MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO

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1 Sessione Ordinaria in America 4 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (Americhe) ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 4 SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario. PROBLEMA Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio cm, si determini:. il cono C di volume massimo e il valore, espresso in litri, di tale volume massimo.. il valore approssimato, in gradi sessagesimali, dell angolo del settore circolare che risulta dallo sviluppo piano della superficie laterale di C;. il raggio della sfera inscritta nel cono C e la percentuale del volume del cono che essa occupa. PROBLEMA Sia f la funzione definita da: f + a b + c + ( ) ( ) ) Si determinino i valori dei parametri che figurano nell equazione () disponendo delle seguenti informazioni: a) i valori di a, b, c sono o ; b) il grafico G di f passa per (-, ); c) la retta y è un asintoto di f. ) Si disegni G. ) Si calcoli l area della regione finita di piano del primo quadrante degli assi cartesiani compresa tra l asintoto orizzontale, il grafico G e le rette,

2 Sessione Ordinaria in America 4 QUESTIONARIO. La coppia (, ) è la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Quale può essere il sistema?. Sia α tale che la funzione f ( ). Mostrare che le tangenti alla curva α risulti crescente. Provare che + ( ) 9 α 8 sin y in e - si intersecano ad angolo retto. 4. Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del % il prezzo di listino di tutti gli articoli. Se il prezzo scontato di un abito è di 75 euro quale era il suo prezzo di listino? 5. Calcolare: e cos ( )d 6. Si dica quante sono le soluzioni reali dell equazione sin( ) un intervallo numerico che la comprende. e si indichi per ciascuna di esse 7. Se tgα e tgβ sono radici di p + q e ctgα e ctgβ sono radici di r + s, quanto vale il prodotto rs espresso in funzione di p e q? 8. Un professore interroga i suoi alunni a due per volta. Stabilire quante possibili coppie diverse può interrogare, sapendo che la classe è di studenti. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è ammesso lasciare l aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.

3 Sessione Ordinaria in America 4 PROBLEMA Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio cm, si determini: Punto Il cono C di volume massimo e il valore, espresso in litri, di tale volume massimo. Consideriamo la figura sottostante rappresentante la sezione di un cono inscritto in una sfera: Poniamo VH, con < <. Con queste assunzioni HD e poiché il triangolo VDB è rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza, per il teorema di Euclide HB VH HD ( ) [ ] con. Il volume del cono è V ( ) ( HB ) VH ( ) < <. La massimizzazione del volume la effettuiamo attraverso le derivate: V ' V '' ( ) [ 4 ] Si ha: V ' V ' ( ) [ 4 6] ( ) [ 4 ] > < < V ( ) strettamente crescente in, 4 ( ) [ 4 ] < < < V ( ) strettamente decrescente in, 4 Inoltre V ''( ) [ 4 6] 4 <, per cui il volume è massimo per V [ cm ]. Ma [ cm ] [ dm ] [ litri] volume massimo il litri è V [ litri].4[ litri] e vale per cui il

4 Sessione Ordinaria in America 4 Punto Il valore approssimato, in gradi sessagesimali, dell angolo del settore circolare che risulta dallo sviluppo piano della superficie laterale di C; Lo sviluppo piano della superficie laterale del cono determina il settore circolare di raggio pari all apotema del cono VB HB + VH + rappresentato in figura. 9 9 La lunghezza dell arco AB è pari alla misura della circonferenza della base del cono 4 4 HB, pertanto la misura in radianti dell angolo α è α.67 rad e 6 α. in gradi sessagesimali è 8 ( 7.84) 7 5'4' ' Punto Il raggio della sfera inscritta nel cono C e la percentuale del volume del cono che essa occupa. Riferendosi sempre alla figura del triangolo inscritto nella circonferenza, il raggio della SVAB circonferenza inscritta nel triangolo VAB è dato da r cioè dal rapporto tra il doppio p dell area di VAB ed il suo perimetro. Il perimetro di VAB è ( 6 ) p VAB VB + AB + + mentre l area è VAB VH AB 8 S VAB per 9 cui 6 SVAB 9 4 p 4 VAB ( ) ( ) ( ) 8 r. Il volume del cono è V [ litri] Cono 4

5 Sessione Ordinaria in America 4 4r V Sfera per cui la percentuale del volume del 8 ( ) mentre quello della sfera è [ litri] cono che essa occupa è p V ( ) 8 8 ( ) ( 6 ) 9.% Sfera % VCono 5

6 Sessione Ordinaria in America 4 PROBLEMA Sia f la funzione definita da: f + a b + c + ( ) ( ) Punto Si determinino i valori dei parametri che figurano nell equazione () disponendo delle seguenti informazioni: a) i valori di a, b, c sono o ; b) il grafico G di f passa per (,) ; c) la retta y è un asintoto di f. La funzione f ( ) b + a + c + è una funzione razionale fratta, per cui essa presenta un asintoto orizzontale qualora il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore ed in tal caso la retta asintoto orizzontale è la retta parallela all asse delle ascisse pari al rapporto tra i coefficienti di grado massimo del numeratore e denominatore della funzione stessa. Nel caso di + a b f ( ) la retta y è asintoto orizzontale se e solo se ; inoltre il passaggio di b + c + c + a b + c + f ( ) per (,) + f ( ). + Punto Si disegni G. La funzione ( ) orizzontale comporta a. In conclusione la funzione che soddisfa i requisiti è + f è la nota funzione omografica di asintoto verticale ed asintoto + y ; essa interseca l asse delle ascisse in (,) positiva in ( ) (, + ) grafico è di seguito presentato: e quello delle ordinate in,, è, ed è sempre crescente non presentando estremi relativi ne flessi. Il 6

7 Sessione Ordinaria in America 4 Punto Si calcoli l area della regione finita di piano del primo quadrante degli assi cartesiani compresa tra l asintoto orizzontale, il grafico G e le rette, L area da calcolare è raffigurata in verde nella figura sottostante: L area vale: + S d + d + [ ln + ] ( ln 4) ( ln ) ln ln ln 7

8 Sessione Ordinaria in America 4 QUESTIONARIO Quesito La coppia (, ) è la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Quale può essere il sistema? Una delle possibili coppie di equazioni che, messe a sistema, danno come soluzione la coppia (, y) (, ) possono essere Quesito + y. y Sia α tale che la funzione f ( ) α risulti crescente. Provare che + 9 α 8 α è + La derivata prima della funzione ( ) f ' ( ) ( + ) ( ) ( + ) α ( + ) ( + ) α. Affinché la funzione f ( ) f α sia + crescente si deve imporre f '( ) ( + ) e cioè α ( + ) ( + ) ( + ) su α che soddisfa la disequazione α R. La disequazione ( + ) ( + ) poiché ( + ) R 4 [ α( + ) ( + ) ] ( α ) + ( α ) + α : bisogna quindi trovare la condizione α,, equivale. Si tratta di una disequazione biquadratica risolvibile ponendo z ( α ) + z( α ) + α z : in tal modo la disequazione diventa di secondo grado. Essa è sempre verificata se il delta è non positivo (negativo o uguale a zero) e il coefficiente di grado massimo è strettamente positivo, quindi se ( α ) 4α ( α ) 9 8α ( ) > 8α α α > dimostrare. Quesito Mostrare che le tangenti alla curva retto. 9 ( ) da cui si ricava 9 α come volevasi 8 sin y in e - si intersecano ad angolo 8

9 Sessione Ordinaria in America 4 Le rette tangenti in ( ±,) hanno equazione y m ± ( ± ) [ cos( ) sin( ) ] per cui m m + ( ) ( ) tangenti è m, ergo le tangenti sono perpendicolari. Quesito 4 + m. La derivata prima di 9 ( ) sin y è ; il prodotto tra i coefficienti angolari delle Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del % il prezzo di listino di tutti gli articoli. Se il prezzo scontato di un abito è di 75 euro quale era il suo prezzo di listino? Il prezzo di listino p si ricava dall equazione p.p 75 da cui p 9.86 euro..7 7 Quesito 5 Calcolare: e cos ( )d Si calcola innanzitutto l integrale indefinito integrando due volte per parti: e e e cos cos ( ) d e cos( ) + e sin( ) cos ( ) + e sin( ) e cos( ) d d ( ) d e cos( ) + e sin( ) e cos( ) d [ cos( ) + sin( ) ] + k e Quindi e cos( ) d [ cos( ) + sin( ) ] ( ) ( ) Quesito 6 Si dica quante sono le soluzioni reali dell equazione sin( ) esse un intervallo numerico che la comprende. Osserviamo innanzitutto che l equazione sin( ). presenta come soluzione banale ; e : e e + e si indichi per ciascuna di. ha soluzioni reali se e solo se in quanto la funzione seno è una funzione limitata in [, ];. presenta, qualora ve ne fossero, soluzioni simmetriche, in quanto se è soluzione anche ( ) ( ) lo è in quanto sin( ) sin( )

10 Sessione Ordinaria in America 4 Dalle considerazioni di cui sopra deduciamo che lo studio degli zeri di sin( ) effettuato nell intervallo (,], dal momento che le soluzioni in [,) trovate in (,] cambiandole di segno. Lo studio delle soluzioni dell equazione sin( ) in (,] può essere si ricavano da quelle equivale allo studio degli zeri della è funzione y sin( ) in (,]. Vediamo innanzitutto dove la funzione y sin( ) crescente. La derivata prima è ' cos( ) > cos < cos cos ( ) ( ) > < y per cui k < < arccos arccos + k arccos + k < < arccos + k ( ) arccos + k arccos + k Nell intervallo (,] si deduce che: > cos ( ) > < arccos arccos < < arccos < < arccos arccos arccos + arccos + arccos < + k < < + k < < < < + arccos In particolare arccos e + arccos sono ascisse di massimo relativo mentre arccos è ascissa di minimo relativo. Ora in, la funzione y sin( ) è strettamente decrescente e y >, y < per cui per il primo teorema degli zeri esiste uno zero della funzione y sin( ) in, ; analogamente in 5, la funzione y sin( ) 5 è strettamente crescente e y <, y > per cui per il primo teorema 4

11 Sessione Ordinaria in America 4 degli zeri esiste uno zero della funzione y sin( ) in 5, 5 ; analogamente in, la 5 funzione y sin( ) è strettamente decrescente e y >, y( ) sin( ) < cui per il primo teorema degli zeri esiste uno zero della funzione y sin( ) Nell intervallo., In conclusione gli zeri dell equazione sin( ) Il grafico sottostante della funzione y sin( ) 4 per 5 in,. si può applicare il teorema degli zeri e otteniamo la soluzione banale sono 7:,, 5 5,,,, 4,, 5 5 5,, 6,, 7, mostra quanto affermato. Quesito 7 Se tan ( α ) e ( β ) tan sono radici di p + q e cot g( α ) e g( β ) r + s, quanto vale il prodotto rs espresso in funzione di p e q? cot sono radici di

12 Sessione Ordinaria in America 4 Se tan ( α ) e ( β ) p tan tan sono radici di p + q si ha q tan r cot g cot g( β ) sono radici di r + s si ha s cot g Il sistema Quesito 8 r cot g s cot g ( α ) + cot g( β ) ( α ) cot g( β ) equivale a tan r tan s tan ( α ) + cot g( β ) ( α ) cot g( β ) ( α ) + tan( β ) ( α ) tan( β ) ( α ) tan( β ) ( α ) + tan( β ) mentre se g( α ) ( α ) tan( β ). p r q p r s q s q cot e Un professore interroga i suoi alunni a due per volta. Stabilire quante possibili coppie diverse può interrogare, sapendo che la classe è di studenti.! 9 Il numero di coppie diverse è dato da 9.!8!

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