Dinamica dei Fluidi e Ecocardiografia

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1 Dinamica dei Fluidi e Ecocardiografia Andrea Centomo & Lorenzo Meneghini 25 novembre Dinamica dei fluidi Nell applicazione della dinamica dei fluidi all ecocardiografia possiamo considerare il sangue come un fluido ideale 1 in moto stazionario 2. In generale, per descrivere il moto di un fluido in regime stazionario sono utili i seguenti concetti: linea di corrente: è la traiettoria delle singole particelle del fluido. La direzione della velocità di una particella che percorra una linea di corrente è tangente alla linea stessa e le linee di corrente non si intersecano. tubo di flusso: un fascio di linee di corrente che passano attraverso una generica sezione S. Il tubo di flusso può cambiare sezione ma se il fluido è incomprimibile e in moto stazionario la portata Q, definita come il volume del fluido che nell unità di tempo attraversa una sezione di tubo di flusso, è costante e ciò conduce all equazione di continuità. Per approfondire questo concetto consideriamo un esempio semplice ma importante. Esercizio 1 Scrivere l equazione di continuità per un tubo di flusso cilindrico di basi S 1 e S 2 in cui scorre un fluido di densità ρ. Si supponga che in tutti i punti di entrambe le superfici le particelle di fluido abbiamo velocità costante perpendicolare alla superficie v 1 in ingresso e v 2 in uscita. Soluzione. Eguagliando le portate si ha da cui l equazione di continuità Q 1 = ρs 1 v 1 = ρs 2 v 2 = Q 2 S 1 v 1 = S 2 v 2. (1) 1 Fluido incomprimibile le cui particelle si muovono liberamente le une rispetto alle altre con interazioni trascurabili 2 Tutte le particelle del fluido che passano in un punto hanno la stessa velocità indipendentemente dal tempo. 1

2 1.1 Teorema di Bernoulli Consideriamo un fluido ideale che scorre in condizioni di regime stazionario in un condotto a sezione variabile. In queste ipotesi, le equazioni di Navier- Stokes possono essere ridotte ad una forma semplificata (equazioni di Eulero), che, integrate lungo una linea di corrente, conducono all equazione di Bernoulli, che si esprime nella forma: in cui: p+ρ v2 2 +ρgh = costante (2) v rappresenta la velocità del fluido lungo la linea di corrente g è l accelerazione di gravità h è la quota altimetrica (ovvero l altezza rispetto ad un riferimento orizzontale, di un qualsiasi punto all interno del condotto) p rappresenta la pressione lungo la linea di flusso ρ è la densità del fluido. L equazione di Bernoulli può essere dimostrata a livello elementare senza ricorrere al calcolo integrale ricorrendo al teorema dell energia cinetica. Nelle applicazioni ecocardiografiche si utilizza l equazione di Bernoulli semplificata: p+ρ v2 2 = costante in quanto il termine legato all energia potenziale è sempre trascurabile. Inoltre, noto che la densità del sangue è ρ = 1060 kg/m 3 e utilizzando il fattore di conversione della pressione da millimetri di mercurio a Pascal, l equazione di Bernoulli semplificata assume la forma particolarmente semplice 1060 p v2 p+4v 2 = costante. (3) 2 Formule per l insufficienza aortica Se nell esame cardiografico di routine il controllo della funzionalità delle valvole cardiache richiede un numero modesto di misure, nel momento in cui si evidenzia una insufficienza valvolare risulta invece necessario procedere alla valutazione del suo grado di severità utilizzando diversi tipi di metodica. Un metodo di valutazione dell area della valvola aortica, Aortic Valve Area (AVA), si basa sull equazione di continuità (1). Se consideriamo un tubo di flusso che ha come estremità una sezione (per ipotesi circolare) 2

3 del tratto di efflusso del ventricolo sinistro e una sezione immediatamente a monte della valvola aortica, è possibile misurare l area della valvola utilizzando direttamente l equazione di continuità: AVA = π ( LVOT 2 ) 2 V 1 dove V 1 è la velocità subvalvolare massima misurata a monte della valvola aortica, V 2 la velocità massima misurata a valle della valvola aortica e LVOT il diametro del tratto di efflusso del ventricolo sinistro. Tali velocità si misurano direttamente come picchi del diagramma tempo-velocità prodotto dall analisi Doppler. Talvolta il calcolo viene effettuato utilizzando la formula ( ) 2 LVOT AVA = π VTI 1. 2 VTI 2 dove VTI indica l integrale tempo-velocità misurato come area del diagramma tempo-velocità rilevato al Doppler. Tipicamente alla misura dell area aortica sono associati i seguenti parametri: 1. Aortic Valve Area Index (AVA Index) V 2 AVA Index = AVA BSA 2. Pressure Gradient (PG). Direttamente dall equazione di Bernoulli (3) discende la misura del gradiente pressorio di picco in mmhg: PG = 4(V 2 2 V 2 1 ). dove V 1 è la velocità subvalvulare massima misurata a monte della valvola aortica e V 2 la velocità massima misurata a valle della valvola aortica. Un ruolo importante nella valutazione dell insufficienza aortica è giocato dalla stima del rigurgito. L idea è in sostanza la seguente: in condizioni di normale funzionalità della valvola aortica tutto il sangue pompato dal ventricolo sinistro confluisce nell aorta, mentre in condizioni di insufficienza aortica una frazione significativa di sangue viene rigurgitata, quando la valvola è chiusa, nel ventricolo sinistro. La prima evidenza di insufficienza aortica si ha all analisi Color Doppler. Una volta evidenziata l insufficienza aortica è importante quantificarla ricorrendo a diversi parametri. 1. Metodo dell altezza del jet di rigurgito Jet Heigth (JH): I a = JH LVOT 100. in cui si valuta il rapporto tra il diametro del jet di rigurgito e il diametro del tratto di efflusso del ventricolo sinistro. 3

4 2. Metodo Vena Contratta: questo metodo prevede la misura, direttamente sulle immagini ecocardiografiche, della porzione più piccola del jet rigurgitante a valle dell orifizio di rigurgito, nel tratto di efflusso del ventricolo sinistro. 3. Volume rigurgitante: la valutazione del volume del rigurgito aortico si può calcolare, in assenza di insufficienza mitralica e nota l area della valvola mitrale (Mitral Valve Area (MVA)), come RV = AVA VTI o MVA VTI i dove VTI o indica l integrale velocità -tempo del flussoematico misurato a valle della valvola aortica e VTI i indica l integrale velocità-tempo del flusso ematico misurato a valle della valvola mitrale. Chiaramente se tutto il sangue che affluisce al ventricolo sinistro confluisse nell aorta il volume del rigurgito sarebbe nullo. In caso di presenza di rigurgito si calcola la frazione di rigurgito (Regurgitation Fraction (RF)). RF = RV AVA VTI o 100 Il metodo precedente può essere adattato per il calcolo del rigurgito mitralico in situazioni di funzionamento normale della valvola aortica. 4. Metodo PISA (area di isovelocità prossimale). Un altro metodo di valutazione della gravità del rigurgito si focalizza sulla zona di convergenza del flusso, prossimale all orifizio rigurgitante. Nel caso aortico questa zona di convergenza si trova nell aorta, subito a valle della valvola aortica. In detta zona l idrodinamica stabilisce che il flusso assume una morfologia approssimativamente emisferica. Regolando l apparecchiatura ecocardiografica è possibile, cambiando la scala dell immagine e utilizzando il Color Doppler, evidenziare la forma emisferica del flusso e determinare la velocità del punto di aliasing v a del colore (punto nel quale vi è il cambiamento del colore) sulla superficie della semisfera, che prende il nome di semisfera del PISA. Si può allora calcolare l area dell orifizio rigurgitante ricorrendo all equazione di continuità. Si misura il raggio r p dell emisfera del PISA e si calcola il flusso: φ i = 4πr2 p 2 v a quindi si eguaglia il risultato al flusso che attraversa l orifizio rigurgitante valutato come φ o = EROA v max 4

5 dove v max è la velocità di picco della curva di flusso ottenuta con Doppler continuo e l area dell orifizio rigurgitante, Effective Regurgitant Orifice Area (EROA), si indica con EROA. In conclusione si otttiene: EROA = φ i v max Moltiplicando l area dell orifizio rigurgitante per l integrale velocitàtempo del flusso di rigurgito si ottiene il volume di rigurgito (per singolo battito cardiaco): RV = EROA VTI. 3 Acronimi Ecocardiografici BSA LVOT AVA AVA Index PG FSVR EFVR MPG JH RV RF EROA MVA Body Surface Area Left Ventricular Outflow Tract Aortic Valve Area Aortic Valve Area Index Pressure Gradient Fractional Shortening Velocity Ratio Ejection Fraction Velocity Ratio Mean Pressure Gradient Jet Heigth Regurgitation Volume Regurgitation Fraction Effective Regurgitant Orifice Area Mitral Valve Area 5

6 Riferimenti bibliografici [1] American Society of Echocardiography, Recommendations for Chamber Quantification: A Report from the American Society of Echocardiography s Guidelines and Standards Committee and the Chamber Quantification Writing Group, Developed in Conjunction with the European Association of Echocardiography, a Branch of the European Society of Cardiology, Journal Am. Soc. Echocardiography pag [2] P. Tipler, Invito alla Fisica, Zanichelli,