Appunti per il Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

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1 Appunti per il Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Marco A Garuti 4 giugno 9 Questi appunti integrano il testo adottato per il corso (Cantarini - Chiarellotto - Fiorot, Un corso di Matematica, ed Libreria Progetto, Padova Gli enunciati (senza dimostrazione del Teorema del (decomposizione LU, e del Teorema 4 del 5 (Formula di Eulero ed i 3 (cenni di deoria di Jordan e 4 (diagonalizzazione ortogonale delle matrici simmetriche, dimostrazioni incluse, costituiscono programma di esame Le rimanenti sezioni, facoltative, presentano da un punto di vista algebrico-geometrico alcuni argomenti che vengono anche trattati nel corso di Calcolo Numerico Le dimostrazioni sono incluse per completezza Matrici a blocchi Sia M M n,m (R Ad una scomposizione n p + q ed m r + s come somma di due numeri interi positivi possiamo associare una partizione ( A B M ( C D di M in sottomatrici, dove A M p,r (R, B M p,s (R, C M q,r (R e D M q,s (R In particolare, se M è quadrata (n m e se p r e q s, A e D sono matrici quadrate di ordine rispettivamente p p e q q mentre B e C sono di ordine rispettivamente p q e q p (e dunque rettangolari se p q Concretamente, se chiamiamo m i,j i coefficienti di M, le matrici A, B, C e D sono le matrici di coefficienti rispettivamente a i,j m i,j i,, p ; j,, r b i,u m i,r+u i,, p ; u,, s c t,j m p+t,j t,, q ; j,, r d t,u m p+t,r+u t,, q ; u,, s Una matrice M partizionata come in ( si dice matrice a blocchi e le sottomatrici della partizione sono dette blocchi di M 3 ( ( Esempio I blocchi della matrice M sono A, B, C ( 4 e D ( 5 La partizione in blocchi viene introdotta per poter effettuare i calcoli un pò alla volta Consideriamo una seconda matrice M partizionata a blocchi come M Poiché le operazioni di somma tra matrici e di moltiplicazione di una matrice per uno scalare si effettuano coefficiente per coefficiente, tali operazioni rispettano le partizioni in blocchi: ( A + A B + B M + M C + C D + D ; αm ( αa αb αc αd (

2 L utilità delle matrici a blocchi è dovuta al fatto, molto meno evidente, che tali partizioni sono rispettate anche dal prodotto tra matrici Ci limitiamo al caso in cui una delle matrici è quadrata ( ( A B A Proposizione Siano M M C D n (R ed M B C D M n,m (R partizionate in blocchi corrispondenti alle decomposizioni n p + q ed m r + s Allora ( MM AA + BC AB + BD CA + DC CB + DD In altre parole, il prodotto di due matrici a blocchi si effettua formalmente come se si trattasse di un prodotto di matrici La proposizione è alla base degli algoritmi utilizzati dai calcolatori, poiché permette di ricondurre il calcolo di un prodotto tra matrici a somme di prodotti tra matrici di ordine più piccolo, che richiedono meno tempo È particolarmente utile nel caso di matrici sparse, cioè con un gran numero di coefficienti nulli, nel qual caso si cercano partizioni in cui molti blocchi siano interamente nulli Dimostrazione Osserviamo innanzitutto che l espressione a secondo membro ha senso, cioé che in ciascuno dei prodotti il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda e che le somme risultanti sono tra matrici che hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne Ricordiamo che, se le matrici M ed M hanno coefficienti m i,j ed m i,j rispettivamente, l elemento che si trova sulla i-esima riga e j-esima colonna del prodotto MM è il prodotto della i-esima riga di M con la j-esima colonna di M, cioè n p q m i, m,j m i, m,j + m i,p+h m p+h,j (3 Calcoliamo i due addendi al secondo membro di (3 utilizzando le formule ( Dobbiamo distinguere quattro casi, corrispondenti ai blocchi di MM : i p, j r Allora m i, m,j a i,a,j, quindi il primo addendo è il prodotto della i-esima riga di A per la j-esima colonna di A D altra parte, m i,p+h m p+h,j b i,hc h,j, quindi il secondo addendo è il prodotto della i-esima riga di B per la j-esima colonna di C i p, j > r Poniamo u j r Allora m i, m,r+u a i,b,u, quindi il primo addendo è il prodotto della i-esima riga di A per la u-esima colonna di B D altra parte, m i,p+h m p+h,r+u b i,h d h,u, quindi il secondo addendo è il prodotto della i-esima riga di B per la u-esima colonna di D i > p, j r Poniamo t i p Allora m p+t, m,j c t,a,j, quindi il primo addendo è il prodotto della t-esima riga di C per la j-esima colonna di A D altra parte, m p+t,p+h m p+h,j d t,h c h,j, quindi il secondo addendo è il prodotto della t-esima riga di D per la j-esima colonna di C i > p, j > r Poniamo t i p ed u j r Allora m p+t, m,p+u c t,b,u, quindi il primo addendo è il prodotto della t-esima riga di C per la u-esima colonna di B D altra parte, m p+t,p+h m p+h,p+u d t,hd h,u, quindi il secondo addendo è il prodotto della t-esima riga di D per la u-esima colonna di D Nella costruzione della decomposizione LU di una matrice (teorema più avanti avremo bisogno del seguente caso particolare, che riportiamo per comodità ( ( L U B Corollario Siano M C I n (R ed M q D n,m (R, partizionate in blocchi corrispondenti alle decomposizioni n p + q ed m r + s Sia D QD una fattorizzazione dell ultimo blocco della seconda matrice, con Q M q (R e D M q,s (R Allora ( ( ( ( L U B L U B C D C Q D I q h

3 ( LU LB Dimostrazione Calcolando si trova che entrambi i prodotti sono uguali a CU CB + D La decomposizione LU In questo paragrafo presenteremo l algoritmo principale per il calcolo della riduzione in forma a scala di una matrice In particolare dimostreremo il fatto che ogni matrice può essere portata in forma a scala Benché meno flessibile (non si può lasciare libertà di scelta ad un calcolatore! del metodo di riduzione a mano libera, questo procedimento è solo marginalmente più laborioso e presenta due vantaggi: la possibilità di verificare a posteriori se si sono fatti degli errori nel calcolo; la possibilità di risolvere un sistema lineare Ax b conoscendo la riduzione della matrice A senza doverla ricalcolare per la matrice completa (A b, cosa che risulta utile ad esempio nella teoria di Jordan (vedi 3 Definizione Diremo che una matrice A M n,m (R è triangolare superiore se per ogni i,, n i primi i coefficienti della i-esima riga di A sono nulli Vale a dire che a i,j j < i Diremo che A è triangolare inferiore se per ogni i,, n gli ultimi m i coefficienti della i-esima riga di A sono nulli Vale a dire che a i,j j > i Esempio La matrice nulla n,m, la matrice identità I n o una qualunque matrice diagonale sono sia triangolari superiori che inferiori Una matrice di Jordan (vedi 3 è triangolare superiore Una matrice quadrata è triangolare superiore (risp inferiore se tutti i coefficienti sotto (risp sopra la diagonale sono nulli La trasposta di una matrice triangolare superiore è triangolare inferiore e viceversa Esempio 3 Ricordiamo che una matrice si dice in forma a scala per righe se il primo elemento non nullo di ciascuna riga (detto pivot si trova su una colonna più a destra rispetto ai pivot delle righe precedenti Una matrice in forma a scala per righe è dunque triangolare superiore Esempio 4 Dato β R ed j < i n, sia H i,j (β la matrice ottenuta dalla matrice identità I n sostituendo la i-esima riga e i con la somma e i +β e j della i-esima riga con la j-esima moltiplicata per β Pertanto tutti i coefficienti di H i,j (β sono uguali ai coefficienti di I n eccetto quello che si trova sulla i-esima riga e j-esima colonna che è β Dunque H i,j (β è triangolare superiore Lemma Il prodotto di due matrici quadrate triangolari inferiori (risp matrice triangolare superiore (risp inferiore superiori è una Dimostrazione Siano A (a i,j e B (b i,j matrici n n triangolari inferiori L elemento che si trova sulla i-esima riga e j-esima colonna di AB è n a i,b,j i a i,b,j, dato che a i,i+ a i,n (perché A è triangolare inferiore Analogamente b,j b j,j Quindi, se j > i, elemento che si trova sulla i-esima riga e j-esima colonna di AB è nullo, cioè AB è triangolare inferiore L enunciato per matrici triangolari superiori si dimostra per trasposizione Ricordiamo che le operazioni elementari sulle righe di una matrice sono: scambiare la i-esima e la j-esima riga; moltiplicare la i-esima riga per uno scalare α ; 3 sommare alla j-esima riga la i-esima riga moltiplicata per uno scalare β

4 Indichiamo rispettivamente con S i,j, H i (α e H i,j (β le matrici n n (dette matrici elementari ottenute applicando alla matrice identità I n rispettivamente le operazioni, e 3 Allora se A è una qualsiasi matrice di n righe ed m colonne e se A, A ed A sono le matrici ottenute applicando ad A rispettivamente le operazioni, e 3, abbiamo le relazioni A S i,j A; A H i (αa; A H i,j (βa (4 Per ricavare A a partire dalle sue trasformate elementari, potremo utilizzare il seguente Lemma S i,j I n α si ha H i (αh i ( α I n 3 β R si ha H i,j (βh i,j ( β I n Dimostrazione È ovvia se consideriamo le operazioni che definiscono tali matrici Se scambiamo due righe di una matrice e poi le scambiamo di nuovo ritroviamo la matrice di partenza Se moltiplichiamo una riga per α e poi la dividiamo per α ritroviamo la matrice di partenza Se sommiamo alla j-esima riga la i-esima moltiplicata per β e poi le sottraiamo la i-esima riga moltiplicata β ritroviamo la matrice di partenza Possiamo quindi invertire le relazioni (4: A S i,j A ; A H i ( α A ; A H i,j ( βa (5 Abbiamo visto come ogni matrice possa essere trasformata in una matrice in forma a scala mediante operazioni elementari sulle righe Poiché un operazione elementare corrisponde alla moltiplicazione per una matrice elementare, possiamo riassumere la teoria sin qui vista nella seguente Proposizione Se A M n,m (R, esiste una matrice invertibile H M n (R tale che la matrice HA sia in forma a scala per righe Questa proposizione segue dal teorema qui sotto La matrice H è il prodotto delle matrici elementari utilizzate per portare A in forma a scala Siccome esistono più modi di portare A in forma a scala, la matrice H non è unica Definizione Diremo che una matrice è in forma a scala speciale per righe se è in forma a scala e se tutti i suoi pivots sono uguali ad È ovvio come passare da una matrice in forma a scala ad una matrice in forma a scala speciale: se un pivot non è uguale ad, possiamo dividere tale riga per il pivot (che è non nullo per definizione di pivot Dalla proposizione, eventualmente moltiplicando ancora per matrici elementari di tipo H i (α, ricaviamo quindi: Corollario Se A M n,m (R, esiste una matrice invertibile H M n (R tale che la matrice HA sia in forma a scala speciale per righe Sia U una forma a scala speciale per righe di A (come visto nell esempio 3, una tale matrice è triangolare superiore Dalle formule (5 deduciamo che esiste una matrice invertibile E (che poi è l inversa di H tale che A EU Vogliamo determinare simultaneamente la matrice speciale U e la matrice E, o meglio una sua variante Definizione 3 Diremo che una matrice P è una matrice di permutazione se P è un prodotto di matrici di scambio S i,j

5 Per una matrice di scambio S i,j, dal lemma segue che S i,j S i,j Si,j T Questa è una proprietà che si conserva nel prodotto, quindi il calcolo dell inversa di una matrice di permutazione è molto semplice: P P T Con una terminologia che introdurremo più avanti, P è una matrice ortogonale Il teorema principale di questo paragrafo afferma che ogni matrice si può scrivere come prodotto di una matrice di permutazione, una matrice triangolare inferiore ed una superiore Teorema (Decomposizione LU Se A è una matrice n m, esistono: una matrice di permutazione P M n (R; una matrice invertibile triangolare inferiore L M n (R (dall inglese lower triangular; 3 una matrice in forma a scala speciale per righe U M n,m (R ( upper triangular tali che P A LU (equivalentemente: A P T LU Per giustificare il perché una tale decomposizione sia ragionevole conviene guardare al procedimento di riduzione in forma a scala per righe dal punto di vista delle colonne Se una data colonna della matrice ridotta contiene il pivot della i-esima riga, la matrice di partenza deve avere un coefficiente non nullo sulla stessa colonna, dalla i-esima riga in giù Se il coefficiente sulla i-esima riga non è nullo, nella riduzione in forma a scala annullo i rimanenti coefficienti sottraendo alle righe inferiori multipli della i-esima, cioé utilizzo solo matrici di tipo H i,j (β con j < i, che sono triangolari inferiori (esempio 4 La L è il prodotto di tutte queste (e delle H i (α per avere tutti i pivot uguali ad Quindi è triangolare per il lemma Se invece il coefficiente sulla i-esima riga è nullo, devo fare uno scambio di righe La P è il prodotto di tutti questi scambi Le considerazioni precedenti costituiscono il succo della costruzione della decomposizione LU Sfortunatamente, una dimostrazione rigorosa del teorema richiede notazioni più pesanti Il lemma seguente formalizza il procedimento di riduzione appena descritto La costruzione della decomposizione è un applicazione ripetuta di questo lemma alternata a scambi di righe quando necessario Lemma 3 Sia A M n,m (R e c (a,, a n T la sua prima colonna Supponiamo che a Allora A si scrive come prodotto A L(AR(A delle due matrici seguenti: L(A M n (R le cui colonne sono {c, e,, e n }; R(A M n,m (R la matrice ottenuta da A riducendone la prima colonna, cioé: a dividendo la prima riga per a e poi b per i,, n, sottraendo alla i-esima riga la prima moltiplicata per a i Inoltre, le matrici L(A ed R(A ammettono le decomposizioni in blocchi: L(A a a I n a n ; R(A a a D n a m a (6 per un opportuna matrice D n M n,m (R In particolare L(A è triangolare superiore Ricordiamo che per matrici qualsiasi (XY T Y T X T e che per matrici invertibili (XY Y X

6 Dimostrazione Il lemma è più lungo da enunciare che da dimostrare Infatti, da quanto detto sopra, risulta: R(A H n, ( a n H, ( a H ( a A H (a H, (a H n, (a n R(A A e si conclude osservando che L(A H (a H, (a H n, (a n (basta ricordare come queste matrici agiscono su I n Esempio 5 Consideriamo la matrice A 4 Per calcolare la matrice R(A divido la prima riga di A per ed ottengo (,,,, che è la prima riga di R(A La seconda (risp terza riga di R(A si ottengono sottraendo (risp sommando alla seconda e terza riga di A la riga (,,, Quindi L(A ; R(A 4 Decomposizione LU: procedimento Sia A la matrice di partenza Nella pratica le matrici L e P si costruiscono man mano che si procede nella riduzione di A Partiamo con P I n mentre la L la scriviamo una colonna alla volta Cominciamo dalla prima colonna non nulla di A (la prima che produrrà un pivot: Se il coefficiente sulla prima riga di questa colonna è, lascio P I n e sulla prima colonna di L copio la prima colonna di A Sostituisco A con la matrice ottenuta da A riducendone la prima colonna come nel lemma 3 Se il coefficiente sulla prima riga è, faccio uno scambio di righe per ricondurmi al caso precedente Registro questo scambio in P e procedo come al caso precedente Procediamo ripetendo i passi precedenti per la seconda, terza, colonna Supponiamo di aver compiuto passi, cioè di aver costruito una certa P, le prime colonne di L ed una matrice U ottenuta da A riducendone le prime righe Consideriamo la colonna di U che produrrà il prossimo pivot, cioè la prossima colonna (c,, c, c +,, c n T che ha un coefficiente non nullo dalla + -esima riga in giù: Se c +, lascio P invariata e scrivo la +-esima colonna di L: (,,, c +,, c n T Sostituisco U con la matrice ottenuta dividendo la + -esima riga per c + e poi, per i +,, n, sottraendo alla i-esima riga la + -esima moltiplicata per c i Se c +, faccio uno scambio di righe per ricondurmi al caso precedente Effettuo questo scambio anche su P e sulla matrice L costruita finora Riduco U come al caso precedente Il procedimento termina al passo min{n, m}: le ultime matrici prodotte sono le P, L ed U cercate Esempio 6 Calcoliamo la decomposizione LU della matrice A

7 La prima colonna che produrrà un pivot è la seconda, il coefficiente sulla prima riga è non nullo quindi: P I 3 ; L, U 3 La prossima colonna che produrrà un pivot è la quarta, il coefficiente sulla seconda riga è nullo quindi devo scambiare seconda e terza riga (nella L oltre che nella U : P S,3 ; L, U 3 La matrice U è già in forma a scala, devo solo far diventare l ultimo pivot per renderla speciale: P ; L, U U 3 3 Per verificare di non aver fatto errori di conto si deve controllare che effettivamente P A LU Dimostrazione del Teorema Si tratta di formalizzare il procedimento enunciato qui sopra (e di dimostrare perché funziona! Se A è la nostra matrice, poniamo P L I n ; U A Dopo passi determineremo una matrice di permutazione P e due matrici a blocchi ( ( L L U M C n I n (R; U B M n D n,m (R (7 n con L quadrata triangolare inferiore (e quindi anche L è triangolare inferiore, U in forma a scala speciale Nei vari blocchi, l indice ( o n indica il numero di righe Tali matrici verificheranno la relazione P A L U (8 Il procedimento termina al passo min{n, m}: le ultime matrici prodotte sono le P, L ed U cercate Vogliamo continuare a utilizzare le notazioni del lemma 3 anche per matrici con le prime colonne nulle Data M ( N, scriveremo L(M L(N e R(M ( R(N La fattorizzazione M L(MR(M è una conseguenza immediata del lemma 3 Algoritmo Supponiamo, per < min{n, m}, di aver costruito le matrici P, L ed U come in (7 e soddisfacenti la relazione (8 Dobbiamo costruire P +, L + e U + Lavoreremo sull ultimo blocco D n di U Si presentano due alternative in funzione della prima colonna non nulla di D n : d,j d n,j d,j Riduciamo la prima colonna: D n L(D n R(D n e poniamo P + P ; L + ( L C n L(D n ( U ; U + B R(D n (9

8 i d i,j Siano Cn e D n le matrici ottenute da C n e D n scambiando la prima e la i-esima riga Riduciamo la prima colonna: Dn L(D n R(D n e poniamo: P + S +,+i P ; L + ( L Cn L(Dn ( U ; U + B R(Dn ( Giustificazione Dobbiamo spiegare perché le matrici definite dalle formule (9 e ( sono del tipo richiesto, cioé che le partizioni in blocchi di L + ed U + associate alle decomposizioni n ( + + (n ed m ( + + (m sono del tipo ( L L + + C n I n ( U ; U + + B + D n ( (con L + triangolare inferiore ed U + a scala speciale e che vale la relazione: P + A L + U + ( d,j Poiché P + P, la ( segue dalla (8 se dimostriamo che L U L + U + Visto che le nuove matrici sono definite a partire dalla fattorizzazione D n L(D n R(D n, questo segue dal dal corollario : ( ( ( ( L U B L U B C n I n D n C n L(D n R(D n Dal lemma 3, ed in particolare dalla formula (6, ricaviamo che: b b j L + L ; U + U b b j c c d (dove (c,, c, è la prima riga di C n ed i b sono i coefficienti di B Sempre dalla (6, vediamo che gli ultimi n coefficienti delle prime j + colonne di R(D n sono nulli, quindi il blocco formato dalle ultime righe e prime colonne di U + è nullo: la decomposizione è dunque del tipo ( i d i,j Le matrici L + ed U + sono costruite applicando il procedimento precedente a ( L L Cn I n e U ( U B D n (lo scambio di righe è stato fatto in modo che l elemento di posto (, j di Dn sia Pertanto la dimostrazione del fatto che P +, L + ed U + soddisfano le relazioni ( e ( segue dal caso precedente una volta dimostrato che P + A L U Se indichiamo con Z i, la matrice ottenuta scambiando la prima e la i-esima riga di I n, allora ( I S +i,+ Z i, ; C n Z i,c n ; D n Z i,d n (3

9 Ricordando che S +i,+ I n (lemma ed utilizzando ripetutamente il corollario e le (3: P + A S +i,+ P A S +i,+ L U S +i,+ L S +i,+ U [S +i,+ L S +i,+ ] [S +i,+ U ] [( ( I L Z i, [( ( L Z i, C n Z i, L Z i, C n I n C n I n ( I Z i, ( U B ( I Z i, D n Z i, ] ( U B ] [( I Z i, D n L U Z i, ( U B D n ] Esempio 7 Calcoliamo la decomposizione LU della matrice 4 A utilizzando le notazioni della dimostrazione del teorema Il primo passo è dato dall esempio 5: P I 3 ; L ; U 4 Il prossimo pivot si trova sull ultima riga, quindi devo scambiare la seconda e terza riga di U ; gli elementi sula seconda e terza riga della prima colonna di L : P ; L ; U 4 [Attenzione! Non si devono scambiare le ultime due righe di L, solo gli elementi sulla prima colonna (la matrice L costruita finora] Adesso devo solo dividere la seconda riga di U per Il secondo passo è quindi P ; L ; U Per concludere devo moltiplicare l ultima riga di U per in modo da avere l ultimo pivot uguale ad L ultimo passo è quindi P P 3 ; L L 3 ; U U 3 Per verificare di non aver fatto errori di conto si deve controllare che effettivamente P A LU

10 Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari Dato un sistema lineare Ax b, sia P A LU la decomposizione della matrice A Poiché P è invertibile, il sistema Ax b ammette soluzione se e solo se il sistema P Ax P b, uguale al sistema LUx P b, ammette soluzione Dato che L è invertibile, il sistema lineare Ly P b ammette un unica soluzione Siccome L è triangolare inferiore, questo sistema è facile da risolvere per sostituzioni successive Se chiamiamo y la soluzione, il sistema di partenza ammette soluzione se e solo se il sistema Ux y ammette soluzione Questo è facile da stabilirsi, visto che la matrice incompleta U è in forma a scala Se ci sono soluzioni, si trovano facilmente per sostituzioni successive Esempio 8 Cerchiamo le soluzioni del sistema lineare x + x 3 + 4x 4 x + x 3 + x 4 x + x + x 3 + x 4 Abbiamo calcolato nell esempio 7 la decomposizione della matrice incompleta Il sistema Ly P b è y y y 3 e l unica soluzione è y (,, T Poiché U ha rango 3, il sistema Ux v ammette sempre soluzione (quale che sia il termine noto v e l insieme delle soluzioni è una varietà lineare di dimensione Nel nostro caso il sistema è x x x 3 x 4 x 4 x 3 x 4 x x x x 3 x 4 x Quindi le soluzioni sono date dai vettori (x, x, x, T (,,, T + < (,,, T > 3 Cenni sulla teoria di Jordan Definizione 4 Diremo blocco di Jordan di dimensione n e di autovalore λ la matrice J n,λ M n (R definita dalle proprietà seguenti: a Gli elementi sulla diagonale sono tutti uguali a λ; b Gli elementi di posto (i, i + sono tutti uguali ad, per i,, n ; c Tutti gli altri elementi sono nulli, in particolare J n,λ è triangolare superiore Come esempio abbiamo quindi i seguenti blocchi di dimensione,, 3: ( λ λ J,λ (λ; J,λ ; J λ 3,λ λ λ Osserviamo innanzitutto che p Jn,λ (t (λ t n Inoltre il rango di (J n,λ λi n è n quindi l autospazio V λ per la matrice J n,λ ha dimensione

11 Se L è un endomorfismo di R n, dire che la matrice di L in una base {v, v,, v n } è J n,λ, vuol dire che: L(v λv, L(v v + λv, L(v n v n + λv n (4 Quindi v è un autovettore di autovalore λ mentre v soddisfa la relazione L(v λv v e poi v 3 soddisfa la relazione L(v 3 λv 3 v così via I vettori v, v 3, si dicono autovettori generalizzati Sia A la matrice di L rispetto alla base canonica di R n : come sappiamo le coordinate del vettore v saranno soluzione del sistema omogeneo: (A λi n X Supponiamo che queste coordinate siano (a,, a n : le coordinate del vettore v sono allora soluzione del sistema non omogeneo: (A λi n X Supponiamo di averle calcolate e di aver scelto la soluzione (b,, b n : le coordinate del vettore v 3 sono allora soluzione del sistema non omogeneo b (A λi n X e così via Definizione 5 Una matrice di Jordan è una matrice quadrata a blocchi tale che a a n a i blocchi lungo la diagonale sono blocchi di Jordan; b i blocchi esterni alla diagonale sono matrici nulle In particolare, una matrice di Jordan è triangolare superiore ed i suoi elementi non nulli si trovano o sulla diagonale o sopra un elemento della diagonale cioè se a i,j allora j i oppure j i + (e in questo secondo caso a i,i+ Ovviamente, un blocco di Jordan è una matrice di Jordan con un solo blocco lungo la diagonale Una matrice diagonale n n è una matrice di Jordan con n blocchi lungo la diagonale Ecco degli esempi di matrici di Jordan con due blocchi lungo la diagonale λ λ λ ; λ λ λ λ ; b n λ µ µ ; λ λ µ µ ed ancora degli esempi di matrici di Jordan con tre blocchi lungo la diagonale: λ λ λ λ λ λ ; λ µ ; λ µ µ ; λ λ µ λ ν ν ν Data una qualunque matrice quadrata A ci siamo posti il problema di trovare una matrice simile ad A che abbia la forma più semplice possibile La soluzione migliore si ha quando A è diagonalizzabile, cioè simile ad una matrice diagonale Come abbiamo visto, A è diagonalizzabile se e solo se sono soddisfatte due condizioni:

12 a il polinomio caratteristico p A (t è completamente riducibile; b le molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore coincidono Cosa possiamo dire se queste condizioni non sono soddisfatte? Se la prima condizione non è verificata, possiamo sempre decidere di spostare il problema da R a C: per il teorema fondamentale dell algebra, ogni polinomio p(t C[t] è completamente riducibile E se invece è la seconda condizione a non essere soddisfatta? Come abbiamo visto, gli esempi più semplici sono dati da matrici che sono blocchi di Jordan di dimensione almeno Più in generale, lo stesso vale per una matrice di Jordan che non sia diagonale D altra parte non possiamo certo sperare di trovare una matrice ancora più semplice! Per il seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione, possiamo sempre ricondurci a matrici di Jordan Teorema Sia A una matrice quadrata n n il cui polinomio caratteristico sia completamente riducibile Allora A è simile ad una matrice di Jordan Inoltre, se J è una matrice di Jordan simile ad A e se λ è un autovalore di A, allora per i blocchi di autovalore λ in J abbiamo che: a il numero di tali blocchi è pari alla molteplicità geometrica di λ; b la somma delle dimensioni di tali blocchi è pari alla molteplicità algebrica di λ Osserviamo che, se per un autovalore λ la molteplicità geometrica m g (λ coincide con la molteplicità algebrica m a (λ, nella J i blocchi relativi a λ saranno m a (λ m g (λ, necessariamente tutti di dimensione uno In particolare, se questo vale per ogni λ, la matrice J è diagonale, come del resto risulta dal criterio di diagonalizzazione Per matrici con autovalori di molteplicità basse, la ricerca della forma canonica di Jordan non presenta difficoltà in più rispetto alla diagonalizzazione Esempio 9 Consideriamo la matrice A Il suo polinomio caratteristico è p(t t ( t, quindi è autovalore di molteplicità m g ( m a ( Anche è autovalore con m a ( ed m g ( 3 rg A Quindi A è simile a J La prima e la seconda colonna di una matrice H tale che H AH J, sono date dai generatori degli autospazi di A: V er A I < >; V er A < > L ultima colonna di H deve essere una soluzione del sistema non omogeno che ha come colonna dei termini noti un autovettore di V : x { y x + z H y z In generale, per un dato autovalore λ con m g (λ m a (λ dobbiamo affrontare due problemi: Determinare numero e dimensione dei blocchi associati a λ Ad esempio, se m g (λ e m a (λ 4, il teorema ci dice che avremo due blocchi di autovalore λ e che la somma delle dimensioni di questi blocchi è 4, ma non siamo in grado di decidere se ci sono due blocchi di dimensione oppure un blocco di dimensione ed uno di dimensione 3

13 Determinare per quali autovettori v V λ il sistema (A λix v ammette soluzione Questo ci interessa per determinare le colonne della matrice H del cambiamento di base che non corrispondono ad autovettori Non tutti gli autovettori infatti danno origine ad autovettori generalizzati Esempio Data A, il suo polinomio caratteristico è p(t t 3, quindi è autovalore di molteplicità m a ( 3 ed m g ( 3 rg A Quindi A è simile a J Abbiamo V er A <, > Sfortunatamente, i sistemi x y z ; x y z danno luogo ad una equazione e non sono quindi risolubili Non sappiamo come trovare la seconda colonna di H! Per risolvere questo problema, osserviamo che se v è autovettore di autovalore λ e se v è soluzione di (A λiv v allora (A λi v (A λiv In altre parole, v / er(a λi ma v er(a λi (osserviamo che, banalmente, er(a λi er(a λi Se v corrisponde ad un blocco di Jordan di dimensione n, cioè se esistono v,, v n che soddisfano le relazioni (4, allora (A λi n v n (A λi n v n (A λiv v quindi v n / er(a λi n ma v n er(a λi n Esempio (continua Abbiamo A, quindi se v è un qualsiasi vettore di R 3 er A avremo che Av er A Se scegliamo v / er A avremo che Av genera un blocco di Jordan di dimensione Possiamo quindi prendere Av, v come prime due colonne (attenzione all ordine! della matrice H: per la terza colonna, basta prendere un autovettore indipendente da Av Ad esempio scegliendo v troviamo H Complemento al Teorema Poniamo W i (λ er(a λi i ed osserviamo che W (λ {} er(a λi W (λ er(a λi W i (λ W i+ (λ Proposizione 3 Il numero di blocchi di dimensione d di autovalore λ è pari a dim W d+ (λ + dim W d (λ dim W d (λ (5 Dimostrazione Consideriamo prima il caso in cui A J m,λ è il blocco di Jordan di dimensione m di autovalore λ Allora A λi J m, è il blocco di Jordan di dimensione m di autovalore Se e,, e m è la base canonica di R m, abbiamo dunque (A λie i J m, e i e i+ per i,, m

14 Quindi (A λi e i J m, e i J m, e i+ e i+ per i,, m ed in generale (A λi e i J m, e i e i+ per i,, m Abbiamo quindi che dim er J m, per, m (6 e che dim er Jm, m per m Calcoliamo la somma (5 per A J m,λ : abbiamo W d (λ er Jm, d, quindi dalla (6 abbiamo: (d + +d (d per d < m (m +m (m per d m (m +m (m per d > m a conferma del fatto che per A J m,λ abbiamo un solo blocco di dimensione m Consideriamo ora il caso di una matrice generale A Sia L l endomorfismo di R n che ha A come matrice rispetto alla base canonica Il sottospazio W i (λ er(l λ i dipende solo da L: possiamo cambiare A con una matrice ad essa simile, quindi possiamo pensare che A sia una matrice di Jordan Allora anche A λi è una matrice di Jordan: se J m,µ è un blocco di A allora J m,µ λ è un blocco di A λi (cioè A λi ha gli stessi blocchi si A, ma di autovalori λ i λ Se µ λ allora J m,µ λ è invertibile (triangolare superiore con coefficienti non nulli sulla diagonale, così come le sue potenze Jm,µ λ i (J m,µ λi i, dunque non contribuisce alla dimensione dei W i (λ Ci siamo così ricondotti al caso dei blocchi J m,λ studiato in precedenza e quindi la formula (5 è verificata Osservazione: W i (λ R n quindi dim W i (λ n: la dimensione degli spazi W i (λ non può crescere oltre il limite n Quindi esiste un intero d n tale che per i d si ha W i (λ W i+ (λ W i+ (λ Dalla (5 segue quindi che non ci sono blocchi di dimensione i > d In altre parole, d è la dimensione del blocco di Jordan più grande Esempio Consideriamo A 3 Abbiamo p A (t ( t 4 ( t, quindi m g ( m a ( mentre V W ( er(a I er <, > Dunque m a ( 4 ed m g (, quindi abbiamo sicuramente due blocchi Per determinarne le dimensioni calcoliamo W ( er(a I er <,, >

15 Dalla formula (5 ricaviamo dunque che ci sono blocchi di dimensione Il secondo blocco deve quindi avere dimensione 3, quindi A è simile a J Se {v, v, v 3, v 4, v 5 } sono le colonne della matrice del cambiamento di base H, allora v (A I v 3 e v (A Iv 3 dove v 3 er(a I 3 non appartiene a er(a I Inoltre v 4 è autovettore di autovalore indipendente da v e v 5 è autovettore di autovalore Il problema è quindi determinare v 3 Possiamo farlo sia calcolando (A I 3 e determinandone il nucleo, oppure osservando che a sua volta v (A Iv 3 / er(a I Un vettore in er(a I che non sta in er(a I è dato da v e, quindi un possibile v 3 ri ricava risolvendo (A Ix e : x x x 3 x 4 x 5 x + x 5 x 3 x x 5 quindi una soluzione è data ad esempio da v 3 e 3 Di conseguenza v (A v 3 e 4 Per completare la matrice H dobbiamo ancora calcolare V < (,,,, T > Quindi H 4 Diagonalizzazione delle matrici simmetriche reali Ricordiamo che una matrice H M n (R è detta ortogonale se H T H I n In altre parole, H è invertibile ed H H T Definizione 6 Diremo che una matrice A M n (R è ortogonalmente diagonalizzabile se esistono una matrice diagonale D ed una matrice ortogonale H tali che A HDH HDH T Equivalentemente, A è diagonalizzabile ed ammette una base ortonormale di autovettori Per verificare che una matrice è ortogonalmente diagonalizzabile, basta verificare che è diagonalizzabile e che gli autospazi sono tra loro ortogonali: infatti col procedimento di Gram-Schmidt, possiamo costruire una base ortonormale per ciascun autospazio e, se questi autospazi sono tra loro ortogonali, l unione di tutte queste basi, che è una base di R n perché A è diagonalizzabile, è anche ortonormale Osserviamo innanzitutto che se A è ortogonalmente diagonalizzabile, A è necessariamente una matrice simmetrica Infatti, ricordando che (MN T N T M T : A HDH T A T ( HDH T T HD T H T HDH T A In effetti, vale anche il viceversa, come afferma il seguente teorema: Teorema 3 Se A M n (R è simmetrica, è ortogonalmente diagonalizzabile

16 Dimostrazione Dobbiamo dimostrare tre cose: a Il polinomio caratteristico p A (t è completamente riducibile b Gli autospazi di A sono tra loro ortogonali c A è diagonalizzabile (a Sia λ C una radice di p A (t, quindi λ è un autovalore della matrice A pensata come matrice a coefficienti complessi: esiste quindi un vettore non nullo Z (z,, z n T C n tale che AZ λz Data una matrice M (m i,j a coefficienti complessi, conveniamo di porre M ( m i,j la matrice ottenuta da M prendendo il coniugato di tutti i coefficienti In particolare, preso Z ( z,, z n T, osserviamo che z Z T Z (z z n z z + + z n z n z + + z n z n è un numero reale, positivo perché almeno uno degli z i è diverso da zero Chiamiamo c Z T Z Allora, poiché A T A (perché A è simmetrica ed Ā A (perché A è a coefficienti reali, abbiamo λc (λz T Z (AZ T Z Z T A Z Z T (AZ Z T (λz λz T Z λc Quindi c(λ λ e siccome c, deve essere λ λ, cioè λ R Per il teorema fondamentale dell algebra, p A (t è completamente riducibile su C e, per quanto appena visto, tutte le sue radici sono reali: quindi p A (t è completamente riducibile su R (b Siano λ µ due autovalori di A e siano X (x,, x n T ed Y (y,, y n T autovettori di autovalore rispettivamente λ e µ, cioè AX λx ed AY µy Allora λ(x,, x n (y,, y n (λx T Y (AX T Y X T AY X T (µy µ(x,, x n (y,, y n Quindi (λ µ(x,, x n (y,, y n e, siccome λ µ deve essere (x,, x n (y,, y n Quindi autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali Pertanto gli autospazi di A sono a due a due ortogonali (c Dimostriamo che A è diagonalizzabile per induzione su n Se n non c è nulla da dimostrare Supponiamo quindi che ogni matrice simmetrica (n (n sia diagonalizzabile Sia v un autovettore di A di autovalore λ e sia W < v > Quindi W è un sottospazio di dimensione n ed abbiamo la decomposizione R n < v > W Sia L l endomorfismo di R n definito da A (cioé l endomorfismo che la cui matrice rispetto alla base canonica è A Osserviamo che il trasformato L(w di un vettore w W mediante L appartiene ancora a W, cioè è ortogonale a v Infatti, indicando con X (x,, x n T ed Y (y,, y n T le coordinate di v e w rispettivamente, allora v L(w X T (AY (AX T Y λx T Y λ(v w

17 Quindi l endomorfismo L manda il sottospazio W < v > in se stesso Scegliamo allora la base ortonormale v v v di < v > ed una base ortonormale {w,, w n } di W (possiamo sempre trovarne una grazie al teorema di Gram-Schmidt Unendole, otteniamo una base ortonormale di R n Quindi la matrice H del cambiamento di base in R n dalla base {v, w,, w n } alla base canonica è una matrice ortogonale La matrice H T AH, che è ancora una matrice simmetrica, rappresenta l endomorfismo L nella base {v, w,, w n } Poiché L(v λv ed L manda il sottospazio W in sé stesso, questa matrice è della forma λ H T b b n b b n AH Poniamo B b b n b n b nn nn Poiché H T AH è simmetrica, anche B è una matrice simmetrica Per ipotesi induttiva, ogni matrice simmetrica (n (n è diagonalizzabile Quindi B è diagonalizzabile: esiste una matrice ortogonale K M n (R tale che K T BK sia diagonale Dalla proposizione segue allora che la matrice K T λ b b n b n b nn K è diagonale Pertanto A è simile ad una matrice diagonalizzabile e dunque è diagonalizzabile 5 La serie esponenziale: sistemi di equazioni differenziali lineari Ricordiamo che la funzione esponenziale ammette lo sviluppo in serie di potenze e x exp(x n x n n! (7 che converge assolutamente in tutto R ed uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato Il nostro punto di vista sarà di utilizzare la serie di potenze (7 come definizione della funzione esponenziale in vari contesti 5 La funzione esponenziale nel campo complesso La serie (7 definisce una funzione exp(z per z C Utilizzando il modulo : C R (ricordiamo che z z z, lo studio della convergenza di exp(z si riconduce alla convergenza in R: la funzone esponenziale converge assolutamente in C Per ogni fissato z C ed ogni r, la serie converge uniformemente nel sottoinsieme {w C : w z r} Proposizione 4 exp(a + b exp(a exp(b Dimostrazione Anche questa identità è una conseguenza immediata della convergenza della serie (7 a partire dalla formula del binomio di Newton (a + b n n ( n a b n dove ( n n!!(n! (8

18 Infatti da cui deduciamo: ( m ( a m b h! h! h exp(a exp(b ( m n m n h+n n! n ( a a h! h! h a b h m! h! n n ( n a b n n a! m n b n (n! (a + b n n! (a + b n exp(a + b n! Teorema 4 (Formula di Eulero Per un numero complesso z x + iy e x+iy e x (cos(y + i sin(y Dimostrazione Dalla proposizione 4 segue che e x+iy e x e iy, quindi basta dimostrare che exp(iy cos(y + i sin(y Ricordiamo gli sviluppi in serie delle funzioni trigonometriche cos(y y! + y4 4! + ( (! y, sin(y y y3 3! + y5 5! + ( ( +! y+ Le potenze intere dell unità immaginaria si calcolano facilmente a partire dalla relazione i : troviamo che i ( e i + (i i ( i Separando i termini di grado pari da quelli di grado dispari in exp(iy troviamo dunque: (iy n exp(iy n! n (iy (! + (iy + ( +! ( (! y + i ( ( +! y+ cioè exp(iy cos(y + i sin(y 5 L esponenziale di una matrice Se A è una matrice n n (a coefficenti reali o complessi definiamo exp(a A! (9 Per giustificare il fatto che exp(a sia una matrice dovremmo introdurre una nozione di distanza nello spazio delle matrici, cioè una norma sullo spazio delle matrici, in modo da poter dire che la successione delle somme parziali m A! converge in M n (C Trascureremo questo aspetto, ammettendo il fatto che la serie (9 definisce una matrice Esempio Se D exp(d d! d d n! d n è una matrice diagonale, D d! d n! d e d d n e dn quindi

19 Proposizione 5 Se A e B sono matrici simili, A HBH, allora exp(a H exp(bh Dimostrazione È un semplice calcolo: ( A HBH ( HB H exp(a H!!! B H H exp(bh! In particolare, se A è diagonalizzabile, il calcolo di exp(a si riconduce al caso diagonale considerato nell esempio precedente Esempio 3 Se N è una matrice tale che N n (una tale matrice si dice nilpotente allora N N n N n per n La serie esponenziale si riduce ad una somma finita exp(n I n + N + N + + N n n! Un caso particolare interessante è quello del blocco di Jordan di autovalore nullo J n, Per esempio ( ( ( ( exp + o ancora exp + + exp 6 n! 6 Esempio 4 In generale non è vero che exp(a+b exp(a exp(b Consideriamo ad esempio ( ( ( + ( ( ( ( Dall esempio precedente abbiamo exp ed anche exp ( La matrice è simmetrica, quindi ortogonalmente diagonalizzabile: ( exp ( che non è uguale ad ( exp e neanche a ( exp ( exp ( exp ( exp ( ( ( ( ( ( ( ( e + e e e e e e + e Anzi, proprio il fatto che il prodotto di queste due matrici non commuta ci fa capire perché non possiamo aspettarci che l esponenziale trasformi una somma di matrici (che è commutativa in un prodotto di matrici (che non è commutativo

20 Proposizione 6 Se le matrici A e B commutano (cioè AB BA allora exp(a + B exp(a exp(b Dimostrazione Identica a quella della proposizione 4: infatti la formula di Newton (8 si può usare per calcolare la potenza di un qualunque binomio i cui addendi commutino La proposizione si applica in particolare ad un blocco di Jordan J n,λ λi n + J n, : infatti la matrice scalare λi n commuta con qualsiasi matrice Più in generale, se J è una matrice di Jordan, sia D la matrice diagonale che ha sulla diagonale gli stessi coefficenti di J Allora N J D è una matrice di Jordan nilpotente: se i blocchi di J sono J n,λ,, J n,λ, i blocchi di N sono J n,,, J n, Abbiamo quindi che J D + N e dalla regola per la moltiplicazione a blocchi (proposizione segue immediatamente che D ed N commutano Quindi l esponenziale di una matrice di Jordan è il prodotto dell esponenziale di una matrice diagonale (esempio per quello di una matrice nilpotente (esempio 3 Infine la proposizione 5 permette di calcolare l esponenziale di una qualunque matrice simile ad una matrice di Jordan, cioè, per il teorema, per ogni matrice che abbia un polinomio caratteristico completamente riducibile ed in particolare quindi ogni matrice a coefficenti complessi 53 Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del primo ordine L interesse principale della funzione esponenziale in analisi è dato dalla proprietà di essere identica alla propria derivata Anche questa proprietà analitica si può dedurre formalmente dalla serie di potenze (proposizione 8 più avanti Sia I un intervallo di R e sia F l insieme di tutte le funzioni f : I R Abbiamo già visto che F è uno spazio vettoriale reale Dalle proprietà della derivazione, segue che il sottoinsieme D F delle funzioni derivabili in ogni punto di I è un sottospazio Come di consueto, indichiamo con f la derivata di f Fissiamo a R e consideriamo l applicazione L : D F, L(f f af Poiché la derivazione è lineare, L è un applicazione lineare Dalla teoria delle applicazioni lineari segue allora che: Proposizione 7 L insieme er L delle soluzioni dell equazione differenziale omogenea y ay è un sottospazio vettoriale di D Data una funzione f F, l insieme L (f delle soluzioni dell equazione differenziale y ay f è vuoto oppure una varietà lineare: ogni soluzione si ottiene sommando ad una soluzione particolare f una soluzione dell equazione differenziale omogenea associata y ay Gli spazi D e F hanno dimensione infinita, quindi non siamo in grado a priori di calcolare la dimensione di er L (né tantomeno di scrivere la matrice della L Proposizione 8 La funzione exp(at è soluzione dell equazione differenziale y ay Dimostrazione Dato che la serie converge assolutamente ed uniformemente, possiamo derivarla termine a termine: d dt exp(at d (at n dt n! n n a n t n (n! a m (at m m! a exp(at (

21 (dove nel penultimo passaggio abbiamo sostituito m n Abbiamo dunque che < exp(at > er L In effetti possiamo dimostrare che questa inclusione è un uguaglianza Osserviamo infatti che, se g er L, cioè g ag, allora g è anche derivabile due volte in ogni punto di I: g ( g (ag ag a g Possiamo naturalmente ripetere il ragionamento: g è derivabile n volte in ogni punto di I e la derivata n-esima soddisfa g (n a n g, e questo per ogni n N Pertanto g è sviluppabile in serie di Taylor in ogni punto di I Supponiamo per semplicità che I Allora, siccome g (n ( g(a n : g g( + g (t + g ( t + + g(n ( n! t n + g( ( + at + (at + + n! (atn + g( exp(at e dunque er L < exp(at >: la soluzione generale dell equazione y ay è c e at, con c costante Una soluzione particolare dell equazione non omogenea y ay f si trova con il metodo di variazione della costante: si cerca una soluzione della forma c(te at, dove c(t è una funzione che determiniamo derivando: ( c(te at ac(te at ( c (te at + ac(te at ac(te at c (te at f c (t e at f dunque c(t è una primitiva di e at f Per la proposizione 7, la soluzione generale di y ay f è la funzione c(te at + c e at (c(t + c e at, con c costante Lo stesso ragionamento può essere ripetuto per risolvere un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo del primo ordine a coefficienti costanti: y a, y + + a,n y n y a, a,n y y n a n, y + + a n,n y n a n, a n,n y n che scriveremo anche Y AY Un tale sistema può essere interpretato come la ricerca del nucleo di un applicazione lineare L : D n F n, L f f n y n f f n A dove F n è lo spazio vettoriale reale delle n-ple di funzioni sull intervallo I e D n il sottospazio delle n-ple di funzioni derivabili La proposizione seguente è dunque conseguenza dalla teoria delle applicazioni lineari Proposizione 9 Le soluzioni dell equazione differenziale omogenea Y AY formano un sottospazio vettoriale Per ogni F (f,, f n T F n, l insieme delle soluzioni dell equazione differenziale Y AY F è vuoto oppure una varietà lineare: ogni soluzione si ottiene sommando ad una soluzione particolare F una soluzione dell equazione differenziale omogenea associata Y AY Proposizione La matrice exp(at soddisfa l equazione d dt exp(at A exp(at Le colonne della matrice exp(at generano spazio vettoriale er L delle soluzioni dell equazione differenziale omogenea Y AY f f n

22 Dimostrazione La verifica che d dt exp(at A exp(at è identica a quella della proposizione 8: d dt exp(at d (At n A n t n dt n! (n! A (At m A exp(at m! n n Anche la seconda verifica è analoga a quella vista precedentemente: se G (g,, g n T è soluzione di G AG, allora G (AG A G e quindi G (n A n G: le funzioni g i sono arbitrariamente derivabili e possiamo sviluppare G in serie di Taylor Siccome G (n ( A n G(, m G G( + G (t + G ( t + + G(n ( n! t n + ( + At + (At + + n! (Atn + G( exp(atg( Dunque G si ottiene moltiplicando la matrice exp(at per il vettore costante G( R n, dunque G è combinazione lineare delle colonne di exp(at Anche in questo caso, una soluzione particolare di Y AY F si calcola mediante il metodo di variazione della costante 54 Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine superiore Riprendiamo le notazioni della sezione 53, ed in particolare indichiamo con f ( la derivata -esima di f Indichiamo con D (n F il sottospazio delle funzioni derivabili n volte in ogni punto di I Consideriamo un applicazione L : D (n F, L(f f (n + a n f (n + + a f + a f dove i coefficenti a,, a n sono costanti Poiché la derivazione è lineare, L è un applicazione lineare Dalla teoria delle applicazioni lineari segue allora che: Proposizione L insieme er L delle soluzioni dell equazione differenziale omogenea y (n + a n y (n + + a y + a y ( è un sottospazio vettoriale di D (n Data una funzione f F, l insieme L (f delle soluzioni dell equazione differenziale y (n + a n y (n + + a y + a y f è vuoto oppure una varietà lineare: ogni soluzione si ottiene sommando ad una soluzione particolare f una soluzione dell equazione differenziale omogenea associata ( La ricerca delle soluzioni dell equazione di ordine n si riconduce al quella di un sistema di equazioni del primo ordine Infatti, se y è soluzione di y + a y + a y ( ponendo z y abbiamo che z y, dunque (y, z T è soluzione del sistema { y ( ( ( z y y z a y a z z a a z Analogamente, ponendo y y, y y,, y n y (n, la ricerca delle soluzioni dell equazione ( si riconduce a quella del sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo del primo ordine a coefficienti costanti: y y y y 3 Y CY y n y n a y a y a n y n y n

23 dove la matrice C, detta matrice compagna dell equazione (, è C (3 a a a n a n Per la proposizione, una base per lo spazio delle soluzioni dell equazione Y CY è data dalle colonne della matrice exp(ct Lo spazio vettoriale er L delle soluzioni dell equazione ( è quindi generato dai coefficenti di exp(ct Come visto alla fine della sezione 5, se J è una forma di Jordan (eventualmente diagonale di C ed H la matrice del cambiamento di base, allora exp(ct H exp(jth In particolare, i coefficienti di exp(ct sono combinazioni lineari dei coefficienti di exp(jt, che sono più facili da calcolare Per quanto riguarda il calcolo degli autovalorori di C, e quindi della forma J, osserviamo che il polinomio caratteristico della matrice C è p C (x det(c xi n ( n (x n + a n x n + + a x + a e l equazione x n + a n x n + + a x + a caratteristica dell equazione differenziale ( è chiamata, per ovvi motivi, equazione Vediamo in dettaglio il caso dell equazione ( di ordine Siano λ e µ le radici (in R o in C del polinomio caratteristico ( ( x p(x det det x + a a a a a x x + a (x λ(x µ λ µ In questo caso la matrice è diagonalizzabile (in R o in C: lo spazio er L delle soluzioni di ( è generato dai cefficenti di ( λt exp µt ( e λt e µt e quindi lo spazio vettoriale delle soluzioni dell equazione ( ammette la base { e λt, e µt} Osserviamo che, se λ e µ non sono reali, ponendo λ α + iβ (e quindi µ λ α iβ, dalla formula di Eulero (teorema 4 risulta: e λt e αt+iβt e αt (cos(βt + i sin(βt; e µt e αt iβt e αt ( cos(βt + i sin(βt e dunque anche le funzioni di variabile reale e αt cos(βt (eλt e µt, e αt sin(βt i (eλt + e µt formano una base per lo spazio delle soluzioni dell equazione ( λ µ In questo caso la matrice non è diagonalizzabile e la sua forma di Jordan è J ( ( t Poiché, abbiamo ( t exp ( ( t + ( t ( λ λ

24 e dunque ( λt t exp λt ( λt exp λt ( t exp ( e λt e λt ( t ( e λt te λt e λt Concludiamo dunque che le funzioni { e λt, te λt} formano una base dello spazio vettoriale delle soluzioni dell equazione ( Esempio 5 Consideriamo l equazione y y La matrice compagna e polinomio caratteristico sono: C ; p C (x (x 3 (x (x + i 3 (x i 3 Dunque C ha autovalori distinti ed è diagonalizzabile in C La matrice exp(ct è simile ad t +i 3 exp t i 3 t e t e t ( cos( π 3 t + i sin( π 3 t e t ( cos( π 3 t i sin( π 3 t dunque le funzioni { e t, e t cos( π 3 t, e t sin( π 3 t} formano una base dello spazio vettoriale delle soluzioni dell equazione y y Esempio 6 Consideriamo l equazione y 3y + 3y y L equazione caratteristica è allora p C (x (x 3 3x + 3x (x 3 La matrice compagna, la molteplicità geometrica dell autovalore e la forma di Jordan di C sono: C 3 3 ; m g ( 3 rg 3 3 ; J La matrice exp(ct è pertanto simile ad exp(jt exp t t t t t e t e t e t t t t et te t t et e t te t e t Lo spazio vettoriale delle soluzioni dell equazione y 3y +3y y è generato dai coefficenti di questa matrice: la soluzione generale dell equazione è pertanto ( c + c t + c t e t, dove c, c e c sono costanti 6 Approssimazione: il metodo dei minimi quadrati Un problema classico, in Ingegneria come in altre discipline, è quello di determinare una legge che descriva il comportamento di alcune variabili in funzione di altre a partire da un certo numero di osservazioni sperimentali Supponiamo, ad esempio, di voler determinare il coefficente di dilatazione di un materiale in funzione della temperatura Facciamo alcune misurazioni ed in corrispondenza dei valori x,, x n della temperatura e troviamo i valori y,, y n della dilatazione Idealmente, vorremmo, a partire da questi dati, determinare una legge y f(x che dia il valore y della dilatazione in funzione della temperatura x Vorremmo cioè una funzione della temperatura che interpoli i valori trovati, cioè y i f(x i per i,, n