Approfondimento Altri tipi di coefficienti di correlazione

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1 Appofondimento Alti tipi di coefficienti di coelazione Il coefficiente di coelazione tetacoico e policoico Nel 900 Peason si pose anche il poblema di come misuae la coelazione fa caatteistiche non misuabili quantitativamente e descisse la possibilità di calcolae la coelazione fa due dicotomie atificiali. Una dicotomica atificiale è una vaiabile quantitativa che è stata esa dicotomica fissando un valoe di cut-off, o una vaiabile dicotomica i cui due estemi possono essee consideati gli estemi di un continuum sottostante, pe cui si assume che esista una vaiabile soggiacente (latent esponse vaiable, o vaiabile di isposta latente). Quindi, sono dicotomie atificiali punteggio di QI sopa/sotto 00 (pendendo 00 come punto di cut-off), oppue l essee d accodo o meno con una ceta affemazione, supponendo che esista un continuum sottostante di accodo. In questi casi pe ottenee una misua dell associazione fa le vaiabili non si dovebbe pocedee col calcolo di phi, bensì mediante il calcolo del coefficiente di coelazione tetacoico t. In base allo stesso pincipio, se le vaiabili sono politomie atificiali a categoie odinate, si calcoleà il coefficiente di coelazione policoico (come potebbe essee il caso della coelazione fa punteggi di scale Liket). Il calcolo dei coefficienti di coelazione tetacoici e policoici è complesso, pe cui si imanda il lettoe alla letteatua specifica (ad esempio, Olsson, 979). Pedon ad (99) ne fonisce un appossimazione con la fomula: t cos 80, dove a, b, c, bc + ad e d, sono i valoi ipotati nella Tabella 7.7 del manuale. Supponiamo di icodificae i dati di una misua psicometica dell'ansia (quindi misuata su scala a intevalli) come Bassa Ansia e Alta Ansia e quelli di eddito (misuato su scala a appoti) come Basso Reddito e Alto Reddito e di ealizzae la tavola di contingenza Reddito Ansia. Il isultato è la Tabella Tabella 7.5. Tavola di contingenza Reddito Ansia Reddito Bassa Ansia Alta Totale Basso 8 9 Medio Totale 7 8 ad 8 6 Calcoliamo , A questo punto con la bc + ad funzione di Excel (-)*COS(RADIANTI(44)) otteniamo la stima del coefficiente di coelazione tetacoico:,8. Si noti che in questo caso il coefficiente phi saebbe isultato uguale a,57. Il coefficiente di coelazione biseiale e punto-biseiale Quando si hanno a disposizione una vaiabile dicotomica e una vaiabile metica si tende a ealizzae un test t pe campioni dipendenti pe veificae l ipotesi nulla di assenza di diffeenza fa le medie delle popolazioni dalle quali sono stati estatti i due guppi. Nondimeno, è possibile calcolae due indici di coelazione, il coefficiente di coelazione biseiale ( b ), e il coefficiente di coelazione punto-biseiale ( pb ), che consentono di ottenee una misua analoga al coefficiente di Peason. Il pimo viene utilizzato con dicotomie atificiali, il secondo con vee dicotomie. Calo Chioi, Fondamenti di psicometia Copyight 00 The McGaw-Hill Companies S..l., Publishing Goup Italia

2 Supponiamo di vole calcolae la coelazione fa la vaiabile Reddito e la vaiabile Ansia nei dati in Figua 7.7 nel manuale. La vaiabile eddito è una dicotomia atificiale, in quanto è stata geneata a patie da una vaiabile continua sottostante. In questo caso è pefeibile calcolae il coefficiente di coelazione biseiale b : b ( M M ) P P Y s y dove M e M sono le medie dei due guppi, P e P le popozioni sul totale dei soggetti dei soggetti nel guppo e guppo, ispettivamente, s y è la deviazione standad della vaiabile metica nel campione totale e Y è l odinata della distibuzione nomale al punto di divisione fa la popozione di aea coispondente a P e quella coispondente a P. In patica, basta isolvee z ( ) l equazione y e pe il valoe di z coispondente al minoe di P o P. Se P,30, π dobbiamo tovae quel valoe di z pe cui l aea al di là di z vale,30, che è 0,544. Sostituiamo questo valoe nella fomula: y e π ( 0,544) 0,3476. Nel caso che stiamo consideando, P ( 0) P,50, a cui coisponde uno z 0, pe cui y e 0,3989. In base alla Figua 7.7 del π manuale, gli valoi sono: M Basso 5,68, M Medio 9,67, P Basso,50, P Alto,50, s y 3,, pe cui: b (9,67 5,68),50,50 0,3989 3,,78 La pocedua di veifica dell ipotesi nulla che questo valoe sia uguale a zeo è analoga a quella dell di Peason. Nella fomula pe la convesione in t, peò, occoe inseie il valoe di b moltiplicato pe la costante,8944 (Pedon, 99). Nel nosto caso, quindi, pima di pocedee col test t dovemmo eseguie il podotto,78,8944,6976, e utilizzae questo valoe in luogo di. Se la vaiabile dicotomica della tabella in Figua 7.7 del manuale fosse stata una vea dicotomia, come ad esempio il genee, avemmo invece dovuto utilizzae il coefficiente di coelazione punto-biseiale pb. La fomula pe calcolalo è la seguente: pb ( M M ) nn s n( n ) y M e M sono le medie dei due guppi, s y è la deviazione standad della vaiabile metica nel campione totale, n e n le ampiezze campionaie del guppo e del guppo, ispettivamente, e n il totale dei soggetti. Supponendo che i soggetti nella condizione Basso nella tabella in Figua 7.7 del manuale fosseo maschi e quelli nella condizione Medio fosseo femmine, avemmo: pb (9,67 5,68) 3, 9 9 8(8 ),64 La pocedua di veifica dell ipotesi nulla che questo valoe sia uguale a zeo è analoga a quella dell di Peason. E impotante tenee pesenti le caatteistiche dei due coefficienti di coelazione illustati in questo paagafo. Il coefficiente di coelazione biseiale b assume che vi sia una distibuzione Calo Chioi, Fondamenti di psicometia Copyight 00 The McGaw-Hill Companies S..l., Publishing Goup Italia

3 continua soggiacente alla distibuzione dicotomica, non ha una distibuzione di pobabilità nota (pe cui occoe moltiplicalo pe,8944 pima di pocedee con la veifica delle ipotesi con t), può assumee valoi al di fuoi dalla gamma [ ; +]. Il coefficiente di coelazione punto-biseiale pb, invece, ichiede solo che siano omogenee fa i due guppi le vaianze dei punteggi nella vaiabile. Il coefficiente di coelazione paziale Quando si ha il sospetto che una elazione sia spuia, si suppone che la vaiabilità comune fa due vaiabili sia in ealtà dovuta all effetto causale di una teza vaiabile, detta vaiabile di contollo, che influisce su entambe. Se questo è veo, imuovendo statisticamente l effetto della teza vaiabile (in inglese patialling out the thid vaiable) si dovebbe ossevae che la vaiabilità comune esidua fa le pime due si avvicina allo zeo. A livello statistico la questione viene isolta mediante il calcolo del Coefficiente di Coelazione Paziale XY.Z, che è appunto il coefficiente di coelazione fa due vaiabili X e Y quando viene eliminata l influenza di una teza (Z). Se sono note le coelazioni fa X e Y ( XY ), fa X e Z ( XZ ) e fa Y e Z ( ), fomula pe il calcolo è: XY. Z XY XZ XZ Supponiamo di ave ilevato in 00 città il Numeo di Cicogne (X) e il Numeo di Nascite (Y) è di ave tovato che la coelazione fa le due vaiabili è XY,66. Sono note inolte le coelazioni delle due vaiabili con le Dimensioni della Città (Z): XZ,78 (Numeo di Cicogne) e,84 (Numeo di Nascite). Calcoliamo alloa il coefficiente di coelazione paziale:,66,78,84 XY XZ XY. Z XZ,78,84 La coelazione paziale fa Numeo di Cicogne e Numeo di Nascite è dunque XY.Z,037: questo significa che la popozione di vaiabilità della vaiabile Numeo di Nascite (Y) spiegata dalla vaiabile Numeo di Cicogne (X) indipendentemente dalla vaiabile di contollo Dimensioni della Città (Z) è solamente,037,00, ossia lo 0,% conto il 44% che avevamo ottenuto senza consideae la vaiabile di contollo. Le coelazioni fa coppie di vaiabili ( XY, XZ, e ) sono dette coelazioni di odine zeo (zeo-ode coelations), quella paziale è detta coelazione di pimo odine (fist-ode coelation). La Figua 7.5. iassume la logica del pocedimento di calcolo della coelazione paziale.,037 Calo Chioi, Fondamenti di psicometia Copyight 00 The McGaw-Hill Companies S..l., Publishing Goup Italia

4 Figua 7.5. Logica del pocedimento di calcolo della coelazione paziale La significatività del coefficiente di coelazione paziale può essee veificata mediante il test t che abbiamo visto anche pe il coefficiente di Peason, ma con n 3 gadi di libetà, pe cui la fomula n 3 è: t. Nel nosto caso, quindi, avemo: H 0 : ρ XY.Z 0 nella popolazione non esiste una elazione lineae fa Numeo di Cicogne e Numeo di Nascite una volta imossa la vaiabilità comune fa le due vaiabili dovuta alle Dimensioni della Città la elazione fa Numeo di Cicogne e Numeo di Nascite è spuia H : ρ XY.Z 0 nella popolazione esiste una elazione lineae fa Numeo di Cicogne e Numeo di Nascite anche una volta imossa la vaiabilità comune fa le due vaiabili dovuta alle Dimensioni della Città la elazione fa Numeo di Cicogne e Numeo di Nascite non è spuia Pe un livello di significatività α,05, gadi di libetà , e ipotesi altenativa bidiezionale, il valoe di t citico è,8. t n 3, ,037 0,36 Conclusione: poiché t calcolato < t citico (0,36 <,8), non è così impobabile che quanto ossevato sia il isultato di un ipotesi nulla vea, pe cui la accettiamo. Questi isultati suggeiscono che molto pobabilmente non esiste una elazione lineae fa Numeo di Cicogne e Numeo di Nascite una volta imossa la vaiabilità comune fa le due vaiabili dovuta alle Dimensioni della Città, pe cui la elazione fa le due vaiabili è spuia. Ricavato dalla funzione di Excel INV.T(,05;97). Calo Chioi, Fondamenti di psicometia Copyight 00 The McGaw-Hill Companies S..l., Publishing Goup Italia

5 Pe ealizzae analisi simili su vaiabili categoiali occoono modelli statistici che pemettano di pendee in consideazione più di due vaiabili simultaneamente, come i modelli loglineai (si veda ad esempio Cistante, Robusto, & Mannaini, 00), mente pe le elazioni fa vaiabili odinali è possibile applicae la stessa fomula sostituendo al coefficiente di Peason il ho di Speaman. Il coefficiente di coelazione multipla Il coefficiente di coelazione multipla X. pemette di stimae la foza della elazione di una vaiabile X con alte due vaiabili, Y e Z, consideate simultaneamente. Si noti che non è la somma algebica delle coelazioni di odine zeo della vaiabile in esame con le alte due. La fomula pe il calcolo è: XY + XZ XY XZ Se elevato al quadato, il coefficiente di coelazione multipla pemette di calcolae la popozione di vaiabilità comune fa una vaiabile e l insieme delle alte. Questo indice è paticolamente utile quando si studia l attendibilità di un test psicologico. Se gli item sono tutte opeazionalizzazioni di un unico costutto, avanno fa di loo coelazioni da basse a foti. Ci aspettiamo a questo punto che se un paticolae item X è un opeazionalizzazione del costutto altettanto adeguata ispetto agli item Y e Z, la sua coelazione multipla con questi non potà essee uguale a zeo. Se quindi le coelazioni di odine zeo, ottenute in un campione di 00 soggetti, sono XY,33, XZ,38 e,4, avemo che il coefficiente di coelazione multipla X. saà:,33 +,38,33,38,4 XY + XZ XY XZ,4 Elevando al quadato X. otteniamo,4,8, che indica che la vaiabile X condivide con le vaiabili Y e Z il 8% di vaiabilità. Il coefficiente di coelazione multipla al quadato viene utilizzato anche nella fomula pe veificae l ipotesi nulla che esso sia uguale a zeo nella popolazione. H 0 : ρ X. 0 nella popolazione non esiste una elazione lineae fa la vaiabile X e le vaiabili Y e Z consideate simultaneamente H : ρ X. 0 nella popolazione esiste una elazione lineae fa la vaiabile X e le vaiabili Y e Z consideate simultaneamente La pocedua di veifica della significatività di un coefficiente di coelazione multipla avviene mediante un test F:,4 F ( n k ) X. k( ) dove n è il numeo di soggetti e k il numeo di vaiabili con cui si coela X, avendo cua di coeggee X. se il numeo di soggetti n non è almeno dieci volte quello del numeo di vaiabili k (Maascuilo & Levin, 983). La fomula pe la coezione di X. è: Calo Chioi, Fondamenti di psicometia Copyight 00 The McGaw-Hill Companies S..l., Publishing Goup Italia

6 ~ ( X. )( n ) n k Nel nosto caso n 00 e k, pe cui non abbiamo bisogno di opeae la coezione. Il test F viene eseguito con gadi di libetà k al numeatoe e n k al denominatoe, pe cui nel nosto esempio avemo gadi di libetà al numeatoe e al denominatoe. Pe un livello di significatività α,05 e ipotesi altenativa bidiezionale, i valoi citici di F sono 0,9 e 5,8. F ( n k ) X. k( ) (00 ),8 0,64 (,8) Conclusione: poiché F calcolato > F citico supeioe (0,64 > 5,8), è toppo impobabile che quanto ossevato sia il isultato di un ipotesi nulla vea, pe cui la ifiutiamo. Questi isultati suggeiscono che molto pobabilmente esiste una elazione lineae fa la vaiabile X e le vaiabili Y e Z consideate simultaneamente. Quando le vaiabili con cui coelae X sono più di due le pocedue di calcolo diventano più complesse, ma la logica di intepetazione del isultato e del test di significatività è esattamente la stessa. Ottenuti mediante la funzione di Excel INV.F(,05;;98), che fa 5,8. L alto valoe è l inveso. Calo Chioi, Fondamenti di psicometia Copyight 00 The McGaw-Hill Companies S..l., Publishing Goup Italia