Lezione 15. Numero progressivo assegnato Distanza casa-lavoro

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Lezione 15. Numero progressivo assegnato Distanza casa-lavoro"

Transcript

1 Nelle indagini reali, in generale, non interessa sapere quali eventi si sono verificati, ma quali sono le determinazioni assunte dalla variabile oggetto di studio sulle unità selezionate. In una indagine sulle famiglie, per esempio, si può essere interessati a rilevare il numero di componenti, il reddito complessivo, il numero di automobili possedute. Nei controlli di qualità si può essere interessati a rilevare la durata di funzionamento di un componente, il numero di articoli difettosi prodotti da un macchinario, il tempo di conservazione di un alimento. Le indagini campionarie sono infatti effettuate per rilevare le caratteristiche della distribuzione di una variabile nella popolazione per cui interessa rilevare le determinazioni che la variabile assume sugli elementi campionari, mentre non interessa conosce quali sono le unità effettivamente estratte. Per esempio, si consideri la sequenza riportata qui di seguito che riporta le distanze (espresse in chilometri) fra abitazione e luogo di lavoro rilevate su 5 dipendenti di una cooperativa, a ciascuno dei quali è stato assegnato un numero progressivo da 1 a 5. Numero progressivo assegnato Distanza casa-lavoro Se si considera l esperimento che consiste nell estrazione casuale di una sola unità statistica, i possibili risultati associati all esperimento corrispondono ai 5 eventi elementari i estrazione della i-esima unità, ma si potrebbe descrivere 1

2 il risultato dell esperimento anche indicando il valore assunto dalla variabile di interesse sull individuo selezionato. Per esempio, dire che si è verificato 2 equivale a dire che il valore della variabile distanza casa-lavoro sull unità estratta è risultato pari a Il valore della variabile che si rileva in occasione dell estrazione dell unità statistica non può essere stabilito con certezza prima che l estrazione stessa venga effettuata, così come, prima di effettuare l estrazione, non si sa quale unità statistica verrà selezionata dalla popolazione. Si può solo affermare con certezza che la variabile di interesse potrà assumere uno dei 5 valori che costituiscono la sequenza numerica considerata. Per non fare confusione, nelle pagine seguenti la variabile di interesse nella popolazione verrà indicata con Z. Di questa variabile è nota la distribuzione di frequenza che, nell esempio considerato, assume la forma seguente Z Frequenza assoluta Frequenza relativa Il valore della variabile Z rilevato sulla unità estratta in modo casuale potrà assumere solo uno dei valori riportati nella prima colonna della tabella. 2

3 All esperimento che consiste nell estrazione di una unità resta quindi associata una variabile, che indicheremo con X, che potrà assumere solo uno dei valori della variabile Z e che quindi indica la distanza casa-lavoro percorsa dall unità estratta. L evento {ω i } può essere identificato in modo alternativo affermando che la variabile X ha assunto il valore xi. Come conseguenza logica, a ciascun valore della variabile è associata una certa probabilità e la probabilità che la X assuma un valore uguale a xi corrisponde alla probabilità che si verifichi l evento {ω i }. In questo modo si è introdotto il concetto fondamentale di variabile casuale o variabile aleatoria, ossia di una variabile i cui valori non sono noti prima dell effettuazione dell esperimento che consiste nell estrazione di una unità dalla popolazione. Questa variabile, infatti, corrisponde al valore della variabile Z rilevato sull unità selezionata in modo casuale dalla popolazione : il valore assunto da X non è quindi noto a priori, ma dipende da quale evento elementare si verifica nella prova. A differenza della variabile Z, caratterizzata da una distribuzione di frequenza, per cui a ogni suo valore zi è associata una frequenza, a ciascun valore xi della X è associata una probabilità, così come è riportato nella tabella seguente. X probabilità

4 La X così definita viene detta variabile casuale (v.c.) perché il valore assunto dalla variabile dipende dall evento elementare che si verifica nella prova. L insieme delle coppie di valori [xi, p(xi)] definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X. Nei casi reali, soprattutto se la variabile di interesse Z è quantitativa discreta, esistono più unità della popolazione che presentano uno stesso valore della Z, per cui non c è una corrispondenza biunivoca fra eventi elementari e valori assunti dalla v.c. In altri termini, il valore della X non identifica in modo univoco l evento. ESEMPIO Considerata la sequenza dei voti ottenuti da uno studente universitario Numero esame Voto la distribuzione di frequenza della variabile Z voti ottenuti durante il corso di studio risulta la seguente Z Frequenza assoluta Frequenza relativa

5 In questo caso, se si considera l esperimento che consiste nell estrarre in modo casuale un esame fra i 10 sostenuti dallo studente durante il corso di studi, esistono 10 eventi elementari i (i = 1, 2,..., 10). A 1 e 5 è associato uno stesso valore, pari a 28, della v.c. X esito dell esame estratto, a 2, 4, 7 e 10 è associato il valore 27, a 3 e 8 è associato il valore 24, e a 6 e 9 è associato il valore 30. Facendo riferimento ai soli valori diversi assunti dalla v.c. X si stanno in pratica considerando quattro eventi composti A = {ω 1, ω 5 } B = {ω 2, ω 4, ω 7, ω 10 } C = {ω 3, ω 8 } D = {ω 6, ω 9 } Le probabilità associate ai quattro diversi valori della X saranno quindi uguali alla somma delle probabilità associate ai singoli eventi elementari che costituiscono gli eventi composti, per cui P(X = 28) = P(A) = P( 1) + P( 5) P(X = 27) = P(B) = P( 2) + P( 4) + P( 7) + P( 10) P(X = 24) = P(C) = P( 3) + P( 8) P(X = 30) = P(D) = P( 6) + P( 9) 5

6 La distribuzione di probabilità della v.c. X assume quindi la forma seguente X probabilità In generale, la probabilità associata a ciascun valore xj (per j=1, 2,, k) della v.c. X corrisponde alla somma delle probabilità di tutti quegli eventi elementari ai quali è associato il valore xj di X. Dagli esempi precedenti si nota facilmente che le probabilità elencate nella seconda colonna della distribuzione di probabilità della v.c. X assumono gli stessi valori delle frequenze relative associate ai corrispondenti valori della variabile Z. La distribuzione di probabilità della v.c. X corrisponde alla distribuzione di frequenza della variabile Z, se si fa riferimento alle frequenze relative. Come affermato in precedenza, nelle situazioni reali si è generalmente interessati a conoscere il valore assunto dalla v.c. X, più che a conoscere quale evento si sia verificato. L interesse in una indagine campionaria condotta per conoscere le caratteristiche di una variabile Z consiste nel determinare la distribuzione di probabilità della v.c. X. 6

7 In alcuni casi la v.c. associata a un esperimento non assume valori prefissati, ma valori che vengono stabiliti in modo arbitrario, come per esempio nell esperimento che consiste nel lancio di una moneta. In questo caso si potrebbe decidere che la v.c. X risultato ottenuto nel lancio di una moneta assume valore 0 se si verifica l evento testa e valore 1 se si verifica l evento croce, oppure che assume valore 0 se si verifica l evento croce e valore 1 se si verifica l evento testa. Qui di seguito si dà una definizione rigorosa di variabile casuale, dalla quale si nota come il termine variabile usato per indicare la X sia del tutto improprio, anche se entrato nell uso comune. Considerato lo spazio di probabilità (, A, P) costituito dallo spazio fondamentale, dalla classe degli eventi A e dalla misura di probabilità P, una v.c. X è una funzione definita su che associa a ogni evento elementare i un unico valore reale X( i)=xi che rappresenta una determinazione della v.c. X. In realtà, quindi, la X è una funzione, non una variabile. Il concetto di variabile casuale può essere chiarito mediante una opportuna rappresentazione grafica, analoga a quella riportata nella figura successiva, nella quale si evidenzia come, dato un evento elementare appartenente allo spazio campionario, si faccia corrispondere a questo evento un numero reale x, che è una funzione X( ) dell evento. 7

8 Ad ogni evento elementare i contenuto in è associato, tramite la funzione X, un valore reale xi = X( i) che è il valore che la X assume al verificarsi di i. In questo modo, al posto dello spazio campionario Ω, in genere complesso, si ottiene uno spazio campionario più semplice, che costituisce il campo di variazione Ωx della X. 8

9 ESEMPIO Considerato l esperimento che consiste nel lancio di 4 dadi, lo spazio fondamentale è costituito da 6 4 =1296 eventi elementari i (i = 1, 2,, 1296). Se si indica con X la v.c. numero di punteggi pari ottenuti in 4 lanci, il campo di variazione Ωx della X è costituito dai numeri interi compresi nell intervallo [0, 4]. In questo caso, quindi, la X assume solo j=5 valori diversi. Ad ognuno dei valori xj di X è associata la somma delle probabilità degli eventi elementari che presentano un numero di punteggi pari esattamente uguale a xj Una v.c. è completamente definita quando si conoscono tutti i possibili valori che la variabile può assumere e la probabilità corrispondente, ossia quando si conosce la sua distribuzione di probabilità. Nelle pagine seguenti si esaminerà il caso in cui all esperimento considerato possa essere associata una variabile casuale discreta (come quando l esperimento consiste in un qualche conteggio) oppure una variabile casuale continua (come quando l esperimento consiste nell effettuare una misurazione) 9

10 VARIABILI CASUALI DISCRETE Il ricorso a una v.c. per descrivere i risultati di un esperimento in alcuni casi è del tutto naturale come quando si conduce un indagine per - effettuare un conteggio (per esempio per rilevare il numero di componenti di un gruppo di famiglie o il numero di dipendenti di un gruppo di aziende) - per misurare il valore di una variabile su un gruppo di unità (per esempio per misurare il peso corporeo o l altezza di un gruppo di individui) Cominciamo a considerare il primo caso, per cui la variabile di interesse Z è quantitativa discreta. In questo caso all evento elementare i estrazione della i-esima unità statistica si può associare il valore che la variabile Z assume su quella particolare unità e si è visto che a più eventi elementari i può corrispondere uno stesso valore della v.c. X. In ogni caso si ottiene la distribuzione di probabilità della v.c. X che assume la forma riportata nella tabella successiva X probabilità x1 p(x1) x2 p(x2).. xj p(xj).. xk p(xk) 1.0 Le probabilità indicate nella seconda colonna della tabella e che, come si è detto, corrispondono alle frequenze relative associate ai corrispondenti valori della 10

11 variabile Z nella popolazione, presentano le medesime proprietà delle frequenze relative. Supposto che la variabile Z, e quindi anche la v.c. X, assuma k valori diversi, risulta P(X = x j ) = p(x j ) 0 j = 1, 2,, k k p(x j ) = 1 j=1 Si definisce con il termine funzione di probabilità di una variabile casuale discreta quella funzione f(x) che associa a ciascun valore x j della variabile X la corrispondente probabilità p(x j ). Questa funzione concentra masse di probabilità in corrispondenza dei k valori xj (con j = 1, 2,, k) della X, mentre altrove è sempre uguale a zero. Per questo motivo la funzione di probabilità viene anche detta funzione di massa. Se una v.c. X è di tipo discreto, il suo campo di variazione è costituito da un insieme numerabile di valori x = {x 1, x 2, }, ordinati in modo crescente, a ognuno dei quali è associata una probabilità P(X = x j ) = p(x j ) per ogni x j Ω x L insieme dei valori p(x j ) costituisce la funzione di probabilità f(x) di X che consente di assegnare una probabilità a qualsiasi sottoinsieme B appartenente a x. 11

12 Questa probabilità corrisponde alla somma delle probabilità associate ai singoli valori che appartengono a B, ossia Ovviamente risulta P{X B} = p(x j ) x j B P{X Ω x } = p(x j ) x j Ω x = 1 La funzione di probabilità (o funzione di massa) f(x) di una v.c. X associa a ciascun valore x di X la corrispondente probabilità p(x), dove x può assumere un qualsiasi valore compreso nell intervallo (, + ). Se x non corrisponde a uno dei possibili valori assunti da X, la corrispondente probabilità p(x) risulterà pari a zero. La rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità di una v.c. discreta viene effettuata mediante il diagramma a barre che è stato utilizzato per rappresentare la distribuzione di una variabile statistica discreta. ESEMPI 1) Dati i seguenti 8 libri (identificati con una etichetta numerica che va da 1 a 8) sui quali si è rilevato il numero di capitoli, etichetta n capitoli si consideri l esperimento che consiste nell estrarre casualmente un libro e sia 12

13 probabilità X la v.c. numero di capitoli del libro estratto. Si determini la distribuzione di probabilità di X e la si rappresenti graficamente. La v.c. può assumere i soli valori riportati nella prima colonna della tabella successiva e a ciascuno di essi è associata la probabilità riportata nella seconda colonna X probabilità 5 3/8 6 3/8 8 2/8 1.0 La corrispondente rappresentazione grafica è la seguente 0,4 0,3 0,2 0, X 2) Una moneta è truccata in modo che la faccia testa ha probabilità 0.7. Considerato un esperimento che consiste nel lancio della moneta per due volte, sia X la v.c. numero di teste ottenute. Determinare la funzione di probabilità di X e disegnare il diagramma ad aste corrispondente. 13

14 probabilità La v.c. può assumere valore 0, 1 e 2 e le probabilità corrispondenti sono riportate nella seconda colonna della tabella successiva X probabilità = = = La corrispondente rappresentazione grafica è la seguente 0,5 0,4 0,3 0,2 0, X 14

15 FUNZIONE DI RIPARTIZIONE All inizio di questo corso si è visto come le informazioni relative alla distribuzione di frequenza di una variabile statistica possano essere espresse in modo equivalente utilizzando le frequenze o le frequenze cumulate. Allo stesso modo, le informazioni sulla distribuzione di probabilità di una variabile casuale possono essere espresse mediante le probabilità associate a ciascun valore della variabile o mediante le probabilità cumulate. Si definisce invece come funzione di ripartizione F(x) di una v.c. X quella funzione che associa a ciascun valore x di X la probabilità P(X x). Questa probabilità può essere calcolata in corrispondenza di un qualunque valore x di X compreso fra (, + ) e corrisponde a F(x) = P(X x) = p(x j ) x j x Da questa definizione discendono le proprietà della F(x) La funzione di ripartizione di una v.c. X - è definita su tutto l asse reale - assume valori compresi fra zero ed uno. In particolare, F( )=0 e F(+ )=1 - è non decrescente e costante a tratti per cui, fissati due valori x 1 e x 2 con x 1 <x 2, risulta F(x 2 ) F(x 1 ) - nei punti di salto è continua a destra: fissati due valori x a e x b, con x a <x b, risulta F(x b ) F(x a ) = P(X x b ) P(X x a ) = P(x a < X x b ). 15

16 ESEMPI 1) Le probabilità cumulate della v.c. X considerate nel precedente esempio 1) assumono i valori riportati nell ultima colonna della tabella successiva X probabilità Probabilità cumulate 5 3/8 3/8 6 3/8 6/8 8 2/8 8/8 1.0 La funzione di ripartizione assume quindi la forma 0 x < x < 6 F(x) = x < 8 8 { 1 x 8 e il grafico corrispondente è F(x) 1 0,8 0,6 0,4 0, X 16

17 2) Le probabilità cumulate della v.c. X considerate nel precedente esempio 2) assumono i valori riportati nell ultima colonna della tabella successiva X probabilità Probabilità cumulate La funzione di ripartizione assume quindi la forma 0 x < x < 1 F(x) = { x < 2 1 x 2 e il grafico corrispondente è F(x) 1 0,8 0,6 0,4 0, X 17

18 VALORI CARATTERISTICI Le informazioni su una variabile casuale contenute nella sua funzione di probabilità o nella sua funzione di ripartizione possono essere sintetizzate mediante il calcolo dei medesimi indici di posizione, di variabilità e di forma che sono stati considerati nella prima parte del corso. Tralasciando il calcolo dei quantili, che verrà analizzato solo nel caso di variabili casuali continue, di seguito si considerano gli indici che vengono calcolati più di frequente nel caso discreto. La moda di una v.c. discreta X corrisponde al valore più probabile, ossia corrisponde alla determinazione della variabile a cui è associata la probabilità più elevata. Nel caso della distribuzione riportata nell esempio 1) esistono due valori modali: 5 e 6, mentre nella distribuzione riportata nell esempio 2) la moda è 2. La media aritmetica di una v.c. discreta X, detta valore atteso ed indicato con = x = E(X), viene calcolata in modo analogo a quanto visto per le distribuzioni di frequenza relative a una variabile statistica discreta, sostituendo alle frequenze relative f j le probabilità p(x j ) = p j, per cui k k E(X) = μ x = μ = x j p(x j ) = x j p j j=1 j=1 Nel caso della distribuzione riportata nell esempio 1) il valore atteso è E(X) = μ = =

19 mentre per la distribuzione riportata nell esempio 2) si ottiene E(X) = μ = = 1.4 In generale, i momenti ordinari e i momenti centrali di ordine r assumono le forme seguenti se la v.c. X è discreta k k μ rx = E(X r ) = x r j p(x j ) = x r j p j j=1 j=1 k k μ rx = E[(X μ x ) r ] = (x j μ x ) r p(x j ) = (x j μ x ) r p j j=1 j=1 2 La varianza di una v.c. X viene di solito indicata con V(X), σ x o più semplicemente σ 2 (quando è evidente che ci si riferisce alla X) e può essere considerata come una misura del grado di incertezza sui risultati dell esperimento. La sua espressione si ricava facilmente dalla generica espressione dei momenti centrali ponendo r = 2, ma è più semplice calcolarla come differenza fra il secondo momento ordinario, indicato con E(X 2 ) o μ 2x, e il quadrato del valore atteso di X V(X) = σ x 2 = σ 2 = μ 2x μ x 2 = x j 2 p j k j=1 2 k ( x j p j ) j=1 19

20 ESEMPIO Considerato un dado truccato in cui la probabilità associata alle facce contrassegnate con 1 e 3 punti è P( 1) = P( 3) = 1/3, mentre alle restanti facce è associata una probabilità 1/12, si consideri l esperimento che consiste nel lancio del dado e la v.c. X che assume valore 0 se il risultato ottenuto nel lancio è pari e il valore 1 se è dispari. Determinare la distribuzione di probabilità di X e calcolarne valore atteso e varianza. Indicato con A l evento risultato pari dalla definizione della X risulta P(X = 0) = P(A) = = 0.25 P(X = 1) = P(A c ) = = 0.75 per cui la distribuzione di probabilità della v.c. X è la seguente X probabilità Sulla base di questa distribuzione si ottiene E(X)= μ = 0.75 E(X 2 )= μ 2 = 0.75 V(X)= σ 2 =

21 Le proprietà della media e della varianza analizzate a proposito delle variabili statistiche restano valide anche per le variabili casuali per cui, data una v.c. X di valore atteso μ x e varianza σ x 2, la v.c. Y = a + bx ha valore atteso μ y = a + bμ x e varianza σ y 2 = b 2 σ x 2 21

9. VARIABILI CASUALI

9. VARIABILI CASUALI 9. VARIABILI CASUALI 9. Definizione di variabile casuale In molte situazioni reali l interesse è rivolto non tanto agli eventi che possono verificarsi nel corso di un esperimento, quanto al valore numerico

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA (parte 1) 1 / 19

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA (parte 1) 1 / 19 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA (parte 1) 1 / 19 Variabili casuali (o aleatorie) 2 / 19 Disponendo di metodi corretti per raccogliere i dati e costruire i campioni data una popolazione, i valori numerici

Dettagli

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche Variabili aleatorie Variabili aleatorie e variabili statistiche Nelle prime lezioni, abbiamo visto il concetto di variabile statistica : Un oggetto o evento del mondo reale veniva associato a una certa

Dettagli

Le variabili casuali o aleatorie

Le variabili casuali o aleatorie Le variabili casuali o aleatorie Intuitivamente un numero casuale o aleatorio è un numero sul cui valore non siamo certi per carenza di informazioni - ad esempio la durata di un macchinario, il valore

Dettagli

RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ UNIVERSITA DEL SALENTO INGEGNERIA CIVILE RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ing. Marianovella LEONE INTRODUZIONE Per misurare la sicurezza di una struttura, ovvero la sua affidabilità, esistono due

Dettagli

Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori in modo casuale (non deterministico).

Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori in modo casuale (non deterministico). VARIABILI CASUALI 1 definizione Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori in modo casuale (non deterministico). Esempi l esito di una estrazione del Lotto; il risultato di una

Dettagli

Modelli probabilistici variabili casuali

Modelli probabilistici variabili casuali Modelli probabilistici variabili casuali Le variabili casuali costituiscono il legame tra il calcolo della probabilità e gli strumenti di statistica descrittiva visti fino ad ora. Idea: pensiamo al ripetersi

Dettagli

10. VARIABILI CASUALI MULTIPLE

10. VARIABILI CASUALI MULTIPLE . VARIABILI CASUALI MULTIPLE.. Introduzione La definizione di v.c. può essere facilmente estesa al caso in cui a ciascun evento elementare che costituisce è associata una coppia di numeri reali così come

Dettagli

Modelli di probabilità

Modelli di probabilità Modelli di probabilità Corso di STATISTICA Ordinario di, Università di Napoli Federico II Professore supplente, Università della Basilicata a.a. 0/0 Obiettivo dell unità didattica Definire i concetti di

Dettagli

Variabili casuali. - di Massimo Cristallo -

Variabili casuali. - di Massimo Cristallo - Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 16 e 27 maggio 2013 - di Massimo Cristallo - Variabili casuali

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA (parte 2) 1 / 27

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA (parte 2) 1 / 27 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA (parte 2) 1 / 27 Funzione di ripartizione per variabili casuali discrete 2 / 27 Data una variabile casuale discreta possiamo calcolare, analogamente al caso continuo, la probabilità

Dettagli

Statistica. Lezione : 17. Variabili casuali

Statistica. Lezione : 17. Variabili casuali Corsi di Laurea: a.a. 2018-19 Diritto per le Imprese e le istituzioni Scienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione Statistica Variabili casuali Lezione : 17 Docente: Alessandra Durio 1 Contenuti

Dettagli

Probabilità. Spazi di probabilità

Probabilità. Spazi di probabilità Probabilità Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 1 Spazi di probabilità Un esperimento si dice casuale quando esso può essere ripetuto quante volte si vuole, ed il risultato di ogni esecuzione

Dettagli

Principi di Statistica a.a

Principi di Statistica a.a Principi di Statistica a.a. 2014-2015 Dr. Luca Secondi 1. Introduzione al corso 1.01Variabili casuali Distribuzioni di probabilità 1 Corso di laurea in Biotecnologie Matematica e PRINCIPI DI STATISTICA

Dettagli

ESERCIZI DI STATISTICA SOCIALE

ESERCIZI DI STATISTICA SOCIALE ESERCIZI DI STATISTICA SOCIALE FREQUENZA ASSOLUTA Data una distribuzione semplice di dati, ovvero una serie di microdati, si chiama frequenza assoluta di ogni modalità del carattere studiato il numero

Dettagli

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente:

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente: CAPITOLO TERZO VARIABILI CASUALI. Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità In molte situazioni, dato uno spazio di probabilità S, si è interessati non tanto agli eventi elementari (o

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosiddette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Variabile casuale E 6 E 5 E 4. R S x1 E 2

Variabile casuale E 6 E 5 E 4. R S x1 E 2 Variabile casuale Una Variabile Casuale X è una regola (funzione reale) che associa ad E (evento elementare di S) uno ed un solo numero reale. Notazione: X: variabile casuale : realizzazione di una variabile

Dettagli

Lezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice.

Lezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice. discrete uniforme Bernoulli Poisson Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 56 Outline discrete uniforme Bernoulli Poisson 1 2 discrete 3

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità

Esercizi di Calcolo delle Probabilità Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato

Dettagli

Elaborazione statistica di dati

Elaborazione statistica di dati Elaborazione statistica di dati CONCETTI DI BASE DI STATISTICA ELEMENTARE Taratura strumenti di misura IPOTESI: grandezza da misurare identica da misura a misura Collaudo sistemi di produzione IPOTESI:

Dettagli

Statistica Elementare

Statistica Elementare Statistica Elementare 1. Frequenza assoluta Per popolazione si intende l insieme degli elementi che sono oggetto di una indagine statistica, ovvero l insieme delle unità, dette unità statistiche o individui

Dettagli

ESERCITAZIONE N. 5 corso di statistica

ESERCITAZIONE N. 5 corso di statistica ESERCITAZIONE N. 5corso di statistica p. 1/27 ESERCITAZIONE N. 5 corso di statistica Marco Picone Università Roma Tre ESERCITAZIONE N. 5corso di statistica p. 2/27 Introduzione Variabili aleatorie discrete

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA.

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA. Lezione 4 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA 1 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA Una variabile i cui differenti valori seguono una distribuzione di probabilità si chiama variabile aleatoria. Es:il numero di figli maschi

Dettagli

STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI

STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA.

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA. Lezione 4 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA 1 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA Una variabile i cui differenti valori seguono una distribuzione di probabilità si chiama variabile aleatoria. Es:il numero di figli maschi

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Università degli Studi di Palermo Dipartimento di Ingegneria Informatica Informatica ed Elementi di Statistica 3 c.f.u. Anno Accademico 2010/2011 Docente: ing. Salvatore Sorce Elementi di Statistica Statistica

Dettagli

esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale;

esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale; Capitolo 15 Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti Esercizio 15.1: Suggerimento Si ricordi che: esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno

Dettagli

3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali

3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali Capitolo 3 Elementi di teoria della probabilità Abbiamo già notato come, per la ineliminabile presenza degli errori di misura, quello che otteniamo come risultato della stima del valore di una grandezza

Dettagli

1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3.

1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3. Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n 6 ESERCIZIO 1: 1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3. lancio di

Dettagli

Note di Teoria della Probabilità.

Note di Teoria della Probabilità. Note di Teoria della Probabilità. In queste brevi note, si richiameranno alcuni risultati di Teoria della Probabilità, riguardanti le conseguenze elementari delle definizioni di probabilità e σ-algebra.

Dettagli

INFORMAZIONI. p. 1/23

INFORMAZIONI. p. 1/23 p. 1/23 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove Giovedi 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) Martedi 16/02 14:30 P50 Lunedi 22/02 09:30 P50 Martedi 23/02 14:30 P50 Giovedi 25/02 14:30 Aula informatica

Dettagli

POPOLAZIONE E CAMPIONI

POPOLAZIONE E CAMPIONI p. 1/2 POPOLAZIONE E CAMPIONI POPOLAZIONE insieme di tutti quegli elementi che hanno almeno una caratteristica comune (persone, oggetti,misure, osservazioni). Consideriamo il caso di caratteristiche associate

Dettagli

Lezione n. 1 (a cura di Irene Tibidò)

Lezione n. 1 (a cura di Irene Tibidò) Lezione n. 1 (a cura di Irene Tibidò) Richiami di statistica Variabile aleatoria (casuale) Dato uno spazio campionario Ω che contiene tutti i possibili esiti di un esperimento casuale, la variabile aleatoria

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 1 A. I dati riportati nella seguente tabella si riferiscono

Dettagli

Elaborazione statistica di dati

Elaborazione statistica di dati Elaborazione statistica di dati 1 CONCETTI DI BASE DI STATISTICA ELEMENTARE 2 Taratura strumenti di misura IPOTESI: grandezza da misurare identica da misura a misura Per la presenza di errori casuali,

Dettagli

Ψ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE

Ψ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE CAMPIONE caratteristiche conosciute POPOLAZIONE caratteristiche sconosciute STATISTICA INFERENZIALE STIMA

Dettagli

VARIABILI CASUALI. Fino ad ora abbiamo definito:

VARIABILI CASUALI. Fino ad ora abbiamo definito: VARIABILI CASUALI Fino ad ora abbiamo definito: Lo SPAZIO CAMPIONARIO Ω : Come totalità dei possibili risultati di un esperimento Gli EVENTI : Come sottoinsiemi dello spazio campionario La FUNZIONE DI

Dettagli

Corso di Istituzioni di Matematiche con Elementi di Statistica. anno accademico 2015/2016 corso A-L (G. Gaeta & N. Bressan)

Corso di Istituzioni di Matematiche con Elementi di Statistica. anno accademico 2015/2016 corso A-L (G. Gaeta & N. Bressan) Corso di Istituzioni di Matematiche con Elementi di Statistica anno accademico 215/216 corso A-L (G. Gaeta & N. Bressan) Esercizi Foglio 9 (Funzioni aleatorie; distribuzioni di probabilita ) Esercizio

Dettagli

Statistica Descrittiva Soluzioni 4. Medie lasche

Statistica Descrittiva Soluzioni 4. Medie lasche ISTITUZIONI DI STATISTICA A. A. 2007/2008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona

Dettagli

Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale. Corso di Laurea in Sociologia. Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli

Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale. Corso di Laurea in Sociologia. Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Corso di Laurea in Sociologia Insegnamento di Statistica (a.a. 2018-2019) dott.ssa Gaia Bertarelli Esercitazione n. 1 1. Si considerino i seguenti caratteri

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA

ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA Dipartimento di Matematica U. Dini, Università di Firenze Viale Morgagni 67/A, 50134 - Firenze, Italy, vlacci@math.unifi.it November 15, 2015 Terminologia In un esperimento ogni risultato delle caratteristiche

Dettagli

STATISTICA A D (72 ore)

STATISTICA A D (72 ore) STATISTICA A D (72 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Tipologia di v.a. v.a. discreta numero finito di valori (infinità numerabile) x 1 x 2,, x k con probabilità p 1 p 2, p k Esempio:

Dettagli

Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità

Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità La casualità è alla base della scelta degli individui che compongono un campione ai fini di un indagine statistica. La casualità è alla base

Dettagli

STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani

STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 Qual è la prob. di fare 14? Esempio Gioco la schedina mettendo

Dettagli

NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le ripetizioni, o occasioni

Dettagli

Lezione 2. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 2. A. Iodice. Distribuzioni unitarie

Lezione 2. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 2. A. Iodice. Distribuzioni unitarie Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 39 Outline 1 2 3 4 5 6 7 8 () Statistica 2 / 39 La distribuzione unitaria semplice di un carattere

Dettagli

Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari"

Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Alimentari Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari" Unità Integrata Organizzativa

Dettagli

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie Variabili aleatorie Distribuzione binomiale Si supponga che uno studente affronti un esame composto da domande chiuse. Una sola delle 5 alternative di risposta proposta per ciascuna domanda è vera Supponiamo

Dettagli

Statistica. Lezione : 18, 19. Variabili casuali

Statistica. Lezione : 18, 19. Variabili casuali Corsi di Laurea: a.a. 2017-18 Diritto per le Imprese e le istituzioni Scienze dell Amministrazione e Consulenza del Lavoro sienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione Statistica Variabili

Dettagli

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si

Dettagli

Alcune v.a. discrete notevoli

Alcune v.a. discrete notevoli Alcune v.a. discrete notevoli Variabile aleatoria Bernoulliana Il risultato X di un esperimento aleatorio può essere classificato nel modo che segue: successo oppure insuccesso. Indichiamo: Successo =

Dettagli

Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k)

Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k) Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k) Nel calcolo del numero di modalita' con cui si presenta un evento e' utile talvolta utilizzare le definizioni

Dettagli

Problema Posto s = n 2 a) calcolare la somma s per n=30 b) determinare il più piccolo intero n tale che s>30000

Problema Posto s = n 2 a) calcolare la somma s per n=30 b) determinare il più piccolo intero n tale che s>30000 Problema Posto s = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 a) calcolare la somma s per n=30 b) determinare il più piccolo intero n tale che s>30000 Somma quadrati (for next).xlsm Somma quadrati (do loop).xlsm Nota La

Dettagli

Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità B

Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità B Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità B Cognome Nome: Part time: Numero di matricola: Diurno: ISTRUZIONI: Il punteggio relativo alla prima parte dell esame viene calcolato

Dettagli

Distribuzioni statistiche

Distribuzioni statistiche Distribuzioni statistiche L operazione di determinazione delle modalità del carattere per ciascuno degli elementi del collettivo origina una distribuzione del collettivo secondo il carattere considerato.

Dettagli

Lezione 13 Corso di Statistica. Domenico Cucina

Lezione 13 Corso di Statistica. Domenico Cucina Lezione 13 Corso di Statistica Domenico Cucina Università Roma Tre D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 1 / 20 obiettivi della lezione comprendere il concetto di variabile aleatoria continua familiarizzare

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modelli descrittivi, statistica e simulazione Master per Smart Logistics specialist Roberto Cordone (roberto.cordone@unimi.it) Statistica inferenziale Cernusco S.N., giovedì 25 febbraio 2016 (9.00/13.00)

Dettagli

Questionario 1. Sono assegnati i seguenti dati

Questionario 1. Sono assegnati i seguenti dati Questionario 1. Sono assegnati i seguenti dati 30 30 10 30 50 30 60 60 30 20 20 20 30 20 30 30 20 10 10 40 20 30 10 10 10 30 40 30 20 20 40 40 40 dire se i dati illustrati sono unità statistiche valori

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Corso di Statistica. Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete. Prof.ssa T. Laureti a.a

Corso di Statistica. Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete. Prof.ssa T. Laureti a.a Corso di Statistica Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete Prof.ssa T. Laureti a.a. 2013-2014 1 Variabili casuale di Bernoulli La v.c. di Bernoulli trae origine da una prova nella

Dettagli

La Statistica: introduzione e approfondimenti

La Statistica: introduzione e approfondimenti La Statistica: introduzione e approfondimenti Definizione di statistica Che cosa è la statistica? La statistica è una disciplina scientifica che trae i suoi risultati dalla raccolta, dall elaborazione

Dettagli

La variabilità. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali

La variabilità. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it Introduzione [1/2] Gli indici di variabilità consentono di riassumere le principali caratteristiche di una distribuzione (assieme alle medie) Le

Dettagli

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 A Garfagnini, M Mazzocco, C Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Teoria della Probabilità L ineliminabile

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15

MATEMATICA. a.a. 2014/15 MATEMATICA a.a. 2014/15 5. Introduzione alla probabilità: Definizioni di probabilità. Evento, prova, esperimento. Eventi indipendenti e incompatibili. Probabilità condizionata. Teorema di Bayes CONCETTI

Dettagli

Introduzione al Calcolo delle Probabilità

Introduzione al Calcolo delle Probabilità Introduzione al Calcolo delle Probabilità In tutti quei casi in cui le manifestazioni di un fenomeno (EVENTI) non possono essere determinate a priori in modo univoco, e i risultati possono essere oggetto

Dettagli

Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica

Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica cristina.mollica@uniroma1.it Indici di posizione Esercizio 1: I seguenti valori si riferiscono al diametro del fusto rilevato su piante da laboratorio:

Dettagli

Materiale didattico per il corso di Statistica I Quinta esercitazione SOLUZIONI

Materiale didattico per il corso di Statistica I Quinta esercitazione SOLUZIONI Materiale didattico per il corso di Statistica I Quinta esercitazione SOLUZIONI Claudia Furlan Anno Accademico 006-007 Ringrazio Carlo Gaetan, Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA. Prof.ssa Donatella Siepi tel:

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA. Prof.ssa Donatella Siepi tel: UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA Prof.ssa Donatella Siepi donatella.siepi@unipg.it tel: 075 5853525 2 LEZIONE Statistica descrittiva STATISTICA DESCRITTIVA Rilevazione dei dati Rappresentazione

Dettagli

Concetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2016/2017. Giovanni Lafratta

Concetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2016/2017. Giovanni Lafratta Concetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2016/2017 Giovanni Lafratta ii Indice 1 Spazi, Disegni e Strategie Campionarie 1 2 Campionamento casuale

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stimatore media campionaria Il tempo in minuti necessario a un certo impiegato dell anagrafe

Dettagli

6.2 La probabilità e gli assiomi della probabilità

6.2 La probabilità e gli assiomi della probabilità 6.2 La probabilità e gli assiomi della probabilità L introduzione alla teoria della probabilità può essere vista come un applicazione della teoria degli insiemi. Essa si occupa degli esperimenti il cui

Dettagli

MODELLI STATISTICI, RICHIAMI

MODELLI STATISTICI, RICHIAMI MODELLI STATISTICI, RICHIAMI Corso di Tecniche di Simulazione, a.a. 2005/2006 Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari 11 Aprile 2006 Francesca Mazzia (Univ. Bari) MODELLI STATISTICI,

Dettagli

2. Introduzione alla probabilità

2. Introduzione alla probabilità . Introduzione alla probabilità Carla Seatzu, 8 Marzo 008 Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari: è l insieme Ω di tutti i possibili esiti

Dettagli

Indici di tendenza centrale Media, mediana e moda.

Indici di tendenza centrale Media, mediana e moda. Indici di tendenza centrale Media, mediana e moda. Indici di tendenza centrale Gli indici di tendenza centrale individuano gli aspetti tipici, ovvero i valori più rappresentativi della distribuzione Questi

Dettagli

Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità D

Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità D Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità D Cognome Nome: Part time: Numero di matricola: Diurno: ISTRUZIONI: Il punteggio relativo alla prima parte dell esame viene calcolato

Dettagli

N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento.

N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento. N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento. Esercizio 1 Un chimico che lavora per una fabbrica di batterie, sta cercando una batteria

Dettagli

Elementi di Probabilità e Statistica

Elementi di Probabilità e Statistica Elementi di Probabilità e Statistica Statistica Descrittiva Rappresentazione dei dati mediante tabelle e grafici Estrapolazione di indici sintetici in grado di fornire informazioni riguardo alla distribuzione

Dettagli

Statistica Sociale e Criminale (12 CFU) A.A. 2015/2016

Statistica Sociale e Criminale (12 CFU) A.A. 2015/2016 Statistica Sociale e Criminale (12 CFU) A.A. 2015/2016 CdL Sociologia e Criminologia Simone Di Zio Dove siamo MODULO 3. L Inferenza statistica 3.1 Probabilità e variabili casuali 3.2 Le tecniche di campionamento

Dettagli

Concetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2017/2018. Giovanni Lafratta

Concetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2017/2018. Giovanni Lafratta Concetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2017/2018 Giovanni Lafratta ii Indice 1 Spazi, Disegni e Strategie Campionarie 1 2 Campionamento casuale

Dettagli

STATISTICA A K (60 ore)

STATISTICA A K (60 ore) STATISTICA A K (60 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Esempi Lancio di una moneta 3 volte Spazio degli eventi? Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} Probabilità degli eventi: A=

Dettagli

Attività di recupero

Attività di recupero Attività di recupero Statistica A. Un indagine effettuata su 12 ragazzi di età compresa tra i 14 e i 1 anni per conoscere l argomento che più li interessa nei programmi televisivi ha fornito i dati espressi

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Medie Prof. Livia De Giovanni ldegiovanni@luiss.it Dott. Flaminia Musella fmusella@uniroma3.it Esercizio 1 Data la seguente distribuzione unitaria del carattere X: X : 4 2 4

Dettagli

Metodi quantitativi per i mercati finanziari

Metodi quantitativi per i mercati finanziari Metodi quantitativi per i mercati finanziari Esercizi di probabilità Spazi di probabilità Ex. 1 Sia Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Siano A e B sottoinsiemi di Ω tali che A = {numeri pari},

Dettagli

Statistica descrittiva II

Statistica descrittiva II Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 009/010 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Statistica descrittiva II Ines Campa Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

tabelle grafici misure di

tabelle grafici misure di Statistica Descrittiva descrivere e riassumere un insieme di dati in maniera ordinata tabelle grafici misure di posizione dispersione associazione Misure di posizione Forniscono indicazioni sull ordine

Dettagli

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento

Dettagli

Distribuzioni campionarie. Antonello Maruotti

Distribuzioni campionarie. Antonello Maruotti Distribuzioni campionarie Antonello Maruotti Outline 1 Introduzione 2 Concetti base Si riprendano le considerazioni fatte nella parte di statistica descrittiva. Si vuole studiare una popolazione con riferimento

Dettagli

Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1

Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1 Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi 1 Costruzione di variabile casuale discreta Esercizio 1. Sia data un urna contenente 3 biglie rosse, 2 biglie bianche ed una biglia nera. Ad ogni

Dettagli

Variabili aleatorie discrete. Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 5 Corso di Laurea in Economia

Variabili aleatorie discrete. Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 5 Corso di Laurea in Economia Variabili aleatorie discrete Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 5 Corso di Laurea in Economia 2015-16 1 / 45 Variabili aleatorie Una variabile aleatoria è simile a una variabile statistica Una variabile

Dettagli

Variabili aleatorie continue: la normale. Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 6 Corso di Laurea in Economia

Variabili aleatorie continue: la normale. Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 6 Corso di Laurea in Economia Variabili aleatorie continue: la normale Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 6 Corso di Laurea in Economia 2015-16 1 / 40 Distinzione Le variabili aleatorie possono essere 1 discrete 2 continue 2

Dettagli

Scale di Misurazione Lezione 2

Scale di Misurazione Lezione 2 Last updated April 26, 2016 Scale di Misurazione Lezione 2 G. Bacaro Statistica CdL in Scienze e Tecnologie per l'ambiente e la Natura II anno, II semestre Tipi di Variabili 1 Scale di Misurazione 1. Variabile

Dettagli

Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini. Lezione 7: Basi di statistica

Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini. Lezione 7: Basi di statistica Costruzione di macchine Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità Marco Beghini Lezione 7: Basi di statistica Campione e Popolazione Estrazione da una popolazione (virtualmente infinita) di

Dettagli

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 2

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 2 Frequenze STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 2 Dott. Giuseppe Pandolfo 7 Ottobre 2013 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI DATI Le rappresentazioni grafiche dei dati consentono di cogliere la struttura e gli aspetti caratterizzanti

Dettagli