Lezione V. Teorie metriche della gravitazione e confronti sperimentali

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1 Lezione V Teorie metriche della gravitazione e confronti sperimentali

2 Contenuto della Lezione V 1) Diverse Teorie Metriche 2) Tests della Relatività Generale 3) Il principio di Equivalenza Forte

3 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale LOGICA Completa: Dai principi primi devono essere derivate tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc?. Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando il campo gravitazionale è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è trascurabile e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. (*) SPERIMENTALE

4 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale LOGICA Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc?. Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. Milne (1948) : Nessuna predizione sul Red-Shift Gravitazionale SPERIMENTALE

5 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale LOGICA Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc?. Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. Varie teorie (Anni 60) : Violano l esempio indicato SPERIMENTALE

6 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale LOGICA Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc?. Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. Newton: Non relativistica SPERIMENTALE

7 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale LOGICA Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc?. Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. Birkoff (1943): Teorie che viola il limite Newtoniano SPERIMENTALE

8 Teorie della Gravitazione Teorie della Gravitazione Attendibili Non Attendibili Metriche Non Metriche Abbiamo classificato non attendibili un dato numero di teorie in quanto violano la validità della Fisica Newtoniana e della Relatività Speciale. Il loro grado di validità è stato discusso nelle lezioni precedenti.

9 Teorie della Gravitazione Teorie della Gravitazione Attendibili Non Attendibili Metriche Non Metriche Validità del principio di Equivalenza di Einstein (WEP + LLI + LPI)

10 Teorie della Gravitazione L unico campo che regola le equazioni del moto è la metrica g. Il ruolo degli altri campi che la teoria può contenere è solo quello di contribuire a generare la metrica. La materia crea questi campi che, insieme alla materia generano la metrica, ma la materia risponde solo alla metrica. (*)

11 Limite Newtoniano All interno del sistema solare la luce segue traiettorie rettilinee i corpi di test si muovono seguendo le leggi della fisica Newtoniana con approssimazioni di una parte su 10 5 dove In una teoria Metrica l accelerazione di un corpo in un campo gravitazionale statico si deduce a partire dall equazione delle geodetiche

12 Per rendere le due espressioni identiche Limite Newtoniano

13 Limite Newtoniano A grandi distanze dalla sorgente vale la metrica di Minkowski

14 Limite Newtoniano In questa approssimazione valgono le equazioni di Eulero della Fluidodinamica valide nella fisica Newtoniana e (con buona approssimazione) nel sistema solare LIMITE NEWTONIANO DI UNA TEORIA METRICA E LO SVILUPPO AL PRIMO ORDINE NELLE QUANTITA MENZIONATE

15 Limite Newtoniano U < 10-5 In tutto il sistema solare Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del viriale, sono piccole La pressione p all interno dei pianeti è più piccola della densità di energia gravitazionale ρu (p/ρ circa 10-5 nel sole e sulla terra) Il limite Newtoniano è valido per descrivere la fisica nel sistema solare con una precisione dell ordine di una parte su Già l avanzamento del perielio di Mercurio è un effetto su scala inferiore (5 x 10-7 rad su ogni orbita).

16 Limite Newtoniano U < 10-5 In tutto il sistema solare Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del viriale, sono piccole La pressione p all interno dei pianeti è più piccola della densità di energia gravitazionale ρu (p/ρ circa 10-5 nel sole e sulla terra) In altre parole, negli anni 70 il limite Newtoniano (cioè lo sviluppo al primo ordine era sufficiente a descrivere le osservazioni), Attualmente per lo studio di fenomeni ove è più forte la gravità non basta fermarsi al primo ordine ed in casi particolari addirittura va abbandonata la tecnica perturbativa

17 Lo Sviluppo Post-Newtoniano Il primo ordine dello sviluppo è associato a termini lineari nella velocità v ~ O(1) = ε Sviluppo della metrica nei parametri menzionati: U, v 2, p/ρ e Π v ε, U 2 ε 4, Uv ε 3 # # t " v &% $ # # t # # x "! L azione I NG per una singola massa neutra si può scrivere così ε 2 Il limite Newtoniano corrisponde a A cui corrisponde una langragiana L Newtoniano ε 2

18 Post-Newtoniano (ε 4 ) Lo Sviluppo Post-Newtoniano Correzioni al Primo ed al Terzo ordine nella Lagrangiana sono vietate dalla conservazione dell energia (Gravitation Par.39.6) Ciascuna teoria deve fornire gli sviluppi a questi ordini della metrica Ciascuna teoria potrebbe presentare la sua personale versione

19 Post-Newtoniano (ε 4 ) Lo Sviluppo Post-Newtoniano Correzioni al Primo ed al Terzo ordine nella Lagrangiana sono vietate dalla conservazione dell energia (Gravitation Par.39.6) La teoria è però obbligata a rispettare delle regole: ordine dello sviluppo, assenza di dimensioni, termini che vanno a zero almeno per 1/r, le correzioni siano date da prodotti delle grandezze di cui sopra, etc, etc, etc.. (Gravitation Par.39.8)

20 Lo Sviluppo Post-Newtoniano

21 I parametri Post-Newtoniani (*) Le teorie si distinguono una dall altra dai valori assunti dai parametri Post-Newtoniani

22 I parametri Post-Newtoniani Termini che regolano la dipendenza dalla metrica dalla velocità del sistema di riferimento rispetto ad un sistema di riferimento Universale Misurano se la teoria predice violazioni del momento

23 PPN in General Relativity Per i dettagli del calcolo vederec.will Par.5.2

24 PPN in Brans-Dicke

25 PPN in Brans-Dicke Per i dettagli del calcolo vedere C.Will,Par.5.3

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27 Equazioni del moto per i fotoni

28 Equazioni del moto per i fotoni

29 Deflessione della Luce

30 Deflessione della Luce

31 Deflessione della Luce *+ 1 ' 4M (1 + ) % 2 & d = ( $ " # [(1 + cos! ) / 2] Traiettorie dei Fotoni nello sviluppo Post-Newtoniano Φ d " d! GRAZING PHOTONS d " d! "! 0 d 1 "# $ (1 +! )1"75 2

32 Deflessione della Luce Eddington (1919) Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante. 30% di Errore sugli 1.75 secondi d arco previsti. Very-Long-BaseLine Radio Interferometry Misure Ottiche Recenti pongono limiti al 10% Ogni anno il Sole raggiunge la minima distanza dalla linea visiva che congiunge la terra a gruppi di quasar. (Accuratezza di 100 µarcsec) (1 +! ) 2 = ±

33 Deflessione della Luce Eddington (1919) Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante. 30% di Errore sugli 1.75 secondi d arco previsti. Very-Long-BaseLine Radio Interferometry Misure Ottiche Recenti pongono limiti al 10% Deflessione della Luce da parte di Giove: 300 microarcsec verificate con accuratezze del 50%

34 Ritardo dell eco radar

35 Ritardo dell eco radar 0t. 1 2 &, (1 + / ) $ ln * % + d r 2 )# '! ("

36 Ritardo Radar 3 Differenti tipi di misure (1+γ)/2 misurato con accuratezze dello 0.1%

37 Il parametro γ! > ! " # 2 +!! > 3500 Ruolo ridotto del campo scalare

38 Avanzamento del Perielio di Mercurio

39 Avanzamento del Perielio di Mercurio

40 Avanzamento del Perielio di Mercurio

41 Avanzamento del Perielio di Mercurio che rappresenta un moto armonico per u=r -1 con una piccola perturbazione

42 Avanzamento del Perielio di Mercurio

43 Precessione del Perielio di Mercurio e parametri PPN

44 Precessione del Perielio di Mercurio e parametri PPN

45 Avanzamento del Perielio di Mercurio Sintesi Terra: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su mille Sole: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su 10 5 Sottraibile con ottima accuratezza Effetto dovuto alla Relatività Generale o teorie alternative Perturbazione dal moto dei pianeti: 500 per secolo Perturbazione dal momento di quadrupolo del sole Perturbazione dovuto al rapporto delle masse dei corpi (nullo in teorie puramente conservative)

46 Avanzamento del Perielio di Mercurio Sintesi! " # $ % & ' ' ( ) * * +, ' ( ) * +,. = mp R J m p m 2 ) 2 (2 6 1 ) 2 ( µ / Total Mass = m 1 + m 2 Reduced Mass Mean Radius of Sun m R A C J! = C ed A sono i momenti di inerzia rispetto all asse di rotazione e all asse equatoriale ) (1 2 e a p maggiore! = Avanzamento per ciascuna orbita ! " # J ! " # # sun merc m m m µ Trascurabile comunque

47 Avanzamento del Perielio di Mercurio Sintesi 1& & 1. 4, J 2 = 42".98$ ( / ) *. % )# '! (" Avanzamento per secolo Sotto l errore sperimentale L errore sperimentale dell osservazione Radar di Mercurio (dal 1966) è circa una parte su mille 1! 3 (2 + 2$! # ) 3 " 1± 10 2$! #! 1 < 3" 10! 3

48 Misure di quadrupolo del campo solare Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento di quadrupolo del sole Dicke e Goldberg (1961): misura dell intensità della radiazione solare sulla superficie J = Q/2MR 3 = 2 x 10-5 (errore al 10%) Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni compatibili con la teoria di Brans-Dicke. Hill e Stebbins (1975): Stessa tecnica smentirono la misura J = Q/2MR 3 = 1 x 10-6 (errore al 400%)

49 Misure di quadrupolo del campo solare Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento di quadrupolo del sole Dicke e Goldberg (1961): misura dell intensità della radiazione solare sulla superficie J = Q/2MR 3 = 2 x 10-5 (errore al 10%) Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni compatibili con la teoria di Brans-Dicke. Anni 80: Misura delle oscillazioni solari J = Q/2MR 3 = 2 x 10-7 (errore al 10%)

50 Il principio di Equivalenza Forte

51 L Effetto Nordvedt Nordvedt: Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale può violare il principio di Unicità del Free-Fall U m E a g "! " # $ % % & ' ( = ) !! " " # $ % & ' ' + ' ' ' ' =

52 L Effetto Nordvedt Nordvedt: Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale può violare il principio di Unicità del Free-Fall E g m "10!27 Laboraty-size objects E g m "10!5 Sun E g m # 4.6" 10! 10 Earth E g m # 0.2" 10! 10 Moon Polarizzazione dell orbita lunare # r 13.1" cos(! $! )t % 0 Moon Sun S 29.8 gg

53 L Effetto Nordvedt Polarizzazione dell orbita lunare # r 13.1" cos(! $! )t % 0 Moon Sun S Lunar Laser Ranging Experiments Apollo 11 ha piazzato nel 1969 dei retro-riflettori sulla superficie lunare. Un laser manda impulsi di fotoni della durata di 200 ps. 1 fotone ogni qualche secondo viene rivelato. Accuratezze dell ordine del cm (50 ps) sull orbita lunare. Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, post-newtonian Gravitational Effects,.etc..! = 0.00 ±! = 0.001± (Williams et al., 1976) (Shapiro et al., 1976)

54 L Effetto Nordvedt Polarizzazione dell orbita lunare # r 13.1" cos(! $! )t % 0 Moon Sun S Lunar Laser Ranging Experiments Apollo 11: piazzati nel 1969 retroriflettori sulla superficie lunare Accuratezze dell ordine del cm (50 ps) Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, post-newtonian Gravitational Effects,.etc.. Limite recenti su η ad una parte su 10 3 Limite sulla WEP accurata a 5 parti su 10 13

55 Materiale Didattico TESTI FONDAMENTALI Cap.4 dello Will per capire la logica complessiva dello sviluppo Post-Newtoniano e delle diverse teorie metriche. C.Will: The Confrontation Between General Relativity and Experiment, sul sito web. Capitolo 39 del Gravitation. TESINE POSSIBILI I 3 test standard della Relatività Generale (problematiche sperimentali) Approfondire il quadro Generale sui limiti per i vari parametri post-newtoniani