Cenni di Geometria Riemanniana

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1 CAPITOLO 11 Cenni di Geometria Riemanniana Varietà pseudo-riemanniane Isometrie e teorema di Nash Gli isomorfismi musicali Forma di volume Riemanniana Geodetiche Equazioni del moto e simboli di Christoffel Approfondimenti Esempi Note bibliografiche Varietà pseudo-riemanniane DEFINIZIONE Una metrica Riemanniana su una varietà differenziabile M è un campo tensoriale g su M di tipo (0, 2), ovvero una funzione C : che sia simmetrica: e definita positiva: M p g p T pm T pm g p (X p, Y p ) = g p (Y p, X p ) X p, Y p T p M, p M (11.1) g p (X p, X p ) > 0 X T p M : X p O p (11.2) In altre parole, per ogni p M, g p : T p M T p M R è un prodotto scalare Euclideo (definito positivo) che dipende in modo C dal punto p. Notiamo che g p è bilineare per definizione di spazio cotangente. In alternativa, ricordando che una sezione di T 0 k (TM) è C se e solo se g(x, Y) C (M) per ogni X, Y X(M), possiamo caratterizzare le metriche Riemanniane in termini di campi vettoriali e dire che una metrica Riemanniana è una applicazione C (M)-bilineare g : X(M) X(M) C (M) simmetrica (g(x, Y) = g(y, X) per ogni X, Y X(M)) e definita positiva (g(x, X) è una funzione strettamente positiva per ogni X X(M)). 171

2 CENNI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA In una carta ( U, ϕ = (x 1,..., x n ) ), una metrica Riemanniana si può scrivere nella forma g p = g ij (p)dx i p dx j p (11.3) o, in coordinate locali, sostituire g ij (p) con ĝ ij (x), dove ĝ ij = g ij ϕ 1 e x = ϕ(p) (in molti testi si usa direttamente la rappresentazione locale di g ij, indicata con lo stesso simbolo g ij senza cappuccio ). La (11.1) ci dice che (g ij (p)) è una matrice simmetrica (quindi diagonalizzabile), la (11.2) che ha autovalori strettamente positivi. DEFINIZIONE Una varietà di Riemann è una coppia (M, g) data da una varietà differenziabile M su cui è definita una metrica Riemanniana g. Indebolendo la condizione (11.2), chiedendo che g sia solo non degenere, si ottiene la definizione più generale di varietà pseudo-riemanniana. DEFINIZIONE Una metrica pseudo-riemanniana su una varietà differenziabile M è un campo tensoriale g su M di tipo (0, 2) simmetrico e non degenere, ovvero: g p (X p, Y p ) = 0 X p T p M Y p = O p. (11.4) Una varietà pseudo-riemanniana è una coppia (M, g) con M varietà differenziabile e g metrica pseudo-riemanniana. (11.4) equivale alla condizione che, per ogni p, la matrice (g ij (p)) in (11.3) sia invertibile (ovvero abbia autovalori tutti diversi da zero). Detto r il numero di autovalori positivi ed s il numero di autovalori negativi di tale matrice (ognuno contato tante volte quante è la sua molteplicità), se M è connessa la coppia (r, s) non dipende dal punto p ed è detta segnatura della metrica. 1 Gli esempi più importanti sono: (r, s) = (n, 0), ed in questo caso M è una varietà Riemanniana; (r, s) = (1, n 1), nel qual caso si parla di varietà Lorentziana (qui n 2). Notiamo che sostituendo g con g si passa da segnatura (r, s) a segnatura (s, r). A meno di effettuare questa sostituzione, in dimensione n = 1 ogni metrica è definita positiva, ovvero Riemanniana. D ora in poi considereremo esclusivamente varietà Riemanniane. Indicheremo con (g ij ) la matrice inversa di (g ij ), cioè: g ij g jk = g kj g ji = δ i j. Useremo inoltre la notazione abbreviata k = / x k. 1 L insieme degli autovalori di una matrice è una funzione continua degli elementi di matrice, vedere ad esempio: M. Marden, The geometry of the zeros of a polynomial in a complex variable, Math. Surveys 3, AMS 1949.

3 11.1. VARIETÀ PSEUDO-RIEMANNIANE 173 ESEMPIO La metrica piatta su R n è data, in coordinate cartesiane, da g ij (p) = δ ij p, ovvero g = dx 1 dx 1 + dx 2 dx dx n dx n ESEMPIO Lo spazio di Minkowski R 1,n 1 è la varietà pseudo-riemanniana data da R n con metrica Lorentziana: g = dx 1 dx 1 dx 2 dx 2... dx n dx n Notiamo che se S M è una sottovarietà, indicando con ı : S M l inclusione, per restrizione/pullback otteniamo una metrica Riemanniana g S = ı g su S da qualsiasi metrica Riemanniana su M. Questo in generale non è vero per metriche pseudo-riemanniane, la cui restrizione può essere un tensore degenere. ESERCIZIO Provare che la metrica di Minkowski di R 1,2 ristretta ad S 2 è degenere: esistono p S 2 per i quali g p (X p, Y p ) = 0 X p T p S 2 non implica Y p = O p. ESEMPIO Chiamiamo metrica sferica su S n la metrica Riemanniana ottenuta per restrizione da quella piatta su R n+1. TEOREMA Ogni varietà differenziabile M ammette una metrica Riemanniana. DIMOSTRAZIONE 1. Usando un qualsiasi embedding M R N, che esiste per il teorema di Whitney, una metrica su M è data dalla restrizione di quella piatta su R N. DIMOSTRAZIONE 2. Sia {( U α, ϕ α = (x 1 α,..., x n α) )} un atlante su M e {ρ α } una partizione dell unità subordinata all atlante. Allora g (α) = δ ij dx i α dx j α è una metrica Riemanniana su U α. Il campo tensoriale: g = α ρ αg (α) è ben definito (in ciascun punto p, solo un numero finito di addendi è diverso da zero) e globalmente definito. Essendo g p una somma di tensori simmetrici e definiti positivi, è esso stesso simmetrico e definito positivo. Nel caso di varietà pseudo-riemanniane entrambe le dimostrazioni falliscono, la prima perché la restrizione di un tensore non degenere può essere degenere, la seconda perché la somma di tensori di segnatura fissata non ha necessariamente segnatura ben definita. In effetti, per varietà pseudo-riemanniane il

4 CENNI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA teorema non è vero. Ad esempio S n (n 2) ammette una metrica Lorentziana se e solo se n è dispari Isometrie e teorema di Nash Siano (M, g M ) e (N, g N ) due varietà Riemanniane. Diciamo che una applicazione differenziabile F : M N è una isometria in p M se g N F(p)( dfp (X), df p (Y) ) = g M p (X, Y) per ogni X, Y T p M. Notiamo che se F è una isometria in p, df p deve essere iniettivo (altrimenti g M p (X, X) = 0 per qualche X O p ), e quindi F è una immersione in un intorno di p. Una immersione (risp. embedding) F è detta isometrica se è una isometria in ogni p M, ovvero F g N = g M. Diremo che S M è una sottovarietà Riemanniana se S e M sono varietà Riemanniane e l inclusione S M è un embedding isometrico. Il teorema di Nash, che enunciamo senza dimostrazione, afferma che ogni varietà Riemanniana può essere realizzata come sottovarietà di uno spazio Euclideo (con metrica piatta). TEOREMA 11.9 (Teorema di Nash). Ogni varietà Riemanniana ammette un embedding isometrico in R k, considerato con la metrica piatta, per k abbastanza grande Gli isomorfismi musicali Sia g : V V R una forma bilineare (non necessariamente simmetrica) su uno spazio vettoriale V. Allora ad ogni v V possiamo associare un vettore v V definito da: v (w) := g(v, w) w V. Dalla bilinearità di g segue che v v è una applicazione lineare V V. Se g è non-degenere nell argomento di sinistra (ossia g(v, w) = 0 w V v = 0), allora è iniettiva: v (w) = 0 w = v = 0. Se V ha dimensione finita, per il teorema della dimensione l immagine di ha dimensione rk( ) = dim(v) = dim(v ), ovvero è anche suriettiva. Indichiamo l applicazione inversa con : V V. 2 Una varietà compatta e semplicemente connessa ammette una metrica Lorentziana se e solo se la sua caratteristica di Eulero è zero. Si può anche provare che ogni varietà non compatta ammette metrica Lorentziana.

5 11.4. FORMA DI VOLUME RIEMANNIANA 175 Sia ora (M, g) una varietà pseudo-riemanniana. Possiamo usare g p per definire due applicazioni : TM T M e : T M TM. In coordinate locali, se v = v i i T p M, w = w i dx i T pm e g p = g ij (p)dx i dx j, allora v = g ij (p)v i dx j, w = g ij (p)w i j. (11.5) Il motivo della notazione musicale è che abbassa gli indici e li alza. OSSERVAZIONE Le applicazioni musicali sono isomorfismi di fibrati su M. Sono lineari sulle fibre (e invertibili, una l inversa dell altra), coprono l identità su M e sono C, come si vede dall espressione locale (11.5). Usando gli isomorfismi musicali possiamo definire il gradiente grad(f) di una funzione f C (M) come segue: In coordinate locali: grad(f) = (df) X(M). grad(f) = g ij ( i f) j. In maniera simile definiamo il rotore di un campo vettoriale X X(M) come In coordinate locali: rot(x) = i (X j )dx i dx j = rot(x) = d(x ). n 1 i<k n j=1 { Xj x i X } i x j dx i dx j con X j := g jk X k funzioni componenti di X. Come in R 3, è una proprietà generale il fatto che il rotore di un gradiente sia zero. Infatti: rot ( grad(f) ) = d ( grad(f) ) = d(df) = Forma di volume Riemanniana Sia (M, g) una n-varietà di Riemann orientabile e {( U α, ϕ α = (x 1 α,..., x n α) )} un atlante orientato su M. Indichiamo con g α ij C (U α ) le componenti locali di g su U α : g Uα = g α ij dxi α dx j α (Attenzione: è sottintesa la somma su i, j ma non su α.) Possiamo allora definire una forma di volume ν g su M, detta forma di volume Riemanniana, come segue. In una carta: 3 ν α g = det(g α ij ) dx1 α... dx n α. (11.6) 3 Con un abuso di notazione, indichiamo con det(g α ij ) il determinante della matrice che ha elementi g α ij.

6 CENNI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA Notiamo che il determinante di (g α ij ) è strettamente positivo (è il prodotto degli autovalori). Quindi ν α g è una forma di volume su U α. Nell intersezione U α U β di due carte, siccome g Uα U β = g α ij dxi α dx j α = g α ij deve essere uguale a g β ij dxi β dxj β, si ha: Per il teorema di Binet: con g β kl = xi α x k g α ij β x i α x k β x j α x l β dx k β xj α x l dx l β β det(g β ij ) = det Jac(ϕ α ϕ 1 β )2 det(g α ij ). det Jac(ϕ α ϕ 1 β ) = det ( x i α x j β ). Siccome le carte sono equiorientate, il determinante Jacobiano è positivo ed estrando la radice quadrata si trova: det(g β ij ) = det Jac(ϕ α ϕ 1 β ) det(g α ij ). Quindi: ν β g = det(g β ij ) dx1 β... dxn β ( ) = det(g α ij ) det Jac(ϕ α ϕ 1 β ) dx 1 β... dxn β = det(g α ij ) dx1 α... dx n α = ν α g. Siccome ν α g Uα U β = ν β g Uα U β per ogni coppia di carte dell atlante, la forma in (11.6) è la restrizione di una forma globalmente definita ν g : ν α g = ν g Uα. La forma ν g Ω n (M) è ovunque non nulla perché, per ogni α, ν α g non si annulla mai su U α. E quindi una forma di volume su M Geodetiche Sia (M, g) una varietà Riemanniana e σ : [a, b] M una curva regolare a tratti, ovvero una applicazione continua per la quale esiste una suddivisione a = t 0 < t 1 <... < t k = b del dominio tale che σ [ti 1,t i ] è regolare per ogni i = 1,..., k. La lunghezza L(σ) della curva è definita come: 4 L(σ) = b a σ (t) σ(t) dt 4 Notiamo che l integrale è un ordinario integrale di Lebesque su un intervallo, non un integrale di linea in M (che abbiamo definito solo per curve regolari). Definiamo l integrale come L(σ) = k ti i=1 t i 1 σ (t) σ(t) dt, e in ciascun addendo l integranda è continua e limitata.

7 11.5. GEODETICHE 177 dove per X T p M indichiamo con X p = g p (X, X) la norma associata alla metrica g p. Si verifica facilmente che tale integrale è invariante rispetto a riparametrizzazioni della curva. Dati p, q M, definiamo d(p, q) = inf σ L(σ) dove l inf è fatto su tutte le curve regolari a tratti σ : [a, b] M tali che σ(a) = p e σ(b) = q. Il motivo per cui occorre considerare curve regolari è che in una varietà connessa due punti si possono sempre unire con una curva regolare (Lee, Prop ) e quindi la definizione ha senso. PROPOSIZIONE Se M è connessa, la funzione d : M M R 0 è una distanza su M, detta distanza Riemanniana associata alla metrica g, ovvero soddisfa le condizioni: i) d(x, y) = d(y, x) (simmetria) ii) d(x, x) = 0 (riflessività) iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (disuguaglianza triangolare) iv) d(x, y) = 0 x = y (identità degli indistinguibili) per ogni x, y, z M. DIMOSTRAZIONE. Per provare (i) notiamo che se σ : [a, b] M è una curva regolare con σ(a) = p e σ(b) = q, allora γ(t) = σ(a + b t) è una curva regolare [a, b] M con γ(a) = q e γ(b) = p, e L(σ) = L(γ). La proprietà (ii) è ovvia, l inf è realizzato da una qualsiasi curva costante. Proviamo la proprietà (iii). Sia σ 1 : [a, b] M tale che σ 1 (a) = x e σ 1 (b) = z e σ 2 : [c, d] M tale che σ 2 (c) = z e σ 2 (d) = y. A meno di riparametrizzare σ 2 possiamo assumere c = b. Sia σ 1 σ 2 : [a, d] M la loro concatenazione, data da σ 1 σ 2 [a,b] = σ 1 e σ 1 σ 2 [b,d] = σ 2. Questa è regolare a tratti se lo sono σ 1 e σ 2. Indicando con S(p, q) l insieme di tutte le curve regolari a tratti in M che partono da p e arrivano in q, se σ 1 S(x, z) e σ 2 S(z, y) allora σ 1 σ 2 S(x, y). Siccome L(σ 1 σ 2 ) = L(σ 1 ) + L(σ 2 ), si ha la tesi: d(x, y) = inf { L(σ) : σ S(x, y) } inf { L(σ) : σ = σ 1 σ 2 con σ 1 S(x, z) e σ 2 S(z, y) } = inf { L(σ 1 ) + L(σ 2 ) : σ 1 S(x, z) e σ 2 S(z, y) } = d(x, z) + d(z, y). (Si ottiene e non uguale, perché in generale non tutte le curve da x a y passano per z.) Infine la proprietà (iv). Sia (U, ϕ) una carta centrata in x, scegliamo ε sufficientemente piccolo tale che K ε = ϕ 1 (B ε (0)) = { p M : ϕ(p) ε } sia sottoinsieme di U. Se y / K ɛ, data una curva σ : [a, b] M da x ad y qualsiasi,

8 CENNI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA detto t 0 il tempo di prima uscita da K ɛ : t 0 := inf { t [a, b] ϕ σ(t) / Bε (0) }, allora L(σ) L(σ [a,t0 ]). E sufficiente allora dimostrare che d(x, y) > 0 per ogni y x entrambi contenuti in K ɛ. Questo è immediata conseguenza del lemma seguente. LEMMA Esiste c ε > 0 tale che d(x, y) c ε ϕ(y) per ogni y K ε, dove quella a destra è la norma Euclidea. DIMOSTRAZIONE. Sia ĝ ij (p)dx i dx j la rappresentazione locale di g. Per ogni (p, v) B ε (0) R n : ĝ ij (p)v i v j λ min (p) v 2, dove λ min (p) è il minimo fra gli autovalori di ĝ ij (p). Detto c ε := inf { λ min (p) : p B ε (0) }, notiamo che è un minimo essendo, essendo B ε (0) compatto e λ min continua. Siccome ĝ ij (p) è non degenere, λ min non è mai nulla e quindi c ε > 0. Da questo segue: b b σ (t) σ(t) dt c ε σ (t) 0 dt. a a Prendendo l inf su tutte le curve da x a y, si ottiene d(x, y) c ε ϕ(y), dove quella a destra è la distanza Euclidea fra ϕ(x) = 0 e ϕ(y). Come corollario, se d(x, y) = 0, allora ϕ(y) = 0, che implica ϕ(y) = 0 = ϕ(x), e quindi y = x essendo ϕ biunivoca. Si può dimostrare (Abate-Tovena, Prop ) che la distanza Riemanniana su una varietà connessa induce la topologia della varietà. DEFINIZIONE Una curva regolare a tratti σ : [a, b] M è detta minimizzante se la distanza fra i punti σ(a) e σ(b) è proprio la lunghezza della curva: d ( σ(a), σ(b) ) = L(σ). (Questo vuol dire che qualunque altra curva con gli stessi estremi avrà lunghezza non inferiore a quella di σ.) Una curva σ è detta localmente minimizzante se per ogni t [a, b] esiste ε > 0 tale che σ [t ε,t+ε] è minimizzante (rispettivamente σ [a,a+ε] se t = a e σ [b ε,b] se t = b). Le curve localmente minimizzanti sono anche dette geodetiche. 5 Si può dimostrare che ogni curva localmente minimizzante è di classe C, quindi regolare e non solo regolare a tratti (Abate-Tovena, Teorema ). 5 Più precisamente, le geodetiche vengono in genere definite usando il linguaggio delle connessioni, e poi si dimostra che sono curve localmente minimizzanti e che ogni curva localmente minimizzante, se parametrizzata opportunamente, è una geodetica.

9 11.6. EQUAZIONI DEL MOTO E SIMBOLI DI CHRISTOFFEL Equazioni del moto e simboli di Christoffel Sia come prima (M, g) una varietà Riemanniana e σ : [a, b] M una curva regolare a tratti. Per U C (M), consideriamo la funzione L C (TM) seguente: L(X p ) = 1 2 X p 2 p U(p) = 1 2 g p(x p, X p ) U(p) X p T p M, p M. Questa si può pensare come Lagrangiana di una particella che si muove in M sottoposta ad un potenziale U. Sia E(σ) il funzionale d azione associato: E(σ) = b a L(σ (t))dt. Vogliamo scrivere, in coordinate locali, le equazioni del moto. Ricordiamo che, data una carta (U, ϕ) su M, le coordinate naturali su TM mandano, per ogni p M, il vettore X p = v i i p T p M nella coppia (x, v) con x = ϕ(p) e v = (v 1,..., v n ). La rappresentazione locale di L è: L(x, v) = 1 2 ĝij(x)v i v j Û(x). Con un abuso di notazioni, omettiamo i cappucci sulle rappresentazioni locali (sarà chiaro dal contesto se parliamo di funzioni su M risp. TM o di rappresentazioni locali). Il principio di minima azione ci dice che la traiettoria seguita dalla particella è una curva localmente minimizzante di E(σ), e queste si possono trovare risolvendo le equazioni di Eulero-Lagrange, in coordinate locali: d L L (x(t), ẋ(t)) (x(t), ẋ(t)) = 0, dt vi xi dove usiamo la notazione standard x(t) = ϕ σ(t) e ẋ(t) = d dtx(t). Con un semplice calcolo (sfruttando il fatto che g ij = g ji ) si ottengono le equazioni: ẍ i + Γ i jkẋj ẋ k = g il l U con coefficienti Γjk i, detti simboli di Christoffel, dati da: In particolare, se U 0, si ottiene: Γ i jk = 1 2 gil ( j g kl + k g jl l g jk ). d 2 x i dt 2 + Γ jk i dx j dx k dt dt = 0 (11.7) Queste sono proprio le equazioni delle geodetiche della metrica g (i funzionali E(σ) ed L(σ) hanno gli stessi punti stazionari, confrontare ad esempio (11.7) con l equazione (7.4) di Abate-Tovena). Quindi: una particella libera, non sottoposta ad alcun potenziale, si muove seguendo una curva geodetica della varietà.

10 CENNI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA Le equazioni geodetiche si possono riscrivere nella forma { ẋi = v i v i = Γ i jk vj v k raddoppiando le variabili. Le soluzioni sono curve t σ (t) nello spazio totale del fibrato tangente, con σ curva geodetica. Sollevate da M a TM, le geodetiche sono quindi curve integrali di un campo vettoriale G X(TM) detto campo geodetico, e dato in coordinate naturali da: G = v i x i Γ jk i vj v k v i Approfondimenti Data una distanza d su un insieme M, chiamiamo diametro di S M la diam(s) := sup d(x, y). x,y S:x y Un sottoinsieme S M si dice limitato se ha diametro finito. Una distanza d su un insieme M si dice completa se ogni successione di Cauchy converge ad un punto in M nella topologia indotta da d. Enunciamo senza dimostrazione: TEOREMA (Teorema di Hopf-Rinow). Su una varietà Riemanniana connessa M le seguenti condizioni sono equivalenti: i) la distanza Riemanniana è completa; ii) iii) il campo geodetico è un campo vettoriale completo; ogni sottoinsieme chiuso e limitato di M è compatto. Inoltre, ciascuna di queste condizioni implica che: iv) ogni coppia di punti di M può essere collegata da una curva minimizzante (diciamo che M è geodeticamente completa). In particolare se M è compatta allora (iii), e di conseguenza (iv), è soddisfatta: ogni varietà Riemanniana compatta (e connessa) è geodeticamente completa Esempi ESEMPIO Il piano iperbolico è la varietà Riemanniana data da M = { (x, y) R 2 : y > 0 } con metrica g = 1 (dx dx + dy dy) y2 6 Attenzione: questo non vuol dire che S è contenuto in una palla di diametro diam(s). Se S è ad esempio un triangolo equilatero di lato unitario, il diametro di S è 1, ma il diametro del cerchio circoscritto ad S è 2/ 3 > 1.

11 11.8. ESEMPI 181 Le geodetiche sono semirette verticali e semicerchi perpendicolari all asse orizzontale. ESEMPIO Il disco di Poincaré è la varietà Riemanniana data da M = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1 } con metrica g = 4 (1 x 2 y 2 (dx dx + dy dy) (11.8) ) 2 Le geodetiche sono i diametri e gli archi di circonferenza perpendicolari al bordo del disco. Piano iperbolico Disco Facciamo il calcolo nel caso del piano iperbolico. Le equazioni di Eulero- Lagrange per la Lagrangiana L = (ẋ 2 + ẏ 2 )/y 2 danno: d dt ẋ y 2 = 0 d dt ẏ ẋ2 y 2 = + ẏ 2 y 3 Dalla prima equazione si ricava ẋ = cy 2 con c R. Sostituendo nella seconda si ottiene: yÿ ẏ 2 + c 2 y 4 = 0 (11.9) Se c = 0, le soluzioni hanno la forma y = y 0 e bt (e x = x 0 costante). Questi sono punti (b = 0) o rette verticali (b 0). Per c 0, detto y = dy/dx, dalla prima equazione 7 ẏ = cy 2 y e ÿ = dẏ dx ẋ = d(cy2 y ) cy 2 = c 2 y 2 (2yy 2 + y 2 y ) dx Sostituendo queste equazioni in (11.9) (e dividendo tutto per c 2 y 4 ) si ottiene: yy + y = 0, ovvero (yy ) = 1, da cui yy = x 0 x con x 0 costante. Riscritta nella forma ydy = (x 0 x)dx e integrata ci dà (x x 0 ) 2 + y 2 = R 2 con R > 0 costante di integrazione. all asse orizzontale. Questi sono i semicerchi perpendicolari 7 In questo modo si ottengono quelle geodetiche che sono il grafico di una funzione.

12 CENNI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA ESERCIZIO Scrivere la metrica su S 2 = { p = (p 1, p 2, p 3 ) R 3 : p = 1 } indotta da quella piatta su R 3 in coordinate stereografiche (x, y), date da x(p) = p 1 /(1 p 3 ) e y(p) = p 2 /(1 p 3 ) nella carta con p 3 1. Verificare la formula: g = 4 (1 + x 2 + y 2 (dx dx + dy dy) (11.10) ) 2 La somiglianza fra (11.8) e (11.10) fa pensare che la metrica sul disco di Poincaré si possa ottenere, come nel caso della sfera, partendo da una opportuna superficie in R 3 con metrica indotta da quella piatta di R 3 e proiettando su un piano. In effetti, il disco si può ottenere da un iperboloide, ma la metrica Riemanniana (11.8) non viene da quella Euclidea di R 3 ma da quella Lorentziana (è un esempio di come la restrizione di una metrica Lorentziana dà una metrica Riemanniana). ESERCIZIO Si consideri l iperboloide M = { p = (p 1, p 2, p 3 ) R 3 : (p 1 ) 2 + (p 2 ) 2 (p 3 ) 2 = 1 } con metrica restrizione di quella anti-lorentziana su R 3, cambiata di segno: g = dx 1 dx 1 + dx 2 dx 2 dx 3 dx 3. Sulla falda M + = { p M : p 3 > 0 } si considerino le coordinate globali: x(p) := p 1 /(1 + p 3 ), y(p) = p 2 /(1 + p 3 ). (Notiamo che p 3 1 p M +.) Mostrare che D = { (x(p), y(p)) : p M +} è un disco unitario aperto, e la metrica g M in coordinate locali è proprio la (11.8). Proiezione sul disco Geodetiche Sia nel caso della sfera che dell iperboloide, le geodetiche sono quelle curve che si ottengono intersecando la superficie con piani passanti per l origine di R 3.

13 11.9. NOTE BIBLIOGRAFICHE Note bibliografiche Per approfondimenti su geometria Riemanniana, si rimanda ai testi: ISAAC CHAVEL (2006), Riemannian Geometry, A Modern Introduction, Cambridge University Press. JOHN M. LEE (1997), Riemannian manifolds: An introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176, Springer. Su varietà Lorenziane (teoria completamente differente da quella delle varietà Riemanniane): RAINER K. SACHS e HUNG-HSI WU (2012), General relativity for mathematicians, Springer. Per una visione d insieme: MIKIO NAKAHARA (2003), Geometry, topology and physics, CRC Press.

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15 CAPITOLO 12 Cenni di Geometria Simplettica Notazioni Richiami di meccanica analitica Trasformata di Legendre Equazioni di Hamilton e forme simplettiche Varietà simplettiche Campi vettoriali Hamiltoniani e parentesi di Poisson Quantizzazione per deformazione Note bibliografiche Notazioni Data una carta ( U, ϕ = (q 1,..., q n ) ) su una varietà differenziabile Q, indichiamo con ϕ(v i i q ) = (q, v) le coordinate naturali su TQ, con i = / q i. Se f C (U) risp. L C (TQ), indichiamo con f = f ϕ 1 risp. L = L ϕ 1 la sua rappresentazione locale. Adottiamo la convenzione di sottointendere somme su indici ripetuti, uno alto e uno basso Richiami di meccanica analitica In meccanica classica, lo stato di un sistema è descritto da un punto q in una n-varietà Q, detta spazio delle configurazioni. Nel caso di k particelle puntiformi nello spazio Euclideo si ha Q = R 3k, ma Q può essere più complicato nel caso di sistemi vincolati. Un classico esempio è dato dalle configurazioni di un corpo rigido in R 3 fissato in un punto ad una estremità, come l esempio in figura La posizione di un corpo rigido, qualunque sia la forma, è specificata dando le coordinate di due punti A e B, con il vincolo che le lunghezze dei segmenti AB, OA e OB siano costanti. Si ottiene una sottovarietà di R 6 descritta da tre equazioni di secondo grado, che si può mostrare essere diffeomorfa al gruppo delle rotazioni, ovvero al gruppo SO(3) delle matrici reali 3 3 speciali ortogonali, o ancora allo spazio proiettivo RP

16 CENNI DI GEOMETRIA SIMPLETTICA B O A FIGURA Corpo rigido Data una varietà Q, l evoluzione temporale del sistema è descritta da una funzione L C (TQ) detta Lagrangiana 1, funzione di posizione e velocità, attraverso il principio di minima azione. L evoluzione temporale σ : [t 0, t 1 ] Q è data dai punti critici del funzionale d azione: S(σ) = t1 t 0 L(σ (t))dt. Con un abuso di notazione, indichiamo con q i (t) la funzione q i σ(t) e con q i (t) la sua derivata rispetto a t (con q i la derivata seconda, etc.). Si può allora far vedere che, almeno per curve sufficientemente regolari (ad esempio per σ di classe C 2 a tratti), i punti estremali sono le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, in coordinate locali: d L dt q i L q i = 0. Qui è opportuno spiegare la notazione: con L/ q i e L/ q i intendiamo le derivate di L(q, v) rispetto alle variabili q i e v i, successivamente calcolate in q i = q i (t) e v i = q i (t). ESEMPIO Se (Q, g) è una varietà Riemanniana, il moto di una particella puntiforme sottoposta ad un potenziale U è descritto dalla Lagrangiana (in coordinate locali): L(q, v) = 1 2 g ij(q)v i v j Û(q). (12.1) Le equazioni del moto sono date da: q i + Γ i jk qj q k = g il l U(q). Per U 0 queste sono le equazioni geodetiche della varietà (cf. Sez. 11.6). 1 Che per semplicità assumiamo essere C. Considererò inoltre solo Lagrangiane che non dipendono esplicitamente dal tempo (ovvero sistemi fisici isolati).

17 12.2. TRASFORMATA DI LEGENDRE 187 In meccanica classica tipicamente si passa alla formulazione Hamiltoniana sostituendo le coordinate posizione e velocità con posizione e impulso, definito localmente dalla trasformata di Legendre: Si definisce quindi la funzione Hamiltoniana: p i = L q i. (12.2) Ĥ(p, q) := p q L(q, q) (12.3) e le equazioni di Eulero-Lagrange diventano le equazioni di Hamilton: q i = Ĥ p i, ṗ i = Ĥ q i. (12.4) Più in generale se f è una qualunque funzione di p e q, la sua evoluzione temporale è descritta dall equazione: df dt = f dq i q i dt + f dp i ( p i dt = Ĥ p i q i Ĥ ) q i f. (12.5) p i E naturale chiedersi se le p i sono coordinate locali su una qualche varietà differenziabile M, se Ĥ è la rappresentazione locale di una qualche funzione su M, e se l operatore X H := Ĥ p i q i Ĥ q i (12.6) p i in (12.5) si può interpretare come campo vettoriale su M. Vedremo che M = T Q è proprio il fibrato cotangente. Vogliamo interpretare: la trasformata di Legendre come applicazione differenziabile TQ T Q; le traiettorie di una particella come curve integrali di un campo vettoriale, associato alla funzione Hamiltoniana; la corrispondenza funzione Hamiltoniana campo vettoriale Hamiltoniano in un contesto più generale, come applicazione lineare C (M) X(M) dove M è una varietà differenziabile (ad esempio M = T Q) Trasformata di Legendre Sia L C (TQ) una qualsiasi funzione. Per X T q Q, indichiamo con Λ L (X) TqQ il covettore il cui valore in Y T q Q è dato da: Λ L (X)(Y) = d dt L(X + ty). t=0 In coordinate locali ( Λ L v i ) q q i = L v i dqi q, (12.7) in cui con un abuso di notazione usiamo la stessa lettera q per indicare un generico punto in Q e le coordinate locali. Si ottiene in questo modo una applicazione differenziabile Λ L : TQ T Q che manda fibre in fibre (copre l identità su Q).

18 CENNI DI GEOMETRIA SIMPLETTICA Tale applicazione è la trasformata di Legendre (si confrontino le componenti della 1-forma in (12.7) con (12.2)). ESEMPIO Se (Q, g) è una varietà pseudo-riemanniana e L la Lagrangiana in (12.1), allora Λ L ( v i ) q q i = ( g ij (q)v j) dq i q, cioè Λ L (X) = X è l isomorfismo musicale associato alla metrica g. Notiamo che per L generica, Λ L può non essere invertibile, e può non essere lineare sulle fibre: in generale non si tratta di un isomorfismo di fibrati né di un diffeomorfismo fra gli spazi totali. Una Lagrangiana L si dice regolare se Λ L : TQ T Q è un diffeomorfismo, ed coordinate naturali una condizione necessaria e sufficiente è che il determinante Jacobiano della trasformazione (q, v) (q, p := L v ) non si annulli mai: ( 2 L ) det v i v j 0 q, v. Possiamo definire globalmente l Hamiltoniana associata ad una Lagrangiana L regolare nel modo seguente. Notiamo che un punto m T Q è un covettore m : T q Q R per un qualche q Q. Possiamo allora definire H : T Q R come composizione: H(m) := (m L) ( Λ 1 L (m)) Per m TqQ, Λ 1 L (m) T qq ed ha senso applicargli m L, che manda T q Q in R. In coordinate naturali, se v i ( ) e p i sono legati dalla relazione Λ L v i q q = i pi dq i, allora: ( H(p i dq i ) = p j dq j v i ) ( }{{} q i L v i ) q m }{{} i = p i v i L(q, v). Λ 1 L (m) A meno di rinominare v q, riconosciamo l equazione (12.3). Dall espressione locale si evince che H è differenziabile, quindi H C (T Q) Equazioni di Hamilton e forme simplettiche Vogliamo interpretare le equazioni di Hamilton (12.4) come equazioni per le curve integrali di un campo vettoriale, dato in coordinate locali da (12.6). Data una varietà M ed una funzione f C (M) (nel nostro caso M = T Q), ci chiediamo se esiste un modo naturale per associare ad una funzione un campo vettoriale X f. In geometria Riemanniana, una costruzione simile era data dal gradiente: grad : C (M) X(M), grad(f) = (df).

19 12.4. VARIETÀ SIMPLETTICHE 189 E chiaro allora che abbiamo bisogno, per costruire la nostra corrispondenza f X f, di un qualche campo tensoriale ω di tipo (0, 2) su M non degenere, ovvero per ogni m M di una forma bilineare non degenere ω m : T m M T m M R, che dipenda in maniera differenziabile da m. Indichiamo con : TM T M e : T M TM gli isomorfismi musicali associati. Possiamo allora definire una applicazione: C (M) X(M), f X f := (df), in analogia alla definizione di gradiente in geometria Riemanniana. Torniamo ora alle equazioni di Hamilton. Sia M = T Q, (q 1,..., q n ) coordinate locali su Q e (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) le corrispondenti coordinate naturali su T Q. Ci chiediamo che forma deve avere ω affinchè X H sia dato da (12.6). Con un lavoro di reverse engeneering si vede allora che, localmente: ω = dq i dp i. (12.8) ESERCIZIO Verificare che per ω data da (12.8), X H = (dh) è dato da (12.6). Osserviamo che: (1) Per ottenere il risultato desiderato, ovvero (12.6) e quindi le equazioni di Hamilton, siamo forzati a prendere ω come in (12.8). Tale campo tensoriale è antisimmetrico (è una forma differenziale su M = T Q), siamo quindi in un contesto completamente differente da quello delle metriche (pseudo-)riemanniane. (2) ω è una 2-forma differenziale su M = T Q, non su Q! L isomorfismo musicale associato ad ω è una applicazione T (T Q) T(T Q) fra il doppio cotangente e il tangente del cotangente di Q. (3) ω è chiusa, ovvero dω = 0. Una 2-forma chiusa non degenere è detta forma simplettica. Vedremo nelle prossime sezioni che la forma ω ed il campo vettoriale X H in (12.6) sono definiti globalmente (per ogni H C (T Q)) Varietà simplettiche Sia M una varietà differenziabile (qualsiasi, dimentichiamo per un momento il caso M = T Q). DEFINIZIONE Una varietà simplettica (M, ω) è data da una varietà differenziabile M su cui è definita una 2-forma differenziale non degenere: ω(x, Y) = 0 X X(M) = Y 0 è il campo vettoriale nullo,

20 CENNI DI GEOMETRIA SIMPLETTICA e chiusa, ovvero: La 2-forma ω è detta forma simplettica. dω = 0. Notiamo che la condizione di non-degenerazione si può scrivere in maniera equivalente nella forma: ω m (X m, Y m ) = 0 X m T m M Y m = O m, per ogni m M. ESEMPIO Sia M = R 2n e indichiamo con (x 1,..., x 2n ) le coordinate cartesiane. Una forma simplettica canonica è data da ω = n dx i dx i+n. (12.9) i=1 ESEMPIO Sia M = S 2 = { u = (u 1, u 2, u 3 ) R 3 : u = 1 }, identifichiamo T u S 2 con { v R 3 : u v = 0 } e definiamo: ω u (v, w) := u (v w) (prodotto misto) per ogni u S 2 e v, w T u S 2. Allora ω è una forma simplettica su M. In coordinate cartesiane, ω è la restrizione della forma ɛ ijk x i dx j dx k su R 3 (con ɛ ijk simbolo di Levi-Civita). ESEMPIO Sia M = T Q lo spazio totale del fibrato cotangente ad una n- varietà Q e π : M Q la proiezione. Il differenziale globale dà una applicazione dπ : TM TQ. Un punto m di M è un covettore m T qq per un qualche q Q, ovvero una applicazione lineare m : T q Q R. La 1-forma tautologica θ Ω 1 (M) è quella forma il cui valore in m è dato dalla composizione: θ m : T m M dπ m T q Q m R ovvero θ m = m dπ m. Per ogni m, θ m T mm, e si può verificare in coordinate locali che m θ m è differenziabile. Una forma simplettica canonica su T Q è data da: ω = dθ. Localmente, in coordinate naturali (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) su T Q, per m = p i dq i si ha ( ) ( ) ( ) θ m q i = m q i = p i, θ m q i = 0, ovvero θ = p i dq i (è proprio m, ma pensata come forma su M invece che su Q) e ω = dp i dq i è proprio la forma (12.8).

21 12.5. CAMPI VETTORIALI HAMILTONIANI E PARENTESI DI POISSON 191 Scrivendo ω = ω ij (x)dx i dx j in coordinate locali su M, ω ij (x) deve essere una matrice antisimmetrica e invertibile per ogni x. Ogni matrice antisimmetrica N N si può mettere in forma canonica (a blocchi): 0 I k 0 I k dove 2k è il rango della matrice, I k la matrice identica di ordine k, e 0 la matrice nulla delle dimensioni giuste. Tale matrice è invertibile se e solo se N = 2k. Un immediato corollario è che una varietà simplettica ha necessariamente dimensione pari. Allora OSSERVAZIONE Sia (M, ω) una varietà simplettica di dimensione 2n. ω n = ω... ω }{{} n volte è una forma di volume su M, detta forma di volume simplettica. Si verifica infatti in coordinate locali, posto ω = ω ij dx i dx j, che ω n = n! pf(ω ij )dx 1 dx 2... dx n, dove pf è lo Pfaffiano, soddisfacente pf(a) 2 = det(a) per ogni matrice antisimmetrica A. Dall ultima equazione segue immediatamente che ω n è ovunque non nulla, ovvero una forma di volume, se e solo se det(ω ij (x)) 0 per ogni x, ovvero ω è non degenere. Se dim(m) = 2 ogni 2-forma è chiusa (Ω k (M) = 0 per k > 2), ed una forma simplettica su M è la stessa cosa che una forma di volume. In altri termini: ogni n-varietà simplettica è orientabile (con orientazione canonica data da ω n ), ed ogni 2-varietà orientabile ammette una forma simplettica. Concludiamo citando, senza dimostrazione, il Teorema di Darboux: TEOREMA 12.9 (Jean Gaston Darboux). Sia (M, ω) una varietà simplettica di dimensione 2n. Per ogni m M esiste una carta ( U, ϕ = (x 1,..., x 2n ) ) centrata in m tale che n ω U = dx i dx i+n. i=1 Localmente ogni forma simplettica è un pullback della forma canonica (12.9) Campi vettoriali Hamiltoniani e parentesi di Poisson Sia (M, ω) una varietà simplettica, e per f C (M) definiamo X f := (df)

22 CENNI DI GEOMETRIA SIMPLETTICA ovvero per ogni Y X(M): ω(x f, Y) = df(y) = Y(f) (12.10) dove a destra compare l azione di Y su C (M) come derivazione. Il campo vettoriale X f è detto campo vettoriale Hamiltoniano associato alla funzione f. Possiamo definire una operazione interna di C (M) bilineare, indicata con {, }, come segue: { } f, g := ω(xf, X g ) f, g C (M). Tale operazione è detta parantesi di Poisson, ed usando (12.10) si può riscrivere nella forma: { f, g } = Xg (f) = X f (g). (12.11) PROPOSIZIONE La parentesi di Poisson è una derivazione in ambo gli argomenti: { } { } { } f, gh = f, g h + g f, h { } { } { } fg, h = f, h g + f g, h e soddisfa l identità di Jacobi: { f, { g, h }} + { g, { h, f }} + { h, { f, g }} = 0 (12.12) per ogni f, g, h C (M) (quindi in particolare (C (M), {, }) è un algebra di Lie). L applicazione C (M) X(M), f X f, è un morfismo di algebre di Lie, ovvero è R-lineare e: X {f,g} = [X f, X g ] dove a destra compare la parentesi di Lie fra campi vettoriali. DIMOSTRAZIONE. Sia Jac(f, g, h) il membro di sinistra di (12.12). Mostreremo che, per ogni f, g, h: [X f, X g ](h) + X {f,g} (h) = Jac(f, g, h), (12.13) Jac(f, g, h) = dω(x f, X g, X h ). (12.14) Queste sono valide per ogni 2-forma non-degenere ω. Siccome in una varietà simplettica dω = 0, da (12.14) segue l identità di Jacobi Jac(f, g, h) = 0, e da (12.13) segue che [X f, X g ] + X {f,g} = 0, ovvero f X f è un morfismo di algebre di Lie. Iniziamo dalla prima. Per definizione di parentesi di Lie, e usando (12.11): [X f, X g ](h) = X f ( Xg (h) ) X g ( Xf (h) ) (12.11) = { f, { g, h }} + { g, { h, f }} Jac(f, g, h) { h, { }} (12.11) f, g = Jac(f, g, h) X {f,g} (h),

23 12.6. QUANTIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE 193 che è proprio l equazione (12.13). Per provare la seconda usiamo la formula di Chevalley-Eilenberg per il differenziale di una 2-forma. Per ogni Y 0, Y 1, Y 2 X(M), si ha: dω(y 0, Y 1, Y 2 ) = Y 0 ( ω(y1, Y 2 ) ) Y 1 ( ω(y0, Y 2 ) ) + Y 2 ( ω(y0, Y 1 ) ) (sfruttando l antisimmetria di ω) ω([y 0, Y 1 ], Y 2 ) + ω([y 0, Y 2 ], Y 1 ) ω([y 1, Y 2 ], Y 0 ) = Y 0 ( ω(y1, Y 2 ) ) + ω(y 0, [Y 1, Y 2 ]) + permutazioni cicliche. Nel caso di campi vettoriali Hamiltoniani, si ha X f ( ω(xg, X h ) ) = { f, { g, h }} e Si ottiene ω(x f, [X g, X h ]) = [X g, X h ](f) = { g, { h, f }} + { h, { f, g }}. dω(x f, X g, X h ) = { f, { g, h }} + { g, { h, f }} + { h, { f, g }} + permutazioni cicliche = Jac(f, g, h) + 2 Jac(f, g, h) = Jac(f, g, h), come aspettato. Una terna (A,, {, }) in cui (A, ) è un algebra associativa con unità, (A, {, }) è un algebra di Lie, ed il prodotto di Lie è una derivazione in ambo gli argomenti rispetto al prodotto associativo, è detta algebra di Poisson. La proposizione precedente ci dice che le funzioni differenziabili su una varietà simplettica formano un algebra di Poisson Quantizzazione per deformazione Abbiamo già osservato come le soluzioni delle equazioni di Hamilton siano le curve integrali di X H, con H funzione Hamiltoniana del sistema considerato. Più in generale, se f C (M) e σ : I M è una curva integrale di X H, allora f t := f σ(t) risolve l equazione (cf. (12.5)): ḟ t = X H (f t ), che ci dice come evolve nel tempo l osservabile f. Questa può essere riscritta in termini di parentesi di Poisson nella forma: ḟ t = { f t, H }. (12.15) In meccanica quantistica, nella sua formulazione Hamiltoniana, un sistema fisico è descritto da operatori in una qualche C-algebra associativa con unità A, algebra di Poisson con parentesi date dal commutatore [a, b] = ab ba. Gli osservabili sono gli elementi autoaggiunti dell algebra, e la loro evoluzione temporale è descritta dall equazione: d dt a t = i h [H, a t]

24 CENNI DI GEOMETRIA SIMPLETTICA analoga a (12.15), dove h è la costante di Planck. E naturale pensare il passaggio dalla meccanica quantistica alla meccanica classica come corrispondenza f O(f) dalle funzioni differenziabili (complesse) su M ad un algebra di operatori (su uno spazio di Hilbert), che sia C-lineare, tale che O(1) sia l operatore identità e [O(f), O(g)] = i h O({f, g}), (12.16) per ogni f, g nel dominio di O. Vorremmo inoltre che tale corrispondenza fosse biunivoca: che ad ogni osservabile classico corrispondesse uno e un solo osservabile quantistico. Si richiede inoltre una condizione tecnica, detta regola di von Neumann, che lega i possibili risultati di una misura di uno stesso osservabile in meccanica classica e in meccanica quantistica. Tale corrispondenza è realizzata, per funzioni lineari su R 2n dalla quantizzazione canonica. Sfortunatamente, persino su R 2n, non esiste una applicazione O che soddisfi tutte le condizioni elencate e che estenda la quantizzazione canonica ad, almeno, tutte le funzioni polinomiali. 2 Il problema si può risolvere indebolendo (12.16) e chiedendo che O sia un morfismo di algebre di Lie solo al primo ordine in h. Un modo rigoroso per definire cosa si intenda con primo ordine in h è quello suggerito da Flato, Lichnerowicz e Sternheimer, e descritto in un celebre articolo di Flato (cf. Deformation view of physical theories, Czec. J. Phys. B32, 1982, pp ). L idea intuitiva è che data una corrispondenza biunivoca O fra funzioni e operatori, si può definire un nuovo prodotto fra funzioni, diverso da quello puntuale, dato da f g := O 1( O(f)O(g) ). Se (12.16) è soddisfatta al primo ordine, allora: f g g f = O 1( [O(f), O(g)] ) = i h { f, g } + ordini superiori. Possiamo pensare allora alla quantizzazione non come corrispondenza fra funzioni e operatori, ma come l introduzione di un nuovo prodotto (tipicamente non commutativo) sulle funzioni che soddisfi determinate condizioni. Rimane ancora da spiegare cosa vuol dire al primo ordine in h. Per mettere il tutto in un contesto rigoroso, possiamo considerare l insieme C (M, C)[[ h]] delle serie di potenze formali in una indeterminata h che hanno per coefficienti funzioni complesse su M. I suoi elementi sono espressioni formali: f k h k k=0 2 Cf. H.J. Groenewold in: On the principles of elementary quantum mechanics, Physics 12, 1946, pp

25 12.6. QUANTIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE 195 con f k C (M, C), e tale insieme forma un algebra associativa con somma e prodotto definiti estendendo le operazioni puntuali di C (M, C) in maniera ovvia: ( ) ( ) f k h k + g k h k = (f k + g k ) h k k=0 ( j=0 f j h j ) k=0 ( ) g k h k = k=0 k=0 k=0 ( k ) f j g k j h k Nel caso in cui M è una varietà simplettica si estende in maniera simile la parentesi di Poisson: { f j h j, f k h k} = { } fj, g k h j+k. j k j,k DEFINIZIONE Una applicazione P : C (M, C) C (M, C) C (M, C) è detta operatore bidifferenziale se in coordinate locali, in ogni carta ( U, ϕ = (x 1,..., x 2n ) ), si può scrivere nella forma: P(f, g) = a i1,...,i r,j 1,...,j s ( x i 1... con a i1,...,i r,j 1,...,j s C (U, C). j=0 ) ( x i f r x j... 1 ) x j f s DEFINIZIONE Una deformazione formale di una varietà simplettica (M, ω) è data da una operazione binaria interna: h : C (M, C)[[ h]] C (M, C)[[ h]] C (M, C)[[ h]] che sia C[[ h]] bilineare, data sulle funzioni da: f h g = k 0 P k(f, g) per ogni f, g C (M, C), con P k operatori bidifferenziali su M, e tale che P 0 (f, g) = fg sia la moltiplicazione puntuale e P 1 (f, g) P 1 (g, f) = { f, g } la parentesi di Poisson. L esistenza di una deformazione formale per ogni varietà simplettica è stata provata da De Wilde and Lecomte nel 1983, e più in generale da Kontsevich nel 1997 per una classe più generale di varietà dette varietà di Poisson. Il problema di questo approccio è che tali serie formali tipicamente non convergono quando h è un numero (la costante di Planck è una costante, non una indeterminata). Nonostante ciò, da un punto di vista matematico è più interessante di altri approcci alla quantizzazione. Il suo studio ha portato ad una serie

26 CENNI DI GEOMETRIA SIMPLETTICA di risultati che sono valsi ai loro scopritori la medaglia Fields 3 e hanno portato allo sviluppo di interi campi della matematica Note bibliografiche Un libro classico di meccanica nel linguaggio della geometria differenziale è: RALPH ABRAHAM e JERROLD E. MARSDEN (1987), Foundations of Mechanics, Addison-Wesley. disponibile online qui: Un altro testo è: JERROLD E. MARSDEN (1992), Lectures on Mechanics, Cambridge Univ. Press. ricco di esempi celebri, inclusa la teoria di gauge del gatto che cade. 5 Un testo di riferimento per la geometria simplettica è: ANA CANNAS DA SILVA (2001), Lectures on Symplectic Geometry, Springer. Un buon punto di partenza per la quantizzazione per deformazione è il testo: CHIARA ESPOSITO (2015), Formality Theory: From Poisson Structures to Deformation Quantization, Springer. 3 A Maxim Kontsevich, per la prova che ogni varietà di Poisson ammette una deformazione formale. 4 Lo studio di algebre differenziali gradate, operads e PROPs, si veda ad esempio la dimostrazione di Tamarkin del risultato di Kontsevich (solo per citare alcuni esempi). O la reinterpretazione della formula di Kontsevich in termini di teoria quantistica dei campi di Cattaneo e Felder. 5 Vedere ad esempio:

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