Lezione 15. Numero progressivo assegnato Distanza casa-lavoro
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- Carmela Pellegrino
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1 Nelle indagini reali, in generale, non interessa sapere quali eventi si sono verificati, ma quali sono le determinazioni assunte dalla variabile oggetto di studio sulle unità selezionate. In una indagine sulle famiglie, per esempio, si può essere interessati a rilevare il numero di componenti, il reddito complessivo, il numero di automobili possedute. Nei controlli di qualità si può essere interessati a rilevare la durata di funzionamento di un componente, il numero di articoli difettosi prodotti da un macchinario, il tempo di conservazione di un alimento. Le indagini campionarie sono infatti effettuate per rilevare le caratteristiche della distribuzione di una variabile nella popolazione per cui interessa rilevare le determinazioni che la variabile assume sugli elementi campionari, mentre non interessa conosce quali sono le unità effettivamente estratte. Per esempio, si consideri la sequenza riportata qui di seguito che riporta le distanze (espresse in chilometri) fra abitazione e luogo di lavoro rilevate su 5 dipendenti di una cooperativa, a ciascuno dei quali è stato assegnato un numero progressivo da 1 a 5. Numero progressivo assegnato Distanza casa-lavoro Se si considera l esperimento che consiste nell estrazione casuale di una sola unità statistica, i possibili risultati associati all esperimento corrispondono ai 5 eventi elementari i estrazione della i-esima unità, ma si potrebbe descrivere 1
2 il risultato dell esperimento anche indicando il valore assunto dalla variabile di interesse sull individuo selezionato. Per esempio, dire che si è verificato 2 equivale a dire che il valore della variabile distanza casa-lavoro sull unità estratta è risultato pari a Il valore della variabile che si rileva in occasione dell estrazione dell unità statistica non può essere stabilito con certezza prima che l estrazione stessa venga effettuata, così come, prima di effettuare l estrazione, non si sa quale unità statistica verrà selezionata dalla popolazione. Si può solo affermare con certezza che la variabile di interesse potrà assumere uno dei 5 valori che costituiscono la sequenza numerica considerata. Per non fare confusione, nelle pagine seguenti la variabile di interesse nella popolazione verrà indicata con Z. Di questa variabile è nota la distribuzione di frequenza che, nell esempio considerato, assume la forma seguente Z Frequenza assoluta Frequenza relativa Il valore della variabile Z rilevato sulla unità estratta in modo casuale potrà assumere solo uno dei valori riportati nella prima colonna della tabella. 2
3 All esperimento che consiste nell estrazione di una unità resta quindi associata una variabile, che indicheremo con X, che potrà assumere solo uno dei valori della variabile Z e che quindi indica la distanza casa-lavoro percorsa dall unità estratta. L evento {ω i } può essere identificato in modo alternativo affermando che la variabile X ha assunto il valore xi. Come conseguenza logica, a ciascun valore della variabile è associata una certa probabilità e la probabilità che la X assuma un valore uguale a xi corrisponde alla probabilità che si verifichi l evento {ω i }. In questo modo si è introdotto il concetto fondamentale di variabile casuale o variabile aleatoria, ossia di una variabile i cui valori non sono noti prima dell effettuazione dell esperimento che consiste nell estrazione di una unità dalla popolazione. Questa variabile, infatti, corrisponde al valore della variabile Z rilevato sull unità selezionata in modo casuale dalla popolazione : il valore assunto da X non è quindi noto a priori, ma dipende da quale evento elementare si verifica nella prova. A differenza della variabile Z, caratterizzata da una distribuzione di frequenza, per cui a ogni suo valore zi è associata una frequenza, a ciascun valore xi della X è associata una probabilità, così come è riportato nella tabella seguente. X probabilità
4 La X così definita viene detta variabile casuale (v.c.) perché il valore assunto dalla variabile dipende dall evento elementare che si verifica nella prova. L insieme delle coppie di valori [xi, p(xi)] definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X. Nei casi reali, soprattutto se la variabile di interesse Z è quantitativa discreta, esistono più unità della popolazione che presentano uno stesso valore della Z, per cui non c è una corrispondenza biunivoca fra eventi elementari e valori assunti dalla v.c. In altri termini, il valore della X non identifica in modo univoco l evento. ESEMPIO Considerata la sequenza dei voti ottenuti da uno studente universitario Numero esame Voto la distribuzione di frequenza della variabile Z voti ottenuti durante il corso di studio risulta la seguente Z Frequenza assoluta Frequenza relativa
5 In questo caso, se si considera l esperimento che consiste nell estrarre in modo casuale un esame fra i 10 sostenuti dallo studente durante il corso di studi, esistono 10 eventi elementari i (i = 1, 2,..., 10). A 1 e 5 è associato uno stesso valore, pari a 28, della v.c. X esito dell esame estratto, a 2, 4, 7 e 10 è associato il valore 27, a 3 e 8 è associato il valore 24, e a 6 e 9 è associato il valore 30. Facendo riferimento ai soli valori diversi assunti dalla v.c. X si stanno in pratica considerando quattro eventi composti A = {ω 1, ω 5 } B = {ω 2, ω 4, ω 7, ω 10 } C = {ω 3, ω 8 } D = {ω 6, ω 9 } Le probabilità associate ai quattro diversi valori della X saranno quindi uguali alla somma delle probabilità associate ai singoli eventi elementari che costituiscono gli eventi composti, per cui P(X = 28) = P(A) = P( 1) + P( 5) P(X = 27) = P(B) = P( 2) + P( 4) + P( 7) + P( 10) P(X = 24) = P(C) = P( 3) + P( 8) P(X = 30) = P(D) = P( 6) + P( 9) 5
6 La distribuzione di probabilità della v.c. X assume quindi la forma seguente X probabilità In generale, la probabilità associata a ciascun valore xj (per j=1, 2,, k) della v.c. X corrisponde alla somma delle probabilità di tutti quegli eventi elementari ai quali è associato il valore xj di X. Dagli esempi precedenti si nota facilmente che le probabilità elencate nella seconda colonna della distribuzione di probabilità della v.c. X assumono gli stessi valori delle frequenze relative associate ai corrispondenti valori della variabile Z. La distribuzione di probabilità della v.c. X corrisponde alla distribuzione di frequenza della variabile Z, se si fa riferimento alle frequenze relative. Come affermato in precedenza, nelle situazioni reali si è generalmente interessati a conoscere il valore assunto dalla v.c. X, più che a conoscere quale evento si sia verificato. L interesse in una indagine campionaria condotta per conoscere le caratteristiche di una variabile Z consiste nel determinare la distribuzione di probabilità della v.c. X. 6
7 In alcuni casi la v.c. associata a un esperimento non assume valori prefissati, ma valori che vengono stabiliti in modo arbitrario, come per esempio nell esperimento che consiste nel lancio di una moneta. In questo caso si potrebbe decidere che la v.c. X risultato ottenuto nel lancio di una moneta assume valore 0 se si verifica l evento testa e valore 1 se si verifica l evento croce, oppure che assume valore 0 se si verifica l evento croce e valore 1 se si verifica l evento testa. Qui di seguito si dà una definizione rigorosa di variabile casuale, dalla quale si nota come il termine variabile usato per indicare la X sia del tutto improprio, anche se entrato nell uso comune. Considerato lo spazio di probabilità (, A, P) costituito dallo spazio fondamentale, dalla classe degli eventi A e dalla misura di probabilità P, una v.c. X è una funzione definita su che associa a ogni evento elementare i un unico valore reale X( i)=xi che rappresenta una determinazione della v.c. X. In realtà, quindi, la X è una funzione, non una variabile. Il concetto di variabile casuale può essere chiarito mediante una opportuna rappresentazione grafica, analoga a quella riportata nella figura successiva, nella quale si evidenzia come, dato un evento elementare appartenente allo spazio campionario, si faccia corrispondere a questo evento un numero reale x, che è una funzione X( ) dell evento. 7
8 Ad ogni evento elementare i contenuto in è associato, tramite la funzione X, un valore reale xi = X( i) che è il valore che la X assume al verificarsi di i. In questo modo, al posto dello spazio campionario Ω, in genere complesso, si ottiene uno spazio campionario più semplice, che costituisce il campo di variazione Ωx della X. 8
9 ESEMPIO Considerato l esperimento che consiste nel lancio di 4 dadi, lo spazio fondamentale è costituito da 6 4 =1296 eventi elementari i (i = 1, 2,, 1296). Se si indica con X la v.c. numero di punteggi pari ottenuti in 4 lanci, il campo di variazione Ωx della X è costituito dai numeri interi compresi nell intervallo [0, 4]. In questo caso, quindi, la X assume solo j=5 valori diversi. Ad ognuno dei valori xj di X è associata la somma delle probabilità degli eventi elementari che presentano un numero di punteggi pari esattamente uguale a xj Una v.c. è completamente definita quando si conoscono tutti i possibili valori che la variabile può assumere e la probabilità corrispondente, ossia quando si conosce la sua distribuzione di probabilità. Nelle pagine seguenti si esaminerà il caso in cui all esperimento considerato possa essere associata una variabile casuale discreta (come quando l esperimento consiste in un qualche conteggio) oppure una variabile casuale continua (come quando l esperimento consiste nell effettuare una misurazione) 9
10 VARIABILI CASUALI DISCRETE Il ricorso a una v.c. per descrivere i risultati di un esperimento in alcuni casi è del tutto naturale come quando si conduce un indagine per - effettuare un conteggio (per esempio per rilevare il numero di componenti di un gruppo di famiglie o il numero di dipendenti di un gruppo di aziende) - per misurare il valore di una variabile su un gruppo di unità (per esempio per misurare il peso corporeo o l altezza di un gruppo di individui) Cominciamo a considerare il primo caso, per cui la variabile di interesse Z è quantitativa discreta. In questo caso all evento elementare i estrazione della i-esima unità statistica si può associare il valore che la variabile Z assume su quella particolare unità e si è visto che a più eventi elementari i può corrispondere uno stesso valore della v.c. X. In ogni caso si ottiene la distribuzione di probabilità della v.c. X che assume la forma riportata nella tabella successiva X probabilità x1 p(x1) x2 p(x2).. xj p(xj).. xk p(xk) 1.0 Le probabilità indicate nella seconda colonna della tabella e che, come si è detto, corrispondono alle frequenze relative associate ai corrispondenti valori della 10
11 variabile Z nella popolazione, presentano le medesime proprietà delle frequenze relative. Supposto che la variabile Z, e quindi anche la v.c. X, assuma k valori diversi, risulta P(X = x j ) = p(x j ) 0 j = 1, 2,, k k p(x j ) = 1 j=1 Si definisce con il termine funzione di probabilità di una variabile casuale discreta quella funzione f(x) che associa a ciascun valore x j della variabile X la corrispondente probabilità p(x j ). Questa funzione concentra masse di probabilità in corrispondenza dei k valori xj (con j = 1, 2,, k) della X, mentre altrove è sempre uguale a zero. Per questo motivo la funzione di probabilità viene anche detta funzione di massa. Se una v.c. X è di tipo discreto, il suo campo di variazione è costituito da un insieme numerabile di valori x = {x 1, x 2, }, ordinati in modo crescente, a ognuno dei quali è associata una probabilità P(X = x j ) = p(x j ) per ogni x j Ω x L insieme dei valori p(x j ) costituisce la funzione di probabilità f(x) di X che consente di assegnare una probabilità a qualsiasi sottoinsieme B appartenente a x. 11
12 Questa probabilità corrisponde alla somma delle probabilità associate ai singoli valori che appartengono a B, ossia Ovviamente risulta P{X B} = p(x j ) x j B P{X Ω x } = p(x j ) x j Ω x = 1 La funzione di probabilità (o funzione di massa) f(x) di una v.c. X associa a ciascun valore x di X la corrispondente probabilità p(x), dove x può assumere un qualsiasi valore compreso nell intervallo (, + ). Se x non corrisponde a uno dei possibili valori assunti da X, la corrispondente probabilità p(x) risulterà pari a zero. La rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità di una v.c. discreta viene effettuata mediante il diagramma a barre che è stato utilizzato per rappresentare la distribuzione di una variabile statistica discreta. ESEMPI 1) Dati i seguenti 8 libri (identificati con una etichetta numerica che va da 1 a 8) sui quali si è rilevato il numero di capitoli, etichetta n capitoli si consideri l esperimento che consiste nell estrarre casualmente un libro e sia 12
13 probabilità X la v.c. numero di capitoli del libro estratto. Si determini la distribuzione di probabilità di X e la si rappresenti graficamente. La v.c. può assumere i soli valori riportati nella prima colonna della tabella successiva e a ciascuno di essi è associata la probabilità riportata nella seconda colonna X probabilità 5 3/8 6 3/8 8 2/8 1.0 La corrispondente rappresentazione grafica è la seguente 0,4 0,3 0,2 0, X 2) Una moneta è truccata in modo che la faccia testa ha probabilità 0.7. Considerato un esperimento che consiste nel lancio della moneta per due volte, sia X la v.c. numero di teste ottenute. Determinare la funzione di probabilità di X e disegnare il diagramma ad aste corrispondente. 13
14 probabilità La v.c. può assumere valore 0, 1 e 2 e le probabilità corrispondenti sono riportate nella seconda colonna della tabella successiva X probabilità = = = La corrispondente rappresentazione grafica è la seguente 0,5 0,4 0,3 0,2 0, X 14
15 FUNZIONE DI RIPARTIZIONE All inizio di questo corso si è visto come le informazioni relative alla distribuzione di frequenza di una variabile statistica possano essere espresse in modo equivalente utilizzando le frequenze o le frequenze cumulate. Allo stesso modo, le informazioni sulla distribuzione di probabilità di una variabile casuale possono essere espresse mediante le probabilità associate a ciascun valore della variabile o mediante le probabilità cumulate. Si definisce invece come funzione di ripartizione F(x) di una v.c. X quella funzione che associa a ciascun valore x di X la probabilità P(X x). Questa probabilità può essere calcolata in corrispondenza di un qualunque valore x di X compreso fra (, + ) e corrisponde a F(x) = P(X x) = p(x j ) x j x Da questa definizione discendono le proprietà della F(x) La funzione di ripartizione di una v.c. X - è definita su tutto l asse reale - assume valori compresi fra zero ed uno. In particolare, F( )=0 e F(+ )=1 - è non decrescente e costante a tratti per cui, fissati due valori x 1 e x 2 con x 1 <x 2, risulta F(x 2 ) F(x 1 ) - nei punti di salto è continua a destra: fissati due valori x a e x b, con x a <x b, risulta F(x b ) F(x a ) = P(X x b ) P(X x a ) = P(x a < X x b ). 15
16 ESEMPI 1) Le probabilità cumulate della v.c. X considerate nel precedente esempio 1) assumono i valori riportati nell ultima colonna della tabella successiva X probabilità Probabilità cumulate 5 3/8 3/8 6 3/8 6/8 8 2/8 8/8 1.0 La funzione di ripartizione assume quindi la forma 0 x < x < 6 F(x) = x < 8 8 { 1 x 8 e il grafico corrispondente è F(x) 1 0,8 0,6 0,4 0, X 16
17 2) Le probabilità cumulate della v.c. X considerate nel precedente esempio 2) assumono i valori riportati nell ultima colonna della tabella successiva X probabilità Probabilità cumulate La funzione di ripartizione assume quindi la forma 0 x < x < 1 F(x) = { x < 2 1 x 2 e il grafico corrispondente è F(x) 1 0,8 0,6 0,4 0, X 17
18 VALORI CARATTERISTICI Le informazioni su una variabile casuale contenute nella sua funzione di probabilità o nella sua funzione di ripartizione possono essere sintetizzate mediante il calcolo dei medesimi indici di posizione, di variabilità e di forma che sono stati considerati nella prima parte del corso. Tralasciando il calcolo dei quantili, che verrà analizzato solo nel caso di variabili casuali continue, di seguito si considerano gli indici che vengono calcolati più di frequente nel caso discreto. La moda di una v.c. discreta X corrisponde al valore più probabile, ossia corrisponde alla determinazione della variabile a cui è associata la probabilità più elevata. Nel caso della distribuzione riportata nell esempio 1) esistono due valori modali: 5 e 6, mentre nella distribuzione riportata nell esempio 2) la moda è 2. La media aritmetica di una v.c. discreta X, detta valore atteso ed indicato con = x = E(X), viene calcolata in modo analogo a quanto visto per le distribuzioni di frequenza relative a una variabile statistica discreta, sostituendo alle frequenze relative f j le probabilità p(x j ) = p j, per cui k k E(X) = μ x = μ = x j p(x j ) = x j p j j=1 j=1 Nel caso della distribuzione riportata nell esempio 1) il valore atteso è E(X) = μ = =
19 mentre per la distribuzione riportata nell esempio 2) si ottiene E(X) = μ = = 1.4 In generale, i momenti ordinari e i momenti centrali di ordine r assumono le forme seguenti se la v.c. X è discreta k k μ rx = E(X r ) = x r j p(x j ) = x r j p j j=1 j=1 k k μ rx = E[(X μ x ) r ] = (x j μ x ) r p(x j ) = (x j μ x ) r p j j=1 j=1 2 La varianza di una v.c. X viene di solito indicata con V(X), σ x o più semplicemente σ 2 (quando è evidente che ci si riferisce alla X) e può essere considerata come una misura del grado di incertezza sui risultati dell esperimento. La sua espressione si ricava facilmente dalla generica espressione dei momenti centrali ponendo r = 2, ma è più semplice calcolarla come differenza fra il secondo momento ordinario, indicato con E(X 2 ) o μ 2x, e il quadrato del valore atteso di X V(X) = σ x 2 = σ 2 = μ 2x μ x 2 = x j 2 p j k j=1 2 k ( x j p j ) j=1 19
20 ESEMPIO Considerato un dado truccato in cui la probabilità associata alle facce contrassegnate con 1 e 3 punti è P( 1) = P( 3) = 1/3, mentre alle restanti facce è associata una probabilità 1/12, si consideri l esperimento che consiste nel lancio del dado e la v.c. X che assume valore 0 se il risultato ottenuto nel lancio è pari e il valore 1 se è dispari. Determinare la distribuzione di probabilità di X e calcolarne valore atteso e varianza. Indicato con A l evento risultato pari dalla definizione della X risulta P(X = 0) = P(A) = = 0.25 P(X = 1) = P(A c ) = = 0.75 per cui la distribuzione di probabilità della v.c. X è la seguente X probabilità Sulla base di questa distribuzione si ottiene E(X)= μ = 0.75 E(X 2 )= μ 2 = 0.75 V(X)= σ 2 =
21 Le proprietà della media e della varianza analizzate a proposito delle variabili statistiche restano valide anche per le variabili casuali per cui, data una v.c. X di valore atteso μ x e varianza σ x 2, la v.c. Y = a + bx ha valore atteso μ y = a + bμ x e varianza σ y 2 = b 2 σ x 2 21
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