{ 1, 2,..., n} Elementi di teoria dei giochi. Giovanni Di Bartolomeo Università degli Studi di Teramo

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1 Element d teora de goch Govann D Bartolomeo Unverstà degl Stud d Teramo 1. Descrzone d un goco Un generco goco, Γ, che s svolge n un unco perodo, può essere descrtto da una Γ= NSP,,. Ess sono: trpla d oggett: ( ), che ntervengono nel goco (ossa che prendono delle decson durante questo). 2. L nseme delle stratege, S, che è l prodotto cartesano degl nsem d stratege de sngol gocator. Una stratega per l gocatore -esmo s S è una descrzone delle decson che tale gocatore n ogn possble stuazone che gl s può presentare durante l goco, da cu segue S = S1 S2... S... Sn 1 Sn. 3. L nseme de payoffs del goco, P, un vettore d N funzon che hanno come domno S e come codomno, P( s) = ( P1 ( s),..., P( s),..., Pn( s) ), ossa assocano ad ogn combna-zone strategca un rsultato (payoff) ad ogn gocatore. 1. L nseme de gocator, N { 1, 2,..., n} Le stratege d cu al punto 2 s dstnguono n pure e mste. Una stratega è detta pura quando è scelta n base a payoff cert, s dce nvece msta se scelta n base a payoff de qual è nota solo la dstrbuzone d probabltà (naturalmente una stratega pura è un caso partcolare d stratega msta). Le stratege possono essere noltre contnue, se defnte n uno spazo contnuo, o dscrete. In generale, esstono dvers tp d goco e mod n cu le azon a dsposzone de gocator e le loro conoscenze s possono confgurare. 1. Innanztutto goch possono essere classfcat sulla base dell ordne n cu le mosse avvengono. Sono smultane quando gocator prendono le loro decson smultaneamente e qund devono prevedere le mosse de loro avversar; sono sequenzal quando gocator decdono n manera sequenzale e qund ognuno d loro osserva l azone de precedent, ma deve prevedere quella de successv. S not che ne goch smultane dove gocator muovono una volta sola, la decsone (azone) d ogn gocatore corrsponde alla loro stratega. Al contraro, ne goch sequenzal questa corrspondenza non vale pù, poché una stratega determna una regola d comportamento che non necessaramente concde con una azone, essendo defnta sulla base d quello che nel goco è ga successo (le azon degl altr gocator che hanno gà mosso). 2. I goch s defnscono unperodal (oppure one-shot), se gocator s ncontrano una volta sola per partecpare al goco, sa esso smultaneo o sequenzale, oppure possono essere multperodal (o supergoch) se gocator rpetono un goco unperodale pù volte. La rpetzone del goco può contnuare anche un numero nfnto d volte. Ogn rpetzone vene

2 chamata stado del goco, Ad ogn stado del goco multperodale, dato uno un nseme d condzon nzal, gocator decdono le propre stratege. 3. I goch s dstnguono anche n goch rpetut e goch dnamc. I goch rpetut sono un partcolare tpo d supergoch n cu sngol goch che s formano ne var stad del supergoco sono sempre ugual ossa sono una sequenze fnta o nfnta d goch unperodal dentc. Se nvece sngol goch che formano dvers stad d un supergoco sono dvers fra loro (dfferscono nelle regole d comportamento, nelle funzon d payoff, nell nseme delle possbl stratege o de gocator), l supergoco è detto dnamco 1. I goch possono essere rappresentat n due mod. Un goco n forma estesa (detta anche albero del goco) e rappresentato come un nseme d nod e d lnee. I nod ndcano gl stad del goco n cu gocator prendono le decson. Il nodo nzale e l nodo fnale del goco ndcano punt n cu l goco nza e termna. Le lnee ndcano le partcolar stratege, s, che gocator adottano n un determnato nodo. In un goco n forma estesa s defnsce percorso una qualsas sequenza d nod e lnee che unscono l nodo nzale a quello fnale (un esempo è dato dalle fgure del paragrafo 3). Un goco n forma normale (detta anche strategca) è rappresentato da una matrce che contene le nformazon su payoffs de gocator rsultant dalle dverse combnazon strategche che l goco ammette. La forma normale non permette d descrvere la sequenza delle azon scelte da gocator, per cu s presta a descrvere goch smultane 2, ma sequenzal. Le forme estesa e strategca possono essere utlmente usate solo quando le stratege e rsultat varano n modo dscreto (e sono fnt). Ne goch d poltca economca s utlzzano n genere stratege e payoffs defnt nel contnuo; d conseguenza, c s lmta alla descrzone degl nsem d stratege e alla specfcazone delle funzon, contnue, de payoffs. 4. I goch s dfferenzano anche n base all nformazone n possesso de gocator Informazon sulle azon degl altr gocator. Un goco s defnsce ad nformazone perfetta, se ogn gocatore sa sempre n quale nodo del goco s trova. Al contraro, n un goco ad nformazone mperfetta esste almeno una stuazone n cu un gocatore non sa n quale nodo del goco s trov. S defnsce nseme d nformazone un nseme d dfferent nod fra loro ndstngubl per l gocatore a cu tocca fare la mossa n quello stado del goco. In un goco ad nformazone perfetta ogn nseme d nformazone contene un solo nodo, mentre n un goco ad nformazone mperfetta esste almeno un nseme d nformazon d un gocatore che contene pù d un nodo Informazon sugl element del goco (gl element d Γ ). Un goco s dce ad nformazone completa se ogn gocatore conosce tutt 1 S not che spesso per goco dnamco s ntende nvece un goco sequenzale. 2 In realtà utlzzando gl nsem nformatv (lnee che unscono dvers nod, mplcando che l gocatore non sa n quale de nod s trov) è possble descrvere goch smultane medante l albero del goco.

3 gl spaz delle stratege de gocator, tutte le funzon d payoffs, sa che tutt gocator dspongono d tal nformazon e che, a loro volta, sanno che gl altr le dspongono (common knowledge). In un goco ad nformazone mperfetta, nvece, almeno un gocatore non è a conoscenza d almeno un parametro del goco. John Harsany (1967) ha dmostrato come ogn goco ad nformazone ncompleta possa essere trasformato n un goco ad nformazone mperfetta ntroducendo un gocatore addzonale, la natura, che muove per prmo e scegle le caratterstche sconoscute a gocator 3. Nella fgura seguente rportamo un goco n forma estesa e n forma strategca. S not che alla stessa forma strategca possono corrspondere dvers goch (la relazone tra le due forme non è unvoca). Gocatore 1 Gocatore 2 A B S2 1 0,0 3,2 S2 2 2,3 1,1 S2 1 S2 2 S2 1 S2 2 (0,0) (2,3) (3,2) (1,1) Fgura 1 Rcordate che la lnea trattegga determna l set nformatvo del gocatore. Nel caso della fgura descrtta sopra l gocatore 2 non sa n quale nodo s trova, qund, d fatto, due gocator gocano contemporaneamente. S tratta d un goco ad nformazone perfetta e completa, unperodale, smultaneo, statco, non rpetuto tra due gocator. 2. L equlbro d Nash L equlbro d un goco è un esto dal quale nessuno de gocator ha nteresse a devare. Questa non è l unca defnzone d equlbro proposta dalla letteratura, ma è la pù utlzzata. 3 Per questo contrbuto Harsany ha rcevuto, nel 1994, l premo Nobel per l economa asseme a John Nash e Renhard Selten.

4 Il prmo concetto d equlbro è stato proposto da Nash nel S consder un goco non cooperatvo Γ= ( NSP,, ) ad nformazone completa, n cu gocator s ncontrano una volta sola e scelgono smultaneamente le rspettve stratege. Equlbro d Nash. Una combnazone strategca s * = ( s * * * * * 1,..., s 1, s, s+ 1,..., sn) costtusce un equlbro d Nash del goco one shot ( NSP,, ) Γ= se cascun gocatore massmzza la propra funzone d payoff rspetto alla propra stratega, date le stratege P s * P s *,..., s *, s, s *,..., s * per ogn stratega d tutt gl altr gocator, ossa ( ) ( n) s S e per ogn gocatore N. Una combnazone strategca è qund un equlbro d Nash se, supposto che tutt gl altr gocator mantengano nvarate le propre stratege, nessun gocatore ha nteresse a devare da essa. Se l goco s svolge n modo smultaneo nessun gocatore conosce la stratega degl avversar e l equlbro d Nash può correttamente essere nterpretato come un vettore d aspettatve che godono della propretà che ogn gocatore non ha nteresse a cambare le propra stratega se le sue aspettatve sulle scelte degl altr s realzzano. L esstenza dell equlbro d Nash è asscurata dal seguente teorema. Esstenza dell equlbro d Nash. Un goco smultaneo, unperodale e ad nformazone completa possede sempre almeno un equlbro d Nash n stratege pure se sono verfcate le seguent condzon: (1) S è un nseme convesso e compatto (chuso e lmtato) per ogn N; (2) P( s1,..., s,..., s n) è una funzone defnta, contnua e lmtata per ogn s S ed ogn N; (3) P( s1,..., s,..., s n) è una funzone concava rspetto a s, per ogn s S ed ogn N. S not che goch descrtt n forma normale non soddsfano l requsto (1) per cu non necessaramente hanno un equlbro d Nash. Nash ha dmostrato che ne goch con stratege dscrete esste sempre almeno un equlbro n stratege mste. I goch d poltca economca sono, nvece, generalmente defnt su nsem d stratege contnu, ma non necessaramente per funzon d payoff concave rspetto alle stratege. Il modo pù semplce per determnare una combnazone strategca che form un equlbro nel senso d Nash è quello d utlzzare le funzon (o corrspondenze) d reazone d cascun gocatore. Una funzone d reazone è un nseme d stratege tal che, date le stratege d tutt gl altr gocator, l payoff per l gocatore è l massmo possble. Funzone d reazone. In un goco ( NSP,, ) Γ= defnamo l nseme delle reazon ottmal d N l seguente sottonseme d S : B = s S : P s,..., s,..., s P s,..., s 0,..., s, s 0 S. { ( 1 ) ( 1 ) } n n Nel caso n cu la funzone d payoff dell -esmo gocatore ammetta un unco punto d massmo rspetto as s, date le stratege d tutt gl altr gocator, l nseme defnsce un solo valore per ogn combnazone d stratege degl avversar. In questo caso s può R s arg max P s defnre la funzone d reazone del gocatore -esmo come: ( ) ( ) =

5 N, dove s = ( s1,..., s 1, s+ 1,..., sn). L potes d stretta concavtà della funzone d payoff asscura che la soluzone d R( s ) sa costtuta da un unco valore d s espresso n funzone d tutte le altre stratege s. La stratega s è qund la reazone ottma dell -esmo gocatore, se massmzza la funzone d payoff, date le stratege d * tutt gl altr avversar; d conseguenza, tutte le combnazon strategche s che formano un equlbro nel senso d Nash soddsfano la condzone che sa un punto d equlbro * se e solo se s B, per ogn N. Il concetto d funzone d reazone c permette d consderare una versone pù restrttva dell equlbro d Nash basata sulla defnzone d stratega domnante. Una stratega s s dce domnante se costtusce la reazone ottmale a qualsas stratega possa essere scelta dagl altr gocator, ovvero, qualunque sa la stratega scelta dagl altr gocator, per l gocatore -esmo è ottmale sceglere s. In modo formale s defnsca nel seguente modo: P( s, s ) P( s, s ) per s s, s S, s S e, a dfferenza d quanto avvene nell equlbro d Nash, s S. Un equlbro con stratege domnant è una combnazone strategca defnta dalle stratege domnant d ogn gocatore. Naturalmente, un equlbro con stratege domnant è un equlbro d Nash, ma non è vero l contraro. Abbamo vsto come non necessaramente l equlbro d Nash n un goco esste, ma anche l caso opposto s può verfcare ossa quello della molteplctà d equlbr. La molteplctà d equlbr mplca un problema d selezone dell equlbro. Tuttava, s può mostrare che, se le funzon d reazone sono lnear, l equlbro, se esste, è unco (l che non è affatto sorprendente). In termn pù general, se l goco è one-shot smultaneo, ad nformazone completa e se la funzone d reazone è una contrazone, allora l equlbro d Nash, se esste, è unco. S rcorda che una contrazone è defnta nel modo seguente. Sa f ( x ) una funzone m n con domno A e codomno B, f ( x ) è una contrazone se esste uno scalare postvo λ < 1 tale che per ogn x, x A, d( f ( x), f ( x )) λd( x, x ), dove l operatore d è la dstanza tra due punt Goch sequenzal ed equlbro perfetto L equlbro d Nash, oltre a problem d unctà e molteplctà, presenta anche un altra debolezza. In un goco sequenzale o mult perodale, l equlbro d Nash non è sempre soddsfacente. Est mprobabl sono, nfatt, spesso equlbr d Nash. S consder l goco rappresentato nella seguente fgura n forma estesa e normale. Le combnazon (S1 1, S2 2 ) e (S1 2, S2 1 ) sono entrambe un equlbro d Nash come s può faclmente verfcare dalla tabella. L equlbro (S1 1, S2 2 ) s basa, tuttava, sulla mnacca non credble d gocare S2 2, ma l gocatore 2 non gocherà S2 2 se l gocatore 1 goca S1 2 e l gocatore 1, che goca per prmo, lo sa. 4 S not che tutte le funzon lnear sono contrazon.

6 Gocatore 1 Gocatore 2 A B S2 1 S2 2 S2 1 S2 2 S2 1 0,0 3,2 S2 2 2,3 1,1 NASH EQ. PERFETTO (0,0) (2,3) (3,2) (1,1) Fgura 2 In modo pù rgoroso, nel goco sequenzale le stratege non corrspondono alle azon, ma devono essere defnte come nella fgura successva. Le stratege vanno pensate come le struzon che un gocatore da ad un suo rappresentante, quest deve sapere cosa fare n tutte le possbl stuazon. Gocatore 1 Gocatore 2 A B Sempre S2 1 0,0 3,2 Sempre S2 2 2,3 1,1 S2 1 (S2 2 ) se S1 1 (S1 2 ) 0,0 1,1 S2 2 (S2 1 ) se S1 1 (S1 2 ) 2,3 3,2 S2 1 S2 2 S2 1 S2 2 (0,0) (2,3) (3,2) (1,1) Fgura 3 Le stratege del gocatore 1 sono mmutate, mentre quelle del gocatore 2 dventano: goco sempre S2 1, sempre S2 2, goco S2 1 (S2 2 ) se osservo S1 1 (S1 2 ), goco S2 2 (S2 1 ) se osservo S1 1 (S1 2 ).

7 Renhard Selten nel 1975 ha proposto una nuova defnzone del concetto d equlbro d Nash per delmtare l vasto numero d possbl equlbr d un goco ed elmnare quell meno convncent. Il raffnamento proposto da Selten prende l nome d equlbro perfetto, d cu analzzamo una versone partcolare, denomnata equlbro perfetto n ogn sottogoco (subgame perfect). L ntuzone d Selten è che l comportamento de gocator deve essere ottmo qualsas sa la stuazone n cu s vengono a trovare. All nterno dell albero nzale del goco, oltre al cammno d equlbro, s possono dentfcare de sottonsem d nod e cammn, chamat sottogoch, che hanno ess stess caratterstche tal da essere consderat goch. Un sottogoco può essere defnto come segue. Sottogoco. Un sottogoco è un sottonseme del goco nzale del goco nzale tale che le seguent condzon sono soddsfatte: (1) l sottogoco nza con un nseme d nformazone che contene un unco nodo; (2) tutt gl nsem d nformazone del sottogoco sono nsem d nformazone del goco nzale; (3) se un certo nodo x può essere raggunto dal nodo selezonato, allora devono poter essere raggunt tutt gl altr nod che appartengono all nseme d nformazone d x. Ad esempo, nel goco descrtto nella fgura precedente s possono dentfcare 3 sottogoch: l goco orgnale e due dvers possbl goch uno per ogn scelta del gocatore 1 ( goch che nzano n A e B). Un equlbro perfetto ne sottogoch s può defnre come segue. Equlbro perfetto ne sottogoch. La combnazone strategca σ * è un equlbro * perfetto nel goco Γ se σ costtusce un equlbro d Nash n ogn sottogoco d Γ. La dfferenza tra equlbr perfett ed equlbr d Nash è che prm elmnano quegl equlbr d Nash che s basano su mnacce non credbl, ossa su mnacce che non verrebbero ma attuate. Per saperne d pù. Gbbons R. Teora de Goch, Il Mulno, Bologna, Captol 1 e 2.

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