1 Esercizi di Riepilogo sui piani di ammortamento

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1 1 Esercizi di Riepilogo sui piani di ammortamento 1. Un individuo riceve, al tempo t 0, in prestito la somma di euro S da restituire con quattro rate semestrali posticipate R 1 ; R ; R 3 ; R 4. Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile semestralmente è j() 0.10 e che : R , R k+1 R k 3 k, 3; calcolare l importo delle rate e stilare il piano di ammortamento. Tasso di interesse semestrale: i 1 j() Inoltre: R 3 3R ; R 4 3R 3 3 3R 9R ; Dalla formuala equivalenza finanziaria si ricava che S R 1 v + R v + R 3 v 3 + R 4 v 4 da cui otteniamo: (1.05) 1 + R (1.05) + 3R (1.05) 3 + 9R (1.05) 4 e quindi: R ; R ; R k I k C k R k D k , , , , , , ,

2 . Un individuo riceve, al tempo t 0, in prestito la somma di euro S da restituire secondo un piano di ammortamento francese con venti rate annuali posticipate, al tasso di interesse annuo del 1%. Calcolare la rata R. Dopo aver pagato la decima rata, il debitore sospende il pagamento delle successive due rate agli istanti t 11 e t 1 e concorda con la banca che il debito residuo venga remunerato allo stesso tasso del 1% e in regime di capitalizzazione composta. Al tempo t 13 riprende la restituzione del debito, con le medesime modalità, da concludersi entro il tempo t 0. Calcolare l importo W delle nuove rate. Calcolo della rata R: R a Determiniamo il debito residuo dopo aver pagato la decima rata: D 10 Ra Al tempo t 11 e t 1 non paga nessuna rata e quindi il debito residuo in t 1 è si ottiene capitalizzando per due anni il debito D 1 0 al tasso i 0.1: D 1 D 10 (1.1) , Questo debito adesso viene nuovamente ammortizzato con n 8 rate W al tasso i 0.1. Si ottiene quindi: D 1 W a W D 1 a , Un debito di euro al tasso annuo del 10% è ammortizzato in n 1 anni con rate annuali a quote capitale costanti (ammortamento italiano). Pagata la settima rata, il debitore sospende per tre anni i pagamenti sia in conto capitale che degli interessi. Il debitore riprende la restituzione del debito con un ammortamento francese al tasso annuo del 8%, mediante ventisei rate semestrali di importo R, con il pagamento della prima di tali rate al tempo t 11. Determinare R.

3 Determiniamo la quota capitale C costante: C S n 1 e il debito residuo dopo aver pagato la settima rata come somma delle 5 quote capitali ancora da pagare: D Il debitore per tre anni non paga nulla come interessi e quota capitale. Quindi, il debito al tempo t 10 è il montante di D 7 per 3 anni, ossia: D (1.10) , 50 Questo debito viene ammortizzato con 6 rate semestrali posticipate costanti (ammortamento francese). Il tasso semestrale i 1 (1.08) La nuova rata R è: , 50 D 10 Ra R Un individuo riceve, al tempo t 0, in prestito la somma di S , da restituire secondo un piano di ammortamento francese con quindici rate semestrali posticipate, al tasso di interesse annuo del 10%. Calcolare la rata semestrale R. Dopo aver pagato l ottava rata, il debitore sospende il pagamento delle successive quattro quote capitali (t 9, 10, 11 e t 1) e concorda con la banca che per i successivi quattro semestri continui a pagare gli interessi semestrali al tasso annuo del 10%. Al tempo t 13 riprende la restituzione del debito, secondo un piano di ammortamento a quote capitali costanti (ammortamento italiano) e al tasso annuo convertibile semestralmente del 8%, da concludersi entro il tempo t 15. Calcolare l importo R 13, R 14 e R 15 delle nuove rate. Tasso semestrale: i 1 (1.10) Calcolo della rata: R S a

4 Debito residuo dopo aver pagato l ottava rata: D 8 Ra Calcolo degli interessi pagati dopo la sospensione in t 9, 10, 11, 1: I Il debito residuo non cambia in quanto vengono pagati gli interessi: D 8 D 1. Il debito D viene ammortizzato con un piano di ammortamento italiano formato da n 3 rate pagate in t 13, 14, 15. Il tasso di interesse semestrale è: i 1 La quota capitale costante C è: C D Calcoliamo I Quindi R 13 C + I Il debito residuo D Calcoliamo I Quindi R 14 C + I Il debito residuo D Calcoliamo I Quindi R 15 C + I Un individuo riceve, al tempo t 0, in prestito la somma di euro S da restituire secondo un piano di ammortamento americano con quattro rate annuali posticipate. Sapendo che il tasso annuo creditore é j 10% mentre il tasso annuo debitore é i 0%, calcolare l importo delle rate e stilare il piano di ammortamento. Calcolo della quota di accumulo Q versata al fondo: Qs Q s

5 Quota interessi versata al creditore: I Rata complessiva pagata dal debitore: R Piano di ammortamento (flussi tra debitore e creditore): k I k C k R k D k Un individuo riceve, al tempo t 0, in prestito la somma di euro S da restituire con tre rate semestrali posticipate R 1 ; R ; R 3. Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile semestralmente è j() 0.0 e che : R R 1 ; C 3 R ; calcolare l importo delle rate e stilare il piano di ammortamento. Tasso semestrale i Primo metodo: Il debito residuo dopo aver pagato la seconda rata D C 3. Poichè C 3 R R 1 allora D R 1. Quindi: I D 0.10 R 1 5

6 Poichè R 3 C 3 + I 3 R R 1 1.1R 1 Possiamo ricavare l incognita R 1 partendo dal fatto che S è la somma dei valori attuali della rate: S R 1 v+r v +R 3 v 3 R 1 (1.10) 1 +R 1 (1.10) +1.1R 1 (1.10) R 1 R Secondo metodo: I Quindi C 1 R 1 I 1 R Il debito residuo D C (R ) R 1. I 0.10 D ( R 1 ) R 1. Quindi C R I R 1 ( R 1 ) 1.10R Infine C 3 R R 1. Per determinare l incognita R 1 partiamo dal fatto che S è la somma delle quote capitali: S C 1 +C +C (R )+(1.10R )+R 1 Quindi: 3.10R R 1 Piano di ammortamento: k I k C k R k D k Un individuo riceve al tempo t 0, in prestito la somma di euro S da restitutire secondo un piano di ammortamento a quote capitali costanti (italiano) con n 0 rate semestrali. Sapendo che il tasso di interesse annuo i 0%, calcolare la quarta rata e il debito 6

7 residuo dopo aver pagato la tredicesima rata. Calcolo del tasso semestrale: i 1 Calcolo della quota capitale costante: C S n (1.0) Calcolo di R 4 C + I 4. Per calcolare I D 3. Ma D Quindi I Quindi R Infine D Un individuo riceve, al tempo t 0, in prestito la somma di euro S e da restituire con tre rate semestrali posticipate R 1 ; R ; R 3 ;. Sapendo che il tasso di interesse semestrale è i e che : stilare il piano di ammortamento. C k+1 C k k 1, ; Ponendo k 1 si ottiene: C C 1 C C 1 ; Ponendo k si ottiene: C 3 C C 3 C C 1 4C 1 ; Dalla formula: S C 1 + C + C 3 abbiamo: S C 1 + C 1 + 4C C 1 C e quindi C e C Piano Ammortamento: Un individuo riceve, al tempo t 0, in prestito la somma di euro S da restituire con dieci rate semestrali posticipate R k ; k 1,..., 10, al tasso di interesse annuo convertibile semestralmente j() Sapendo che le prime quattro rate sono tutte dello stesso importo 7

8 k I k C k R k D k Tabella 1: Piano Amm. Esercizio 8 R e che le rate dalla quinta alla decima sono di importo R, calcolare l importo delle rate. Calcolare inoltre il debito residuo subito dopo aver pagato la seconda rata. Tasso di interesse semestrale: i La formula da applicare consiste nell attualizzare tutte le rate al tempo t 0 e perle pari ad S: da cui: S R a R a (1.04) R R R Le prime quattro rate sono di importo R e quindi mentre le ultime sei di importo R Debito residuo dopo aver pagato la seconda rata: D a a (1.04) oppure: C 1 R 1 I ; quindi D ; I ; da cui C R I Quindi D S C 1 C

9 10. Un debito di euro al tasso annuo del 10% é ammortizzato in n 7 anni con quote capitale costanti (ammortamento italiano). Pagata la terza rata, il debitore sospende per due anni anni i pagamenti in conto capitale e versa solo gli interessi. Determinare le annualitá che dovrá pagare il sesto ed il settimo anno per completare il rimborso (ancora con quote capitale costanti) entro la data inizialmente prevista. Quota capitale: C S n D Pagando gli interessi al tempo t 4 e t 5, il debito residuo al tempo t 5 è lo stesso dopo la terza rata: D 5 D Nuova quota capitale C D ; Calcoliamo I D Quindi R 6 C + I Il debito residuo dopo aver pagato la sesta rata D 6 C (manca una sola quota capitale da pagare). Quindi I D In conclusione: R 7 I 7 + C Un individuo riceve, al tempo (espresso in semestri) t 0, in prestito la somma di euro S da restituire secondo un piano di ammortamento francese con venti rate semestrali, al tasso di interesse annuo del 1%. Calcolare la rata R. Dopo aver pagato la decima rata, il debitore ottiene di poter sospendere il pagamento delle quote capitale delle successive tre rate e paga soltanto gli interessi. Al tempo t 13 restituisce un quarto della somma dovuta mentre la parte rimanente verrá restituita mediante un ammortamento americano con sette rate semestrali la prima delle quali verrá pagata al tempo t 14. Calcolare la rata da pagare per la costituzione del capitale cosí come previsto per l ammortamento americano e la quota interesse. Si utilizzino il tasso 9

10 debitore semestrale del 7% ed il tasso creditore semestrale del 11%. Soluzione Conversione tasso: i 1 Determinazione della rata: R (1.1) S a Debito residuo dopo aver pagato la decima rata: D 10 Ra Poichè paga gli interessi nella misura di I , il debito residuo dopo aver pagato la tredicesima rata è pari al debito dopo la decima: D 13 D 10 L individuo restituisce un quarto di D 13 e quindi: Quindi il suo debito complessivo da ammortizzare secondo piano americano è: D Quota interessi I Quota capitali: Qs Q (1.11) Nell ammortamento francese di un prestito di 14 anni il rapporto fra il debito residuo dopo il versamento della quarta rata ed il debito residuo dopo il versamento della nona rata é 5/3. Calcolare il tasso del prestito. D 4 D 9 Ra 10 i Ra 5 i Ponendo v 5 y si ottiene: 1 v 10 1 v 1 y 5 1 y 1 v 10 i 1 v 5 i (1 y)(1 + y) 1 y 10 1 v10 1 v y 5 3 y 3

11 Quindi: v 5 3 v ( 3 ) i v 1 i Si vuole disporre tra sei anni di una somma pari a e e a tale scopo si decide di versare, presso una banca, delle rate semestrali, costanti, posticipate, al tasso annuo di interesse composto del 9%. Calcolare l importo dei versamenti. Se dopo il versamento della quarta rata si decide di raddoppiare l importo della rata da versare, dopo quanto tempo si costituirá la somma di e? Conversione tasso: i 1 (1.09) Calcolo delle quote: Q s Q (1.044) Calcoliamo il valore del fondo dopo aver pagato la quarta rata: F 4 Qs (1.044) Calcolare dopo quanto tempo si costituisce raddoppiando la rata: F 4 (1+i) n +Q s n i (1.044) n (1.044)n Dopo alcuni passaggio si ottiene: (1.044) n (1.044) n e quindi: (1.044) n ( ) (1.044) n n ln(1.391) ln(1.044) Ovviamente si considera la parte intera, ossia 4 rate semestrali. Occorrerá quindi fare un versamento aggiuntivo W (che per ipotesi consideriamo alla fine) per ottenere il capitale di : F 4 (1 + i) s 4 i + W

12 ossia: e quindi: (1.044) (1.044) W W W Si intende costituire la somma di mediante 1 versamenti annui posticipati. Determinare l importo della rata sapendo che l operazione é stata condotta al tasso del 7%. Se dopo il versamento della sesta rata determinata precedentemente si decide di modificare il piano versando per quattro anni una rata pari ad un terzo della precedente e di versare alla fine dell undicesimo e dodicesimo anno una rata annua costante R tale da completare la costituzione della stessa somma, deteminare la rata R sapendo che il tasso di interesse é del 7%. Determinazione della rata Q di costituzione del fondo: Qs Q (1.07) Determinazione del valore del fondo dopo aver pagato la sesta rata: F 6 Qs (1.07) Determinazione delle rate R da versare al tempo undici e dodici per completare la costituzione del capitale: da cui: F 6 (1.07) s (1.07) + Rs R R