NOTE INTRODUTTIVE ALLA STATISTICA MEDICA. G.Gilli G.C.Candini

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1 NOTE INTRODUTTIVE ALLA STATISTICA MEDICA G.Gilli G.C.Candini

2 INDICE DEGLI ARGOMENTI Prefazione STATISTICA DESCRITTIVA I tipi di dati Scale nominali Scale ordinali Scale intervallo Rappresentare i dati Percentili Indici di posizione Media aritmetica Media geometrica Media armonica Mediana Moda Distribuzione di frequenze LE BASI DELL INFERENZA STATISTICA Dispersione dei dati Varianza e deviazione standard Coefficiente di variazione Elementi di statistica inferenziale Intervallo fiduciale Confronto tra medie Analisi di varianza ANOVA multivariata Cluster analysis Analisi discriminante Analisi fattoriale Regressione lineare semplice Regressione logistica Coefficiente di correlazione lineare (o di Pearson) Analisi non parametriche Tavole di contingenza e test sulle frequenze Metodo esatto di Fisher Analisi di sopravvivenza Analisi R.O.C. Metanalisi Conclusione 2

3 Appendice : Richiami di matematica Espressioni Le potenze Estrazioni di radice I logaritmi Ancora sulle espressioni L'algebra Le equazioni La geometria analitica Sistemi di equazioni Regressione lineare Correlazione 3

4 4 Prefazione Il grande vuoto della nostra professione è dato dall ASSENZA ASSOLUTA DI DATI DI RITORNO frutto dell analisi statistica, epidemiologica, scientifica dei dati clinici (e non) in nostro possesso. Così si esprime un medico di base di Savignano (gennaio 92), in una lettera ai curatori di una rivista di settore. Il lamento è generale e accomuna medici di famiglia, quotati reparti, divisioni ospedaliere e cliniche universitarie. Se poi si tiene conto che oggi è praticamente impossibile pubblicare senza un adeguato apparato statistico di accompagnamento, risalta immediatamente la carenza di analisi del flusso di dati che colpisce le strutture della sanità. Che tale flusso contenga informazioni utili è chiaro anche al più distratto degli operatori. Il solo ammontare dei dati in una certa direzione è indicativo di mode e mentalità di un corpo sociale di cui pazienti & medici sono un ricco campione. Non di rado l'esame di questo flusso indica quanto un certo movimento sia più il risultato di opinioni correnti, che non l'applicazione di metodiche efficaci ed efficienti. Chi ci aiuta a condurre simili necessarie distinzioni è la statistica. La Statistica è una scienza discussa e soggetta ad ironiche osservazioni cui presta il fianco il suo congenito vizio' di estendere una singola deduzione a tutta una problematica; quasi un vestire le più diverse taglie umane con un modello a misura unica. Eppure il credito di tali strane tecniche è progressivamente cresciuto quando è apparso chiaro agli occhi di tutti che alcune migliaia di voti sono sufficienti alla statistica per fornire il risultato di elezioni che si concluderanno solo 24 ore dopo con molti milioni di voti in più. Qualcosa del genere vale anche per la meteorologia, ugualmente bersaglio di frecciate ironiche, dopo un week end sotto pioggia battente che la meteorologia aveva descritto solo un po variabile. E' la nostra mente che spinta dalla forza dell'evoluzione ad impegnarsi sul vicino e contingente, stenta a vedere i nessi tra molti dati, le possibili sinergie e soprattutto il peso da attribuire ad entità lontane, apparentemente libere. Così l'acida ironia per aver preso la pioggia in una certa incassata valle alpina, ci nasconde che nel resto della regione le cose possono essersi svolte affatto diversamente, o che la parte dello stipendio 'medio' che non affluisce nelle nostre tasche fluisce però in quelle di molti altri vicini o colleghi, cosa di cui solo la statistica sembra accontentarsi. Ma tant'è: lontano dagli occhi lontano dal cuore e dalla nostra mente; che è un altro modo per dire che ciò che muove il nostro interesse ed il nostro ragionamento è quello che ci colpisce da vicino e che adottiamo poi come soluzione immediata e semplificata di problemi spesso complessi. Eppure è tutto il mondo contemporaneo ad essere cresciuto in complessità, è l'edificio sociale che andiamo costruendo che non può più reggersi sulla vecchia economia dei piccoli gruppi del passato cui era sufficiente la navigata esperienza di un singolo saggio. I legami sono multipli, estesissimi ed ogni decisione si ripercuote lontano. Alla complessità si addicono allora modelli complessi per simulare lo sviluppo di fenomeni a molte componenti. Chi potrebbe altrimenti accorgersi che l'uso di un'innocua bomboletta spray innesca il fenomeno del buco nell'ozono in alta atmosfera o che il fumo di sigaretta è inevitabilmente connesso con l'incidenza dei tumori, non solo polmonari? E necessario che ci convinciamo a fondo di queste caratteristiche salienti del nostro vivere per 'riconciliarci con il flusso di dati di cui siamo sempre più destinatari e sorgente.

5 Troppo spesso si attribuisce l invasione di moduli, questionari e domande alla burocrazia la quale però si trova sempre più spesso ad essere la prima vittima di ineludibili esigenze a cui risponde (.. qui è la colpa) con metodiche inadeguate e con profluvi di carte e modulari. Non l esigenza del dato ma il metodo è spesso errato. Noi vogliamo pensioni rapidamente liquidate con la ricongiunzione di periodi contributivi effettuati lontano nel tempo presso aziende diverse e diversamente ubicate, Ciò significherebbe, con l usuale burocrazia, lettere di richiesta (..per posta), polverosi scaffali a qualche metro d altezza in afosi sotterranei o sacrificate soffitte dove sono ammassate pratiche aperte magari nell anteguerra, plichi (..postali) di ritorno, controlli manuali di adeguatezza, calligrafie malamente comprensibili, richiesta di chiarimenti ( postali) ed eventualmente con interposte competenti commissioni che redigono corposi verbali, ecc., ecc. Nessuno dubita che quei dati siano necessari, come nessuno può ignorare che il problema, enormemente cresciuto col crescere delle classi tutelate dalla sicurezza sociale, non può essere risolto coi metodi tradizionali. Occorre una evoluzione-rivoluzione culturale. Evoluzione. Perché le soluzioni praticabili devono essere graduali al punto che in molti settori si dovrebbe procedere su due binari contemporaneamente dato che l impianto di nuove tecniche richiede addestramento, adattamento, revisione rapida mentre tuttavia, nel quotidiano, si deve mantenere il vecchio metodo cui tutti sanno mettere mano e che non pone imprevisti. Rivoluzione. Perché al termine del passaggio più delicato si constaterà che un vero oceano separa le moderne metodiche dalle precedenti. Quanto abbiamo detto esulerebbe in parte dalla problematica della statistica medica se non fosse che alla base di tutte le nuove tecniche di trattamento dell informazione c è innanzi tutto la raccolta delle informazioni. L informatica con le adeguate soluzioni hardware (le macchine) e software (i programmi) è capace di intercettare qualsiasi flusso di informazione e restituirlo ordinato al potenziale utente per una semplice consultazione o per cercarne le caratteristiche leganti o le significative diversità. Ma c è un inevitabile gap culturale da superare colmo di piccole personali pesantezze che portano a giudicare un aggravio ciò che è solo poco noto e che ha il torto di esigere una forma di apprendimento permanente cui però nessun operatore sanitario può più onestamente pensare di sottrarsi. Anzi queste tecniche agevolano tale apprendimento e facilitano potentemente il riciclo della propria iniziale formazione culturale. Aumentano sul mercato pacchetti di istruzione multimediale che per immagini e suoni aggiornano l utente spesso divertendo e solleticando la sua curiosità differenziando quindi anche la profondità d uso. La crescente velocità delle macchine e l ampiezza delle memorie elettroniche diviene disponibile a prezzi sempre più ridotti. E disorienta il neofita la rapidità dei cambiamenti e la molteplicità delle soluzioni proposte. I pericoli che un mercato vasto e differenziato comporta, si affrontano con l aiuto di esperti, anche più di uno per i diversi settori, e con la gradualità con cui deve innestarsi l informatica nel nostro ambito di attività. E importante che dapprima si veda una soluzione informatica lavorare sulla stessa problematica che noi dobbiamo affrontare. In altre parole è bene iniziare per imitazione di soluzioni e non obbedendo a stimoli pubblicitari che nascondono le difficoltà e propongono apparati scintillanti ma ovviamente non calibrati sulle nostre esigenze. La storia è vecchia e sempre nuova. Concludendo, questa lunga dissertazione vorrebbe aver chiarito, un poco, che: - la quantità di informazioni richieste e prodotte è una necessità dei tempi - senza adeguati strumenti tecnici il flusso di informazioni è un alluvione incontenibile 5

6 6 - la disponibilità del dato, già importante in sé, diventa decisiva per le scelte future quando ci si dispone ad analizzare l'informazione racchiusa nel dato stesso. Sui primi due punti abbiamo già detto. Sull'ultimo che è il campo specifico della statistica medica diremo diffusamente più avanti.

7 7 INTRODUZIONE ALLA STATISTICA MEDICA I Parte : STATISTICA DESCRlTTIVA Introducendo il tema abbiamo parlato diffusamente della necessità e della difficoltà di raccogliere, catalogare e riutilizzare i dati che scaturiscono dalla attività sanitaria. Grandi possibilità di migliorare le proprie scelte si aprono a chi riesce a riflettere sui mille tasselli del quotidiano che ad una certa 'distanza' si compongono a delineare un panorama. Non di una distanza spaziale si tratta, come quella che consente ai satelliti di valutare stato e risorse di immensi territori, ma di una visione d assieme che abbraccia veri continenti di informazioni per lo più ignoti. Non il razzo ma il computer, non la fotogrammetria ma la statistica rivela le 'regole' di eventi apparentemente casuali solo perché visti da vicino, a grana troppo grossa. Le ricordate difficoltà non dovrebbero spaventare più di tanto perché potenti strumenti, accessibili ormai a tutti consentono oggi di dominare il mare di eventi, solo che si voglia fare una breccia nella routine quotidiana dando corpo alla discussa 'formazione permanente'. Fotografare i nostri dati Il metodo più semplice per la descrizione dei risultati di un esperimento è la rappresentazione in serie ordinata dei dati numerici grezzi. Tale metodo presenta tuttavia notevoli limitazioni sia per la scarsità delle informazioni fornite, sia per la difficoltà di ordine pratico nella rappresentazione di grandi quantità di dati. In quest'ultimo caso è spesso utile distribuire i dati in classi e determinare la frequenza, cioè la numerosità di ciascuna classe, e quindi procedere a rappresentare i risultati. ottenuti sotto forma di grafico. I tipi di dati Tuttavia per decidere quale strumento di rappresentazione usare ci si deve chiedere con che tipo di dati si ha a che fare. Dire infatti 'dato' è dire qualcosa di molto generico: noi trattiamo di dati suscettibili di elaborazione statistico-matematica. Ma pure con questa limitazione possiamo distinguere diverse categorie di dati. - scale nominali - quando la distinzione tra le varie classi non implica alcun rapporto misurabile. Es.: la classifica in maschi e femmine è tipicamente 'nominale' anche se usiamo dei codici numerici come 1 e 2 per rappresentare i due sessi. Essere maschio-1 o femmina-2, o viceversa, non implica affatto che il gruppo 2 sia più grande del gruppo 1. - scale ordinali - quando i dati stabiliscono tra loro almeno un rango, cioè un ordine che permetta una classificazione univoca. Es.: nei dosaggi crescenti di un farmaco si può essere interessati al

8 8 fatto che il dosaggio A sia minore di quello B e quest ultimo sia minore di quello C senza preoccuparsi degli intervalli di grandezza tra i dosaggi (magari perché gli effetti possono essere discontinui, a soglia). La situazione si può riscontrare se lo scopo è di studiare un trend, una tendenza, per cui un effetto si manifesta al crescere, più o meno rilevante, dalla dose A alla dose B. scale intervallo - quando i dati sono numeri che rappresentano delle misure le quali, proprio perché tali, mantengono tra loro un rapporto misurabile. Es.: tra i dati pressori seguenti: non solo si stabilisce una sequenza senza ambiguità per la quale, p.es. 180 è più grande di 160 e sta dopo quest ultimo, ma si dice pure quale è il valore dell'intervallo che li separa, che infatti è la metà di quello che separa 180 da 210 ed il doppio di quello tra 210 e 220. A seconda del tipo di dato, calcoli e rappresentazioni non possono essere che conseguenti : su scale NOMINALI si potranno fare dei conteggi: quanti sono i maschi che...?,quante le femmine che hanno..?. Su una scala INTERVALLO potremo fare considerazioni molto più dettagliate del tipo : qual è il valore medio delle mie misure di pressione...?.., questo valore medio è significativamente più grande dell'altro? ecc., ecc.. I dati su una scala intervallo' possono essere sempre ridotti alle altre scale perdendo in contenuto d'informazione. Non e' ovviamente possibile il viceversa. - Rappresentare i dati In statistica sono utilizzati diversi tipi di grafici, secondo la natura dei dati e lo scopo che si vuole raggiungere. Tra questi tipi ricordiamo il grafico a barre (o rettangoli), come si ha in fig. 1, il grafico a barre sovrapposte come si vede in fig. 2, il grafico circolare (o torta' o 'pie chart ), come in fig. 3, l ideogramma, fig. 4, ed altri. Fig. 1 Fig. 2

9 9 Fig. 3 Fig. 4 Tutti questi adatti a scale nominali o ridotte tali. Per la rappresentazione grafica di una distribuzione di frequenze (cioè delle numerosità di vari gruppi di cui si sta trattando) di una variabile continua, come la pressione arteriosa, l'indice di massa corporea (Body Mass Index), la statura corporea e molte altre, si usano gli istogrammi o i poligoni di frequenza. L istogramma non è altro che un insieme di rettangoli aventi la base centrata sul valore centrale delle classi considerate, la lunghezza uguale all'ampiezza delle classi e l'altezza proporzionale alle frequenze delle classi stesse (fig. 5). Fig. 5 L ampiezza delle classi è un compromesso tra la quantità di casi disponibili ed il dettaglio con cui si vuole analizzare la variabile. Per esempio, volendo analizzare la variabile età dei nostri pazienti,

10 10 dopo aver preso visione dei dati si potrebbero costituire tre classi di età per intervalli di 10 anni ciascuna 40-50, 50-60, con valori centrali di classe : 45, 55, 65. Ma per un maggiore dettaglio, sempre che disponiamo di casi, si potrebbero costituire 7 classi di cui le due estreme 'aperte'. Sarebbe inutile e sciocco costituire molte classi per ognuna delle quali ci fossero solo pochi o pochissimi casi. - fino a 40 - da 41 a 45 (valore centrale 43) - da 46 a 50 ( 48) - da 51 a 55 ( 53) - da 56 a 60 ( 58) - da 61 a 65 ( 63) - da 66 a 70 ( 68) - oltre 70 L istogramma differisce dal. diagramma a barre (bar chart) perché mentre quest'ultimo, lungo l'asse orizzontale pone delle categorie senza significato numerico (p.es. le categorie del sesso), l'istogramma porta una variabile continua e definita in tutto l intervallo. Il termine istogramma è spesso usato genericamente ad indicare anche il diagramma a barre poiché la rappresentazione a rettangoli di varia altezza è simile. La differenza è in realtà sostanziale poiché l asse orizzontale di un istogramma è una variabile continua mentre per il bar chart è solo un riferimento su cui impostare le barre. Quell asse rappresenta infatti solo una variabile nominale (come p.es. il sesso) o ordinale (categorie ordinate). I poligoni di frequenza, derivati o parenti degli istogrammi, sono grafici a linea spezzata delle frequenze delle classi dove la linea di rappresentazione passa per i valori centrali delle classi stesse (fig. 6). Fig. 6 Con questi si tende a sottolineare maggiormente l andamento delle frequenze lungo i vari gruppi.

11 11 Frequentemente sono impiegate le cosiddette 'distribuzioni di frequenza cumulative' ottenute riportando sotto forma, di istogramma o di poligono di frequenza i valori inferiori al confine superiore di una data classe (fig. 7). Fig. 7 Questa ultima rappresentazione, se la scala cumulativa ha 100 come fondo scala, ossia viene espressa in percentuale, aiuta visivamente a individuare i percentili quei valori della variabile al di sotto dei quali sta una fissata percentuale di casi della distribuzione data. Per esempio, analizzando una variabile tempo (in anni), la curva ci indicherà quale anno porta dietro di sé il 50% delle osservazioni (o casi), o il 5%, il 10% ecc.. Oltre ai percentili si parla anche di decili e quartili che, analogamente ai percentili, dividono le distribuzioni in decimi ed in quarti. Va da sé che il 50 percentile, il 2 quartile ed il 5 decile, che identificano la mediana della distribuzione, coincidono, come si vede dallo schema sottostante : quartili % decili % percentili % Una distribuzione di frequenze, rappresentata in forma di istogramma o di poligono, qualora si riduca l ampiezza delle classi, subisce un livellamento, perdendo progressivamente la forma a gradini, fino ad assumere l aspetto di una curva smussata continua. Ciò equivale ad avere un elevato numero di casi anche se in classi sempre più strette. (cfr. fig. 8)

12 12 Fig. 8 I connotati di un gruppo di dati : gli indici di posizione L opportunità di analizzare i propri dati, specialmente se molto numerosi, in forma di istogrammi, risulta particolarmente evidente quando il grafico stesso mostra distribuzioni bimodali e plurimodali, cioè quando si evidenziano due o più classi di dati, rispettivamente, presentanti un picco rispetto alle classi adiacenti (cfr. ultimi profili di fig. 9). Fig. 9 Ciò indica che i casi in esame non sono omogenei per il carattere in studio, ma provengono, probabilmente, da diverse popolazioni. Se analizziamo la distribuzione dei pesi corporei di individui di specie a forte dimorfismo sessuale (grandi differenze fisiche tra maschi e femmine) come avviene ad esempio nei trichechi o nei rospi, vedremo una curva bimodale che dimostra come ciascuna popolazione non sia omogenea per il carattere peso' ma sia in realtà costituita da

13 13 due gruppi (i due sessi) che andrebbero analizzati separatamente per quel carattere. La rappresentazione grafica dei dati mostra anche le tendenze e le dissimmetrie insite in essi come si vede dai profili di fig. 8. Da qui la grande utilità di analizzare la distribuzione completa (per istogrammi), dei propri casi, relativamente ai caratteri in studio. Oltre ad analizzare la distribuzione d insieme dei dati è indispensabile produrre alcuni indicatori che descrivano sinteticamente con pochi numeri le caratteristiche salienti della distribuzione sotto studio. Tali parametri sono : la media, la mediana, la moda e sono sovente riportati con il nome di parametri di tendenza media ed opportuni indici di scostamento ( scatter ) dell insieme dei dati intorno a media e mediana. - La media aritmetica La più intuitiva di tali misure è la media aritmetica che ripartisce in modo identico, su ciascun caso, il totale del valore sommato sui singoli casi. Matematicamente: dati n casi (o dati), da 1 a N, in cui X i sia un generico caso tra gli N, si definisce la media aritmetica come: N i X i 1 (1) Media = N ossia : sommatoria da 1 a N di ciascun i-esimo caso diviso per il numero di casi. La sommatoria è indicata col simbolo maiuscolo greco (sigma). Es. Dati i valori seguenti. di pressione sistolica massima, rilevati ogni 12 ore su un certo paziente, per 7 giorni, trovare la pressione media della settimana giorno ore ore la media aritmetica di tutti i dati, senza riguardo alla fascia oraria, risulta : Spesso tra i risultati di un esperimento, certi va1ori si presentano più volte. In questo caso, indicando con f 1, f 2 f 3 f n le frequenze dei valori X l, X 2, X 3,... X n (cioè quante volte i valori X l, X 2, X 3,... X n si presentano), la (1) può essere scritta nel modo seguente:

14 14 N i f i *X i 1 (2) Media = N i f i 1 la frequenza con cui i dati si ripetono nell'insieme dato rappresenta il contributo di quel valore (o fattore peso) nella determinazione della media, così la (2) viene anche detta 'media ponderata'. Esempio: Dati gli stessi valori pressori dell'esempio precedente rifare il calcolo tramite la media ponderata, ovvero raggruppando e valutando le frequenza (il peso) con cui certi valori si ripetono. Abbiamo così : Valori Frequenza x 2 = x 2 = x 3 = x 3 = x 1 = x 2 = x 1 = Totale Applicando la (2), ossia sommando i prodotti frequenza per valori si ottiene : Media = 2575 / 14 = 183,9 Il valore coincide con il precedente. A differenza del nostro piccolo esempio dove risulta indifferente l'applicazione dell'uno o dell'altro metodo capita.spesso di avere a che fare con le sole frequenze con le quali il valore si presenta, ragione per cui riesce utilissimo l'uso della metodica 'ponderata'.. ma ci sono altri tipi di MEDIE La media aritmetica fornisce una buona descrizione dei dati solo quando essi siano raggruppati in modo che il valore medio aritmetico non sia troppo lontano da ciascuno dei valori di partenza, ossia quando i dati provengono da un insieme piuttosto omogeneo. Ad esempio, volendo calcolare la media degli stipendi di un gruppo di persone, la descrizione data dalla media aritmetica è attendibile solo se quelle persone sono, diciamo, impiegati. Se tra loro vi fosse qualche funzionario, o dirigente il cui stipendio sarebbe certamente diverso e maggiore, allora il

15 15 valore medio aritmetico sarebbe inattendibile a descrivere la maggior parte del gruppo poiché lo stipendio di pochi eleverebbe oltremodo la media generale. Nel caso in esempio la correzione adeguata consiste semplicemente nell omogeneizzare i caratteri (le qualifiche) salvo quello in esame (lo stipendio). In altri casi si ricorre a strumenti alternativi come : la media GEOMETRICA Ammettiamo di avere dati che crescano in modo accelerato come la sequenza La media aritmetica è / 7 = ,14 che si colloca tra l'ultimo e il penultimo dato, dunque fuorviante come indicatore del gruppo. Se pensiamo che la stessa sequenza può essere vista come una serie di potenze di 10 : esponente base -> si nota subito che gli esponenti delle potenze sono una serie di numeri vicini tra loro e crescenti in modo omogeneo, continuo. Viene allora spontaneo lavorare sulla serie degli esponenti (0,1,2,3,4,5,6) che matematicamente sono chiamati "Logaritmi decimali" dei dati originali. Logaritmo di un numero è definito infatti come l esponente da dare ad una base per ottenere quel numero. Così avremo che : 1 = Log10 poiché 10 elevato alla 1 dà 10 2 = Log100 poiché 10 elevato 2 dà = Log1000 poiché 10 elevato 3 dà 1000 ecc.. La media aritmetica dei logaritmi è allora : M log = = 3 (3) 7 Dal risultato 3 (logaritmo in base 10), si ricava il relativo numero decimale (ovvero l antilogaritmo ) che sarà 10 elevato alla 3 = 1000, detto 'media geometrica' e che infatti si colloca al centro della serie di logaritmi (ossia la serie di esponenti delle potenze di dieci). Dunque in questa particolare sequenza la media geometrica dà un valore ben più azzeccato perché più centrale di quella aritmetica posto che la legge che sottendeva la serie dei dati non era lineare. Sinteticamente tutto il discorso precedente equivale alla seguente definizione rigorosa, perciò precisa e concisa, di media geometrica come: M g = N ( X1* X2 * X3*. * Xn) ovvero : radice ennesima del prodotto di N osservazioni. Ma tale definizione, per le proprietà fondamentali di definizione dei logaritmi equivale alla formula (3) soprastante e si applica preferibilmente laddove i dati manifestino una crescita rapidissima, come nel caso in esempio di tipo esponenziale.

16 16 -.ed anche la media ARMONICA E' definita come rapporto tra il numero di osservazioni e la somma dei reciproci dei dati, dove per reciproco di un numero X si intende il valore 1/X. Perciò la media armonica sarà : N M a = 1/X 1 + 1/X 2 + 1/X /X n Un impiego indicato della media armonica si ha quando alcuni valori possono risultare enormi ma legittimi oppure convenzionali come 'infinito', senza che la distribuzione dei dati implichi una qualche legge matematica come quella esponenziale sottesa alla media geometrica. In questi casi infatti l'uso del reciproco che fa diventare molto piccolo, o addirittura zero, il reciproco di un certo dato risultante, troppo alto per l esperimento condotto, riduce validamente il contributo di quel valore alla media senza toglierlo. Effettua cioè un intervento 'armonizzante'. Si pensi ad esempio di prendere i tempi in minuti in cui avviene un certo evento per 4 soggetti campione e che l'evento si manifesti solo per il primo ed il terzo soggetto : casi esperimento tempi all evento (min.) Poiché l'evento non si è verificato per il 2 e per il 4 soggetto si presentano diverse ipotesi : - eliminare i 2 casi invariati, ma... è erroneo poiché l'informazione secondo cui in due soggetti il tempo massimo dell'esperimento (es. 6 ore) è trascorso per intero dovrebbe pur essere tenuto in qualche conto. Magari, l evento si sarebbe potuto verificare pochi secondi dopo il tempo limite. - attribuire il tempo massimo, ma non è consigliabile poiché l'evento potrebbe non verificarsi, nella realtà, neppure per tempi lunghissimi, cioè né presto né tardi - dare valore zero, ma è errato in quanto ciò indicherebbe che l'evento si è verificato prestissimo il che è l'opposto di quanto è risultato dall'esperimento. Viceversa, attribuendo un convenzionale valore "infinito" ai due soggetti il loro reciproco va a zero. La posizione è valida quando il tempo massimo di esperimento fosse stato fissato enormemente più lungo di quanto ci si attende e si verifica in sede di esperimento per cui i casi in cui l evento non si verifica avrebbero tempi se non infiniti almeno lunghissimi da cui si derivano reciproci molto piccoli e trascurabili, quando non zero. Calcolando la media armonica che pure comprende i due zeri, 'armonici' si ottiene:

17 17 4 M a = = Si vede come il contributo dei due elementi in cui l evento non si è verificato ha prodotto uno spostamento della media armonica verso valori più alti dei tempi registrati per i casi 2 e 3, in modo 'ragionevole' senza stravolgere il senso dell'esperimento e spostando di 'un tanto' la media verso l'alto. Si è ridotto l effetto dei casi non verificati senza annullarne la presenza. - Concludendo sulle medie. La media aritmetica è certo la misura d'insieme più facile, più intuitiva e più usata anche perché è l'unica impiegata nelle procedure inferenziali ossia di estrapolazione dei risultati di un campione sulla popolazione da cui il campione è tratto. Tuttavia in sede di analisi descrittiva le medie, armonica o geometrica, potendo minimizzare l'effetto di valori anomali e destabilizzanti, possono rivelarsi più adatte per caratterizzare un campione. - Altri indici di posizione In aggiunta (..non in alternativa) alla media, citavamo altri cosiddetti 'indici di posizione' atti a descrivere sinteticamente i dati. I più comuni indici di posizione, oltre la media sono la mediana e la moda. La denominazione allude al fatto che quei valori occupano, nell'insieme dei dati ordinati, una ben precisa posizione, caratteristica di quei dati. La MEDIANA Il valore di mezzo di un insieme di dati ordinati (p.es. in modo crescente) è detto 'mediana'. Per un numero pari di dati la mediana viene calcolata come media aritmetica dei due valori centrali. Es.: mediana di : = (3+5) / 2 = 4 Per serie di dati in numero dispari la mediana è il dato centrale della distribuzione ordinata. Es. :. mediana di = 5 Un'estensione del concetto di mediana (valore che divide l'insieme dei dati in due parti uguali) è quello che riguarda i valori che, nella sequenza ordinata dei dati, dividono l insieme in quattro parti uguali. Tali valori vengono chiamati quartili. In modo analogo vengono definiti i decili e i percentili, valori che dividono l'insieme ordinato dei dati, rispettivamente, in 10 e 100 parti uguali e di cui si è già detto. Si ricorderà ugualmente che il quinto decile ed il cinquantesimo percentile coincidono con la mediana poiché questa divide in due parti uguali (50% + 50%) la distribuzione.

18 18 La MODA Il valore più frequente della classe, tra quelle opportune per una certa distribuzione di dati, avente la frequenza (cioè la numerosità) più elevata, prende il nome di "moda". Aldilà della lettera della definizione si pensi al valore corrente della parola 'moda',..la cosa che va di più,...il comportamento più frequente. Così anche in senso statistico : quel valore che nel gruppo dato si presenta più volte. Per es., se in una distribuzione di casi di un campione di maschi sui quali si vuole studiare il peso, si decide di costituire classi ponderali. di 10 Kg e si trova che la classe più numerosa (o di maggior frequenza) è quella tra 70 e 80 Kg potremo definire tale classe come classe modale'. All interno di essa il valore che si presenta con più ripetizioni sarà la moda. Se tutti i valori presentassero la stessa frequenza allora la moda non potrebbe essere definita. Come abbiamo già osservato spesso si ha una sola classe modale, cioè si nota che una certa classe ha frequenza superiore a tutte le classi contigue mentre queste hanno frequenze superiori ad una delle classi loro contigue e inferiori a quelle dell altra classe contigua. Si parla allora di distribuzione a una moda o unimodale'. Talvolta ci sono due o più classi di frequenza, superiore a quelle strettamente contigue presentando allora un tipico profilo 'a gobbe'. Si parla allora di distribuzioni bimodali, plurimodali : chiaro indice di una mescolanza tra popolazioni diverse per il carattere che è stato misurato. In una distribuzione sperimentale di frequenze non eccessivamente asimmetrica, unimodale, gli indici di posizione non coincidono (fig. 10) ma sono legati tra loro secondo la relazione approssimativa : Media - Moda = 3 * (Media - Mediana) (4) Per constatare la non coincidenza degli indici sopra citati riprendiamo una distribuzione di pressioni sistoliche simile a quella impiegata come esempio : giorno ore

19 19 ore classi frequenza da >= a< casi I succitati valori di x 2 pressione sono, per x 2 semplicità, anche i x 3 valori centrali delle x 4 classi, salvo il dato x contenuto nella x 1 5 classe: Collochiamo i dati in ordine crescente sull'asse orizzontale di un grafico 'frequenze-pressioni', ossia ricaviamo una distribuzione di frequenze. dati press La media si trova in posizione : X m = 183,7 La mediana è il punto centrale della distribuzione di tutti i dati e poiché i dati. sono in numero pari, avremo che : Me (mediana) = ( ) / 2 = 185 La moda, cioè il valore più presente, (entro la classe con il maggior numero di casi e di più alto valore) è 190. Dunque : Mo (moda) = 190 La relazione (4), vera solo per approssimazione, risulta soddisfatta a meno di circa 4 unità. Solo nella distribuzione teorica detta 'normale' o gaussiana, simmetrica, dalla caratteristica forma a campana, i tre indici di tendenza media (media, mediana e moda) coincidono in modo perfetto. Va detto che quantunque moltissimi fenomeni si presentino con distribuzioni gaussiane' o 'a campana', esistono altri tipi di distribuzioni. Per esempio, in un lancio di dadi l'uscita delle diverse combinazioni, se il dado non presenta difetti, è tale che, dopo un congruo numero di lanci, ogni faccia del dado conta un numero pressoché uguale di uscite. Con espressione tecnica si parla allora di distribuzione 'UNIFORME' e per concludere, ecco un : esempio generale riassuntivo n. 1

20 20 La valutazione del peso alla nascita, in grammi, di un gruppo di 30 neonati di sesso maschile, di pari età gestazionale, ha fornito i seguenti risultati disposti in ordine crescente: I 2700, 2710, 2730, 2800, 2820, 2840, 2910, 2960, 3000, 3100 II , 3280, 3280, 3280, , 3420, 3450, 3460 III , 3490, 3550, 3580, 3600, , 3750, 4100 Determiniamo la media, la mediana, la moda nonché il 5, il 25 e il 95 percentile della distribuzione dei 30 dati sperimentali. 30 i X i Media = = = 3274 N 30 Mediana = ( ) / 2 = 3330 Moda = 3280 Scegliendo classi di ampiezza pari a 100 g si ottiene la seguente: Distribuzione di frequenze peso (g) frequenza , , , , , , , , ~3599, , , , , Consideriamo che il 5 percentile è quel peso che occupa nella distribuzione, il posto dato dall espressione:

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