Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria

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1 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: =, x y dove è un prmetro rele positivo. ) Esprimere y in funzione di x e studire l funzione così ottenut, disegnndone il grfico in un pino riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (Oxy). b) Determinre per quli vlori di l curv disegnt risult tngente o secnte ll rett t di equzione x+y=4. c) Scrivere l equzione dell circonferenz k che h il centro nel punto di coordinte (1,1) e intercett sull rett t un cord di lunghezz. d) Clcolre le ree delle due regioni finite di pino in cui il cerchio delimitto d k è diviso dll rett t. e) Determinre per qule vlore del prmetro il grfico, di cui l precedente punto ), risult tngente ll circonferenz k. Soluzione Punto Esprimere y in funzione di x e studire l funzione così ottenut, disegnndone il grfico in un pino riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (Oxy) L relzione + =, con R e >0 è definit per x 0 y 0. x y x Esprimendo y in funzione di x si ottiene = =, in conclusione y x y x x y( x) = x Si trtt di un fmigli di funzioni omogrfiche pssnti per O(0,0), che però non pprtiene l dominio dell funzione. Asintoto verticle x =. Asintoto orizzontle y =. Centro di simmetri C(,). Asse focle y=x. I vertici dell funzione omogrfic si ottengono fcendo l intersezione dell sse focle con l funzione: O(0,0) D, V(, ) x 0 Segno dell funzione y = x y 0 x 0 x > y < 0 0 < x < + - +

2 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Studio dei limiti x 1) lim =+ + x x ) lim = x x 3) lim = 0 x 0 x + 4) lim = x + x 5) lim = x I primi due limiti confermno che l rett è x= è un sintoto verticle destr e sinistr. Il terzo limite permette di ffermre che l funzione è prolungbile per continuità nel punto di sciss x=0. Il qurto e quinto limite confermno che l rett y= è un sintoto orizzontle destr e sinistr. Inoltre essendo l derivt prim y ' = sempre negtiv, nel suo cmpo di ( x ) esistenz R- 0,, l funzione è decrescente in ciscun intervllo dove è definit e non mmette punti né di mssimo né di minimo.

3 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 4 Punto b Determinre per quli vlori di l curv disegnt risult tngente o secnte ll rett t di equzione x+y=4. Ponendo il sistem tr l'equzione dell funzione e quell dell rett dt si ottiene: x y = (4 x)( x ) = x x 4x + 4 = 0 x y = 4 x y = 4 x x + y = 4 L equzione x - 4x + 4 = 0 h =16-16, Pertnto: ci sono due soluzioni coincidenti per = 1 (l rett è tngente ll funzione); e due soluzioni distinte per 0 < < 1 (in tl cso l rett è secnte); nessun soluzione per >1 (l rett è estern).

4 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 5 Punto c Scrivere l equzione dell circonferenz k che h il centro nel punto di coordinte (1,1) e intercett sull rett t un cord di lunghezz. Il quesito si può risolvere in più modi Si clcol l distnz CH del centro dll rett (distnz punto rett) CH = = Poiché CH = AH =, Il tringolo CHA è rettngolo isoscele e quindi il rggio CA dell circonferenz che è l ipotenus del tringolo CHA misur. Per clcolre il rggio dell circonferenz K si può procedere nche nel seguente modo. 1. Si scrive l equzione del fscio di circonferenze di centro C(1,1) e rggio r. Si intersec il fscio ottenuto con l rett y=-x+4 3. Si trovno i punti di intersezione A e B, in funzione del prmetro r 4. Si impone l condizione che l cord AB si di lunghezz. 1. Equzione del fscio di circonferenze di centro C(1,1) e rggio r: ( 1) ( 1) x + y = r. Intersezione del fscio con l rett y=-x+4 r 4 r 4 xa = xb = + x + y y+ r = 0 y x 4 = + r 4 r 4 ya = + yb = 3. I punti di intersezione A e B, in funzione del prmetro r, sono: r ; r r A B ; r + + AB = r 4 l lunghezz dell cord ( )

5 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 6 4. Imponendo l condizione che l cord AB si di lunghezz si ottiene ( ) r 4 = r = r = 4 r1/ =± scrtndo l soluzione negtiv, si h r = Quindi l equzione dell circonferenz K richiest è ( x ) ( y ) x + y y = 0. I punti di intersezione sono A(1,3) B(3,1) =, d cui Punto d Clcolre le ree delle due regioni finite di pino in cui il cerchio delimitto d k è diviso dll rett t. L re S1 del segmento circolre, che si trov l di sopr dell rett, si può clcolre come differenz tr il settore circolre ABC e l re del tringolo ABC. 1 1 S = πr = π = π ABC SABC = AB CH = = S1 = π L re S del segmento circolre di re mggiore si può clcolre come differenz tr l re del cerchio e l re S1: S = 4π ( π ) = 3π + Punto e Determinre per qule vlore del prmetro il grfico, di cui l precedente punto ), risult tngente ll circonferenz k. Tenendo conto che l rett che unisce i vertici dell iperbole, pss per il centro C dell circonferenz K, le due curve sono tngenti qundo l distnz tr il centro C(1,1) e il vertice V (;) risult ugule l rggio r = dell circonferenz K.

6 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 7 Bst imporre l condizione CV = ( 1) ( 1) CV = + ( ) ( ) ( ) ( ) = = 4 ± 8 1± = 1/ = = 4 L soluzione negtiv è d escludere perché, per ipotesi, >0. Quindi 1+ =

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