9 = Soluzione. Soluzione

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1 Esercizio 1 Un'urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina nera; e) una pallina non bianca; d) una pallina blu. [a) I; b) I; e) f ; d) O/ P(P\- # bianche _ 4 _ # nere 2 (hja} - jnj - 9 (hb) ~ ~W~ ~ 9 # bianche 5 # blu 9 = Esercizio 2 Un'urna contiene 50 palline numerate da 1 a 50; si estraggono contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità di avere: a) due numeri dispari; b) un numero divisibile per 5 e uno non divisibile per 5; due numeri la cui.somma è 50.!n] 12»,) 16 ) 24 7 /"/ ; V 1225 i fì numero di combinazioni di classe 2 sulle 50 palline (650.2)- \Ea numero di combinazioni di classe 2 sulle 25 palline dispari (625,2)- \Eh\o di coppie (non ordinate) di palline in cui una è divisibile per 5 e una non lo è. "palline divisibili per 5 (ovvero 10)" x "palline non divisibili per 5 (ovvero 40)". \EC\o di coppie (non ordinate) di palline che danno come somma 50 (ovvero 24) 650,2 49 v "' 650, P(EC] = 650,2 1225

2 Esercizio 3 Si estraggono contemporaneamente 3 carte da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 figure; b) 2 figure e un asso; e) una figura, un asso, un sette. ini IL- hi 33 r ) 24 / /"/ 494' "/ 1235' L/ 1235 J 0 numero di combinazioni di classe 3 su 40 (6*40,3). \Ea\o di combinazioni di classe 3 sulle 12 figure (612,3). \Eb\o tra il numero di combinazioni di classe 2 sulle 12 figure (612,2)1 e il numero di possibili assi (ovvero 4). \EC\o tra il numero di figure (ovvero 12), il numero di assi (ovvero 4), e il numero di 7 (ovvero 4) H,, 6* , ,3 494 v "' C40, P(E } = 12'4'4 = -?L V c) 640, Esercizio 4 Nel gioco del Totocalcio calcolare la probabilità dei seguenti eventi, supponendo che qualunque risultato sia equopossibile: a) totalizzare 13 punti; b) totalizzare 12 punti; e) sbagliare tutti i pronostici. ln ) 1. /, ) 26. ) 8192 / / / ' / ' / / fi numero di disposizioni di classe 13 sui 3 possibili pronostici (1, 2, X) (D'3 Ì3) \En\a combinazione vincente \E\j\l prodotto tra il numero di combinazioni vincenti di classe 12 sulle 13 partite (613,12), e il numero di pronostici perdenti sull'unica partita sbagliata (ovvero 2) \EC\l numero di disposizioni perdenti di classe 13 (il numero di partite) sui 2 possibili pronostici (due perché una e vincente e due sono perdenti) (D'2l3} ~ 013 ó Esercizio 5 Una scatola contiene 20 lampadine di cui si sa che 5 sono difettose; si prendono a caso 3 lampadine. Calcolare la probabilità che: a) siano tutte difettose; b) almeno una non sia difettosa. fa) Ii4'' ^ iw

3 Q numero di combinazioni di classe 3 sulle 20 possibili lampadine (6*20,3) \Ea\o di combinazioni di lampadine difettose di classe 3 (65,3) \Eh\o insieme è complementare ad Ea = 1 - P(Ea) = Esercizio 6 Si lanciano 3 dadi. Calcolare la probabilità di avere: a) 3 numeri dispari; b) due numeri pari e uno dispari; e) tre numeri la cui somma sia 5; almeno due 1. [a) \; b) ; e) a; d) %] il numero di disposizioni cori ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 6 possibili numeri (D'6 3) Ea\o di disposizioni con ripetizione di classe 3 (numero di dadi) sui 3 possibili valori (numeri dispari tra 1 e 6) (D'3 3) \Eb\o tra il numero di disposizioni con ripetizione di classe 2 (i due dadi) sui 3 possibili valori (numeri pari tra 1 e 6) (D32), il numero di valori dispari che può assumere il terzo dado (ovvero 3), e il numero di ordinamenti possibili (ovvero 63,2) \EC numero di coppie ordinate di numeri tra 1 e 6 la cui somma da 5 \Ed prodotto tra il numero di combinazioni di classe 2 (i due dadi con l'i) sui 3 dadi e il numero di valori che può assumere il terzo dado tralasciando l'i l (ovvero 5). In più sommiamo l'esito (1,1,1). _ ZXj3 _ 1 >32-3 -^6, D'Gì, Esercizio 7 Cinque amici A, B, C, D, E acquistano 5 biglietti per 5 posti contigui a teatro e si siedono a caso in uno dei posti. Calcolare la probabilità degli eventi: a) i cinque amici si siedono in ordine alfabetico; b) A e B sono seduti vicino. M ife/ V lì lrrralasciamo l'i perché la combinazione (1,1,1) non è riordinabile. quindi non deve entrarmi del prodotto con i possibili ordinamenti 6*3,2

4 fi numero di permutazioni dei 5 amici (5!) \Ea\a permutazione che preserva l'ordine alfabetico \Ei\o tra il numero di esiti che fanno sedere A e B vicini (ovvero 8), e il numero di permutazioni degli altri 3 amici sui restanti 3 posti (3!) 5! 12 Esercizio 8 Si consideri un gruppo di 5 persone. Calcolare le seguenti probabilità: a) che siano nate tutte nello stesso mese, supponendo che le nascite nei vari mesi siano egualmente possibili; b) siano nate tutte in mesi diversi. /" / 20736' "/ 144J f2 II numero di disposizioni con ripetizione di classe 5 (le persone) sui 12 possibili mesi (D'Ì2 5) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! \Ea\I numero di esiti che corrispondono a nascita di ciascuna persona nello stesso mese (ovvero 12).E/, II numero di disposizioni di classe 5 (le persone) sui possibili mesi ( 12.5) 12 1 D12,5 55 Esercizio 9 In una moneta non è regolare, la probabilità di avere testa è 3 la probabilità di avere croce. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. P(T] = \o 10 Verificare che per qualunque coppia di eventi A, B G A 1. P(A \B} = P(A) - P(A H B) 2. P(A n Bc) = P(A) - P(A n B)

5 3. P(AC n Bc) = 1 - P(A U B) 4. P(AC U Bc) = I - P(A n B) 1. P(A\B] = P(An(AnB)) = P((AcU(AnB)c)c) = l-p(ac(j(anb}c} = P(A] - P(A n B) P(A n Bc) = P(A \B} = P(A) - P(A n B) P(AC n Bc) = P((4 U B)c) P(A U B) P(y4c U Bc) = P((A n B)c) = 1 - P(A n B) Esercizio 11 Un giocatore di poker riceve all'inizio del gioco cinque carte da un normale mazzo di 52. a) Qual è la probabilità di ricevere almeno 2 assi? b) Qual è la probabilità di ricevere cinque carte dello stesso seme? e) Qual è la probabilità di ricevere un poker servito? fa) ; b) 13. ; e) 3.rJ 0 II numero combinazioni di classe 5 (il numero di carte ricevute) sulle 52 carte possibili (6*52,5 ) Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! \Ea\o considerare il caso di estrarre esattamente 2, 3 e 4 assi quindi avremo la sommatoria con i E [2,4] del prodotto tra il numero di combinazioni di classe i (gli assi estratti) sui 4 assi possibil^c^), e il numero di combinazioni di classe 5 i (le carte rimanenti) sulle restanti 48 carte (r1 \i ) \Eb\I prodotto tra il numero di semi (ovvero 4) e il numero di combinazioni di classe 5 (il numero di carte) sulle 13 carte per seme (6*13,5) \EC\I prodotto tra il numero di possibili poker (ovvero 13), e il numero di restanti valori per la carta rimanente (ovvero 48) P(Ea) = Y C4^C48'5-?: = P(Eb} = ^-^ , i=2 ' ' P(E<) = ^ 4165