MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI"

Transcript

1 MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI DEFINIZIONE: Due mtici qudte A e B, dello stesso odine n, si dicono simili se esiste un mtice non singole S, tle che isulti: B S A S L mtice S si chim nche mtice dell tsfomzione di similitudine, ovveo mtice di pssggio dll A ll B. Pe indice che l mtice B è simile ll mtice A si scive: B ~ A e si legge: B è simile d A. Dll definizione dt seguono le popietà: popietà iflessiv: A ~ A; popietà simmetic: se B ~ A llo A ~ B; c popietà tnsitiv: se A ~ B e B ~ C llo A ~ C Le popietà,, e c si issumono dicendo che: nell insieme delle mtici qudte di odine n l elzione di similitudine è un elzione di equivlenz. Inolte due mtici simili hnno invese simili; ciò si espime nche dicendo che l similitudine è comptiile con l invesione. Mettimo in evidenz lcune impotnti popietà delle mtici simili. Due mtici simili hnno lo stesso deteminnte; Due mtici simili hnno lo stesso polinomio ctteistico; due mtici A e B che ino lo stesso polinomio ctteistico non sono necessimente simili: lo sono se pe ogni utovloe λ i isult: ngo(a λ i I ngo(b λ i I; 3 Due mtici simili hnno lo stesso ngo; 4 Mtici simili hnno gli stessi utovloi; 5 Mtici simili hnno tcce uguli. Si considei un ENDOMORFISMO ƒ: V V, ove V è uno spzio vettoile di dimensione n sul cmpo R. Si fisst pe V un se {v, v,..., v n } e si A l mtice ssocit d ƒ ispetto quest se. Si dice che l mtice A è DIAGONALIZZABILE se è possiile tove un se pe V tle che l mtice ssocit d ƒ ispetto tle se si digonle, cioè se esiste un se di V costituit d utovettoi pe ƒ. CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A di un endomofismo ƒ si digonlizzile è che esistno n utovloi distinti. Si invece: det( A λi k ( λ λ ( λ λ...( λ λk k CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE ffinché A si digonlizzile è che lo spzio di utovettoi, o utospzio, eltivo d ogni utovloe λ i i dimensione i, cioè i un dimensione ugule ll molteplicità lgeic dell utovloe eltivo λ i ; questo si veific qundo, dett n l dimensione dello spzio V, pe ogni i, isult: ngo(a λ i I (n i Ricodndo che si dicono SIMILI due mtici A e B se ppesentno, in si divese, lo stesso endomofismo, llo esiste un mtice invetiile S tle che:

2 B S A S Petnto ogni mtice A DIAGONALIZZABILE è SIMILE d un mtice DIAGONALE, che h lungo l digonle pinciple gli AUTOVALORI dell endomofismo; se P è l mtice che espime il cmimento di se, dll BASE dt ll se degli AUTOVETTORI isult: M P A P in cui M è in fom digonle, quindi m ik pe i k ed m ii λ i pe i k. L mtice P è dett mtice digonlizznte. ESERCIZIO.: Detemine utovloi ed utovettoi dell endomofismo ƒ di R 3 definito d: + f c + c + c Consideimo l se cnonic di R 3, ess è costituit di te vettoi: e (,, ; e (,, ; e 3 (,,. L endomofismo ƒ pplicto ll se cnonic fonisce: f e f e f e 3 ( ( ( L mtice A ssocit d ƒ ispetto ll se cnonic è l seguente: A Gli utovloi di A sono le soluzioni dell equzione ctteistic det(a - λ I ; petnto: λ ( A λi λ λ ovveo: λ λ det( A λ I det ( ( ( λ λ λ λ λ λ Semplificndo si ottiene l elzione seguente: ( λ [ λ( λ] ( λ ( λ + λ Risolvendo l equzione di secondo gdo si ottiene: λ ± + 8 ± 3 λ 3 λ + 3 Petnto, complessivmente si hnno te utovloi eli e distinti di vloe: λ -; λ ; λ 3 Si x il vettoe di componenti x (,, c. Gli utovettoi eltivi ll utovloe λ sono le soluzioni del sistem: ( A λ x c c + c c

3 L utovettoe eltivo ll utovloe λ ssume l fom seguente: c x e ponendo si h: x Gli utovettoi eltivi ll utovloe λ sono le soluzioni del sistem: ( A x c c c + + λ Le soluzioni del sistem sono: ; c con di vloe itio. L utovettoe eltivo ll utovloe λ ssume l fom seguente: x c d cui ponendo si ottiene: x Gli utovettoi eltivi ll utovloe λ 3 sono le soluzioni del sistem: ( A x c c c + λ 3 3 Le soluzioni del sistem sono: ; c con di vloe itio. L utovettoe eltivo ll utovloe λ 3 ssume l fom seguente: x c 3 d cui ponendo si ottiene: x 3 I te utovettoi linemente indipendenti dell mtice A sono: x x x 3 L mtice A è simile ll mtice digonle M che pesent, lungo l digonle pinciple, gli utovloi dell endomofismo, ovveo: M P L mtice digonlizznte P, sop ipott, è ottenut ccostndo gli utovettoi x i ssociti i ispettivi utovloi λ i. Si veific inolte (si consigli l utilizzo di Mtl o Excel che le te mtici A, M e P soddisfno l elzione: M P - A P. ESERCIZIO.:Stilie se è digonlizzile l mtice A di seguito ipott e in cso ffemtivo tove l mtice digonle M ll qule è simile e l mtice digonlizznte P.

4 3 A 3 Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: 3 λ 3 det( A λi det 3 λ det λ 3 λ Ovveo, pplicndo il clcolo del deteminnte fcendo ifeimento ll elemento posto nell tez ig e tez colonn, si deve icoee ll elzione: ( ( ( λ λ λ λ ( λ ( λ( λ λ λ3 Si ottengono te utovloi non distinti, in pticole; l utovloe semplice λ e l utovloe con odine di molteplicità dto d λ. Dto che gli utovloi NON sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve fe icoso ll CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, pe tnto, isulte soddisftt l condizione: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, dovnno essee veificte le seguenti elzioni: ngo( A λi ( 3 e ngo( A λ I ( 3 Pe l utovloe semplice ( λ si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( A I λ 3 3 ( λ λ λ ( λ Si ossev l pesenz di un minoe del odine diveso d zeo. Ne consegue che: ngo( A λ I ngo( A I Petnto, l pim condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A è soddisftt; inftti: ngo( A λ I ( n ngo( A I ( 3 Pe l utovloe doppio ( λ si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( A I λ 3 3 ( λ λ λ ( λ + L mtice pesent l tez ig costituit d tutti zeo, inolte l pim e l second ig sono uguli; petnto tutti i minoi del secondo odine sono nulli. Ne consegue che: ngo( A λ I ngo( A I Anche, l second condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A è soddisftt; inftti: ngo( A λ I ( n ngo( A I ( 3

5 Si conclude che l mtice A È digonlizzile e quindi è simile d un mtice digonle M che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A; si ottiene petnto: M Si x il vettoe di componenti x (,, c. Gli utovettoi eltivi ll utovloe semplice λ, sono le soluzioni del sistem: c det( A x c λ 3 3 c c c L utovettoe eltivo ll utovloe λ ssume l fom seguente: x d cui ponendo si h: x c L utospzio eltivo λ h, petnto, dimensione uno. Gli utovettoi eltivi ll utovloe doppio λ λ 3 sono le soluzioni del sistem: 3 + 3c det( A x c c λ c Petnto -3c mente e c isultno iti. Gli utovettoi eltivi ll utovloe doppio λ λ 3 ssumono l fom: x 3c c + 3 c d cui si icvno i due utovettoi indipendenti, che geneno l utospzio, di dimensione due, eltivo ll utovloe doppio λ λ 3 ; inftti si ottiene: x ottenuto ponendo e c ; x3 3 ottenuto ponendo e c ; Si conclude, petnto, che l mtice digonlizznte P h l fom di seguito ipott: P 3 Pe detemine l mtice digonlizznte P tle che si: M P - A P isogn detemine gli utovettoi dell mtice A, ovveo i vettoi x soluzioni dell equzione: (A λ I x oppue, nche: P 3 Si ossevi che nell individuzione delle mtici digonlizznti P e P, tteso l già definit stuttu dell mtice M, l pim colonn è costituit dll utovettoe eltivo ll utovloe λ, l second e tez colonn devono essee costituite di due utovettoi indipendenti che geneno l utospzio eltivo λ λ 3. Si può veifice (si consigli l utilizzo di Mtl o di Excel che le te mtici A, M e P, ovveo le te mtici A, M e P, soddisfno l elzione seguente: M P A P P A P

6 ESERCIZIO 3.: Stilie se è digonlizzile l mtice A di seguito ipott. 3 A 4 Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: 3 λ 3 det( A λi det λ det λ 4 4 λ Ovveo, pplicndo il clcolo del deteminnte fcendo ifeimento ll elemento posto nell pim ig e pim colonn, si deve icoee ll elzione: ( λ ( λ ( + λ ( λ ( + λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: λ con odine di molteplicità: ; λ + con odine di molteplicità:. Si ottengono te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ e l utovloe λ con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, petnto, isulte soddisftt l condizione: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, dovnno essee veificte le seguenti elzioni: ngo( A λi ( 3 ngo( A λi ( 3 Pe l utovloe semplice ( λ, si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( λ λ λ 4 λ 4 ( λ Si ossev l pesenz di un minoe del odine diveso d zeo. Ne consegue che: ngo( A λ I Petnto, l pim condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A è soddisftt. Pe l utovloe doppio ( λ +, si ottiene: λ 3 3 ( A λi ( λ λ λ 4 λ 4 ( λ + Si ossev l pesenz di un minoe del odine diveso d zeo. Ne consegue che: ngo( A λ I mente ( n ( 3 Petnto, l second condizione ichiest dll C.N.E.S. pe l digonlizzzione dell mtice A NON È SODDISFATTA; ne consegue che l mtice A NON È digonlizzile.

7 ESERCIZIO 4.:Die se esistono dei vloi del pmeto k pe cui isult digonlizzile l mtice A di seguito ipott. k 4 6 A k 8 3 Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: k 4 6 k λ 4 6 det( A λi det k 8 λ det k λ λ Ovveo, poiché tttsi di un mtice tingole ss, isult det(a λ I qundo isult soddisftt l seguente elzione: ( k λ ( k λ (3 λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: ( 3 λ λ 3 ( k λ λ k ( k λ λ k In vitù dell CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile è che esistno utovloi distinti l mtice A È senz lto digonlizzile se sono soddisftte le condizioni che impongono te utovloi distinti: k 3 k k k 3 k 3 k k 3 Esminimo o gli lti csi. Se è k 3, oppue k 3/, oppue k, l mtice A(k ssume, ispettivmente, le fome seguenti: A( k A( k / A ( k Pe k 3, l mtice A (k3 h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 6 e l utovloe doppio λ 3, cioé con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve f icoso ll condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: ngo[ ( A( k I ] ngo 3 λ 8 ; ( n i ( ( 3 3 λ Poiché isult che: [ ( k 3 λ ] ngo ( A I ( n i cioè ( λ 3 L condizione necessi e sufficiente peché A (k 3 si digonlizzile NON È soddisftt.

8 Si conclude, petnto, che pe k 3, l mtice A (k 3 NON È digonlizzile. Pe k 3/, l mtice A (k 3/ pesent te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3/ e l utovloe doppio λ 3, con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si f icoso ll condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: 4 6 ngo [( A( k 3 λi ] ngo 3 8 ( λ 3 ( n i (3 Poiché isult che: ngo[ ( A( k 3/ λi ] ( n i cioè ( λ 3 L condizione necessi e sufficiente peché A (k 3/ si digonlizzile NON È soddisftt Si conclude, petnto, che pe k 3/, l mtice A (k 3/ NON È digonlizzile. Pe k, l mtice A (k h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3 e l utovloe doppio λ, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve f icoso ll condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: 4 6 ngo[ ( A( k λ I ] ngo 8 ; ( n (3 ( λ i 3 Poiché isult che: ngo[ ( A( k λi ] ( n i cioè ( λ L condizione necessi e sufficiente peché A (k si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe k, l mtice A (k NON È digonlizzile. ESERCIZIO 5.:Stilie pe quli vloi del pmeto h è digonlizzile l mtice A di seguito ipott ed in tli csi detemine l mtice digonle simile d A. h A 5 h h 3 Si devono detemine gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono tutte e solo le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: h λ det( A λ I det 5 h λ ( ( h ( h 3 λ λ λ h 3 λ

9 Dto che si ttt di un mtice tingole lt, isult det(a λ I qundo isult nullo il podotto degli elementi posti sull digonle pinciple, cioè qundo è soddisftt l seguente elzione: ( h λ ( h λ ( 3 λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: ( 3 λ λ 3 ( h λ λ h ( h λ λ h In vitù dell CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile è che esistno utovloi distinti l mtice A è senz lto digonlizzile se sono soddisftte le condizioni che impongono te utovloi distinti: h 3 h h 3 h h 3 h h Sotto queste condizioni del pmeto h, un mtice digonle simile d A è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A; si ottiene, petnto: h M h 3 Esminimo o gli lti csi. Se è h, oppue h 3, oppue h, l mtice A(h ssume, ispettivmente, le fome seguenti: 3 A( h A( h A ( h Pe h, l mtice A (h h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3 e l utovloe doppio λ, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile isogn f icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve petnto isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme di λ, si ottiene: ngo[ ( A( h I ] ngo λ 5 ; ( n i ( ( 3 λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ Poiché isult che: [ ( h λ ] l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h NON È digonlizzile. Pe h 3, l mtice A (h 3 h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, l fine di stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, petnto, isulte soddisftt l elzione seguente:

10 ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme di λ 3, si veific che: ngo ( h 3 ( 3 ( 3 ngo λ h 3 mente isult, inolte: (n i 3 [ A λ I ] ngo[( A 3I 5 4 ( [ ] Poiché isult che: ( h 3 λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ 3 l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h 3 si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h 3, l mtice A (h 3 NON È digonlizzile. Pe h, l mtice A (h- h te utovloi non distinti: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Poiché gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme di λ 3, si ottiene: ngo 4 ( 3 ( ngo λ h [ A λ I ] ngo( A 3I 5 ( ( h ed nco: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ( h λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ 3 l ª condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile È soddisftt. Doimo o veifice che l ª condizione necessi e sufficiente si soddisftt nche nel cso dell utovloe semplice λ. In tle cso specifico si ottiene: ngo[ ( A( h I ] ngo( A h I ngo ( ( + λ 5 4 λ 4 ed nco: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ( h λ ngo ( A I ( n i cioè ( λ l ª condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h È digonlizzile. Un mtice digonle M simile d A è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A (h ; petnto, si ottiene: M ( h 3 3

11 ESERCIZIO 6.: Detemine i vloi del pmeto h pe cui è digonlizzile l mtice di seguito ipott ed in tli csi detemine l mtice digonle simile A. 3 A h h + Si devono clcole gli utovloi dell mtice A. Gli utovloi sono le dici dell equzione ctteistic: det(a λ I ; cioè: 3 λ det( A λ I det h λ ( ( h ( h 3 λ λ λ h + λ Dto che si ttt di un mtice tingole ss, isult det(a λ I qundo isult nullo il podotto degli elementi posti sull digonle pinciple, cioè qundo è soddisftt l elzione: ( h λ ( h λ ( 3 λ dll qule si evincono le soluzioni seguenti: ( 3 λ λ 3 ( h λ λ h ( h λ λ h In vitù dell CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile è che esistno utovloi distinti l mtice A È senz lto digonlizzile se sono soddisftte le condizioni che impongono te utovloi distinti: h 3 h h 3 h h 3 h h Sotto queste condizioni del pmeto h, un mtice digonle simile d A è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A; si ottiene, petnto: 3 M h h Esminimo o gli lti csi. Se è h 3, oppue h, oppue h, l mtice A(h ssume, ispettivmente, le fome seguenti: A ( h 3 3 A( h A( h 3 Pe h 3, l mtice A (h3 h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene:

12 ngo [( A λ I ] ngo ; ( n (3 ( λ 3 4 ngo ( A( h 3 λi ( n i cioè ( λ 3 ( h 3 i Poiché isult che: [ ] l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h 3 si digonlizzile NON È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h 3, l mtice A (h 3 NON È digonlizzile. Pe h, l mtice A (h h te utovloi non distinti, cioè: l utovloe semplice λ 3 e l utovloe doppio λ, ovveo con odine di molteplicità. Dto che gli utovloi non sono distinti, l fine di stilie se l mtice A è digonlizzile isogn fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, petnto, isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si veific che: ngo[ ( A( h I ] ngo[( A h I ngo ( ( λ 3 λ isult, inolte: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ngo ( A( h λi ( n i cioè ( λ l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h 3 si digonlizzile È soddisftt. Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h È digonlizzile. Un mtice digonle M simile d A (h è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A (h ; petnto, si ottiene: 3 M ( h Pe h, l mtice A (h h te utovloi non distinti: l utovloe semplice λ e l utovloe doppio λ 3, ovveo con odine di molteplicità. Poiché gli utovloi non sono distinti, pe stilie se l mtice A è digonlizzile si deve fe icoso ll Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè isulte soddisftt l elzione seguente: ngo( A λ ii ( n i Nel cso specifico in esme, si ottiene: ngo[ ( A( h I ] ngo( A h I ngo ( ( λ λ ed nco: (n i 3 [ ] Poiché isult che: ngo ( A( h λi ( n i cioè ( λ 3 l condizione necessi e sufficiente ffinché A (h si digonlizzile È soddisftt.

13 Si conclude, petnto, che pe h, l mtice A (h È digonlizzile. Un mtice digonle M simile A (h è l mtice che h lungo l digonle pinciple gli utovloi di A (h ; petnto, si ottiene: 3 M ( h 3 ESERCIZIO 7.:Si detemini l mtice A ssocit ll ppliczione linee ƒ : R R, spendo che l ƒ mmette gli utovloi λ e λ cui coispondono, ispettivmente, gli utovettoi seguenti: x x Dto che gli utovloi dell mtice A, ssocit ll ppliczione ƒ : R R sono distinti, isult soddisftt l CONDIZIONE SUFFICIENTE ffinché l mtice A si digonlizzile. Inolte, l mtice digonle M, SIMILE ll mtice A ssocit ll ppliczione ƒ : R R, è un mtice che h gli elementi dell digonle pinciple costituiti dgli utovloi dell mtice A stess. Gli utovloi sono: λ e λ ; petnto, isult ovvi l posizione seguente: M λ λ L mtice digonlizznte P è costituit di vettoi colonn che definiscono gli utovettoi dell mtice A ssocit ll ppliczione e eltivi i ispettivi utovloi; è, petnto, possiile definie l mtice P tmite l costituzione di seguito mostt: P ( x x P 3 3 M P A P 3 3 Pemoltiplicndo mo i memi dell elzione f le mtici, sop ipott, pe l mtice P (moltipliczione sinist, si ottiene l scittu: P M P P A P ovveo P M I A P P M A P Postmoltiplicndo mo i memi dell ultim elzione scitt f le mtici A, M e P, pe l mtice inves P - (moltipliczione dest, si ottiene l scittu: P M P A P P ovveo P M P A I L mtice A ssocit ll ppliczione ƒ : R R est definit e costituit dll scittu seguente: A P M P Svolgendo il podotto ighe pe colonne f le mtice indicte, si ottiene l elzione: A L similitudine f l mtice digonle M e l mtice ssocit ll ppliczione A, ttes l stuttu dell mtice digonlizznte P, ichiede che isulti soddisftt l seguente elzione:

14 In conclusione, l mtice A ssocit ll ppliczione ƒ : R R, ssume l fom lto ipott. A 3 ESERCIZIO 8.: Si detemini se sono simili le mtici A e B di seguito ipotte: A 5 5 B Ricodimo che, in se ll definizione, due mtici qudte A e B, dello stesso odine n, si dicono simili se esiste un mtice non singole S, cioè invetiile, tle che isulti: B S A S L mtice S si chim nche mtice dell tsfomzione di similitudine, ovveo l mtice di pssggio dll A ll B. Si ossevi che l elzione sopccitt è equivlente, moltiplicndo mo i memi sinist pe l mtice S stess, ll elzione di seguito ipott: S ( S A S S B ( S S A S S B A S S B All mtice S, che deve essee invetiile, viene ichiesto di soddisfe l condizione definit dll elzione o icvt. L geneic mtice S qudt del tezo odine (n 3 sà così costituit: S c d e f g h i c c 5 d e f d e f 5 g h i g h i c 5 + c c d e f d f e f g + 5h c + 5i 5g + i h i ovveo: cui coispondono le seguenti elzioni d soddisfsi contemponemente: 5 + c c c d 5d + f e e f f + 5g 5g + i + 5h h c + 5i i 4 c c c 4d f e e f f i 4h 4i c Le elzioni ffeenti gli elementi dell mtice S intoducono lcuni gdi di lietà; in pticole, si evince che si l elemento e si l elemento g possono ssumee qulsisi vloe, invece l scelt dei vloi gli elementi, d, ed h stilisce il vloe dei estnti elementi dell mtice. Quindi, esplicitte le seguenti itie posizioni: d h e g L condizione A S S B impost ll mtice S, olte ll succitt necessità di essee NON SINGOLARE e, quindi, invetiile, l fine di veifice se le mtici A e B sono simili, impone l seguente elzione lgeic f mtici: i - - h , si ottiene:, d cui: S -4 c 4 4 f 4d 4 Veifichimo che l mtice S o detemint si invetiile; si ottiene inftti det(s 4; inolte è:

15 - S inv(s Pe ulteioe confem dell vlidità dei isultti ottenuti pe l mtice S veifichimo l elzione: B S A S. A tle scopo, si ottiene, inftti, l seguente scittu: B * * ESERCIZIO 9.: Si detemini pe quli vloi del pmeto ele k sono simili le mtici di seguito ipotte ed in cso ffemtivo detemine l mtice S di pssggio tle che isulti: A S B S A k k + k B 3 k Sino A e B sono due mtici qudte di odine n, si dice che l mtice B è simile ll mtice A se esiste un mtice di pssggio S non singole tle che isulti: A S B S L ppliczione del teoem di Binet, eltivo l ngo di un mtice, ll elzione scitt consente di ffeme qunto segue: det( S A S det( B det( S det( A det( S det( B Ricodndo che det( S det( S, si ottiene l condizione finle: det( A det( B Petnto, non est che pocedee l clcolo dei deteminnti delle due mtici ottenendo le elzioni di seguito esplicitte: det( A det k ( k k k k + k det( B det 3 k 3 k Affinché le due mtici A e B sino simili deve isulte soddisftt l condizione: det( A det( B k + 3k k Si può, petnto, concludee d suito che le mtici A e B, pe k, NON SONO SIMILI. Quindi è necessio studie l evento ffeente k. In tle contesto le mtici A e B ssumono l fom di seguito ipott: A B 3

16 Si deteminno, questo punto, gli utovloi, spendo che due mtici simili pesentno gli stessi utovloi, ovveo lo stesso polinomio ctteistico ϕ(λ. Si ottengono, petnto, le elzioni seguenti: λ det( A λi det det λ λ λ ( λ( λ ( λ ( λ[( λ ] ( λ ( 4 4λ + λ ( λ ( 3 4λ + λ ( λ ( 3 4λ + λ ( λ ( λ ( λ 3 ( λ ( λ 3 λ det( B λi det 3 det λ 3 λ λ ( λ ( 3 λ ( λ ( λ 3 Dll nlisi dei isultti si evince che l utovloe λ 3 è semplice e, petnto, gode dell popietà di essee egole. È necessio i fini dell digonlizzilità delle mtici A e B nlizze il cso dell utovloe λ, che pesent un molteplicità lgeic. A tle igudo è indiffeiile pocedee l clcolo del ngo delle due mtici di seguito ipotte: λ ngo( A λ I ngo ngo λ λ ( λ λ ngo( B λ I ngo ngo 3 λ λ ( λ Atteso qunto pemesso, isult soddisftt l condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE pe l digonlizzilità delle due mtici A e B; inftti isultno veificte le condizioni impost dlle seguenti elzioni: ngo( A λi I ( n i 3 ngo( B λ I ( n 3 i i Le due mtici A e B possiedono entmi te utovloi egoli e, petnto, isultno entme digonlizzili e quindi simili ll medesim mtice digonle e,petnto, simili f loo. In sintesi, le mtici A e B sono entme digonlizzili ed inolte hnno lo stesso polinomio ctteistico e, quindi, consegue che pe k e solo pe tle vloe, le mtici A e B sono simili in ossequio qunto sncito dl teoem che ecit così come segue: se A e B sono due mtici entme digonlizzili, esse sono simili se e solo se hnno lo stesso polinomio ctteistico. Pe qunto ttiene l definizione dell mtice S di pssggio, si deve icode l elzione: A S B S S A B S Si inolte S l geneic mtice di odine te ctteizzt dgli elementi ppesso ipotti:

17 c S d e f g h i c c d e f d e f 3 g h i g h i, ovveo: + + c + c + c + d + e c + f d + e + f e + f e + f d e f g + h + i h + i h + i d + g e + h f + i cui coispondono le seguenti elzioni d soddisfsi contemponemente: + c d + c e + c f e + f d e f e f h + i d h + i e h + i f d e f g Le elzioni ffeenti gli elementi dell mtice S intoducono lcuni gdi di lietà; in pticole, si evince che si l elemento si l elemento g possono ssumee qulsisi vloe, invece l scelt dei vloi gli elementi d, e, ed f stilisce il vloe dei estnti elementi dell mtice tteso che ess deve essee NON singole. Si sceglie: g, con l ccotezz che si d, l fine d evite un colonn di tutti zei, mente si pone d e f. In tle cso l mtice S, che deve vee det(s ssume l fom seguente: S c h i L condizione S A B S impost ll mtice S, olte ll citt necessità di ESSERE NON SINGOLARE e, petnto, invetiile, llo scopo di ppesente l mtice del pssggio f le due mtici simili A e B, impone l seguente elzione lgeic f le stesse mtici: h det( S h c i i Ricodndo che le pecedenti elzioni dedotte dll condizione S A B S impongono l essee: + c f ed h + i f, l fine, quindi, di soddisfe l condizione det(s ppe poi utile l posizione seguente: h i, c Si ottiene così l seguente confomzione pe l mtice S: S det( S S Veifichimo l coettezz del isultto conseguito pe l mtice S pendendo tto che ess soddisf l elzione A S B S. Si ottiene inftti: S B S A S B S Tle veific può ottenesi pidmente fcendo icoso l pcchetto pplictivo MATLAB. c

18 ESERCIZIO : Si consideino le mtici di seguito mostte. Detemine, se esistono, vloi di k in modo che A e B sino simili. Tove un mtice di pssggio P tle che A P - B P. (Peppello del 6 feio 8 A k k B Due mtici simili hnno lo stesso deteminnte e lo stesso polinomio ctteistico, cioè gli stessi utovloi con l medesim molteplicità. A tle igudo ossevimo che: det( A k + k k det( B Sempe dll ossevzione dell mtice B si evince che tttsi di un mtice tingole ss e che, petnto, olte che essee ctteizzt d det(b 33, possiede l popietà che gli elementi dell su digonle pinciple lto non sono che gli utovloi dell mtice stess. Inftti, come veific, si ossev che: λ det( B λi det det λ λ λ d cui, svolgendo i dovuti e necessi pssggi lgeici, si peviene ll seguente scittu: det( B λi λ ( λ ( λ λ ( λ ( + λ Segue, così, che l deteminzione degli utovloi dell mtice B est ffidt l veificsi dell condizione det(b λi ; si ottiene, petnto: λ ( λ ( + λ λ λ λ 3 Atteso che gli utovloi dell mtice B sono tutti e te semplici e, petnto, tutti e te egoli, isult soddisftt l condizione necessi e sufficiente ffinché l mtice B si digonlizzile. Si deve, questo punto, icece quli sino gli utovloi dell mtice A. A tle igudo si ottiene: λ det( A λi det k det k λ k λ k λ L deteminzione degli utovloi dell mtice A ffeisce ll condizione det(a λi. Petnto: det( A λi ( λ ( k λ ( λ + k ( λ d cui, svolgendo i dovuti e necessi pssggi lgeici, si peviene lle scittue che si ipotno di seguito: 3 ( λ ( k λ + k kλ k kλ λ + λ k + k λ 3 λ kλ + ( k λ λ [ λ kλ + ( k ] Ricodndo che un podotto è nullo qundo sono septmente nulli i singoli fttoi, si ottiene: λ e λ kλ + ( k, ovveo isolvendo l equzione di gdo in λ si h: k ( k k k + k ± k 4( k k ± k 4k + 4 λ, 3 k + ( k k + k Si può petnto concludee che gli utovloi dell mtice A sono definiti dlle elzioni seguenti:

19 λ ; λ k; λ3 ( k k Segue con immeditezz che: λ λ λ λ A B A B Poiché due mtici simili, come già detto, hnno gli stessi utovloi con l medesim molteplicità lgeic, si deduce che gli utovloi dell mtice A sono uguli gli utovloi dell mtice B llo e solo llo che isult: λb3 λa3 k k Attesi i isultti conseguiti si conclude che pe K l mtice A pesent gli stessi utovloi dell mtice B e tli utovloi sono tutti e te semplici cioè egoli; petnto è soddisftt l condizione necessi e sufficiente ffinché l mtice A si nch ess digonlizzile. Qunto sseito implic che le mtici A e B isultno simili ll stess mtice digonle che pesent sull digonle pinciple gli utovloi λ, λ e λ 3, quindi, l mtice A è simile ll mtice B. Al fine dell deteminzione dell mtice P di pssggio, in ossequio ll definizione di mtici simili, dovà essee veifict l impliczione seguente: A P B P P A P P B P P A B P Si inolte P l geneic mtice di odine te ctteizzt dgli elementi ppesso ipotti: c L condizione P A B P impost ll mtice P, olte ll già citt P d e f necessità di ESSERE NON SINGOLARE e, petnto, invetiile, llo scopo di ppesente l mtice del pssggio f le due mtici simili A e B, impone l seguente elzione lgeic f le stesse mtici: g h i c c d e f d e f g h i g h i + c c + g + h c + i d + f e f g + i h i g h i, ovveo: cui coispondono le seguenti elzioni d soddisfsi contemponemente: + c + g + h c c + i d + f e f g + i g h h i i d e f h c g i I isultti cui si è pevenuti individuno un mtice i cui elementi sono: g Poiché l mtice P deve essee invetiile, l deteminzione degli P f f f elementi dell mtice P ichiede ssolutmente che si det(p. Ciò implic che: det(p (ƒg gƒ, cioè gƒ( + g. Si g g peviene, petnto, lle ovvie elzioni che di seguito si ipotno: f g + g f g g I gdi di lietà ffeenti gli elementi dell mtice P, contestulmente lle condizioni ichieste pe l NON SINGOLARITÀ dell mtice P stess, consentono, f le vie scelte possiili, di itenee lecit l seguente posizione: f g Si peviene, così, ll mtice P di pssggio di seguito ipott: g P f f f g g

20 Veifichimo l coettezz del isultto ottenuto pe l mtice P pendendo tto che ess soddisf l elzione A P B P. Si ottiene inftti: P B P B P Tle veific può ottenesi pidmente fcendo icoso l pcchetto pplictivo MATLAB tmite le seguenti ighe di codice digitte l pompt dell MATLAB Commnd Window:»B[ ; ; -];»P[ ;- - ; -];»Ainv(P*B*P P A

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

LE INCERTEZZE E LA LORO PROPAGAZIONE NELLE MISURE INDIRETTE

LE INCERTEZZE E LA LORO PROPAGAZIONE NELLE MISURE INDIRETTE LE INCERTEZZE E LA LORO PROPAGAZIONE NELLE MISURE INDIRETTE Pof. Agelo Ageletti -.s. 006/007 1) COME SI SCRIVE IL RISULTATO DI UNA MISURA Il modo miglioe pe espimee il isultto di u misu è quello di de,

Dettagli

Momento di una forza rispettto ad un punto

Momento di una forza rispettto ad un punto Momento di un fo ispettto d un punto Rihimimo lune delle definiioni e popietà sui vettoi già disusse ll iniio del oso Podotto vettoile: ϑ ϑ sin sin θ Il vettoe è dietto lungo l pependiole l pino individuto

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

durante lo spostamento infinitesimo dr la quantità data dal prodotto scalare F dr

durante lo spostamento infinitesimo dr la quantità data dal prodotto scalare F dr 4. Lavoo ed enegia Definizione di lavoo di una foza Si considea un copo di massa m in moto lungo una ceta taiettoia. Si definisce lavoo infinitesimo fatto dalla foza F duante lo spostamento infinitesimo

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

3. La velocità v di un satellite in un orbita circolare di raggio r intorno alla Terra è v = e,

3. La velocità v di un satellite in un orbita circolare di raggio r intorno alla Terra è v = e, Capitolo 10 La gavitazione Domande 1. La massa di un oggetto è una misua quantitativa della sua inezia ed è una popietà intinseca dell oggetto, indipendentemente dal luogo in cui esso si tova. Il peso

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

www.scuolainweb.altervista.org Problemi di Fisica La Dinamica

www.scuolainweb.altervista.org Problemi di Fisica La Dinamica www.suolinweb.ltevist.og L Dinmi Poblemi di isi L Dinmi PROBLEA N. Un opo di mss m 4 kg viene spostto on un foz ostnte 3 N su un supefiie piv di ttito pe un ttto s,3 m. Supponendo he il opo inizilmente

Dettagli

FAST FOURIER TRASFORM-FFT

FAST FOURIER TRASFORM-FFT A p p e n d i c e B FAST FOURIER TRASFORM-FFT La tasfomata disceta di Fouie svolge un uolo molto impotante nello studio, nell analisi e nell implementazione di algoitmi dei segnali in tempo disceto. Come

Dettagli

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1 M.Blconi e R.Fontn, Disense di conomi: 3) quilirio del consumtore L scelt di equilirio del consumtore ntegrzione del C. 21 del testo di Mnkiw 1 Prte 1 l vincolo di ilncio Suonimo che il reddito di un consumtore

Dettagli

Definizioni fondamentali

Definizioni fondamentali Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è:

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è: Titolzione Acido Debole Bse Forte L rezione che vviene nell titolzione di un cido debole HA con un bse forte NOH è: HA(q) NOH(q) N (q) A (q) HO Per quest rezione l costnte di equilibrio è: 1 = = >>1 w

Dettagli

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse)

Dettagli

Elementi della teoria della diffusione

Elementi della teoria della diffusione Elementi della teoia della diffusione Pe ottenee infomazioni sulla stuttua della mateia, dai nuclei ai solidi, si studia la diffusione scatteing) di paticelle: elettoni, paticelle alfa, potoni, neutoni,

Dettagli

Gravitazione Universale

Gravitazione Universale Gavitazione Univesale Liceo Ginnasio Statale S.M. Legnani Anno Scolastico 2007/08 Classe 3B IndiizzoClassico Pof.Robeto Squellati 1 Le leggi di Kepleo Ossevando la posizione di Mate ispetto alle alte stelle,

Dettagli

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010 Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIA Tm di: MATEMATICA. s. 9- Dt un circonrnz di cntro O rggio unitrio, si prndno

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino:

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino: Prof. Emnul ANDRISANI Studio di funzion Funzioni rzionli intr n n o... n n Crttristich: sono funzioni continu drivbili in tutto il cmpo rl D R quindi non sistono sintoti vrticli D R quindi non sistono

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA

EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA Dispense CHIMICA GENERALE E ORGANICA (STAL) 010/11 Prof. P. Crloni EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA Qundo si prl di rezioni di equilirio dei composti inorgnici, un considerzione prticolre viene rivolt lle

Dettagli

Esercizi su Autovalori e Autovettori

Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizio n.1 5 A = 5, 5 5 5 Esercizio n.6 A =, Esercizio n.2 4 2 9 A = 2 1 8, 4 2 9 Esercizio n.7 6 3 3 A = 6 3 6, 3 3 6 Esercizio n.3 A = 4 6 6 2 2, 6 6 2 Esercizio

Dettagli

Forza centripeta e gravitazione

Forza centripeta e gravitazione pitolo 6 Foz centipet e gitzione 1. Il oto cicole Quli sono le ctteistiche del oto cicole? Un pticell si dice nit di oto cicole qundo l su tiettoi è un ciconfeenz. Lo studio di questo tipo di oto iene

Dettagli

Macchine elettriche in corrente continua

Macchine elettriche in corrente continua cchine elettriche in corrente continu Generlità Può essere definit mcchin un dispositivo che convert energi d un form un ltr. Le mcchine elettriche in prticolre convertono energi elettric in energi meccnic

Dettagli

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................

Dettagli

Dinamica. Se un corpo non interagisce con altri corpi la sua velocità non cambia.

Dinamica. Se un corpo non interagisce con altri corpi la sua velocità non cambia. Poblema fondamentale: deteminae il moto note le cause (foze) pe oa copi «puntifomi» Dinamica Se un copo non inteagisce con alti copi la sua velocità non cambia. Se inizialmente femo imane in quiete, se

Dettagli

Campo elettrostatico nei conduttori

Campo elettrostatico nei conduttori Campo elettostatico nei conduttoi Consideeemo conduttoi metallici (no gas, semiconduttoi, ecc): elettoni di conduzione libei di muovesi Applichiamo un campo elettostatico: movimento di caiche tansiente

Dettagli

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso.

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso. I vettor B Un segmento orentto è un segmento su cu è stto fssto un verso B d percorrenz, d verso oppure d verso. A A Il segmento orentto d verso è ndcto con l smolo. Due segment orentt che hnno l stess

Dettagli

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo Istituto di Antropologi dell Regi Università di Rom Vrizioni di sviluppo del lobo frontle nell'uomo pel Dott. SERGIO SERGI Libero docente ed iuto ll cttedr di Antropologi. Il problem dei rpporti di sviluppo

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione RELAZIONI E FUNZIONI Relzioni inrie Dti ue insiemi non vuoti e (he possono eventulmente oiniere), si ie relzione tr e un qulsisi legge he ssoi elementi elementi. L insieme A è etto insieme i prtenz. L

Dettagli

). Per i tre casi indicati sarà allora: 1: L L 2

). Per i tre casi indicati sarà allora: 1: L L 2 apitolo 0 Enegia potenziale elettica Domane. Il lavoo pe spostae una caica ta ue punti è: L 0(! ). Pe i te casi inicati saà alloa: L (50! 00 ) (50 ) : 0 0 : L 0! 0 3: L 0! 0 [5 ( 5 )] (50 ) [ 0 ( 60 )]

Dettagli

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz

Dettagli

METODO VOLTAMPEROMETRICO

METODO VOLTAMPEROMETRICO METODO OLTAMPEOMETCO Tle etodo consente di isrre indirettente n resistenz elettric ed ipieg l definizione stess di resistenz : doe rppresent l tensione i cpi dell resistenz e l corrente che l ttrers coe

Dettagli

I principi della Dinamica. L azione di una forza è descritta dalle leggi di Newton, possono fare Lavoro e trasferire Energia

I principi della Dinamica. L azione di una forza è descritta dalle leggi di Newton, possono fare Lavoro e trasferire Energia I pincipi della Dinamica Un oggetto si mette in movimento quando viene spinto o tiato o meglio quando è soggetto ad una foza 1. Le foze sono gandezze fisiche vettoiali che influiscono su un copo in modo

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano: ( ) , :,

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano: ( ) , :, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Un rsforzione geoeric del pino in sé è un corrispondenz iunivoc r i puni del pino P P, P P P è l igine di P rispeo ll rsforzione. Ad ogni puno P(,) corrisponde uno ed un solo

Dettagli

Metodi d integrazione di Montecarlo

Metodi d integrazione di Montecarlo Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe,

Dettagli

R-402A R-404A R-410A R-507 SIZE COLOR CODE

R-402A R-404A R-410A R-507 SIZE COLOR CODE La temostatica BQ può essee pesonalizzata pe qualsiasi applicazione di efigeazione e condizionamento. Devi solo selezionae il coetto elemento temostatico, la giusta taglia dell oifizio ed il tipo di copo

Dettagli

10 Progetto con modelli tirante-puntone

10 Progetto con modelli tirante-puntone 0 Progetto con modelli tirnte-puntone 0. Introduzione I modelli tirnte-puntone (S&T Strut nd Tie) sono utilizzti per l progettzione delle membrture in c.. che non possono essere schemtizzte come solidi

Dettagli

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI . L'INSIEME DEI NUMERI REALI. I pricipli isiemi di umeri Ripredimo i pricipli isiemi umerici N, l'isieme dei umeri turli 0; ; ; ; ;... L'ide ituitiv di umero turle è ssocit l prolem di cotre e ordire gli

Dettagli

Le spese di ricerca e sviluppo: gestione contabile ed iscrizione in bilancio *

Le spese di ricerca e sviluppo: gestione contabile ed iscrizione in bilancio * www.solmp.it Le : gestione contbile ed iscrizione in bilncio * Piero Pisoni, Fbrizio Bv, Dontell Busso e Alin Devlle ** 1. Premess Le sono esminte nei seguenti spetti: Il presente elborto è trtto d: definizione

Dettagli

Cuscinetti ad una corona di sfere a contatto obliquo

Cuscinetti ad una corona di sfere a contatto obliquo Cuscinetti d un coron di sfere conttto obliquo Cuscinetti d un coron di sfere conttto obliquo 232 Definizione ed ttitudini 232 Serie 233 Vrinti 233 Tollernze e giochi 234 Elementi di clcolo 236 Crtteristiche

Dettagli

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f). Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo

Dettagli

ELETTROMAGNETI IBK Elettromagneti per l automazione flessibile

ELETTROMAGNETI IBK Elettromagneti per l automazione flessibile INDUCTIVE COMPONENTS I 0 I 0 IBK ELETTROMAGNETI IBK Elettomneti e l utomzione flessibile Ctloo eli elettomneti IBK e l zionmento ei sistemi oscillnti Eizione Mio 2004 www.eoitli.it/ootti/feee.tml Elettomneti

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro.

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro. Viett l pubbliczione, l riprouzione e l ivulgzione scopo i lucro. GA00001 Qul è l mpiezz ell ngolo che si ottiene ) 95 b) 275 c) 265 ) 5 b sottreno 85 un ngolo giro? GA00002 Due ngoli ll circonferenz che

Dettagli

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI LE INTERSEZIONI Dispense didttiche di TOOGRFI r M unto di ollins O s θ 00 O d O d 00 θ θ ω ' ω θ c'

Dettagli

Determinante e inversa di una matrice

Determinante e inversa di una matrice CPITOLO 6 Determinante e inversa di una matrice Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: 3 3 = B = 0 3 7 C = 0 D = 0 F = 0 0 3 4 0 3 4 3 Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle

Dettagli

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data...

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data... I numeri rzionli Cpitolo Numeri rzionli Verifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

3. La matrice dei dati e le analisi preliminari 3.1 Introduzione

3. La matrice dei dati e le analisi preliminari 3.1 Introduzione 3. L mtice dei dti e le nlii pelimini 3. Intoduzione Pe elizze un nlii ttitic concenente fenomeni ziendli, o di qulii lt ntu, non bt ccogliee dti, biogn nche ognizzli in modo ppopito. Si che i dti poengno

Dettagli

Codici bifissi ed insiemi Sturmiani

Codici bifissi ed insiemi Sturmiani Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di Lure Specilistic in Mtemtic Codici ifissi ed insiemi Sturmini Studente Frncesco Dolce Reltore Prof. Antonio Restivo Anno Accdemico

Dettagli

Fatturiamo. Versione 5. Manuale per l utente. Active Software Corso Italia 149-34170 Gorizia email info@activeweb.it

Fatturiamo. Versione 5. Manuale per l utente. Active Software Corso Italia 149-34170 Gorizia email info@activeweb.it Ftturimo Versione 5 Mnule per l utente Active Softwre Corso Itli 149-34170 Gorizi emil info@ctiveweb.it Se questo documento ppre nell finestr del vostro browser Internet di defult, richimte il comndo Registr

Dettagli

Domanda n. del Pensione n. cat. abitante a Prov. CAP. via n. DICHIARA, sotto la propria responsabilità, che per gli anni:

Domanda n. del Pensione n. cat. abitante a Prov. CAP. via n. DICHIARA, sotto la propria responsabilità, che per gli anni: Mod. RED Sede di Domnd n. del Pensione n. ct. nto il stto civile bitnte Prov. CAP vi n. DICHIARA, sotto l propri responsbilità, che per gli nni: A B (brrre l csell reltiv ll propri situzione) NON POSSIEDE

Dettagli

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N Operzioi fodetli i - 1 Le operzioi fodetli i Bsic Arithetic Opertios i I geerle u operzioe è u procedieto che due o più ueri, dti i u certo ordie e detti terii dell'operzioe, e ssoci u ltro, detto risultto

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

L ELLISSOIDE TERRESTRE

L ELLISSOIDE TERRESTRE L ELLISSOIDE TERRESTRE Fin dll scond mtà dl XVII scolo (su propost di Nwton) l suprfici più dtt ssr ssunt com suprfici di rifrimnto pr l Trr è stt individut in un ELLISSOIDE DI ROTAZIONE. E l suprfici

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

1. Integrazione di funzioni razionali fratte

1. Integrazione di funzioni razionali fratte . Integazone d fnzon azonal fatte P S songa d vole calcolae n ntegale del to: d Q ove P e Q sono olno nell ndetenata d gado assegnato. Sonao ce: P a n n a n n a a Q b b b b oleent s etod d ntegazone I

Dettagli

Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA) Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag. Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

temperatura; Trasporto di massa, calore e quantità di moto, relazioni di bilancio; La viscosità; Cenni di

temperatura; Trasporto di massa, calore e quantità di moto, relazioni di bilancio; La viscosità; Cenni di FISICA-TECNICA Ki Gllucci ki.gllucci@univq.i kgllucci@unie.i Progr del corso Dinic dei fluidi: Regii di oo; Moo szionrio di un fluido idele; Moo szionrio di un fluido rele; Il eore di Bernoulli; Perdie

Dettagli

v999999999 Italià (més grans de 25 anys) Aferrau una etiqueta identificativa Convocatòri a 2015 de codi de barres Model 1

v999999999 Italià (més grans de 25 anys) Aferrau una etiqueta identificativa Convocatòri a 2015 de codi de barres Model 1 Aferru un etiquet identifictiv v999999999 de codi de brres Itlià (més grns de 25 nys) Model 1 Not 1ª Not 2ª Aferru l cpçler d exmen un cop cbt l exercici Puntució: preguntes vertder/fls: 1 punt; preguntes

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ II

TEORIA DELLA PROBABILITÀ II TEORIA DELLA PROBABILITÀ II Diprtimento di Mtemti ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive Versione [14-15] Indie 1 Clolo omintorio 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Permutzioni...........................................

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz:

6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz: FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) (b) f log(x + y ) (c) f y x 4 (d) f sin(x + y ) (e) f log(xy +

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

07 GUIDA ALLA PROGETTAZIONE. Guida alla progettazione

07 GUIDA ALLA PROGETTAZIONE. Guida alla progettazione 07 Guid ll progettzione Scelt tubzioni e giunti 2 tubi di misur [mm] Dimetro tubzioni unità esterne (A) Giunti 12Hp 1Hp 1Hp Selezionre il dimetro delle unità esterne dll seguente tbell Giunto Y tr unità

Dettagli

YOGURT. Dosi per. 150 più secondo il. fermenti. eccezionalee. il nostroo lavorare. intestino. forma. Alla fine

YOGURT. Dosi per. 150 più secondo il. fermenti. eccezionalee. il nostroo lavorare. intestino. forma. Alla fine YOGURT FATTO IN CASAA CON YOGURTIERA Lo yogurt ftto in cs è senz ltro un modoo sno per crere un limento eccezionlee per l nostr slute. Ricco di ltticii iut intestino fermenti il nostroo lvorre meglioo

Dettagli

GRUPPI TOPOLOGICI. 1 Gruppi Un gruppo è un insieme G, che contiene un elemento distinto e e su cui è definita un operazione binaria

GRUPPI TOPOLOGICI. 1 Gruppi Un gruppo è un insieme G, che contiene un elemento distinto e e su cui è definita un operazione binaria CAPITOLO I GRUPPI TOPOLOGICI 1 Gruppi Un gruppo è un insieme G, che contiene un elemento distinto e e su cui è definita un operazione binaria (1.1) G G (a, b) a b G con le proprietà: (i) a e = e a = a

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it) I rdicli Cludio CANCELLI (www.cludioccelli.it) Ed..0 www.cludioccelli.it Dec. 0 I rdicli INDICE DEI CONTENUTI. I RADICALI... INDICE DI RADICE PARI...4 INDICE DI RADICE DISPARI...5 RADICALI SIMILI...6 PROPRIETA

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

11. Attività svolta dall Agenzia, risorse e aspetti organizzativi

11. Attività svolta dall Agenzia, risorse e aspetti organizzativi 11. Attività svolt dll Agenzi, risorse e spetti orgnizztivi 11.1 Attività istituzionle svolt i sensi dell Deliberzione istitutiv In un vlutzione complessiv delle ttività svolte dll Agenzi i sensi dell

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Comparazione delle performance di 6 cloni di Gamay ad altitudine elevata

Comparazione delle performance di 6 cloni di Gamay ad altitudine elevata Comprzione delle performnce di 6 cloni di Gmy d ltitudine elevt 1 / 46 Motivzioni Selezione clonle IAR-4 Lo IAR-4 è stto selezionto in mbiente montno d un prticolre popolzione di mterile stndrd, dll qule

Dettagli

Appunti sull uso di matlab - I

Appunti sull uso di matlab - I Appunti sull uso di matlab - I. Inizializazione di vettori.. Inizializazione di matrici.. Usare gli indici per richiamare gli elementi di un vettore o una matrice.. Richiedere le dimensioni di una matrice

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 31 Prodotti scalari Definizione 311 Sia V SV(R) Un prodotto scalare su V è un applicazione, : V V R (v 1,v 2 ) v 1,v 2 tale che: i) v,v = v,v per ogni v,v V ; ii)

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO Così come avviene per i numeri ( 180 = 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili

Dettagli

a Crediamo nel concetto di cucina a chilometro zero e nei prodotti di stagione, crediamo nel rispetto dell ambiente e delle tradizioni.

a Crediamo nel concetto di cucina a chilometro zero e nei prodotti di stagione, crediamo nel rispetto dell ambiente e delle tradizioni. Credimo nel concetto di cucin chilometro zero e nei prodotti di stgione, credimo nel rispetto dell mbiente e delle trdizioni. L nostr propost enogstronomic è bst sull riscopert delle ricette più semplici

Dettagli

ESERCITAZIONI. I. 1)Una coppia ha già due figlie. Se pianificassero di avere 6 figli, con quale probabilità avranno una famiglia di tutte figlie?

ESERCITAZIONI. I. 1)Una coppia ha già due figlie. Se pianificassero di avere 6 figli, con quale probabilità avranno una famiglia di tutte figlie? ESERCITZIONI. I 1)Un coppi h già due figlie. Se pinificssero di vere 6 figli, con qule probbilità vrnno un fmigli di tutte figlie? ) 1/4 b)1/8 c)1/16 d)1/32 e)1/64 2)In un fmigli con 3 bmbini, qul e l

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo

Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo Appunti al corso di Algebra Anno accademico 23-24 1 Prodotti diretti. Siano M e N due moduli sullo stesso anello A, non necessariamente

Dettagli

Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione

Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione Consideriamo il nostro dataset formato da 468 individui e 1 variabili nominali costituite dalle seguenti modalità : colonna D: Age of client

Dettagli