ARGOMENTI INTRODUTTIVI AI CORSI DI MATEMATICA DELLA FACOLTA DI INGEGNERIA SEDE DI MODENA

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1 GOMENTI INTODUTTIVI I COSI DI MTEMTIC DELL FCOLT DI INGEGNEI SEDE DI MODEN Espoimo i modo molto suito le deiizioi e le proprietà he verro riteute ote e utilizzte ei Corsi di Mtemti he seguiro Per u trttzioe più mpi rimdimo l testo : POIEI GCHITI Preorso di Mtemti ed Zihelli el qule si possoo trovre he tutti i grii delle uzioi he qui vegoo omessi Nell seod prte si propogoo lui quesiti iereti l mteri trttt e vegoo iditi eserizi trtti dl testo preedetemete itto he si osiglio per u verii ed u pproodimeto dell propri preprzioe INSIEMI NUMEICI Gli isiemi umerii soo i segueti: umeri turli N { } umeri iteri Z { ± ± ± } m umeri rzioli Q o m Z Osservimo he per i umeri rzioli si può dre u rppresetzioe deimle o u umero iito di ire deimli oppure trmite u umero periodio e he vle l ugugliz Pres u rett r issti su ess due puti distiti O ed si è osì idividuto il verso positivo d O verso e il segmeto uitrio O è possiile ssoire d ogi umero rziole u puto di r il m m puto orrispode l umero se l misur del segmeto O è M su r rimgoo dei puti he o orrispodoo d lu umero rziole : d esempio il puto P tle he il segmeto OP è ogruete ll digole OC del qudrto di lto O o orrispode m m essu umero rziole ossi o esiste Q : OP o m e primi tr loro Itti dovree essere OP OC tle he OC O C o he m m m quest ugugliz è impossiile

2 Si itrodue llor u uovo isieme umerio he oteg Q e he oset di rppresetre tutti i puti dell rett r tle isieme è l isieme dei umeri reli Deiizioe ssiomti di Sull isieme soo deiite due operzioi ddizioe e moltiplizioe he godoo delle proprietà : ommuttiv ssoitiv distriutiv esistez elemeti eutri 5 esistez opposto e reiproo Su è deiit u relzioe d ordie he gode delle proprietà: 6 di ordie totle oppure h si 7 rilessiv h si 8 trsitiv e 9 tisimmetri e e Vle l ssiom di ompletezz : e llor e e o Φ osservimo he il preedete ssiom può essere proposto he i ormulzioi diverse d quell qui dt Notzioi : { } { } : Q Q Q Q he otzioi vlgoo per l isieme Osservzioi : i N o è lo zero e l opposto i Z o è il reiproo i Q o vle l ssiom di ompletezz

3 esempio { Q : } { Q : } Q : e o esiste ELEMENTI DI GEOMETI NLITIC Cosiderimo u pio e su esso u puto O detto origie e due rette tr loro ortogoli pssti per il puto O dette ssie sulle quli si è osidert l stess uità di misur ed u verso si die llor he imo issto u rierimeto rtesio ortogole e moometrio d ogi puto P del pio è uivomete ssoit u oppi di umeri reli dette sue oordite rtesie e sriveremo P Dti due puti P P l loro distz misur del segmeto P P è dt dll ormul d metre il loro puto medio M h oordite M Dimo or lui esempi di urve del pio L rett Dti due puti distiti P P e osiderimo l rett r he li ogiuge Se i puti dell rett r ho tutti siss ugule pertto l equzioe dell rett è mete se l equzioe dell rett r è Nel so i ui si i e l equzioe dell rett r è Tle equzioe può essere post ell orm golre dell rett m q ed il umero m è detto oeiiete Le rette m q m q soo prllele m m soo perpediolri m m L iroerez

4 Si die iroerez di etro C e rggio r il luogo dei puti del pio he ho distz r d C U puto P st sull iroerez di etro C e rggio r sse vle l relzioe r L ellisse Fissti due puti distiti F F detti uohi ed u umero rele positivo mggiore dell distz tr i due uohi si him ellisse il luogo geometrio dei puti P del pio tli he P F PF Selto u sistem di rierimeto rtesio i ui i uohi stio sull sse delle sisse e O si il puto medio del segmeto F F u puto P st sull ellisse sse vle l relzioe dove si è posto F F' e Osservimo he l odizioe he l distz tr i due uohi si miore di equivle ioltre se tle distz osse ugule il luogo desritto oiideree o il segmeto F F metre se l distz osse mggiore di si otterree l isieme vuoto L iperole Fissti due puti distiti F F detti uohi ed u umero rele positivo miore dell distz tr i due uohi si him iperole il luogo geometrio dei puti P del pio tli he P F - PF Selto u sistem di rierimeto rtesio i ui i uohi stio sull sse delle sisse e O si il puto medio del segmeto F F u puto P st sull iperole sse vle l relzioe dove si è posto F F' e Se e duque l equzioe divet e si prl di iperole equilter Osservimo he i quest ultimo so se si iss u rierimeto rtesio ' i modo he i due uohi si trovio sull isettrie del primo e terzo qudrte ivee he sull sse delle sisse e preismete F F' l equzioe rispetto ' divet ' '

5 L prol Fissti u rett r dett direttrie ed u puto F detto uoo he o sti su r si die prol il luogo dei puti del pio he ho stess distz d r e d F Si s l perpediolre r psste per F e D l itersezioe di r o s Selto il sistem di rierimeto rtesio he h il puto medio del segmeto DF ome origie degli ssi e l rett s ome sse delle ordite i tl modo si h F p l equzioe dell prol è p L rett s è dett sse dell prol e il puto di itersezioe tr l prol e l sse el so preedete l origie degli ssi è detto vertie Co l trslzioe del sistem di rierimeto di equzioi X Y l equzioe dell prol divet Y X X FUNZIONI Dto i igresso oggetto uzioe Dto i usit immgie Dto l oggetto l uzioe orise i modo uivoo l reltiv immgie Isieme i ui si predoo gli oggetti domiio D isieme di tutte le possiili immgii odomiio C Dt u uzioe i ui D C sriveremo : o he l isieme { : } Se Γ è detto grio di e osiderto u sistem di rierimeto rtesio l isieme dei puti le ui oordite pprtegoo Γ orise u rppresetzioe gri dell uzioe Tipi di uzioe e grii reltivi Fuzioi ostti k Fuzioi lieri

6 Fuzioi di proporziolità ivers Fuzioi potez N k Fuzioe vlore ssoluto Se d elemeti distiti di orrispodoo elemeti distiti di l uzioe si die iiettiv l uzioe è iiettiv metre l uzioe o lo è Se C l uzioe si die suriettiv su l uzioe è suriettiv su metre l uzioe o è suriettiv su Se : è iiettiv e suriettiv si die iuivo o iiettiv o orrispodez iuivo e soo iuivohe d i Osservimo ioltre he è possiile deiire u orrispodez iuivo tr l isieme ed i puti di u rett r imo poi he u uzioe si die periodi di periodo T se T D vedremo più vti he le uzioi trigoometrihe soo periodihe Se : è iiettiv è possiile deiire u uov uzioe dett uzioe ivers : C tle he Esempi : : o si h : o si h Dte due uzioi : g : D g C se D g è possiile deiire u uzioe dett uzioe ompost g o : C tle he g o g

7 Esempi : : o g : o g si h g o : o g o Fuzioe rdie L uzioe o dispri è iiettiv duque h ivers e tle ivers si him rdie -sim e si idi o il simolo Grii Cosidert l stess uzioe o pri e si può mete deiire l uzioe rdie : Osservzioe : l srittur ± è errt itti per quto detto prim si h metre se si er : si h ± Proprietà dell operzioe di rdie -sim : dti m N si h se m m m m m m p q p q Poimo se e se Vlgoo le stesse proprietà del so preedete p q p q Espoezili e ritmi Dto u umero rele positivo si him uzioe espoezile di se l uzioe Tr tutte le si possiili e è u privilegit è il umero e 788

8 Proprietà dell uzioe : per D C è iiettiv Come detto l uzioe o è iiettiv duque h uzioe ivers tle ivers è l uzioe ritmo i se e si h : Proprietà z z z Formul di mimeto di se Fuzioi trigoometrihe Cosiderimo u golo α o vertie O e rette r e s e u iroerez di etro O he itersehi l rett r i e l rett s i si die misur i rditi dell golo α il umero rele quoziete tr l misur dell ro e l misur del rggio dell iroerez U golo pitto misur i rditi metre l misur i grdi di u rdite è 8 ' ' 57 7 ' Preso u golo α ripetimo l ostruzioe preedete osiderdo u iroerez di etro O e rggio uitrio iroerez goiometri ed u rierimeto rtesio di origie O e rett orizzotle r deiimo os α l siss del puto e si α l ordit di tle puto I tl modo imo deiito due uzioi si α e os α l vrire di α ell itervllo [ ] estedimo tli uzioi tutto impoedo he sio periodihe di periodo

9 goli otevoli si 6 os 6 si os si os Formule odmetli os os os os os si os os os si si si os os os si si si si os si os si si os si os si si si si os os os si si os si si os L uzioe tgete Di poe per deiizioe tg si k k Z os EQUZIONI e DISEQUZIONI Cosiderimo u uzioe l espressioe è dett equzioe ell iogit metre è dett disequzioe ell iogit e i vlori dell iogit he veriio le relzioi preedeti soo detti soluzioi Due equzioi o disequzioi si dioo equivleti se ho le stesse soluzioi ggiugedo e togliedo d mo i memri di u equzioe u stess uzioe deiit su tutto si ottiee u equzioe equivlete metre moltiplido o dividedo mo i memri di u equzioe per u stess uzioe deiit su tutto purhé divers d zero si ottiee u equzioe equivlete ggiugedo e togliedo d mo i memri di u disequzioe u stess uzioe deiit su tutto si ottiee u disequzioe equivlete metre moltiplido o dividedo mo i memri di

10 u disequzioe per u stess uzioe deiit su tutto purhé positiv si ottiee u disequzioe equivlete Disequzioi di primo grdo U disequzioe di primo grdo è dell orm Se le soluzioi soo se le soluzioi soo Iterpretzioe geometri P Equzioi e Disequzioi di seodo grdo L equzioe h le segueti soluzioi ± se se due soluzioi oiideti o h soluzioi reli se dove si è posto Cosiderimo l disequzioe e idihimo o E l isieme delle sue soluzioi imo i segueti si : { } E E E e se [ ] [ ] Φ Φ E E E e se [ ] dove o si è idit l soluzioe miore È possiile iterpretre geometrimete he queste disequzioi osiderdo ei vri si l posizioe rispetto ll sse X dell prol di equzioe X X Y P

11 POLINOMI Si him poliomio di grdo oeiieti reli ogi uzioe del tipo i i Vle il seguete priipio di idetità dei poliomi : due poliomi soo uguli se ho lo stesso grdo e ho uguli i oeiieti dei moomi di ugul grdo Chimimo uzioe rziole il quoziete di due poliomi di grdo quluque Dti due poliomi m rispettivmete di grdo e m o m esistoo due poliomi Q tli he il grdo di è strettmete miore di m vle l ugugliz Q m Se si die he è divisiile per m e m è detto divisore di si die he è irriduiile se o esiste essu divisore di o grdo strettmete miore di Vle il seguete Teorem : è divisiile per Se u poliomio è divisiile per il umero è detto rdie del poliomio e l rdie è dett di moltepliità s se il poliomio è divisiile per s e o per s Osservimo he i poliomi di grdo uo soo tutti irriduiili metre tr i triomi di seodo grdo soo irriduiili quelli o disrimite egtivo L srittur di u poliomio ome prodotto di poliomi irriduiili è himt ttorizzzioe del poliomio Si può dimostrre he ogi poliomio oeiieti reli può essere ttorizzto trmite poliomi di primo e seodo grdo he sio irriduiili ossi si h : ogi poliomio mmette l seguete ttorizzzioe m mk r r h k p q ph qh dove k soo le rdii reli di rispettivmete di moltepliità m mk metre i triomi di seodo grdo ho disrimite egtivo e vle l relzioe m m r r k h Osservimo he si ho le segueti proprietà : il poliomio è sempre divisiile per - se è pri è divisiile he per

12 il poliomio è divisiile per se é dispri se è pri o è divisiile é per é per le evetuli rdii itere di i Z i soo d erre tr i sottomultipli di ompreso il umero presi o sego si positivo he egtivo le evetuli rdii rzioli di i Z i soo d erre tr i rzioli del tipo p ± dove p è sottomultiplo di ompreso il umero e q è q sottomultiplo di ompreso il umero egol di uii L regol di uii dà u risultto ierete l divisioe tr u poliomio di grdo ed u poliomio di primo grdo Tle regol erm he: osiderto il poliomio di grdo si h r dove i oeiieti del poliomio ed il resto r soo dti dlle ormule k k k k vedo posto Vedimo u pplizioe oret di quest regol: dividimo il poliomio per - r Proedimo o uo shem he segue el qule ell prim rig si srivoo i oeiieti del poliomio di prtez proededo d siistr destr seodo poteze dereseti dell vriile - 5 Il oeiiete del termie di grdo mssimo di oiide o quello del poliomio di prtez il seodo si ottiee moltiplido per il oeiiete ppe detto e sommdo il risultto o il seodo oeiiete del poliomio di prtez e osì vi io d otteere il resto

13 Nel so speiio si h z 5 Equzioi e Disequzioi di grdo superiore l seodo Soo del tipo oppure L risoluzioe di tli equzioi o disequzioi prevede l ttorizzzioe del poliomio primo memro Ciò può essere tto he utilizzdo l regol di uii Sistemi di disequzioi L disequzioe dove e soo geerihe uzioi dell vriile equivle ll itersezioe tr le soluzioi dell prim disequzioe o quelle dell seod disequzioe Ovvimete disorso o vle he se le disequzioi soo più di due Disequzioi rtte Cosiderimo l disequzioe : dove e soo uzioi ell vriile L isieme delle soluzioi è dto d Esempi o iterpretzioe geometri Equzioi e Disequzioi irrzioli Suppoimo di dover risolvere l equzioe ell qule ompioo dei rdili e per elimire tli rdili elevimo tutto ll potez p otteedo p p se p è dispri le due equzioi soo equivleti metre se p è pri l seod può vere più soluzioi dell prim quidi si deve otrollre se le soluzioi dell seod soo he soluzioi dell prim o o e i questo seodo so srtrle Esempio : Cosiderimo or l disequzioe ess è equivlete se è dispri

14 metre è equivlete pri è se L disequzioe è equivlete dispri è se metre è equivlete pri è se Equzioi e Disequzioi espoezili e ritmihe Vedimo lui esempi Equzioi e Disequzioi trigoometrihe Vedimo lui esempi os 6 os os si Disequzioi o vlore ssoluto L disequzioe è equivlete l disequzioe è equivlete

15 Cotrollo oettule sugli rgometi preedeti Nel so di ermzioi se riteute vere vo dimostrte se riteute lse si deve orire u otroesempio irrzioli irrziole irrziole irrzioli 5 6 qule è l deiizioe di uzioe 7 qule è l deiizioe di uzioe iiettiv 8 ome pire dl grio se u uzioe è iiettiv 9 ome pire dl grio se u uzioe è iuivo dre u esempio di : he si iiettiv m o suriettiv dre u esempio di : he si suriettiv m o iiettiv dre u esempio di : he si iuivo qule è l deiizioe di uzioe ompost qule è l deiizioe di uzioe ivers 5 se è u uzioe llor 6 se è u uzioe llor 7 se è u uzioe e llor 8 se è u uzioe deresete e llor 9 u rett vertile iterse il grio di u uzioe l più u volt se e g soo uzioi llor g o o g se è iuivo e o si ull llor qule tr queste uzioi è pri 5 5

16 l 6 l l 7 dividedo u ugugliz per e si u ugugliz equivlete 8 9 l l l l l Eserizi Qule tr questi umeri è rziole : Srivere l equzioe dell rett psste per P e o oeiiete golre m e dire quli tr le segueti ermzioi soo vere : ess è prllel ll rett ess è perpediolre ll rett di equzioe ess pprtiee l sio di rette di 7 equzioe m ess pss per il puto Q 6 Srivere l equzioe dell iroerez di rggio e etro C Pss per l origie O? I so egtivo srivere l equzioe dell iroerez o lo stesso etro e psste per l origie Disegre le prole di equzioe 5 6 Per ogu determire il vertie e le itersezioi o l sse

17 5 Disegre le urve di equzioe 9 6 Per quli vlori di k se esistoo l equzioe 7 6 k k è l equzioe di u iroerez? k di vlore essu per k k k 7 Si osideri l ugugliz i geerle ls Per quli vlori di e se esistoo l ugugliz divet ver? 8 Dove è l errore idire l implizioe errt Sio e si si h 9 L equzioe h rdii reli distite se rdii reli oiideti se o h rdii reli se Srivere le equzioi di seodo grdo he ho le rdii idite : Se è possiile sempliire l espressioe Srivere ome u ui potez l seguete espressioe 7 e idire i vlori di per ui h seso Disporre i ordie resete i segueti umeri reli 6

18 Disporre i ordie resete i segueti umeri reli 5 5 Dire se le segueti uguglize soo vere : 6 L seguete ugugliz è ver o ls? Vero o lso si legge se e solo se 8 Vero o lso? l l l l l l 6 l 5 l 5 l l 9 Srivere le soluzioi delle segueti equzioi os si tg si os Per quli vlori di h sigiito ogu di queste uzioi tg Per quli vlori di ogu di queste uzioi è strettmete positiv 7 os si

19 Eserizi dl testo POIEI G CHITI Preorso di Mtemti ed Zihelli Eserizi pg Eserizi pg Eserizi 6 69 pg Eserizi pg 8 pg 9 e pg Eserizi pg 56 e pg 57 Eserizi pg 8 Test d pg5 pg7 Gli rgometi preedetemete trttti si possoo trovre sempre el testo POIEI GCHITI Preorso di Mtemti ed Zihelli ei Cpitoli di seguito iditi: Cpitolo prgri Cpitolo prgri Cpitolo prgri 5 6 Cpitolo 5 prgri Cpitolo 6 prgro 6 Cpitolo 7 prgri Cpitolo 8 prgri Cpitolo 9 prgri