In laboratorio si useranno fogli di carta millimetrata con scale lineari oppure logaritmiche.

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1 GRAFICI Servono per dare immediatamente e completamente le informazioni, che riguardano l andamento di una variabile in funzione dell altra. La Geometria Analitica c insegna che c è una corrispondenza biunivoca fra punto del piano e coppia di numeri reali. Si stabilisce sul piano un sistema di assi ( di solito ortogonali ) su ognuno dei quali viene fissato un riferimento, individuato dalla posizione dello zero, dal segmento unitario l e dal verso positivo, indicato con una freccia. x l x U x, unità di misura scelta per le x y l y U y, unità di misura scelta per le y

2 Ad ogni coppia (x,y) corrisponde quindi un punto P nel piano avente come ascissa x e come ordinata y. L insieme dei punti P, che soddisfano la dipendenza funzionale y=y(x) al variare di x nel suo insieme di definizione, costituisce il grafico della funzione. In laboratorio si useranno fogli di carta millimetrata con scale lineari oppure logaritmiche.

3 y = 0,1 x + 0,2 ( -1 x 4 ) La scelta del segmento unitario l y sulla scala y compatta troppo il grafico. N.B. I segmenti unitari l x e l y sono tracciati solo per maggior chiarezza : in generale è buona norma non disegnarli sul grafico

4 La funzione da graficare è sempre la stessa, ma l y è ora 10 volte più grande. Il grafico ne guadagna in leggibilità.

5 Un altro esempio da non seguire y = 0,1 x 2-0,3 x +5 ( 0 x 5 ) Su una scala millimetrata con l y lungo 10 mm, y(3,5) =5,2 e non si può apprezzare la seconda cifra decimale con una certa sicurezza.

6 Ora la funzione y è la stessa del grafico precedente ma l y è ora cinque volte più grande. Maggiore leggibilità, maggiore precisione con cui il grafico può essere utilizzato: y(3,5) = 5,18

7 Precisione nelle letture su un grafico La scelta di l x e l y determina la precisione con cui un grafico può essere utilizzato. Infatti l'errore di lettura su un grafico, fatto su scala millimetrata, è non minore di 0.5 mm. D'altra parte, se x è la grandezza fisica e U x la sua unità di misura e se L x è la lunghezza letta sul grafico e l x è il segmento unitario, dalla relazione x = (L x / l x ) U x si ricava che Δx = ( 0,5 mm / l x ) U x sicché l'errore relativo vale Δx / x = ( 0.5 mm ) / L x

8 Un analogo discorso vale per la coordinata y, per cui Δy / y = ( 0.5 mm ) / L y Nel penultimo grafico L y =52.0 mm, sicché l'errore relativo Δy / y è circa 1 %. Nell ultimo grafico L y =259.0 mm, sicché l'errore relativo Δy / y è circa 0,2 %.

9 Derivazione grafica Si sfrutta la relazione fra derivata di una funzione e la retta tangente alla curva corrispondente ( vedi figura ). Si hanno le seguenti relazioni : L x / l x = ( x 2 -x 1 ) / U x L y / l y = ( y 2 -y 1 ) / U y

10 da cui, approssimando il rapporto incrementale alla derivata, si ricava dy / dx ( y 2 -y 1 ) / ( x 2 -x 1 )= = (U y /U x ) ( l x /l y ) ( L y /L x ) = η ( L y /L x ) In definitiva, per ottenere una stima grafica della derivata, basta moltiplicare il rapporto L y /L x per la costante η, che ha le dimensioni [η] = [y] [x ]-1, essendo il rapporto L y /L x naturalmente adimensionale.

11 Integrazione grafica Si fa l'approssimazione per esempio che, ( vedi figura )

12 Se L x e L y sono le lunghezze misurate sul grafico, corrispondenti a δx i e y i, allora in cui la costante ψ vale (U y U x ) / (l y l x ) ed ha le dimensioni [ ψ] = [y][x][l] -2

13 Grafici di misure È bene farli a misure ottenute, per controllare l andamento globale È bene farli anche durante la fase di misura, per controllare se ci sono sbagli grossolani

14 Tra grafici di funzioni analitiche e grafici di misure di grandezze fisiche ci sono due differenze sostanziali. Le funzioni analitiche hanno in linea di principio un numero infinito di punti, mentre le misure ne hanno un numero limitato Per le funzioni analitiche l errore è al più ± 0,5 mm se la lettura avviene su un foglio di carta millimetrata. Per le misure l errore dipende dalle modalità seguite per effettuare la misura. Questo errore viene riportato sul grafico con un segmento di lunghezza corrispondente.

15 Facciamo l ipotesi che vogliamo studiare come varia la temperatura T di una certa sostanza al variare del tempo t e di avere ottenuto la seguente tabella, in cui sono riportate le coppie di valori, con i relativi errori, di t e T. t±δt (s) T±ΔT ( C) 2,0± 0,6 2,0 ±0,5 5,0± 0,6 2,5± 0,5 6,6 ±0,6 3,2± 0,5 9,0± 0,6 3,4 ±0,5 11,0 ±0,6 3,9± 0,3 13,0± 0,6 4,6± 0,3 14,8 ±0,6 4,8± 0,3

16 Se gli errori fossero nulli, la curva che sul grafico corrisponde a T=T(t) dovrebbe passare per tutti i punti sperimentali. La figura mostra due possibili andamenti per T=T(t).

17 Tenendo conto degli errori, non è detto che la curva passi per tutti i punti sperimentali. È sbagliato tracciare la spezzata ( mostrata in tratteggio), perché si introducono discontinuità in corrispondenza dei punti sperimentali. Si può invece tracciare, per guidare l occhio, una curva continua che passi vicino ai punti sperimentali, in base agli errori di misura.

18 Problema cruciale e delicato per ogni sperimentatore : come ricavare un eventuale dipendenza funzionale fra due grandezze fisiche a partire da un numero limitato di coppie di misura delle stesse grandezze. Da un punto di vista geometrico, curve passano per un numero finito di punti. Poi bisogna tener conto degli errori Sembrerebbe un problema irrisolubile ma Aiutano delle ragionevoli ipotesi, di cui però bisogna controllare a posteriori la validità.

19 Sembra piuttosto irragionevole pensare ad un andamento del tipo illustrato in figura se nel corso del riscaldamento non si è riscontrata alcuna causa che possa giustificare un riscaldamento così improvviso fra 7 e 9 secondi.

20 Rette di massima e minima pendenza Se i dati ci suggeriscono un andamento di tipo lineare, possiamo tracciare le rette di massima e minima pendenza, come in figura.

21 Se gli errori sono di tipo massimo, queste rette devono passare all'interno di tutti i rettangolini, centrati sui punti sperimentali e aventi per base l'errore sull'ascissa e per altezza l'errore sull'ordinata.

22 Se scriviamo l'equazione di una retta come y=a+bx, una volta determinati dal grafico i valori di b min e a max per la retta di minima pendenza e i valori di b max e a min per la retta di massima pendenza, possiamo ricavare una stima dei parametri ( e dei relativi errori ) della retta che meglio passa per i punti sperimentali. b=(b max +b min )/2 ± (b max -b min ) / 2 a=(a max +a min )/2 ± (a max -a min ) / 2

23 Caratteristiche dei buoni grafici : 1. Titolo del grafico e relativo commento 2. Grandezze chiaramente indicate sugli assi insieme con le dimensioni espresse fra parentesi 3. Scale umane ( non ci deve essere bisogno di una calcolatrice per tracciare o leggere i punti ) 4. Uso di frecce, per indicare parti rilevanti del grafico 5. Non sono tracciati i segmenti unitari ( sono superflui!) 6. Non sono indicate sugli assi i valori né delle ascisse né delle ordinate dei punti sperimentali.

24 Un esempio di buon grafico tratto da Physical Review Letters :

25 Altri esempi da Physical Review Letters : da notare come sono riportate le barre di errore e l uso ( non consigliato) della spezzata nel primo grafico.

26 Altri esempi particolari da Physics Letters

27 Cosa hanno di strano questi due ultimi grafici? La scala delle ordinate non è lineare ( ossia non vengono tracciati segmenti di lunghezza proporzionale a quella dell unità di misura ). La scala è invece logaritmica ( ossia vengono tracciati segmenti di lunghezza proporzionale a quella del logaritmo dell unità di misura ). Al numero 1 corrisponde un segmento di lunghezza nulla ( log a 1 = 0 ), al numero 2 corrisponde un segmento di lunghezza proporzionale a log a 2, al numero 10 corrisponde un segmento di lunghezza proporzionale a log a 10 e così via.

28 Da ricordare : data la funzione esponenziale di base a y = a x, il log a y è il numero tale che a log a y sia proprio uguale ad y e quindi coincide con l esponente x. log a (x y) = log a x + log a y log a x y = y log a x Le basi più comunemente usate sono l base 10 e la base e. Questo ultimo numero è irrazionale ed è noto come numero di Neper, perché è stato il matematico Neper a sceglierlo come base del sistema di logaritmi, che furono chiamati da allora anche neperiani. Il suo valore è circa 2, Per semplicità il logaritmo in base di un numero viene scritto con il simbolo ln.

29 Infine è opportuno ricordare le formule della derivata di una funzione esponenziale e di una funzione logaritmica. da x /dx = a x ln a de x /dx = e x dlog a x/dx = (1/x) ln a e dlnx/dx = (1/x) Inoltre si può ricavare che log a x = (1/log b a) log b x e quindi un cambiamento della base comporta soltanto una diversa scelta del fattore di proporzionalità. Nelle carte logaritmiche in commercio a fianco delle scale vengono riportati i valori dei numeri anziché i valori dei logaritmi : la stessa carta può essere allora usata per logaritmi con basi diverse, naturalmente con fattori di proporzionalità differenti. Un particolare tipo di carta logaritmica è quello in cui un asse ha scala lineare e l altro ha scala logaritmica : si parla allora di carta semilogaritmica.

30 Quando conviene usare scale logaritmiche? le grandezze da graficare hanno un intervallo di valori che spazia di diversi ordini di grandezza, per cui è impossibile fare un grafico su scala lineare ( a meno di non voler fare un grafico stile lenzuolo ) le grandezze da graficare acquistano un andamento più facilmente controllabile.

31 Supponiamo che un certo modello teorico preveda che l andamento dei nostri dati debba essere descritto dalla curva x y = c, con c costante, che rappresenta un iperbole equilatera, avente come asintoti gli assi coordinati. Sicuramente non è agevole rendersi conto a prima vista che i nostri punti si dispongano lungo l iperbole se la scala è lineare. I punti potrebbero disporsi ad esempio lungo un ramo d iperbole oppure lungo una qualunque curva che non sia una retta. Tuttavia se usiamo una scala logaritmica su entrambi gli assi, dovremmo ottenere una retta ( facilmente controllabile a vista ) poiché log (x y ) = logx + logy = log c rappresenta una retta nel piano ( log x, log y ).

32 Analoghe considerazioni si possono svolgere per la funzione y = A e bx, che su scala semilogaritmica nel piano ( x, ln y) diventa la retta ln y = ln A bx, che ha come pendenza b e come intercetta ln A.

33 Errori di lettura sulle scale semilogaritmiche

34 Supponiamo di voler graficare i dati riportati in tabella : x y Questi dati sono descritti perfettamente dalla funzione y = k a λ x che, su scala semilogaritmica, diventa log a y = λx +costante che è l'equazione di una retta che ha λ come pendenza ( vedi prossima figura ).

35

36 Il valore di k si ricava immediatamente, perché y(0)=k=110. Il valore di λ può essere ricavato in due modi : per via algebrica, applicando la definizione di coefficiente angolare a due diverse coppie di punti del piano (x,log a y). Se a=10 e le coppie di punti sono (0.0,log ) e (23.0,log 10 20) (conviene sempre in casi analoghi scegliere i punti più distanti fra loro ) λ 10 = ( log log 10 20) / ( 0,0-23,0 ) = -0,0322 Se a= e, λ e = ( ln 110 ln 20) / ( 0,0-23,0 ) = -0,0 741 per via grafica (è utile quando non si ha a portata di mano una tavola dei logaritmi oppure una calcolatrice ).

37 λ 10 = ( log log 10 20) / ( 0,0-23,0 ) Il denominatore può essere espresso in termini di lunghezze sul grafico come -115 mm/ 5 mm=-23, dove 115 mm è la lunghezza del segmento che sull'asse x unisce il punto x=0.0 con x=23.0, mentre 5 mm è la lunghezza del segmento unitario. Per quanto riguarda il numeratore, bisogna ricordare che L 110 =c 10 log ; L 20 =c 10 log 10 20; L 10 =c 10 log con chiaro significato dei simboli, definiti precedentemente. Quindi L 110 -L 20 =c 10 ( log log ) ossia log log = (L 110 -L 20 )/L 10 Per la carta in figura la casa costruttrice garantisce per L 10 il valore di 90 mm ( lo si

38 legge in basso, a fianco della dicitura Einheit in tedesco e Unité in francese ). Dal grafico si legge che L 110 -L 20 =67 mm, per cui λ 10 = ( (67/90) / (-115/5) ) = Sempre dal grafico si può ricavare $L e, ossia la lunghezza del segmento compreso fra i punti 1 e e= , ossia 39 mm. λ e = ( (67/39) / (-115/5) ) = I valori di λ 10 e di λ e ottenuti per via grafica sono naturalmente leggermente differenti dai valori ottenuti per via algebrica, a causa degli inevitabili arrotondamenti sulla lettura dei punti sul grafico.

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