Esercitazione 23 maggio 2016

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1 Esercitazione 5 maggio 016 Esercitazione 3 maggio 016 In questa esercitazione, nei primi tre esercizi, analizzeremo il problema del moral hazard nel mercato. In questo caso prenderemo in considerazione due imprese che hanno un opportunità commerciale congiunta che richiede ad entrambe di effettuare degli investimenti. In presenza di moral hazard, non potendo osservare le azioni dell altra impresa (in questo caso il valore reale dell investimento effettuato) e in assenza di un contratto vincolante, per paura di un comportamento opportunistico vengono perse dalle aziende in questione opportunità commerciali convenienti. Siano V e V i valori effettivi delle risorse investite dalle due imprese nel progetto comune, il cui ricavo atteso sia pari a 1.6 volte il valore effettivo dell investimento totale meno 800 euro, cioè a: 1.6(V +V )-800. Maggiori investimenti effettivi conducono dunque a livelli di ricavo mediamente più elevati. Supponiamo che le due imprese scrivano un contratto secondo il quale ciascuna investirà 100 euro nel progetto. In quanto soci identici, le due imprese si accordano per dividersi a metà i proventi del progetto comune. Il ricavo totale generato dal progetto è pari a: 1.6 (V +V ) = 1.6 (400) 800 = = 3040 valore che eccede l ammontare totale investito pari a 400 euro: ciascuna impresa si aspetterebbe perciò di ricevere 150 euro, con un profitto netto di 30 euro. Si supponga ora che ciascuna impresa possa scegliere liberamente di investire effettivamente una qualunque cifra compresa tra i 600 e i 1600 euro. Cosa sceglieranno di fare le imprese? Sarà conveniente il progetto comune? Consideriamo la questione dal punto di vista dell impresa : qualunque ammontare V l impresa scelga di investire, il profitto atteso dell impresa sarà la sua quota del ricavo totale meno l investimento da essa effettuato, ovvero 0.8 (V + V ) Secondo la tabella 1.1, ogni dollaro extra investito dall impresa produce 1.6 euro di maggior ricavo totale, ma la quota di esso che va all impresa è di soli 0.8 euro: perciò l impresa perde 0. euro per ogni euro investito. La scelta ottimale dell impresa è dunque quella di effettuare l investimento minimo di 600 euro. In tal caso, il ricavo totale atteso sarebbe di soli 110 euro, a fronte di un investimento richiesto totale pari a 100 euro: poiché ogni impresa si aspetterebbe di perdere 40 euro, gli investimenti non verranno effettuati. Un opportunità commerciale conveniente va dunque perduta a causa del fatto che ogni impresa si aspetta dall altra un comportamento 1

2 Esercitazione 5 maggio 016 opportunistico. Naturalmente, il problema descritto verrebbe eliminato dalla fusione delle due imprese, poiché questa riconduce le decisioni d investimento alla titolarità di un singolo individuo, il quale sostiene interamente i costi e ne riceve tutti i benefici. investimento di investimento di investimento totale 1.6 (V +V ) ricavo totale atteso di 0.8 (V + V ) profitto netto atteso di 0.8 V - 0. V decisione massimizzante di V = 600 decisione attesa di ricavo atteso di V = 600 perdita attesa di 40 Tabella 1.1: Ricavi e profitti per l impresa V V Gli esercizi 1, e 3 che verranno esaminati nel seguito propongono tre soluzioni differenti a uno stesso problema: investimento in R&S per sviluppare una nuova tecnologia da parte di due aziende in presenza di moral hazard. Esercizio 1 (Massimizzazione del valore totale) Supponiamo che vi siano due imprese, l impresa e l impresa, che stanno considerando la possibilità di fare un investimento congiunto in R&S. Il ricavo totale dell investimento è 00(V +V ) 0.5, dove V e V sono i valori degli investimenti delle imprese: esse si aspettano di dividersi ugualmente i ricavi ottenuti, mentre ciascuna di loro deve assorbire il costo dei rispettivi investimenti. Si mostri che le scelte che massimizzano il valore totale sono quelle in cui il valore complessivamente investito dalla due imprese è uguale a euro. Quanto surplus totale viene corrispondentemente creato?

3 Esercitazione 5 maggio 016 Il ricavo totale delle due imprese è R tot =00(V +V ) 0.5 Esse si aspettano di dividere in maniera equa i ricavi e sostengono i rispettivi investimenti V e V. Perciò: R =R =100(V +V ) 0.5 Il profitto congiunto è dato da: =R -(V +V )=00(V +V ) 0.5 -(V +V ) L investimento congiunto efficiente è quello che massimizza il valore totale delle parti, perciò: ( V + V ) 1 = 00 ( V V = ( V V ) * = ( V + V 1 = 0 L investimento congiunto efficiente è pari a Il surplus complessivo derivante dall investimento congiunto è pari a: S = = 00* ( ( 10000) = = Questo esercizio propone una soluzione di impresa integrata, per la quale, quindi, gli obiettivi dei decisori e sono completamente allineati: questa situazione corrisponde a quella efficiente dal punto di vista dell allocazione delle risorse e, infatti, il surplus complessivo delle parti è massimo (si veda il Principio di Massimizzazione del Valore, adottato nella soluzione dell esercizio). Esercizio (Opportunismo: dato V fissare V ottimo) Relativamente al problema precedente, si supponga ora che le imprese non possano scrivere un contratto basato sul livello degli investimenti effettuati da ciascuno, poiché esse non possono osservarne il reale valore. Si mostri che, se l impresa si aspetta dall impresa un investimento pari a V, la scelta ottimale della prima è di investire 500-V. Quanto dunque si investirà complessivamente e quanto surplus totale verrà creato? Il ricavo totale delle due imprese è 3

4 Esercitazione 5 maggio 016 R tot =00(V +V ) 0.5 Esse si aspettano di dividere in maniera equa i ricavi e sostengono i rispettivi investimenti V e V. Perciò: R =R =100(V +V ) 0.5 L impresa ipotizza che l impresa investa investire l importo V tale da massimizzare il proprio profitto. Il profitto dell impresa è dato da: = R V = 100 ( V + V V La condizione di massimizzazione del profitto è: V Perciò si ha: 1 = 100 ( V + V 1 = 0 ( V V = 50 + V. Conseguentemente, l impresa deciderà di V + V = 500 V * = 500 V L investimento complessivo sarà: V +V =(500-V )+V =500 In corrispondenza si avranno un ricavo totale e un surplus totale generati dall investimento pari a: R = = S = R ( V + V ) = = 7500 L esercizio introduce nel sistema delle due imprese una fonte di inefficienza: le due imprese si accordano per sviluppare la tecnologia congiuntamente, ma non riescono a stabilire il reale valore del livello di investimenti effettuato da ciascuna. In una tale situazione possono insorgere comportamenti opportunistici e fenomeni di moral hazard. causa dell inefficienza insita nel sistema il surplus totale a disposizione delle parti risulta diminuito rispetto al valore che assumeva nell esercizio 1, indipendentemente da come, poi, venga ripartito fra le imprese. Pertanto, ciascuna impresa non può far altro che massimizzare la propria utilità individuale nell ambito di un sistema caratterizzato da un livello di benessere intrinsecamente ridotto. 4

5 Esercitazione 5 maggio 016 Esercizio 3 (Concorrenza) Continuando con l esempio, supponiamo che se le imprese non firmano un contratto esse possono sviluppare separatamente, e in competizione fra loro, il progetto di ricerca in esame. Un prodotto vendibile sul mercato può essere ottenuto da entrambe le imprese se esse investono almeno il 35% di quanto investito dal concorrente. Se ( V 0.35V V 00, e corrispondentemente per l impresa. Si mostri che se ciascuna impresa si aspetta che l altra investa medesima cifra. V 0. 35V, allora il profitto netto dell impresa è 10000, allora essa investirà la quanto ammontano i profitti totali? In questo caso le imprese sono in grado di accordarsi su di un progetto congiunto? In questo caso, se V 0. 35V l impresa avrà un profitto pari a = dove V =. ( V 0.35V V nche in questo caso l impresa sceglierà l investimento profitto. V 1 = 00 ( V 0.35V = 100 ( V 0.35V 1 = 0 * V = V = = = V Il profitto totale generato dagli investimenti delle due imprese sarà dato da: = + V in modo da massimizzare il proprio Dato che le due imprese hanno funzioni di profitto simmetriche ed effettuano lo stesso investimento i profitti ottenuti saranno gli stessi. Perciò: = + = = 00 ( V 0.35V V = 5

6 Esercitazione 5 maggio = = Quindi: = = = 4615 = = = 4615 Questo esercizio propone una situazione in cui le imprese decidono di sviluppare la tecnologia indipendentemente l una dall altra e in competizione fra loro. In questo caso, l inefficienza del sistema fa diminuire ancora una volta il surplus complessivo, ma lo mantiene comunque più elevato rispetto al caso affrontato dall esercizio. Pertanto, potendo scegliere fra la situazione proposta dagli esercizi e 3, le imprese sceglieranno di non accordarsi e di sviluppare la tecnologia in competizione fra loro. Esercizio 4 Sara, che ha la funzione di utilità U = y 1/, ha a disposizione un opportunità di reddito che potrà dar luogo a un reddito di 4 oppure di 16, ciascuno con probabilità ½. 1. Determinare il valore esatto dell equivalente certo del reddito incerto di Sara.. Determinare il valore esatto del premio per il rischio. 1. Poiché nel caso in esame è nota la funzione di utilità, equivalente certo e premio per il rischio possono essere calcolati in modo esatto, sulla base delle loro definizioni. L equivalente certo è la somma certa EC che dà a Sara un utilità pari all utilità attesa del reddito incerto. L utilità attesa del reddito incerto è: E[U(y)] = 1/ (4 1/ ) + ½ (16 1/ ) = 1+ =3 L EC si calcola dalla funzione di utilità ed è pari a: U(EC) = E[U(y)]. In questo caso quindi si ha: U(EC) = (EC/ Quindi: 6

7 Esercitazione 5 maggio 016 EC 1/ = 3 da cui EC = 9. Per definizione, il premio per il rischio è la differenza tra il valore atteso del reddito incerto (o reddito atteso) e il suo equivalente certo, cioè come la somma di denaro con cui è possibile compensare un individuo per indurlo ad accettare il reddito incerto al posto di quello certo. Pr = E(R) EC Il reddito atteso è: E (R) = 1/ (4) + 1/ (16) = 10 Quindi il premio per il rischio è pari a: Pr = 10 9 = 1 Esercizio 5 Gianni ha a disposizione due progetti di investimento, R ed S. Da R può ottenere un reddito netto xr di 55 oppure di 85, ciascuno con probabilità ½, mentre da S può ottenere, sempre con probabilità ½ ciascuno, un reddito netto xs di 6 oppure di Quale progetto sceglierà Gianni, se ha un coefficiente di assoluta avversione al rischio pari a 0,05?. Supponiamo però ora che Gianni possa condividere il rischio con Paolo, che pure ha un coefficiente di avversione al rischio di 0,05. Quale sarà la quota del reddito incerto che spetterà ai due individui? 3. Se la scelta tra i due progetti avviene dopo che si è deciso di condividere il rischio, quale progetto verrà scelto? 4. Gianni accetterà di cedere una quota del reddito incerto inizialmente a sua disposizione solo se Paolo gli paga qualcosa per questo, mentre Paolo potrà a sua volta accettare solo se tale pagamento non è troppo elevato. Determinate entro quale intervallo dovrà essere compreso tale pagamento affinché la condivisione risulti accettabile per entrambi. 7

8 Esercitazione 5 maggio Per vedere quale progetto sceglierà Gianni, calcoliamo l equivalente certo dei due progetti, verrà ovviamente scelto il progetto con equivalente certo maggiore. EC (R) = E [xr] - ½ * 0.05 * Var [xr] = [(55 * ½) + (85 * ½)] - ½ * 0.05 * [(55-70) * ½ + (85 70) * ½] = EC (S) = E [xs] - ½ * 0.05 * Var [xs] = [(6 * ½) + (70 * ½)] - ½ * 0.05 * [(6-66) * ½ + (70 66) * ½] = 65.6 Gianni sceglierà l investimento S, con equivalente certo totale maggiore.. r = coefficiente di avversione al rischio di Gianni ρ = 1/r = coefficiente di tolleranza al rischio di Gianni s = coefficiente di avversione al rischio di Paolo σ = 1/s = coefficiente di tolleranza al rischio di Paolo In una divisione efficiente dei rischi, la quota di un soggetto è uguale al rapporto tra la sua quota di tolleranza al rischio e la somma totale delle tolleranze dei partecipanti. Quindi: Quota di Gianni = ρ/(ρ+σ) = 1/, quota di Paolo = σ/(ρ+σ) = 1/; 3. Si sceglierà il progetto con equivalente certo totale maggiore: Ectot(R) = E [xr] - ½ * 1/ [(1/ /0.05)] * Var [xr] = 67. Ectot(S) = E [xs] - ½ * 1/ [(1/ /0.05)] * Var [xs] = 65.8 Se il rischio viene condiviso si sceglierà il progetto R. 4. Il pagamento che Paolo deve versare a Gianni deve essere tale da consentire a Gianni di avere almeno lo stesso equivalente certo che egli otterrebbe investendo da solo (e quindi vedendo il punto 1, EC > = 65.6, perché Gianni investendo da solo sceglierebbe l investimento S). Tuttavia anche Paolo deve essere incentivato a effettuare il pagamento e quindi il suo equivalente certo deve essere almeno maggiore di 0, visto che lui partecipa solo se c è condivisione). ECG(condivisione) = E (0.5 xr) + γ ½ * 0.05 * Var (0.5 xr + γ) >= 65.6 Da cui: 8

9 Esercitazione 5 maggio γ ½ * 0.05 * 0.5 *Var (xr) >= 65.6 e quindi γ >= Contemporaneamente: ECP(condivisione) = E (0.5 xr) - γ ½ * 0.05 * Var (0.5 xr - γ) >= 0. Da cui: 35 - γ ½ * 0.05 * 0.5 *Var (xr) >= 0 e quindi γ <= Quindi, l intervallo di comprensione del pagamento è: =< γ <=

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