Floating Point N = M BE. Notazione in virgola mobile. base. esempi = =

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1 Floating Point Notazione in virgola mobile N = M BE mantissa base esponente esempi = = forma normalizzata: la mantissa ha una sola cifra ( 0) prima del punto. Quando la base è 2 la forma normalizzata è: 1. xxxxxxx 2 yyyy esponente rappresentazione in base 2 della parte significativa della mantissa

2 Rappresentazione floating point (precisione semplice) IEEE 754 floating-point standard s esponente + bias parte significativa 8 bit 23 bit segno del numero 1 bit rappresentazione segno + modulo parte significativa della mantissa normalizzata bias = 127 (to bias ~ influenzare) biased exponent / biased notation = 127 rappresentazione senza segno N = (-1) s (1+ 0. parte significativa) 2 esponente = = 126 = (-1) 0 ( ) = = = 126 = (-1) 1 ( ) =

3 Quale è la rappresentazione decimale di ? =============== e di ? 1 + 1/2 + 1/4 = =================== e di ? (3 + 1/2) 2-1 = / 2 = ====================== e di ? = 7 /4 = = 7 /8 = = = ( ) /4 = = = ( ) /2 =

4 Overflow e Underflow Quali numeri si possono rappresentare con la notazione introdotta? L overflow avviene quando l esponente è troppo grande e non è più rappresentabile con gli 8 bit assegnati. Il valore piu' grande possibile sarebbe: =( 2 8 1) = = 128 In realtà l esponente viene riservato per indicare situazioni anomale. Quindi il più grande esponente utilizzabile è 127. Si può verificare anche la situazione opposta (undeflow): l esponente diviene troppo piccolo. Il piu' piccolo valore rappresentabile sarebbe = ma anche in questo caso la rappresentazione viene riservata alla rappresentazione dello zero, quindi il più piccolo esponente utilizzabile è rappresenta lo zero (N.B.: non c e una forma normale per lo zero)

5 Rappresentazione floating point (doppia precisione) s esponente parte significativa - inizio 11 bit 20 bit continuazione parte significativa 32 bit ============= Quale è la rappresentazione in doppia precisione del numero = / 4 = ? = 1022 = =

6 Addizione di numeri in virgola mobile Esempio (base 10) Dobbiamo portare allo stesso esponente e poi sommare. Esempio: La somma è e la sua forma normalizzata è (cinque cifre!) Problema: Il numero di cifre che possiamo memorizzare e' limitato. Supponiamo ad esempio di non poter memorizzare più di 4 cifre Possiamo troncare => o arrotondare =>

7 Arrotondamento Puo esserci arrotondamento solo se nelle operazioni intermedie il numero delle cifre memorizzate e superiore a quello definitivo. Esempio. (Continuiamo a supporre di non poter memorizzare più di 4 cifre) Bit di guardia Bit di arrotondamento Risultato arrotondato: Troncando prima di sommare si avrebbe: ============== Osservazione: l arrotondamento può richiedere un ulteriore normalizzazione. Esempio = =

8 Esempio con numeri binari Passo 1. Portiamo i due numeri allo stesso esponente scegliendo l esponente più grande tra i due (in questo caso -1). Passo 2. Sommiamo le mantisse (-0.111) = Passo 3. Normalizziamo (controllando overflow o underflow) = Passo 4. Arrotondiamo (e se necessario normalizziamo nuovamente) (in questo caso non c è nulla da fare) ============================================== Osservazione. Si considerino e e si supponga di non poter memorizzare piu' di 4 cifre (in questo esempio non consideriamo i bit di guardia e di arrotondamento) esponente comune 2 : esponente comune 2 : Dopo l'allineamento, nel primo caso viene trascurato 2 5 mentre nel secondo caso si trascura

9 La proprietà associativa non vale per la somma di numeri in virgola mobile. Supponiamo di avere a disposizione solo 4 cifre per memorizzare il risultato della somma e consideriamo la somma dei tre valori: Calcoliamo (a+b) + c a = b = c = (a b) c Calcoliamo a + (b + c) a (b c)

10 Moltiplicazione di numeri in virgola mobile Esempio (base 10) Supponiamo di non poter memorizzare più di 4 cifre. 1. Calcoliamo l esponente del risultato 10 + (-5) =5 (**) 2. Moltiplichiamo le mantisse : = Normalizziamo il risultato: = Arrotondiamo se necessario: = Determiniamo il segno. (**) Se si usa la notazione biased si deve tener conto del fatto che il valore memorizzato è stato incrementato della quantità bias Ad esempio con bias =127 il valore memorizzato nei bit dedicati all esponente sarebbe stato: In questo caso, per ottenere l esponente corretto del risultato bisogna calcolare ( ) + ( ) = 132 (= )

11 Esempio con numeri binari Calcolo esponente = = 124 Nuovo esponente: Calcolo prodotto mantisse = = = Normalizzazione e controllo overflow e/o underflow. è a posto Arrotondamento. Segno

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