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1 Pagina 1 di 6! Responsabile Scientifico dell'unità di PUCCI Patrizia Ricerca: Università Università degli Studi di PERUGIA Quota Cofinanziamento MIUR Quota Cofinanziamento ATENEO Totale finanziamento Illustrazione dell'attività svolta Nel primo anno della ricerca abbiamo studiato principalmente problemi ellittici quasilineari in forma variazionale con nonlinearità sottocritiche ed operatori anche degeneri. In [2] forniamo condizioni necessarie e sufficienti affinché il prodotto simmetrico di due matrici nxn definite positive ed Hermitiane sia ancora definito positivo. Abbiamo poi applicato questi risultati per dimostrare la validità dei principi di massimo forte e di supporto compatto per soluzioni non-negative e distribuzionali di classe di disequazioni ellittiche quasilineari di tipo generale e possibilmente non ellittiche in punti ove il gradiente delle soluzioni si annulla o quando è grande in norma. Infine, forniamo stime per il minimo e massimo autovalore del prodotto di due matrici Hermitiane non necessariamente definite positive. I risultati sono di grande attualità e in questa parte migliorano stime parziali dovute a Strang. In [5] descriviamo i tipi di singolarità in x=0 delle soluzioni di Precisamente, introducendo appropriate definizioni di soluzione radiale, stabiliamo proprietà qualitative e teoremi di unicità per gli stati fondamentali radiali e non-negativi di (2), quando f ha segno variabile. Questo apre lo studio delle equazioni (2) anche quando f non ha segno costantemente positivo, che è stato il caso finora trattato in letteratura. Una formulazione radiale di (2) è stata proposta come modello di certi problemi a simmetria sferica di dinamica stellare. Proseguendo lo studio iniziato in [5] sul problema dell'unicità, in [1] dimostriamo l'esistenza di soluzioni radiali non-negative di (2) con pesi g e h eventualmente singolari, dove f ha una crescita sottocritica per u grande, che nei casi usuali e di interesse nelle applicazioni è più generale di quella utilizzata in letteratura; inoltre f può anche essere singolare in u=0. La definizione di soluzione utilizzata è quella data in [5]. In [6] dimostriamo che (1) in un dominio di, sotto opportune ipotesi di monotonia su A, verificate ad esempio dal p-laplaciano e dall'operatore della curvatura media, e sulla nonlinearità f, ammette

2 Pagina 2 di 6 soluzioni con regioni di estinzione, ed anche soluzioni con regioni di estinzione e pure con picchi di attività, quando il dominio è sufficientemente grande. Mentre si pensa usualmente che i "dead cores" appaiano a causa di una perdita di regolarità nell'equazione, mostriamo con opportuni esempi che invece possono presentarsi anche per equazioni ellittiche analitiche. L'esistenza di dead core viene dimostrata anche nel caso di equazioni con pesi del tipo (2). Inoltre forniamo anche stime per la grandezza delle zone di estinzione, che estendono recenti risultati di Sperb per il Laplaciano senza pesi e mostrano altresì nuovi interessanti fenomeni. Applicando i risultati di [5] e quelli di esistenza di stati fondamentali radiali a supporto compatto per (2) stabiliti in [1], in [16] estendiamo i teoremi di esistenza di soluzioni aventi sia regioni di estinzione che picchi di attività quando il dominio è simmetrico e sufficientemente grande. Inoltre stiamo scrivendo la monografia [23] e il capitolo [22] su invito dei Proff. Chipot e Quittner basati sui nostri risultati di ricerca degli ultimi cinque anni nell'ambito di principi di massimo e delle loro molteplici applicazioni. Il libro è in parte di carattere espositorio, ma anche di ricerca avanzata e contiene recentissimi risultati sul principio di massimo per equazioni singolari. Forniamo diversi teoremi di paragone e di tangenza per equazioni ellittiche di tipo tradizionale o del tipo (1) ed estendiamo il celebrato teorema di continuità Hölderiana di De Giorgi. In [17] abbiamo studiato la non esistenza di soluzioni intere di sistemi ellittici del tipo curvatura media con diffusione degenere o singolare. L operatore curvatura media necessita di essere trattato in maniera leggermente diversa sia dal p-laplaciano che dalla curvatura media generalizzata, precedentemente studiati dall'autore, a causa dell ordine di crescita all'infinito. Precisamente in [17], come corollario del teorema principale, si ottiene che il sistema ellittico non ammette soluzioni radiali intere,, N 1, se p 1 e -1 p-1. Questo risultato estende un teorema dato nel caso vettoriale senza diffusione, cioè quando =0, inoltre permette di ottenere nel caso scalare non esistenza di soluzioni intere non necessariamente radiali di disuguaglianze ellittiche. Tuttavia, mentre per l'm-laplaciano la non esistenza di soluzioni radiali intere è dovuta all'esplosione al finito della soluzione, per l'operatore curvatura media la situazione è sensibilmente differente, almeno nel caso scalare. Infatti in [17] si dimostra che se N=1 ogni soluzione radiale non globale è tale che il suo limite nell'estremo destro dell'intervallo massimale di esistenza è finito ma la derivata esplode. In [19], utilizzando sia le principali tecniche dimostrative che i principi di massimo forte stabiliti da Pucci- Serrin per soluzioni non-negative di disequazioni ellittiche su una sottovarietà aperta e connessa di una varietà Riemanniana di dimensione, dove è una norma gradiente di tipo Riemanniano, estendiamo questi risultati e stabiliamo i principi di supporto compatto per la corrispondente disequazione ellittica più generale in un dominio esterno di, ove è un tensore simmetrico e 2-covariante su. È chiaro che la validità di qualche forma di principio di massimo è estremamente utile nello studio di proprietà qualitative di soluzioni di equazioni e disequazioni differenziali. Inoltre in [15] si estendono alcuni risultati di [23] alle analoghe disequazioni nonlineari, anche degeneri, di tipo ellittico su varietà Riemanniane complete, proponendo una nuova definizione di ellitticità. Poiché la natura di molti problemi in geometria Riemanniana è non compatta, e il principio di massimo di Omori-Yau, un tipo di principio di massimo globale o "all'infinito", si è rivelato uno strumento potente in molti problemi geometrici, in [20] affrontiamo tale principio e questioni collegate per le disequazioni ellittiche generali proposte in [19]. Gli A-operatori ellittici considerati sorgono in modo spontaneo in diversi problemi di natura geometrica. Infine per equazioni di tipo (1) su varietà Riemanniane studiamo il problema di unicità e di non-esistenza. In [21], usando un principio di paragone dato da Pucci-Serrin nella formulazione più recente di [23] valido per equazioni ellittiche degeneri della forma, otteniamo corrispondenti risultati di simmetria. In particolare, nel sottocaso di palle o anelli, stabiliamo teoremi di

3 Pagina 3 di 6 simmetria radiale per equazioni della forma, dove è non-crescente in z. In [24] dimostriamo l esistenza di stati fondamentali radiali, non banali e non negativi per il problema ellittico quasilineare in dove e sono continue e verificano ipotesi di crescita che permettano l'applicazione del Teorema del Passo Montano di Ambrosetti e Rabinowitz. La presenza del peso h in (3) ha reso necessario fornire alcune immersioni dello spazio in opportuni spazi di Lebesgue pesati, ed s rappresenta l'esponente critico nel senso di Sobolev. Inoltre, in [24] forniamo una identità di tipo Pohozaev-Pucci-Serrin, che ha permesso di ottenere alcuni teoremi di non esistenza per (3) quando i parametri coinvolti verificano disuguaglianze opposte a quelle dell'esistenza, completando il quadro dello studio. In [24], quando, l esistenza di stati fondamentali radiali, non banali e non negativi per (3) si dimostra per mezzo del metodo di minimizzazione vincolata di Coleman, Glaser e Martin. Infine forniamo teoremi di esistenza per stati fondamentali per problemi del tipo (2), utilizzando le tecniche già esposte e dunque per nonlinearità diverse da quelle studiate in [1]. In [Mugnai, Multiplicity of critical..., NoDea 11 (2004), ] si dimostrava che ove è un aperto limitato regolare di, e g è una funzione di Carathéodory superlineare e sottocritica nel senso standard, ammette almeno 3 soluzioni non banali purché appartenga ad un intorno sinistro degli autovalori del Laplaciano. In [4] dimostriamo che 2 di tali soluzioni, quelle con energia tendente a 0 quando, ereditano alcune proprietà dell'autofunzione associata a. Se ne fornisce il comportamento asintotico (da cui discende anche un interessante versione nonlineare del Teorema Nodale di Courant) con informazioni sulle linee nodali e su eventuali simmetrie, estendendo alcuni risultati di Pacella dati per soluzioni positive. Ispirati da [4], in [18] forniamo proprietà qualitative e quantitative delle soluzioni di biforcazione per quando. Valutiamo poi il numero esatto dei rami di biforcazione dagli autovalori e calcoliamo il valore degli indici di Morse delle soluzioni sui rami, migliorando alcuni risultati noti. In [3] estendiamo la teoria dei -teoremi a funzionali non regolari per studiare una classe di disequazioni variazionali nonlineari molto ampia, e forniamo risultati di molteplicità delle soluzioni. In [7] abbiamo studiato la propagazione di onde piane trasversali di ampiezza finita in una classe di solidi viscoelastici incomprimibili con memoria soggetta a deformazioni omogenee e stazionarie. Si dimostra che sono possibili le propagazioni di onde piane di ampiezza finita in ogni direzione nel corpo deformato e onde polarizzate circolarmente sempre di ampiezza finita lungo n+ o n-, essendo quest ultimi i versori delle normali ai piani della sezione circolare dell ellissoide x (1/B)x=1, ove B il tensore di Cauchy-Green corrispondente alla deformazione statica e omogenea. In [9] e in [10] studiamo i problemi e

4 Pagina 4 di 6 dove è un aperto regolare limitato di, e costituiscono una partizione misurabile della frontiera di,m 1, 2 p r, r=2(n-1)/(n-2) quando n 3, r= quando n=1,2, e. Proviamo l'esistenza locale delle soluzioni quando m>r/(r+1-p) o n=1,2,e l'esistenza globale delle stesse quando p m. Inoltre costruiamo una teoria di valle di potenziale. Infine nel caso dell'equazione di Laplace proviamo che che quando p m le soluzioni con dato iniziale sufficientemente grande esplodono in tempo finito e miglioriamo un risultato di non esistenza globale dovuto a Levine, Park e Serrin per problemi di evoluzione astratti. In [8] abbiamo studiato il problema di Cauchy quando 1 m p e p n/(n-2) se n 3. Abbiamo provato che dati arbitrariamente e esistono infiniti dati iniziali con energia iniziale e in corrispondenza dei quali la soluzione del problema di Cauchy esplode in tempo finito. In [11]-[14] abbiamo dimostrato la stabilità dei metodi numerici appartenenti alla classe dei BVMs. In particolare, in [25] abbiamo studiato da un punto di vista teorico, il problema della stabilità delle soluzioni di problemi discreti ottenuti utilizzando metodi appartenenti alla famiglia dei TOMs (metodi a k passi, aventi ordine 2k), mentre in [14] abbiamo studiato metodi appartenenti alle famiglie delle ETRs- ETR2s (metodi a k passi, aventi ordine k+1). In [11] e [13] abbiamo studiato metodi appartenenti alle famiglie Generalized BDF (metodi a k passi, aventi ordine k) e Generalized Adams Moulton (metodi a k passi, aventi ordine k+1). Abbiamo infine dimostrato analiticamente che, quando questi metodi sono usati come BVMs, essi sono A-stabili. PUBBLICAZIONI SU RIVISTE A DIFFUSIONE INTERNAZIONALE nel 2005 [1] Calzolari, Filippucci e Pucci, Existence..., Discr. Contin. Dyn. Syst. (DCDS), (2006) 27pp. [2] Conley, Pucci e Serrin, Elliptic..., Math. Nachrichten 278 (2005), [3] Magrone, Mugnai e Servadei, Multiplicity of sols..., to appear in J. Diff. Eqs 35pp. [4] Mugnai, Asymptotic..., ESAIM: Control Optim. Calc. Var. 11 (2005), [5] Pucci, García-Huidobro, Manásevich e Serrin, Qualitative..., to appear in Annali Mat. Pura Appl. 185 (2006), [6] Pucci e Serrin, Dead Cores..., to appear in SIAM J. Math. Anal. (2006), 20pp. [7] Salvatori e Sanchini, Finite... Int.J. of Eng. Science 43 (2005) [8] Todorova e Vitillaro, Blow-up..., J. Math. Anal. Appl., 330 (2005), [9] Vitillaro, Global..., Proc. Roy. Soc. Edinburgh, A135 (2005), [10] Vitillaro, On the Laplace..., to appear in Proc. London Math. Soc., 29pp. PUBBLICAZIONI SU ATTI DI CONGRESSI [11] Aceto, Pandolfi e Trigiante, Stability..., Proc. of ICNAAM 2005, 13pp. LAVORI IN FASE DI STESURA [12] Aceto, Pandolfi e Trigiante, On the recurrence..., 17pp. [13] Aceto, Pandolfi e Trigiante, Polynomial... [14] Aceto, Pandolfi e Trigiante, Theoretical..., sottomesso. [15] Antonini, Mugnai e Pucci, Singular..., 16pp. [16] Calzolari, Filippucci e Pucci, Dead cores..., 10pp. [17] Filippucci, Entire..., 19pp. [18] Mugnai e Pistoia, On the exact..., 24pp.. [19] Pucci, Rigoli e Serrin, Qualitative..., 28pp. [20] Pucci e Rigoli, Entire..., 21pp. [21] Pucci, Sciunzi e Serrin, Partial..., 9pp.

5 Pagina 5 di 6 [22] Pucci e Serrin, On the Strong..., to appear in Handbook of Diff. Eqs - Stationary PDEs, Eds. Chipot e Quittner, Elsevier BV, 50pp. [23] Pucci e Serrin, The Maximum Principle, libro 148pp. [24] Pucci e Servadei, Positive..., 20pp. TESI DI DOTTORATO 2005 [25] Pandolfi, The Stability... Univ. Firenze, 122pp. ORGANIZZAZIONE CONFERENZE INTERNAZIONALI nel 2005 Pucci organizzato Int. Symp on "Variat. Methods and Nonlin. Diff. Eqs on the occasion of the 60th birthday of Ambrosetti", all'univ. Roma 3 dal 10 al 14-1, coi Proff.: Prodi, Brezis, Coti Zelati, Ekeland, Girardi, Nirenberg, Peral, Rabinowitz, Serrin. PARTECIPAZIONE A CONFERENZE INTERNAZIONALI nel dal 10 al 14-1 Calzolari, Filippucci, Mugnai e Pucci partecipato al "Variat. Methods and Nonlin...", Roma, e Vitillaro tenuto conferenza su invito del comitato; - dal 31-1 al 1-2 Pandolfi partecipato al Workshop "Metodi Numerici e Software Matematico", Montecatini Terme; - dal 18-3 al 2-4 e dall'8 al 29-8 Pucci prof. visitatore al Dep. Math. - Univ. Minnesota, U.S.A., per ricerca scientifica in collaborazione con il Prof. Serrin; - dal 25 al 29-7 Vitillaro tenuto conferenza e partecipato al "Qualitative properties of solutions to PDE" dell'"equadiff 11", Bratislava, su invito del Prof. Kawohl; - dal 6 all'8-6 Pucci tenuto conferenza e Salvatori partecipato al "Conf. in Nonlin. PDE and Appls. in Honor of J. Serrin", Tours, Francia, su invito dei Proff. Barles e Veron; - il 24-8 Pucci tenuto conferenza al "PDE Seminar" su invito del Prof. Littman; - dal 1 al 3-9 Filippucci e Pucci tenuto conferenza e Salvatori partecipato al "Nonlin. Ellipt.and Parab. Probs. II", Grado, su invito dei Proff. Gazzola e Mitidieri; - dal 23 al 25-9 Salvatori e Autuori partecipato al Convegno Scuola e Società: I modelli matematici, Urbino; - dal 21 al Filippucci e Mugnai tenuto comunicazione al "Nonlin. Anal. and CoVs", Pisa; - il 15-9 Mugnai tenuto conferenza al "DE Seminar" del Bolyai Institute (Univ. Szeged); - il 23-9 Mugnai tenuto conferenza al "Week Seminar" della Fakultät für Math. Phys. (Univ. Tübingen); - dal 10 al Salvatori partecipato all'incontro Scientifico Teoria Cinetica e Meccanica dei continui II, Ferrara. Dottorati di ricerca a carico del PRIN 2004 nº Cognome Nome Inizio del contratto Costo in euro Note Nota n. 282 del 20/02/2004 la data di attivazione deve essere compresa tra il 30/11/2004 e il 28/02/2005 Schema riassuntivo dei fondi utilizzati (cifre spese) Voce di spesa Materiale inventariabile Spese indicate nella rideterminazione di base e/o rimodulazione Cifra spesa Descrizione N. mandato/n. fattura/descrizione/ Ammontare -278/653/acquisto LCD PC Hyunday Mugnai/ 1198,8

6 Pagina 6 di 6-279/359/acquisto monitor Samsung 17'' LCD SM710T Vitillaro/ 333,6-410/455/pagamento parziale fattura per acquisto 2 Pen Drive Mugnai/Filippucci/ 80,4-557/932/acquisto PC Filippucci/ 670,8 Grandi Attrezzature 0 Materiale di N. mandato/n. fattura/descrizione/ consumo Ammontare -552/778/riparazione notebook Pucci/ /824/sostituzione alimentatore per notebook Vitillaro/ /15628/acquisto Toner Stampante HP1100 Vitillaro/ 46,8 Spese per calcolo 0 ed elaborazione dati Personale a 0 contratto (escluse le borse di dottorato) Dottorati di ricerca a 0 carico del PRIN 2004 Servizi esterni 500 Missioni Pagamento missioni componenti del gruppo. Confronta i mandati Dipartimento di Matematica e Informatica: 2005/ Pubblicazioni 500 Partecipazione / Organizzazione convegni Mandati Dipartimento di Matemematica e Informatica N. 2005/ Altro Mandati Dipartimento di Matemematica e Informatica N. 2005/ per pagamento conferenze e spese di soggiorno conferenzieri. TOTALE Data 12:12

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