta intorno alla quale si effettua la rotazione di