MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI

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1 MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI DEFINIZIONE: Due mtici qudte A e B, dello stesso odine n, si dicono simili se esiste un mtice non singole S, tle che isulti: B S A S L mtice S si chim nche mtice dell tsfomzione di similitudine, ovveo mtice di pssggio dll A ll B. Pe indice che l mtice B è simile ll mtice A si scive: B ~ A e si legge: B è simile d A. Dll definizione dt seguono le popietà: popietà iflessiv: A ~ A; popietà simmetic: se B ~ A llo A ~ B; c popietà tnsitiv: se A ~ B e B ~ C llo A ~ C Le popietà,, e c si issumono dicendo che: nell insieme delle mtici qudte di odine n l elzione di similitudine è un elzione di equivlenz. Inolte due mtici simili hnno invese simili; ciò si espime nche dicendo che l similitudine è comptiile con l invesione. Mettimo in evidenz lcune impotnti popietà delle mtici simili. Due mtici simili hnno lo stesso deteminnte; Due mtici simili hnno lo stesso polinomio ctteistico; due mtici A e B che ino lo stesso polinomio ctteistico non sono necessimente simili: lo sono se pe ogni utovloe λ i isult: ngo(a λ i I ngo(b λ i I; 3 Due mtici simili hnno lo stesso ngo; 4 Mtici simili hnno gli stessi utovloi; 5 Mtici simili hnno tcce uguli. Si considei un ENDOMORFISMO ƒ: V V, ove V è uno spzio vettoile di dimensione n sul cmpo R. Si fisst pe V un se {v, v,..., v n } e si A l mtice ssocit d ƒ ispetto quest se. Si dice che l mtice A è DIAGONALIZZABILE se è possiile tove un se pe V tle che l mtice ssocit d ƒ ispetto tle se si digonle, cioè se esiste un se di V costituit d utovettoi pe ƒ. CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A di un endomofismo ƒ si digonlizzile è che esistno n utovloi distinti. Si invece: det( A λi k ( λ λ ( λ λ...( λ λk k CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE ffinché A si digonlizzile è che lo spzio di utovettoi, o utospzio, eltivo d ogni utovloe λ i i dimensione i, cioè i un dimensione ugule ll molteplicità lgeic dell utovloe eltivo λ i ; questo si veific qundo, dett n l dimensione dello spzio V, pe ogni i, isult: ngo(a λ i I (n i Ricodndo che si dicono SIMILI due mtici A e B se ppesentno, in si divese, lo stesso endomofismo, llo esiste un mtice invetiile S tle che:

2 B S A S Petnto ogni mtice A DIAGONALIZZABILE è SIMILE d un mtice DIAGONALE, che h lungo l digonle pinciple gli AUTOVALORI dell endomofismo; se P è l mtice che espime il cmimento di se, dll BASE dt ll se degli AUTOVETTORI isult: M P A P in cui M è in fom digonle, quindi m ik pe i k ed m ii λ i pe i k. L mtice P è dett mtice digonlizznte. ESERCIZIO.: Detemine utovloi ed utovettoi dell endomofismo ƒ di R 3 definito d: + f c + c + c Consideimo l se cnonic di R 3, ess è costituit di te vettoi: e (,, ; e (,, ; e 3 (,,. L endomofismo ƒ pplicto ll se cnonic fonisce: f e f e f e 3 ( ( ( L mtice A ssocit d ƒ ispetto ll se cnonic è l seguente: A Gli utovloi di A sono le soluzioni dell equzione ctteistic det(a - λ I ; petnto: λ ( A λi λ λ ovveo: λ λ det( A λ I det ( ( ( λ λ λ λ λ λ Semplificndo si ottiene l elzione seguente: ( λ [ λ( λ] ( λ ( λ + λ Risolvendo l equzione di secondo gdo si ottiene: λ ± + 8 ± 3 λ 3 λ + 3 Petnto, complessivmente si hnno te utovloi eli e distinti di vloe: λ -; λ ; λ 3 Si x il vettoe di componenti x (,, c. Gli utovettoi eltivi ll utovloe λ sono le soluzioni del sistem: ( A λ x c c + c c

3 L utovettoe eltivo ll utovloe λ ssume l fom seguente: c x e ponendo si h: x Gli utovettoi eltivi ll utovloe λ sono le soluzioni del sistem: ( A x c c c + + λ Le soluzioni del sistem sono: ; c con di vloe itio. L utovettoe eltivo ll utovloe λ ssume l fom seguente: x c d cui ponendo si ottiene: x Gli utovettoi eltivi ll utovloe λ 3 sono le soluzioni del sistem: ( A x c c c + λ 3 3 Le soluzioni del sistem sono: ; c con di vloe itio. L utovettoe eltivo ll utovloe λ 3 ssume l fom seguente: x c 3 d cui ponendo si ottiene: x 3 I te utovettoi linemente indipendenti dell mtice A sono: x x x 3 L mtice A è simile ll mtice digonle M che pesent, lungo l digonle pinciple, gli utovloi dell endomofismo, ovveo: M P L mtice digonlizznte P, sop ipott, è ottenut ccostndo gli utovettoi x i ssociti i ispettivi utovloi λ i. Si veific inolte (si consigli l utilizzo di Mtl o Excel che le te mtici A, M e P soddisfno l elzione: M P - A P. ESERCIZIO.:Stilie se è digonlizzile l mtice A di seguito ipott e in cso ffemtivo tove l mtice digonle M ll qule è simile e l mtice digonlizznte P.

4 3 A 3 Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: 3 λ 3 det( A λi det 3 λ det λ 3 λ Ovveo, pplicndo il clcolo del deteminnte fcendo ifeimento ll elemento posto nell tez ig e tez colonn, si deve icoee ll elzione: ( ( ( λ λ λ λ ( λ ( λ( λ λ λ3 Si ottengono te utovloi non distinti, in pticole; l utovloe semplice λ e l utovloe con odine di molteplicità dto d λ. Dto che gli utovloi NON sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve fe icoso ll CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, pe tnto, isulte soddisftt l condizione: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, dovnno essee veificte le seguenti elzioni: ngo( A λi ( 3 e ngo( A λ I ( 3 Pe l utovloe semplice ( λ si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( A I λ 3 3 ( λ λ λ ( λ Si ossev l pesenz di un minoe del odine diveso d zeo. Ne consegue che: ngo( A λ I ngo( A I Petnto, l pim condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A è soddisftt; inftti: ngo( A λ I ( n ngo( A I ( 3 Pe l utovloe doppio ( λ si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( A I λ 3 3 ( λ λ λ ( λ + L mtice pesent l tez ig costituit d tutti zeo, inolte l pim e l second ig sono uguli; petnto tutti i minoi del secondo odine sono nulli. Ne consegue che: ngo( A λ I ngo( A I Anche, l second condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A è soddisftt; inftti: ngo( A λ I ( n ngo( A I ( 3

5 Si conclude che l mtice A È digonlizzile e quindi è simile d un mtice digonle M che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A; si ottiene petnto: M Si x il vettoe di componenti x (,, c. Gli utovettoi eltivi ll utovloe semplice λ, sono le soluzioni del sistem: c det( A x c λ 3 3 c c c L utovettoe eltivo ll utovloe λ ssume l fom seguente: x d cui ponendo si h: x c L utospzio eltivo λ h, petnto, dimensione uno. Gli utovettoi eltivi ll utovloe doppio λ λ 3 sono le soluzioni del sistem: 3 + 3c det( A x c c λ c Petnto -3c mente e c isultno iti. Gli utovettoi eltivi ll utovloe doppio λ λ 3 ssumono l fom: x 3c c + 3 c d cui si icvno i due utovettoi indipendenti, che geneno l utospzio, di dimensione due, eltivo ll utovloe doppio λ λ 3 ; inftti si ottiene: x ottenuto ponendo e c ; x3 3 ottenuto ponendo e c ; Si conclude, petnto, che l mtice digonlizznte P h l fom di seguito ipott: P 3 Pe detemine l mtice digonlizznte P tle che si: M P - A P isogn detemine gli utovettoi dell mtice A, ovveo i vettoi x soluzioni dell equzione: (A λ I x oppue, nche: P 3 Si ossevi che nell individuzione delle mtici digonlizznti P e P, tteso l già definit stuttu dell mtice M, l pim colonn è costituit dll utovettoe eltivo ll utovloe λ, l second e tez colonn devono essee costituite di due utovettoi indipendenti che geneno l utospzio eltivo λ λ 3. Si può veifice (si consigli l utilizzo di Mtl o di Excel che le te mtici A, M e P, ovveo le te mtici A, M e P, soddisfno l elzione seguente: M P A P P A P

6 ESERCIZIO 3.: Stilie se è digonlizzile l mtice A di seguito ipott. 3 A 4 Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: 3 λ 3 det( A λi det λ det λ 4 4 λ Ovveo, pplicndo il clcolo del deteminnte fcendo ifeimento ll elemento posto nell pim ig e pim colonn, si deve icoee ll elzione: ( λ ( λ ( + λ ( λ ( + λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: λ con odine di molteplicità: ; λ + con odine di molteplicità:. Si ottengono te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ e l utovloe λ con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, petnto, isulte soddisftt l condizione: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, dovnno essee veificte le seguenti elzioni: ngo( A λi ( 3 ngo( A λi ( 3 Pe l utovloe semplice ( λ, si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( λ λ λ 4 λ 4 ( λ Si ossev l pesenz di un minoe del odine diveso d zeo. Ne consegue che: ngo( A λ I Petnto, l pim condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A è soddisftt. Pe l utovloe doppio ( λ +, si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( λ λ λ 4 λ 4 ( λ + Si ossev l pesenz di un minoe del odine diveso d zeo. Ne consegue che: ngo( A λ I mente ( n ( 3 Petnto, l second condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A NON È SODDISFATTA; ne consegue che l mtice A NON È digonlizzile.

7 ESERCIZIO 4.:Die se esistono dei vloi del pmeto k pe cui isult digonlizzile l mtice A di seguito ipott. k 4 6 A k 8 3 Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: k 4 6 k λ 4 6 det( A λi det k 8 λ det k λ λ Ovveo, poiché tttsi di un mtice tingole ss, isult det(a λ I qundo isult soddisftt l seguente elzione: ( k λ ( k λ (3 λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: ( 3 λ λ 3 ( k λ λ k ( k λ λ k In vitù dell CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile è che esistno utovloi distinti l mtice A È senz lto digonlizzile se sono soddisftte le condizioni che impongono te utovloi distinti: k 3 k k k 3 k 3 k k 3 Esminimo o gli lti csi. Se è k 3, oppue k 3/, oppue k, l mtice A(k ssume, ispettivmente, le fome seguenti: A( k A( k / A ( k Pe k 3, l mtice A (k3 h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 6 e l utovloe doppio λ 3, cioé con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve f icoso ll condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: ngo[ ( A( k I ] ngo 3 λ 8 ; ( n i ( ( 3 3 λ Poiché isult che: [ ( k 3 λ ] ngo ( A I ( n i cioè ( λ 3 L condizione necessi e sufficiente peché A (k 3 si digonlizzile NON È soddisftt.

8 Si conclude, petnto, che pe k 3, l mtice A (k 3 NON È digonlizzile. Pe k 3/, l mtice A (k 3/ pesent te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3/ e l utovloe doppio λ 3, con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si f icoso ll condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: 4 6 ngo [( A( k 3 λi ] ngo 3 8 ( λ 3 ( n i (3 Poiché isult che: ngo[ ( A( k 3/ λi ] ( n i cioè ( λ 3 L condizione necessi e sufficiente peché A (k 3/ si digonlizzile NON È soddisftt Si conclude, petnto, che pe k 3/, l mtice A (k 3/ NON È digonlizzile. Pe k, l mtice A (k h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3 e l utovloe doppio λ, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve f icoso ll condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: 4 6 ngo[ ( A( k λ I ] ngo 8 ; ( n (3 ( λ i 3 Poiché isult che: ngo[ ( A( k λi ] ( n i cioè ( λ L condizione necessi e sufficiente peché A (k si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe k, l mtice A (k NON È digonlizzile. ESERCIZIO 5.:Stilie pe quli vloi del pmeto h è digonlizzile l mtice A di seguito ipott ed in tli csi detemine l mtice digonle simile d A. h A 5 h h 3 Si devono detemine gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono tutte e solo le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: h λ det( A λ I det 5 h λ ( ( h ( h 3 λ λ λ h 3 λ

9 Dto che si ttt di un mtice tingole lt, isult det(a λ I qundo isult nullo il podotto degli elementi posti sull digonle pinciple, cioè qundo è soddisftt l seguente elzione: ( h λ ( h λ ( 3 λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: ( 3 λ λ 3 ( h λ λ h ( h λ λ h In vitù dell CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile è che esistno utovloi distinti l mtice A è senz lto digonlizzile se sono soddisftte le condizioni che impongono te utovloi distinti: h 3 h h 3 h h 3 h h Sotto queste condizioni del pmeto h, un mtice digonle simile d A è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A; si ottiene, petnto: h M h 3 Esminimo o gli lti csi. Se è h, oppue h 3, oppue h, l mtice A(h ssume, ispettivmente, le fome seguenti: 3 A( h A( h A ( h Pe h, l mtice A (h h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3 e l utovloe doppio λ, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile isogn f icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve petnto isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme di λ, si ottiene: ngo[ ( A( h I ] ngo λ 5 ; ( n i ( ( 3 λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ Poiché isult che: [ ( h λ ] l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h NON È digonlizzile. Pe h 3, l mtice A (h 3 h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, l fine di stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, petnto, isulte soddisftt l elzione seguente:

10 ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme di λ 3, si veific che: ngo ( h 3 ( 3 ( 3 ngo λ h 3 mente isult, inolte: (n i 3 [ A λ I ] ngo[( A 3I 5 4 ( [ ] Poiché isult che: ( h 3 λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ 3 l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h 3 si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h 3, l mtice A (h 3 NON È digonlizzile. Pe h, l mtice A (h- h te utovloi non distinti: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Poiché gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme di λ 3, si ottiene: ngo 4 ( 3 ( ngo λ h [ A λ I ] ngo( A 3I 5 ( ( h ed nco: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ( h λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ 3 l ª condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile È soddisftt. Doimo o veifice che l ª condizione necessi e sufficiente si soddisftt nche nel cso dell utovloe semplice λ. In tle cso specifico si ottiene: ngo[ ( A( h I ] ngo( A h I ngo ( ( + λ 5 4 λ 4 ed nco: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ( h λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ l ª condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h È digonlizzile. Un mtice digonle M simile d A è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A (h ; petnto, si ottiene: M ( h 3 3

11 ESERCIZIO 6.: Detemine i vloi del pmeto h pe cui è digonlizzile l mtice di seguito ipott ed in tli csi detemine l mtice digonle simile A. 3 A h h + Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: 3 λ det( A λ I det h λ ( ( h ( h 3 λ λ λ h + λ Dto che si ttt di un mtice tingole ss, isult det(a λ I qundo isult nullo il podotto degli elementi posti sull digonle pinciple, cioè qundo è soddisftt l elzione: ( h λ ( h λ ( 3 λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: ( 3 λ λ 3 ( h λ λ h ( h λ λ h In vitù dell CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile è che esistno utovloi distinti l mtice A È senz lto digonlizzile se sono soddisftte le condizioni che impongono te utovloi distinti: h 3 h h 3 h h 3 h h Sotto queste condizioni del pmeto h, un mtice digonle simile d A è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A; si ottiene, petnto: 3 M h h Esminimo o gli lti csi. Se è h 3, oppue h, oppue h, l mtice A(h ssume, ispettivmente, le fome seguenti: A ( h 3 3 A( h A( h 3 Pe h 3, l mtice A (h3 h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene:

12 ngo [( A λ I ] ngo ; ( n (3 ( λ 3 4 ngo ( A( h 3 λi ( n i cioè ( λ 3 ( h 3 i Poiché isult che: [ ] l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h 3 si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h 3, l mtice A (h 3 NON È digonlizzile. Pe h, l mtice A (h h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3 e l utovloe doppio λ, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, l fine di stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, petnto, isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si veific che: ngo[ ( A( h I ] ngo[( A h I ngo ( ( λ 3 λ isult, inolte: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ngo ( A( h λi ( n i cioè ( λ l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h 3 si digonlizzile È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h È digonlizzile. Un mtice digonle M simile d A (h è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A (h ; petnto, si ottiene: 3 M ( h Pe h, l mtice A (h h te utovloi non distinti: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Poiché gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: ngo[ ( A( h I ] ngo( A h I ngo ( ( λ λ ed nco: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ngo ( A( h λi ( n i cioè ( λ 3 l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile È soddisftt.

13 Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h È digonlizzile. Un mtice digonle M simile A (h è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A (h ; petnto, si ottiene: 3 M ( h 3 ESERCIZIO 7.:Si detemini l mtice A ssocit ll ppliczione linee ƒ : R R, spendo che l ƒ mmette gli utovloi λ e λ cui coispondono, ispettivmente, gli utovettoi seguenti: x x Dto che gli utovloi dell mtice A, ssocit ll ppliczione ƒ : R R sono distinti, isult soddisftt l CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile. Inolte, l mtice digonle M, SIMILE ll mtice A ssocit ll ppliczione ƒ : R R, è un mtice che h gli elementi dell digonle pinciple costituiti dgli utovloi dell mtice A stess. Gli utovloi sono: λ e λ ; petnto, isult ovvi l posizione seguente: M λ λ L mtice digonlizznte P è costituit di vettoi colonn che definiscono gli utovettoi dell mtice A ssocit ll ppliczione e eltivi i ispettivi utovloi; è, petnto, possiile definie l mtice P tmite l costituzione di seguito mostt: P ( x x P 3 3 M P A P 3 3 Pemoltiplicndo mo i memi dell elzione f le mtici, sop ipott, pe l mtice P (moltipliczione sinist, si ottiene l scittu: P M P P A P ovveo P M I A P P M A P Postmoltiplicndo mo i memi dell ultim elzione scitt f le mtici A, M e P, pe l mtice inves P - (moltipliczione dest, si ottiene l scittu: P M P A P P ovveo P M P A I L mtice A ssocit ll ppliczione ƒ : R R est definit e costituit dll scittu seguente: A P M P Svolgendo il podotto ighe pe colonne f le mtice indicte, si ottiene l elzione: A L similitudine f l mtice digonle M e l mtice ssocit ll ppliczione A, ttes l stuttu dell mtice digonlizznte P, ichiede che isulti soddisftt l seguente elzione:

14 In conclusione, l mtice A ssocit ll ppliczione ƒ : R R, ssume l fom lto ipott. A 3 ESERCIZIO 8.: Si detemini se sono simili le mtici A e B di seguito ipotte: A 5 5 B Ricodimo che, in se ll definizione, due mtici qudte A e B, dello stesso odine n, si dicono simili se esiste un mtice non singole S, cioè invetiile, tle che isulti: B S A S L mtice S si chim nche mtice dell tsfomzione di similitudine, ovveo l mtice di pssggio dll A ll B. Si ossevi che l elzione sopccitt è equivlente, moltiplicndo mo i memi sinist pe l mtice S stess, ll elzione di seguito ipott: S ( S A S S B ( S S A S S B A S S B All mtice S, che deve essee invetiile, viene ichiesto di soddisfe l condizione definit dll elzione o icvt. L geneic mtice S qudt del tezo odine (n 3 sà così costituit: S c d e f g h i c c 5 d e f d e f 5 g h i g h i c 5 + c c d e f d f e f g + 5h c + 5i 5g + i h i ovveo: cui coispondono le seguenti elzioni d soddisfsi contemponemente: 5 + c c c d 5d + f e e f f + 5g 5g + i + 5h h c + 5i i 4 c c c 4d f e e f f i 4h 4i c Le elzioni ffeenti gli elementi dell mtice S intoducono lcuni gdi di lietà; in pticole, si evince che si l elemento e si l elemento g possono ssumee qulsisi vloe, invece l scelt dei vloi gli elementi, d, ed h stilisce il vloe dei estnti elementi dell mtice. Quindi, esplicitte le seguenti itie posizioni: d h e g L condizione A S S B impost ll mtice S, olte ll succitt necessità di essee NON SINGOLARE e, quindi, invetiile, l fine di veifice se le mtici A e B sono simili, impone l seguente elzione lgeic f mtici: i - - h , si ottiene:, d cui: S -4 c 4 4 f 4d 4 Veifichimo che l mtice S o detemint si invetiile; si ottiene inftti det(s 4; inolte è:

15 - S inv(s Pe ulteioe confem dell vlidità dei isultti ottenuti pe l mtice S veifichimo l elzione: B S A S. A tle scopo, si ottiene, inftti, l seguente scittu: B * * ESERCIZIO 9.: Si detemini pe quli vloi del pmeto ele k sono simili le mtici di seguito ipotte ed in cso ffemtivo detemine l mtice S di pssggio tle che isulti: A S B S A k k + k B 3 k Sino A e B sono due mtici qudte di odine n, si dice che l mtice B è simile ll mtice A se esiste un mtice di pssggio S non singole tle che isulti: A S B S L ppliczione del teoem di Binet, eltivo l ngo di un mtice, ll elzione scitt consente di ffeme qunto segue: det( S A S det( B det( S det( A det( S det( B Ricodndo che det( S det( S, si ottiene l condizione finle: det( A det( B Petnto, non est che pocedee l clcolo dei deteminnti delle due mtici ottenendo le elzioni di seguito esplicitte: det( A det k ( k k k k + k det( B det 3 k 3 k Affinché le due mtici A e B sino simili deve isulte soddisftt l condizione: det( A det( B k + 3k k Si può, petnto, concludee d suito che le mtici A e B, pe k, NON SONO SIMILI. Quindi è necessio studie l evento ffeente k. In tle contesto le mtici A e B ssumono l fom di seguito ipott: A B 3

16 Si deteminno, questo punto, gli utovloi, spendo che due mtici simili pesentno gli stessi utovloi, ovveo lo stesso polinomio ctteistico ϕ(λ. Si ottengono, petnto, le elzioni seguenti: λ det( A λi det det λ λ λ ( λ( λ ( λ ( λ[( λ ] ( λ ( 4 4λ + λ ( λ ( 3 4λ + λ ( λ ( 3 4λ + λ ( λ ( λ ( λ 3 ( λ ( λ 3 λ det( B λi det 3 det λ 3 λ λ ( λ ( 3 λ ( λ ( λ 3 Dll nlisi dei isultti si evince che l utovloe λ 3 è semplice e, petnto, gode dell popietà di essee egole. È necessio i fini dell digonlizzilità delle mtici A e B nlizze il cso dell utovloe λ, che pesent un molteplicità lgeic. A tle igudo è indiffeiile pocedee l clcolo del ngo delle due mtici di seguito ipotte: λ ngo( A λ I ngo ngo λ λ ( λ λ ngo( B λ I ngo ngo 3 λ λ ( λ Atteso qunto pemesso, isult soddisftt l condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE pe l digonlizzilità delle due mtici A e B; inftti isultno veificte le condizioni impost dlle seguenti elzioni: ngo( A λi I ( n i 3 ngo( B λ I ( n 3 i i Le due mtici A e B possiedono entmi te utovloi egoli e, petnto, isultno entme digonlizzili e quindi simili ll medesim mtice digonle e,petnto, simili f loo. In sintesi, le mtici A e B sono entme digonlizzili ed inolte hnno lo stesso polinomio ctteistico e, quindi, consegue che pe k e solo pe tle vloe, le mtici A e B sono simili in ossequio qunto sncito dl teoem che ecit così come segue: se A e B sono due mtici entme digonlizzili, esse sono simili se e solo se hnno lo stesso polinomio ctteistico. Pe qunto ttiene l definizione dell mtice S di pssggio, si deve icode l elzione: A S B S S A B S Si inolte S l geneic mtice di odine te ctteizzt dgli elementi ppesso ipotti:

17 c S d e f g h i c c d e f d e f 3 g h i g h i, ovveo: + + c + c + c + d + e c + f d + e + f e + f e + f d e f g + h + i h + i h + i d + g e + h f + i cui coispondono le seguenti elzioni d soddisfsi contemponemente: + c d + c e + c f e + f d e f e f h + i d h + i e h + i f d e f g Le elzioni ffeenti gli elementi dell mtice S intoducono lcuni gdi di lietà; in pticole, si evince che si l elemento si l elemento g possono ssumee qulsisi vloe, invece l scelt dei vloi gli elementi d, e, ed f stilisce il vloe dei estnti elementi dell mtice tteso che ess deve essee NON singole. Si sceglie: g, con l ccotezz che si d, l fine d evite un colonn di tutti zei, mente si pone d e f. In tle cso l mtice S, che deve vee det(s ssume l fom seguente: S c h i L condizione S A B S impost ll mtice S, olte ll citt necessità di ESSERE NON SINGOLARE e, petnto, invetiile, llo scopo di ppesente l mtice del pssggio f le due mtici simili A e B, impone l seguente elzione lgeic f le stesse mtici: h det( S h c i i Ricodndo che le pecedenti elzioni dedotte dll condizione S A B S impongono l essee: + c f ed h + i f, l fine, quindi, di soddisfe l condizione det(s ppe poi utile l posizione seguente: h i, c Si ottiene così l seguente confomzione pe l mtice S: S det( S S Veifichimo l coettezz del isultto conseguito pe l mtice S pendendo tto che ess soddisf l elzione A S B S. Si ottiene inftti: S B S A S B S Tle veific può ottenesi pidmente fcendo icoso l pcchetto pplictivo MATLAB. c

18 ESERCIZIO : Si consideino le mtici di seguito mostte. Detemine, se esistono, vloi di k in modo che A e B sino simili. Tove un mtice di pssggio P tle che A P - B P. (Peppello del 6 feio 8 A k k B Due mtici simili hnno lo stesso deteminnte e lo stesso polinomio ctteistico, cioè gli stessi utovloi con l medesim molteplicità. A tle igudo ossevimo che: det( A k + k k det( B Sempe dll ossevzione dell mtice B si evince che tttsi di un mtice tingole ss e che, petnto, olte che essee ctteizzt d det(b 33, possiede l popietà che gli elementi dell su digonle pinciple lto non sono che gli utovloi dell mtice stess. Inftti, come veific, si ossev che: λ det( B λi det det λ λ λ d cui, svolgendo i dovuti e necessi pssggi lgeici, si peviene ll seguente scittu: det( B λi λ ( λ ( λ λ ( λ ( + λ Segue, così, che l deteminzione degli utovloi dell mtice B est ffidt l veificsi dell condizione det(b λi ; si ottiene, petnto: λ ( λ ( + λ λ λ λ 3 Atteso che gli utovloi dell mtice B sono tutti e te semplici e, petnto, tutti e te egoli, isult soddisftt l condizione necessi e sufficiente ffinché l mtice B si digonlizzile. Si deve, questo punto, icece quli sino gli utovloi dell mtice A. A tle igudo si ottiene: λ det( A λi det k det k λ k λ k λ L deteminzione degli utovloi dell mtice A ffeisce ll condizione det(a λi. Petnto: det( A λi ( λ ( k λ ( λ + k ( λ d cui, svolgendo i dovuti e necessi pssggi lgeici, si peviene lle scittue che si ipotno di seguito: 3 ( λ ( k λ + k kλ k kλ λ + λ k + k λ 3 λ kλ + ( k λ λ [ λ kλ + ( k ] Ricodndo che un podotto è nullo qundo sono septmente nulli i singoli fttoi, si ottiene: λ e λ kλ + ( k, ovveo isolvendo l equzione di gdo in λ si h: k ( k k k + k ± k 4( k k ± k 4k + 4 λ, 3 k + ( k k + k Si può petnto concludee che gli utovloi dell mtice A sono definiti dlle elzioni seguenti:

19 λ ; λ k; λ3 ( k k Segue con immeditezz che: λ λ λ λ A B A B Poiché due mtici simili, come già detto, hnno gli stessi utovloi con l medesim molteplicità lgeic, si deduce che gli utovloi dell mtice A sono uguli gli utovloi dell mtice B llo e solo llo che isult: λb3 λa3 k k Attesi i isultti conseguiti si conclude che pe K l mtice A pesent gli stessi utovloi dell mtice B e tli utovloi sono tutti e te semplici cioè egoli; petnto è soddisftt l condizione necessi e sufficiente ffinché l mtice A si nch ess digonlizzile. Qunto sseito implic che le mtici A e B isultno simili ll stess mtice digonle che pesent sull digonle pinciple gli utovloi λ, λ e λ 3, quindi, l mtice A è simile ll mtice B. Al fine dell deteminzione dell mtice P di pssggio, in ossequio ll definizione di mtici simili, dovà essee veifict l impliczione seguente: A P B P P A P P B P P A B P Si inolte P l geneic mtice di odine te ctteizzt dgli elementi ppesso ipotti: c L condizione P A B P impost ll mtice P, olte ll già citt P d e f necessità di ESSERE NON SINGOLARE e, petnto, invetiile, llo scopo di ppesente l mtice del pssggio f le due mtici simili A e B, impone l seguente elzione lgeic f le stesse mtici: g h i c c d e f d e f g h i g h i + c c + g + h c + i d + f e f g + i h i g h i, ovveo: cui coispondono le seguenti elzioni d soddisfsi contemponemente: + c + g + h c c + i d + f e f g + i g h h i i d e f h c g i I isultti cui si è pevenuti individuno un mtice i cui elementi sono: g Poiché l mtice P deve essee invetiile, l deteminzione degli P f f f elementi dell mtice P ichiede ssolutmente che si det(p. Ciò implic che: det(p (ƒg gƒ, cioè gƒ( + g. Si g g peviene, petnto, lle ovvie elzioni che di seguito si ipotno: f g + g f g g I gdi di lietà ffeenti gli elementi dell mtice P, contestulmente lle condizioni ichieste pe l NON SINGOLARITÀ dell mtice P stess, consentono, f le vie scelte possiili, di itenee lecit l seguente posizione: f g Si peviene, così, ll mtice P di pssggio di seguito ipott: g P f f f g g

20 Veifichimo l coettezz del isultto ottenuto pe l mtice P pendendo tto che ess soddisf l elzione A P B P. Si ottiene inftti: P B P B P Tle veific può ottenesi pidmente fcendo icoso l pcchetto pplictivo MATLAB tmite le seguenti ighe di codice digitte l pompt dell MATLAB Commnd Window:»B[ ; ; -];»P[ ;- - ; -];»Ainv(P*B*P P A

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