Ing. Gestionale Ing. Informatica Ing. Meccanica Ing. Tessile. Cognome Nome Matricola

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1 Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric Si calcolino gli autovalori gli autovttori dlla matric A si dtrmini s A è diagonalizzabil oppur no Nl caso A sia diagonalizzabil, si dtrminino una matric diagonal d una matric invrtibil P tali ch = P AP Soluzion La matric A ha du autovalori distinti, λ = λ 2 = 5, quindi è diagonalizzabil Un autovttor rlativo all autovalor λ = è v = (, ), un autovttor rlativo all autovalor λ 2 = 5 è v 2 = (, ) L matrici P richist sono rispttivamnt = 2) trminar gli strmi rlativi dlla funzion 0 x2 y x 2 + y 2 + Soluzion opo avr calcolato l drivat parziali di f, si scopr ch i punti critici sono (0, ) (0, ) Calcolando 3/2 0 Hf(0, ) = 0 /2 /2 0 Hf(0, ) = 0 /2 da cui si dduc ch (0, ) è un punto di minimo rlativo, mntr (0, ) è un punto di slla pr la funzion f 3) (a) Si scriva lo sviluppo in sri di Taylor al scondo ordin, all intorno dl punto (2, 0), dlla funzion (b) Calcolar, s sist, il it 2y sin(xy) (x y) sin 2 (2x) (x,y) (0,0) 2xy 2 Soluzion (a) Basta calcolar il valor dlla funzion f, dll su drivat prim f x 2 f 2 x f nl punto (2, 0) Utilizzando poi la formula pr lo sviluppo in sri di Taylor, si trova (b) Calcolando il it lungo l rtt y = mx si trova: f(2 + h, 0 + k) = 2k + hk + 4k 2 + o(h 2 + k 2 ) 2 2m f(x, mx) = x 0 m 2 ato ch il risultato trovato dipnd da m si conclud ch il it crcato non sist 4) Calcolar il sgunt intgral ov = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 9; 0 y 3 x} xy dll su drivat scond Soluzion Usando l coordinat polari, il dominio di intgrazion divnta = {(ρ, θ) ρ 3; 0 θ π/3} ρ sin θ cos θ dρdθ Qusto intgral si calcola immdiatamnt il risultato è 3/2

2 Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola 2 Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric Si calcolino gli autovalori gli autovttori dlla matric A si dtrmini s A è diagonalizzabil oppur no Nl caso A sia diagonalizzabil, si dtrminino una matric diagonal d una matric invrtibil P tali ch = P AP Soluzion La matric A ha du autovalori distinti, λ = 3 λ 2 = 5, quindi è diagonalizzabil Un autovttor rlativo all autovalor λ = 3 è v = (2, 3), un autovttor rlativo all autovalor λ 2 = 5 è v 2 = ( 2, ) L matrici P richist sono rispttivamnt = 2) trminar gli strmi rlativi dlla funzion 3 0 4x y2 x 2 + y Soluzion opo avr calcolato l drivat parziali di f, si scopr ch i punti critici sono (3, 0) ( 3, 0) Calcolando 2/27 0 Hf(3, 0) = 0 5/27 2/27 0 Hf( 3, 0) = 0 /27 da cui si dduc ch (3, 0) è un punto di massimo rlativo, mntr ( 3, 0) è un punto di slla pr la funzion f 3) (a) Si scriva lo sviluppo in sri di Taylor al scondo ordin, all intorno dl punto (0, 3), dlla funzion (b) Calcolar, s sist, il it x cos(xy) (x + y) 2 sin(y) (x,y) (0,0) 3xy 2 Soluzion (a) Basta calcolar il valor dlla funzion f, dll su drivat prim f x 2 f 2 x f nl punto (0, 3) Utilizzando poi la formula pr lo sviluppo in sri di Taylor, si trova (b) Calcolando il it lungo l rtt y = mx si trova: f(0 + h, 3 + k) = + h 4h 2 + o(h 2 + k 2 ) + 2m + m2 f(x, mx) = x 0 3m ato ch il risultato trovato dipnd da m si conclud ch il it crcato non sist 4) Calcolar il sgunt intgral ov = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4; 0 y x} 2xy dll su drivat scond Soluzion Usando l coordinat polari, il dominio di intgrazion divnta = {(ρ, θ) ρ 2; 3 4 π θ π} 2ρ sin θ cos θ dρdθ Qusto intgral si calcola immdiatamnt il risultato è 3/4 2

3 Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola 3 Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric Si calcolino gli autovalori gli autovttori dlla matric A si dtrmini s A è diagonalizzabil oppur no Nl caso A sia diagonalizzabil, si dtrminino una matric diagonal d una matric invrtibil P tali ch = P AP Soluzion La matric A ha du autovalori distinti, λ = 5 λ 2 = 3, quindi è diagonalizzabil Un autovttor rlativo all autovalor λ = 5 è v = (, ), un autovttor rlativo all autovalor λ 2 = 3 è v 2 = (3, ) L matrici P richist sono rispttivamnt = 2) trminar gli strmi rlativi dlla funzion x2 + 2y x 2 + y Soluzion opo avr calcolato l drivat parziali di f, si scopr ch i punti critici sono (0, 2) (0, 2) Calcolando /8 0 Hf(0, 2) = 0 /8 3/8 0 Hf(0, 2) = 0 /8 da cui si dduc ch (0, 2) è un punto di slla, mntr (0, 2) è un punto di minimo rlativo pr la funzion f 3) (a) Si scriva lo sviluppo in sri di Taylor al scondo ordin, all intorno dl punto (0, ), dlla funzion (b) Calcolar, s sist, il it (x,y) (0,0) log(y) sin(xy) (2x + y) sin 2 (x + y) cos(x) x 2 y Soluzion (a) Basta calcolar il valor dlla funzion f, dll su drivat prim f x 2 f 2 x f nl punto (0, ) Utilizzando poi la formula pr lo sviluppo in sri di Taylor, si trova (b) Calcolando il it lungo l rtt y = mx si trova: f(0 + h, + k) = h + 2hk + o(h 2 + k 2 ) f(x, mx) = 2 + 5m + 4m2 + m 3 x 0 m ato ch il risultato trovato dipnd da m si conclud ch il it crcato non sist 4) Calcolar il sgunt intgral ov = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 6; 0 x y} 3xy dll su drivat scond Soluzion Usando l coordinat polari, il dominio di intgrazion divnta = {(ρ, θ) ρ 4; π/4 θ π/2} 3ρ sin θ cos θ dρdθ Qusto intgral si calcola immdiatamnt il risultato è 45/8 3

4 Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola 4 Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric Si calcolino gli autovalori gli autovttori dlla matric A si dtrmini s A è diagonalizzabil oppur no Nl caso A sia diagonalizzabil, si dtrminino una matric diagonal d una matric invrtibil P tali ch = P AP Soluzion La matric A ha du autovalori distinti, λ = 2 λ 2 = 6, quindi è diagonalizzabil Un autovttor rlativo all autovalor λ = 2 è v = (, 3), un autovttor rlativo all autovalor λ 2 = 6 è v 2 = (, ) L matrici P richist sono rispttivamnt = 2) trminar gli strmi rlativi dlla funzion x + y2 x 2 + y 2 + Soluzion opo avr calcolato l drivat parziali di f, si scopr ch i punti critici sono (, 0) (, 0) Calcolando 3/2 0 Hf(, 0) = 0 /2 3/2 0 Hf(, 0) = /2 da cui si dduc ch (, 0) è un punto di massimo rlativo, mntr (, 0) è un punto di minimo rlativo pr la funzion f 3) (a) Si scriva lo sviluppo in sri di Taylor al scondo ordin, all intorno dl punto (, 0), dlla funzion (b) Calcolar, s sist, il it log(2x) cos(xy) (x,y) (0,0) xy sin(x) 2(x y) 2 (x + y) Soluzion (a) Basta calcolar il valor dlla funzion f, dll su drivat prim f x 2 f 2 x f nl punto (, 0) Utilizzando poi la formula pr lo sviluppo in sri di Taylor, si trova f( + h, 0 + k) = log(2) + h 2 h2 2 log(2)k2 + o(h 2 + k 2 ) (b) Calcolando il it lungo l rtt y = mx si trova: m f(x, mx) = x 0 2(m ) 2 (m + ) ato ch il risultato trovato dipnd da m si conclud ch il it crcato non sist 4) Calcolar il sgunt intgral ov = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 5; x 0; y 3 x} xy 2(x 2 + y 2 ) dxdy, dll su drivat scond Soluzion Usando l coordinat polari, il dominio di intgrazion divnta = {(ρ, θ) ρ 5; 4 3 π θ 3 2 π} ρ sin θ cos θ dρdθ 2 Qusto intgral si calcola immdiatamnt il risultato è /8 4

5 Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola 5 Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric Si calcolino gli autovalori gli autovttori dlla matric A si dtrmini s A è diagonalizzabil oppur no Nl caso A sia diagonalizzabil, si dtrminino una matric diagonal d una matric invrtibil P tali ch = P AP Soluzion La matric A ha du autovalori distinti, λ = 2 λ 2 = 5, quindi è diagonalizzabil Un autovttor rlativo all autovalor λ = 2 è v = (, ), un autovttor rlativo all autovalor λ 2 = 5 è v 2 = (, 2) L matrici P richist sono rispttivamnt = 2) trminar gli strmi rlativi dlla funzion x2 + y x 2 + y Soluzion opo avr calcolato l drivat parziali di f, si scopr ch i punti critici sono (0, 3) (0, 3) Calcolando /54 0 Hf(0, 3) = 0 /54 3/54 0 Hf(0, 3) = 0 /54 da cui si dduc ch (0, 3) è un punto di slla, mntr (0, 3) è un punto di minimo rlativo pr la funzion f 3) (a) Si scriva lo sviluppo in sri di Taylor al scondo ordin, all intorno dl punto (, 0), dlla funzion (b) Calcolar, s sist, il it (x + ) 2 sin(xy) y 2 sin(xy) cos(x) (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 ) 2 Soluzion (a) Basta calcolar il valor dlla funzion f, dll su drivat prim f x 2 f 2 x f nl punto (, 0) Utilizzando poi la formula pr lo sviluppo in sri di Taylor, si trova (b) Calcolando il it lungo l rtt y = mx si trova: f( + h, 0 + k) = 4k + 8hk + o(h 2 + k 2 ) f(x, mx) = m 3 x 0 ( + m 2 ) 2 ato ch il risultato trovato dipnd da m si conclud ch il it crcato non sist 4) Calcolar il sgunt intgral ov = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 0; x y 0} xy 3(x 2 + y 2 ) dxdy, dll su drivat scond Soluzion Usando l coordinat polari, il dominio di intgrazion divnta = {(ρ, θ) ρ 0; 7 4 π θ 2π} ρ sin θ cos θ dρdθ 3 Qusto intgral si calcola immdiatamnt il risultato è 3/8 5

6 Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola 6 Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric Si calcolino gli autovalori gli autovttori dlla matric A si dtrmini s A è diagonalizzabil oppur no Nl caso A sia diagonalizzabil, si dtrminino una matric diagonal d una matric invrtibil P tali ch = P AP Soluzion La matric A ha du autovalori distinti, λ = λ 2 = 5, quindi è diagonalizzabil Un autovttor rlativo all autovalor λ = è v = (, 3), un autovttor rlativo all autovalor λ 2 = 5 è v 2 = (, ) L matrici P richist sono rispttivamnt = 2) trminar gli strmi rlativi dlla funzion 0 3 2x + 3y2 x 2 + y Soluzion opo avr calcolato l drivat parziali di f, si scopr ch i punti critici sono (2, 0) ( 2, 0) Calcolando /8 0 Hf(2, 0) = /8 /8 0 Hf( 2, 0) = 0 7/8 da cui si dduc ch (2, 0) è un punto di slla, mntr ( 2, 0) è un punto di minimo rlativo pr la funzion f 3) (a) Si scriva lo sviluppo in sri di Taylor al scondo ordin, all intorno dl punto (0, 2), dlla funzion (b) Calcolar, s sist, il it (y ) 2 cos(xy) (x,y) (0,0) (x y) 2 sin(xy) 3x 2 y(x + y) Soluzion (a) Basta calcolar il valor dlla funzion f, dll su drivat prim f x 2 f 2 x f nl punto (0, 2) Utilizzando poi la formula pr lo sviluppo in sri di Taylor, si trova (b) Calcolando il it lungo l rtt y = mx si trova: f(0 + h, 2 + k) = + 2k 2h 2 + k 2 + o(h 2 + k 2 ) x 0 2m + m2 f(x, mx) = 3( + m) ato ch il risultato trovato dipnd da m si conclud ch il it crcato non sist 4) Calcolar il sgunt intgral ov = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 3; 3 y x 0} 4xy dll su drivat scond Soluzion Usando l coordinat polari, il dominio di intgrazion divnta = {(ρ, θ) ρ 3; π/2 θ 5 6 π} 4ρ sin θ cos θ dρdθ Qusto intgral si calcola immdiatamnt il risultato è 3/2 6

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