, ove a è un parametro reale. 1. Dopo aver precisato il campo di esistenza di f si stabilisca per quali valori di a la funzione f è crescente.

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1 Sessione ordinaria 007 in America Latina MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 007 Calendario australe SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario. PROBLEMA Sia la unzione deinita da: ( ) a log 0 ( ) +, ove a è un parametro reale.. Dopo aver precisato il campo di esistenza di si stabilisca per quali valori di a la unzione è crescente.. Si disegnino i graici F e G di corrispondenti, rispettivamente, ai valori a e a e siano b e c le ascisse delle loro rispettive intersezioni con l asse.. Si calcoli l area del triangolo mistilineo di base l intervallo [b, c] e vertice il punto d intersezione tra F e G e, con l aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato. 4. Sia ( ). g. Si determini il valore di a per cui e g hanno la stessa tangente nel punto di ascissa PROBLEMA Si consideri la unzione così deinita:. Si disegni il graico di ; ( ) 4 se se. si dica se soddisa le condizioni del teorema del valor medio [o teorema di Lagrange da Giuseppe Lagrange (Torino, 5 gennaio 76 Parigi, 0 aprile 8)] sull intervallo [0,] e quali sono, se esistono, gli eventuali valori medi in tale intervallo.. il dominio piano del II quadrante delimitato dal graico di e dagli assi coordinati è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all asse y, sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di S.

2 Sessione ordinaria 007 in America Latina QUESTIONARIO. Si traccino i graici delle seguenti unzioni di R in R: : + ; g : + ; h : ; k :. Quante cire ha il numero risposta nella rappresentazione decimale? Motiva esaurientemente la. Si consideri una sera di volume V e supericie S. Si dimostri che il tasso di variazione di V rispetto al raggio è uguale a S. m 4. Si illustrino il signiicato e l ambito di utilizzo del simbolo e si risolva l equazione: n con N 5. La capacità di un serbatoio è la stessa di quella del cilindro circolare retto di volume massimo inscrivibile in una sera di metri di diametro. Quale è la capacità in litri del serbatoio? 6. Dato un tetraedro regolare, si costruisca il tetraedro regolare avente per vertici i centri delle acce del primo. Si dimostri che ogni accia di un tetraedro è parallela ad una accia dell altro. 7. Si dia una deinizione di asintoto orizzontale, obliquo, verticale di una curva e si ornisca un esempio di unzione () il cui graico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. 8. La risoluzione di un problema assegnato conduce all equazione sin( ) + k cos( ) π 0. Si discutano le possibili soluzioni del problema. ove k > 0 e

3 Sessione ordinaria 007 in America Latina PROBLEMA Sia la unzione deinita da: ( ) a log 0 ( ) + Punto, ove a è un parametro reale. Dopo aver precisato il campo di esistenza di si stabilisca per quali valori di a la unzione è crescente. Il dominio della unzione ( ) a log 0 ( ) + è (,+ ) 0 e trattandosi di una unzione logaritmica soggetta a un cambiamento di scala di attore a e traslata verticalmente di una quantità unitaria, essa sarà strettamente crescente se a ( 0,+ ) e strettamente decrescente se a (,0) sarà costante e coincidente con la retta y se a 0. Punto. In particolare Si disegnino i graici F e G di corrispondenti, rispettivamente, ai valori a e a e siano b e c le ascisse delle loro rispettive intersezioni con l asse. I graici F e G di F ( ) log0 ( ) + e ( ) log0 ( ) + graico della unzione elementare ( ) log ( ) h 0 G possono essere ricavati a partire dal. I passi da seguire per tracciare il graico di ( ) log0 ( ) +. Si traccia il graico di ( ) log ( ) h 0 ;. Si moltiplicano per le ordinate di ( ) log ( ) graico di ( ) log 0 ; F sono i seguenti: h 0 lasciando immutate le ascisse ottenendo il. Si trasla rigidamente e verticalmente verso l alto di una unità il graico di ( ) ottenendo il graico di ( ) log0 ( ) + F. I passi da seguire per tracciare il graico di ( ) log0 ( ) +. Si traccia il graico di ( ) log ( ) h 0 ;. Si ribalta il graico di ( ) log ( ) ( ) log ( ) h 0 h 0 G sono i seguenti:. si moltiplicano per le ordinate di ( ) log ( ) ottenendo il graico di [ ( ) ] log 0 rispetto all asse delle ordinate ottenendo il graico di log 0 ; lasciando immutate le ascisse h 0 4. Si trasla rigidamente e verticalmente verso l alto di una unità il graico di [ ( ) ] ottenendo il graico di ( ) log0 ( ) + G. log 0

4 Sessione ordinaria 007 in America Latina In particolare la unzione ( ) log0 ( ) + F interseca l asse delle ascisse in b mentre la 0 unzione ( ) log0 ( ) + G interseca l asse delle ascisse in c 0. I graici sono di seguito presentati in un unico sistema di rierimanto cartesiano: Punto Si calcoli l area del triangolo mistilineo di base l intervallo [b, c] e vertice il punto d intersezione tra F e G e, con l aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato. Le due curve F e G si intersecano nel punto (,) e l area da calcolare è rappresentata in verde nella igura di seguito presentata: 4

5 Sessione ordinaria 007 in America Latina Tale area vale: S 0 0 [ log ( ) + ] d + [ log ( ) + ] 0 d ln0 0 [ log ( ) ] d [ log ( ) ] ln0 ln0 ln0 ln0 [ ( ln ) ] [ ( ln ) ] 0 [ ] ln {[ 0( ln 0 ) ] [ ] } d + ln ln0 d ln0 0 ln0 9 ln0 0 0 Numericamente, calcolatrice alla mano, tale area vale ln0 ln Punto 4 Sia ( ) g. Si determini il valore di a per cui e g hanno la stessa tangente nel punto di ascissa. Il punto di ascissa è P (, ) per cui ( ) a log 0 ( ) + e ( ) g avranno stessa tangente in P (, ) se il coeiciente angolare della tangente alla curva rappresentata da ( ) a log 0 ( ) + uguale a quello della tangente alla parabola ( ) g. è Il coeiciente angolare è il valore della derivata prima nel punto di ascissa, per cui m m g a ln0 [ ] a ln0 m mg a ln0 In tal caso la retta tangente ha equazione ( ) + y. Di seguito vengono rappresentate nello stesso graico le unzioni ( ) ln0 log0 ( ) + ( ) g e la retta tangente y., 5

6 Sessione ordinaria 007 in America Latina 6

7 Sessione ordinaria 007 in America Latina PROBLEMA Si consideri la unzione così deinita: Punto Si disegni il graico di ; Il graico della unzione ( ) 4 se se ( ) 4 se se è l unione di due graici; il primo nell intervallo ],] è il graico di una parabola con concavità verso il basso, vertice in nell intervallo [,+ [ 4 0, V e che interseca l asse delle ascisse in (,0), mentre il secondo è il ramo di iperbole equilatera di equazione y. Il graico della unzione richiesta è rappresentato in rosso nella igura seguente: Nella igura soprastante sono stati rappresentati entrambi i graici delle due unzioni componenti la unzione ( ) ; in particolare la parte in blu rappresenta la parte di graico di iperbole equilatera da non considerare in quanto non acente parte dell intervallo [,+ [, mentre la parte di graico in verde rappresenta la parte di graico della parabola da non considerare in quanto non acente parte dell intervallo ],]. Il graico in rosso è quello che rappresenta la unzione richiesta. 7

8 Sessione ordinaria 007 in America Latina 8 Punto Si dica se soddisa le condizioni del teorema del valor medio [o teorema di Lagrange da Giuseppe Lagrange (Torino, 5 gennaio 76 Parigi, 0 aprile 8)] sull intervallo [0,] e quali sono, se esistono, gli eventuali valori medi in tale intervallo. Il teorema di Lagrange (o del valor medio) aerma che se una unzione reale di variabile reale è continua in un intervallo [a; b] e derivabile in (a; b), esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la tangente al graico della unzione è parallela alla retta che congiunge i punti del graico corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b]. Questa è l interpretazione geometrica del teorema di Lagrange. In modo più ormale: Sia [ ] R b a, : continua in [a, b] derivabile in (a, b) allora in queste ipotesi ( ) ( ) a b a b c b a c ) ( ) ( :, '. Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange ed averlo interpretato geometricamente, mostriamo come esso sia applicabile alla unzione 4 ) ( La unzione è continua in ; inatti 4 lim ) ( lim lim ) ( lim + + Inoltre la derivata della unzione è ) ( ' per cui

9 Sessione ordinaria 007 in America Latina lim '( ) lim + + lim '( ) lim da cui si ricava la non derivabilità in. Quindi la unzione () è continua [0,] e non derivabile in ( 0,) Punto ; ergo ad essa non è applicabile il teorema di Lagrange. Il dominio piano del II quadrante delimitato dal graico di e dagli assi coordinati è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all asse y, sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di S. La unzione 4 g( ) può essere espressa in orma implicita nel modo seguente: ± 4 y e la determinazione negativa è quella che a noi interessa in quanto acente parte del secondo quadrante. La sezione piana del solido è il quadrato di lato ( 4 y ) ( 4 y) 4 l ( y) 4 y con 0 y e la cui area è 4 A ( y) con 0 y, per cui il volume del solido richiesto è: V 4 0 ( 4 y) y d 4y

10 Sessione ordinaria 007 in America Latina QUESTIONARIO Quesito Si traccino i graici delle seguenti unzioni di R in R: : + ; g : + ; h : ; k : I graici da disegnare si possono tutti ricondurre al graico della unzione y sotto presentato: Studiamo i 4 graici. +. ( ) y ogni ordinata per : per cui il graico lo si ricava dal graico di y moltiplicando 0

11 Sessione ordinaria 007 in America Latina. g( ) + y + per cui il graico lo si ricava dal graico di y traslandolo rigidamente verso l alto di una unità, cioè aggiungendo una unità ad ogni ordinata del graico di y :. h( ) 0. Ora la unzione < 0 k ( ) non è altro che la unzione pari della unzione y, per cui il graico di k ( ) lo si ricava da quello di y rendendolo simmetrico rispetto all asse delle ordinate come sotto presentato:

12 Sessione ordinaria 007 in America Latina 4. k ( ) : come detto nel punto tale graico lo si ricava da quello di rendendolo simmetrico rispetto all asse delle ordinate: y Quesito Quante cire ha il numero risposta nella rappresentazione decimale? Motiva esaurientemente la In generale il numero di cire K di un numero N nella rapprersentazione in base M è pari a { + int[ log ( N )]} dove la unzione ( ) K M int è la unzione parte intera di un numero. Nel caso di N, M 0 si ha K { + int log ( 5 )} { + int[ 59 log ( 5) ]} { + int[ 4.] } Quesito [ ] 0 0 Si consideri una sera di volume V e supericie S. Si dimostri che il tasso di variazione di V rispetto al raggio è uguale a S. Il volume di una sera di raggio R è V 4πR e la supericie è S 4πR. Ora il tasso di variazione del volume V rispetto al raggio, matematicamente non è altro che la derivata prima del volume rispetto al raggio, per cui Quesito 4 dv dr d πr 4 R dr π 4 S c.v.d m Si illustrino il signiicato e l ambito di utilizzo del simbolo e si risolva l equazione: n

13 Sessione ordinaria 007 in America Latina con N Il coeiciente binomiale n m con n m è deinito come ( )!!! n m n m n m ed è utilizzato per il calcolo dello sviluppo di un binomio, mediante la ormula di Newton, ma soprattutto nel calcolo combinatorio. A tale scopo, può convenire osservare che il coeiciente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle unzioni iniettive da un insieme di cardinalità n in uno di cardinalità m (ovvero il numero delle disposizioni semplici di m oggetti di classe n) ed il numero delle permutazioni di n oggetti. Per l equazione bisogna innanzitutto imporre N N ; inoltre ricordando che ( ), ( ) ( ) si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 per Dividendo > - che è accettabile in quanto soddisa la condizione N. Eettuiamo la prova: ( ) ( ) ( ) c.v.d , Quesito 5 La capacità di un serbatoio è la stessa di quella del cilindro circolare retto di volume massimo inscrivibile in una sera di metri di diametro. Quale è la capacità in litri del serbatoio? Si consideri la igura seguente che mostra la geometria del problema:

14 Sessione ordinaria 007 in America Latina Poniamo OH, con 0 < <. Il volume del cilindro è V ( ) ( HB ) ( OH ) V [ ] ( ) ( HB ) ( OH ) π ( ) π con HB ( ) per cui π con 0 < <. Massimizziamo il volume attraverso il calcolo delle derivate prima e seconda: V ' V '' Ora V ' V ' V ' V '' ( ) π [ ( )] ( ) π ( ) π [ ( )] ( ) π [ ( )] ( ) π [ ( )] > 0 0 < < < 0 0 [ π ] 4 < 0 π V strettamente crescente in 0, < < V strettamente decrescente in, è l'ascissa di massimo relativo Dalle considerazioni di cui sopra deduciamo che il volume è massimo per e vale V ( ) 4π 4000 π V [ m ] π [ dm ] ma 4000π dm litro si ha V ( ma ) [ litri] 48. [ litri] 9 Quesito Poiché Dato un tetraedro regolare, si costruisca il tetraedro regolare avente per vertici i centri delle acce del primo. Si dimostri che ogni accia di un tetraedro è parallela ad una accia dell altro. Esistono solo 5 poliedri regolari e sono: tetraedro, ottaedro, icosaedro, cubo, e dodecaedro. Ogni poliedro regolare è caratterizzato dalla coppia di numeri p e q indicanti: p il numero lati/spigoli di ogni accia; q il numero di spigoli/acce che incidono in ogni vertice. I 5 solidi platonici sopra indicati godono anche della proprietà di dualità; in generale il poliedro duale di un poliedro P è un altro poliedro Q, ottenuto scambiando i ruoli dei vertici e delle acce di P. Il duale di Q è di nuovo P. Praticamente se il poliedro P è caratterizzato dalla coppia { p, q}, il suo duale è Q caratterizzato dalla coppia { q, p}. In particolare il duale del cubo è l ottaedro e viceversa, 4

15 Sessione ordinaria 007 in America Latina il duale dell icosaedro è il dodecaedro e viceversa, mentre il duale del tetraedro è il tetraedro stesso; inatti il tetraedro è detto autoduale. Sotto viene presentato un tetraedro T di spigolo s ed il suo duale T : Il tetraedro T ha vertici in H, I, J, L, e ciascuno di questi punti è il baricentro della accia cui appartiene, da cui si deduce che LI // MK // AC, JI // AB, LJ // BC per cui la accia LIJ è parallela alla accia ABC, Analogamente si può dimostrare per le altre tre acce. In particolare dalla similitudine dei triangoli DLI e DMK si ricava che LI MK DI. Ma DK DI DK e AB s MK per DI s s cui LI MK. Quindi lo spigolo del tetraedro duale è di quello di partenza, per DK V cui il rapporto dei volumi è V Quesito 7 ( T ) ( T ') 7. Si dia una deinizione di asintoto orizzontale, obliquo, verticale di una curva e si ornisca un esempio di unzione () il cui graico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. Il termine asintoto è utilizzato in matematica per denotare una retta, o più generalmente una curva, che si avvicina indeinitamente ad una curva data. Con il termine asintoto, senza ulteriori speciicazioni si intende genericamente una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro signiicato, quando si vuole essere più speciici si parla di retta asintotica o, più in generale, di curva asintotica. 5

16 Sessione ordinaria 007 in America Latina La retta La retta y b è asintoto orizzontale per la curva ( ) a è asintoto verticale per la curva ( ) se ( ) b lim. ± se ( ) ± lim. a La retta y m + q è asintoto obliquo per la curva ( ) se ( ) m lim ± q lim ± [ ( ) m]. Per le unzioni razionali ratte, la presenza dell asintoto orizzontale esclude quella dell asintoto obliquo e viceversa. Una unzione il cui graico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali può essere ( ) Quesito 8 di asintoti verticali ± ed asintoto orizzontale y 0. + k ove k > 0 La risoluzione di un problema assegnato conduce all equazione sin( ) cos( ) π e 0. Si discutano le possibili soluzioni del problema. Il problema si può risolvere in diversi modi. Ne presentiamo due. Si può discutere il sistema misto e ricondurlo, attraverso le sostituzioni sin k > 0 π 0 X cos Y sin ( ) + k cos( ) ( ) ( ) al sistema seguente: Y + X Y + kx k > 0 X 0 Y 6

17 Sessione ordinaria 007 in America Latina Poichè riconduce a Y X k > 0 Y < X allora la condizione 0 Y <, per cui il sistema misto diventa 0 Y diventa più restrittiva e si Y + X Y + kx 0 Y < X La curva di equazione Y + X è una circonerenza di centro l origine e raggio unitario, mentre Y + kx rappresenta un ascio proprio di rette o stella di rette di centro stella 0,. Notiamo subito che la retta passaggio del ascio di rette per (, Y ) (,0 ) Y appartiene al ascio proprio Y + kx con k 0, mentre il X corrisponde a k. Di seguito viene rappresentato in verde il dominio delle soluzioni del sistema misto: Dal dominio soprastante si evincono le seguenti soluzioni:. soluzione per 0 < k ;. nessuna soluzione per k >. Alternativamente si può proseguire nel modo seguente. La risoluzione dell equazione sin( ) + k cos( ) eettuata graicamente risolvendo il seguente sistema: con i due vincoli k > 0 e π 0 può essere 7

18 Sessione ordinaria 007 in America Latina Studiamo innanzitutto la unzine D y per 0, π, si annulla in sin y cos y k k > 0 π 0 ( ) ( ) ( ) ( ) sin y nell intervallo cos π, assume per 0 y 6 D y 0, π. Essa è deinita in tutto π e per y ( ) 0, π 6 e non presenta nessun asintoto. La derivata prima di ( ) ( sin( ) )( sin( ) ) cos ( ) y' ( ) ( ) cos sin e da essa deduciamo che cos strettamente decrescente in tutto D 0, π y., è positiva ( ) ( ) sin y è cos ( ) ( ) sin y è cos La regione di piano che soddisa le condizioni dettate dal problema è rappresentata in verde nella igura sottostante: Dalla igura soprastante si evincono le seguenti soluzioni:. soluzione per 0 < k ;. nessuna soluzione per k >. 8

19 Sessione ordinaria 007 in America Latina 9