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1 1 Portofoglio autofinanziante Supponiamo che l evoluzione del titolo A 1 sia S 1 t) e l evoluzione del titolo A sia S t). Supponiamo che al tempo 0 io abbia una somma X0) che voglio investire parte in una quantità H 1 0) del titolo A 1 e parte in una quantità H 0) del titolo A e di aggiustare continuamente il portafoglio secondo una strategia H 1 t), H t)); quindi il valore Xt) del nostro portafoglio evolverà nel tempo come Xt) H 1 t) S 1 t) + H t) S t). 1) Supponiamo ora di non investire successivamente altro denaro se non X0); ciò significa che dh 1 t) S 1 t) + dh t) S t) 0 che è equivalente, almeno nel caso discreto oppure nel caso continuo non aleatorio, a dxt) H 1 t) ds 1 t) + H t) ds t). ) Questo vincolo sulla scelta della strategia H 1 t), H t)) si dice condizione di autofinanziamento. Un secondo vincolo è la condizione Xt) 0. Esempio. Supponiamo la seguente evoluzione dh 1 q 10 dt + q 11 dw 1 + q 1 dw dh q 0 dt + q 1 dw 1 + q dw ds 1 S 1 a 10 dt + a 11 dw 1 + a 1 dw ds S a 0 dt + a 1 dw 1 + a dw la condizione di autofinanziamento si traduce nelle equazioni q 10 + q 11 a 11 + q 1 a 1 )S 1 + q 0 + q 1 a 1 + q a )S 0 q 11 S 1 + q 1 S 0 q 1 S 1 + q S 0 Opzione call Supponiamo che io venda ora un opzione call europea O su una certa azione A: cioè un operatore Tizio mi dà una somma X0), da concordare, per avere il diritto di comprare o no un azione A al prezzo K al tempo T, se a quel tempo Tizio lo riterrà opportuno oppure no. 1

2 Al tempo T, se l operatore Tizio deciderà di esercitare l opzione, dovrò comprare un azione A al prezzo di mercato ST ) per rivenderla a Tizio al prezzo convenuto K: è chiaro che Tizio eserciterà l opzione solo se ST ) > K. Supponiamo che l evoluzione del prezzo dell azione A sia St) e consideriamo anche un titolo non a rischio B, il cui prezzo evolva come Bt). Pensiamo ora di investire la somma iniziale X0) parte in una quantità H B 0) del titolo non a rischio B e parte in una quantità H0) dell azione A e di aggiustare continuamente il nostro portafoglio secondo una strategia H B t), Ht)) e quindi il valore Xt) del nostro portafoglio evolverà nel tempo come Xt) H B t) Bt) + Ht) St). 1) Supponiamo ora di non investire successivamente altro denaro se non X0); ciò significa che dh B t) Bt) + dht) St) 0 che è equivalente, almeno nel caso discreto oppure nel caso continuo ma non aleatorio, a dxt) H B t) dbt) + Ht) dst). ) Questo vincolo sulla scelta della strategia H B t), Ht)) si dice condizione di autofinanziamento. Un secondo vincolo è la condizione Xt) 0. È chiaro che per stabilire il giusto prezzo X0) dobbiamo poter scegliere la strategia H B t), Ht)), soggetta alle due condizioni precedenti, in modo da coprire al tempo T l opzione venduta O; cioè dobbiamo richiedere che XT ) ST ) K) + φst )). 3) dove φx) x K) +. Questo vincolo ci assicura che non ci sono possibilità di arbitraggio. Supponiamo che l evoluzione del prezzo del titolo non a rischio B sia o in altri termini Bt) e rt B0) dbt) r Bt) dt 4) supponiamo inoltre che l evoluzione del prezzo del titolo a rischio A sia dst) µ St) dt + σ St) dw t. 5) Definiamo Xt) e rt Xt), St) e rt St) allora usando la ), la 4) e la 1) dxt) rxt) Ht) St)) dt + Ht) dst).

3 Ora è facile dedurre che Sfruttando la 5) abbiamo d Xt) Ht) d St). 6) d St) µ r) St) dt + σ St) dw t. Usiamo la trasformata di Girsanov per scrivere la precedente equazione senza il drift ma rispetto ad un nuovo processo di Wiener W t, cioè d St) σ St) dw t 7) la cui soluzione è [ ] St) exp σ t + σw t S0) e quindi ] St) exp [r σ )t + σw t S0). 8) Utilizzando la 7) nella 6) abbiamo d Xt) σht) St) dw t. In tal caso osserviamo che Xt) risulta una martingala rispetto alla nuova misura di probabilità quindi Xt) E XT ) F t ) che si può scrivere Infine utilizzando la 8) abbiamo Xt) E e rt t) φst )) F t ) ) Xt) E e rt t) φ St) exp [r σ )T t) + σw T Wt ) ]) F t da cui, denotando con ]) F t, x) E e rt t) φ x exp [r ) σ )T t) + σw T Wt ) 9) abbiamo Xt) F t, St)) 10) e quindi X0) F 0, S0)). Nel caso della funzione 3) la funzione F t, x) si può calcolare in maniera esplicita. Nel caso più generale si può osservare che la 9) si può considerare come la formula di Feynman-Kac per la seguente equazione: F t + 1 σ x F + r x F r F 0 F T, x) φx) 3

4 che si può risolvere numericamente. Dalla 9) ricaviamo F t, x) ]) e rt t) φ x exp [r σ )T t)+σy exp y dy /T t)) πt t) cioè F t, x) xn lx) + σ ) T t Ke rt t) N lx) σ ) T t dove e Nx) 1 π x e y / dy rt t) + logx/k) lx) σ T t Risulta che F t, x) è crescente in x e vale x K) + F t, x) x Per ricavare l espressione di H B t) e di Ht) usiamo la formula di Itô applicata alla 10): otteniamo dove dxt) Γt, St)) dt + F t, St))σSt) dw t Γt, x) F t + 1 σ x F + µ x F Confrontando con la ) otteniamo e Ht) F t, St)) H B t) Xt) Ht)St) Bt) dst) αst)dt + σst)dw t St) expα σ )t + σw t)s 0 X t α σ t + W t βt + W t P dω) F W T ω)) P dω) 4

5 P X t1, X t I, X t3 I 3,..., X tn I n ) P W t1 βt 1, W t I βt, W t3 I 3 βt 3,..., W tn I n βt n ) I βt βt 1 I n βt n R F y)g t1 y 1 )g t t 1 y y 1 )g t3 t y 3 y ) g tn t n 1 y n y n 1 )g T tn y y n )dy 1 dy... dy n dy F x βt )g t1 x 1 βt 1 )g t t 1 x x 1 βt t 1 )) I R I n g t3 t x 3 x βt 3 t )) g tn t n 1 x n x n 1 βt n t n 1 )) g T tn x x n βt t n )) dx 1 dx... dx n dx g τ x βτ) g τ x) e 1 β τ+βx P X t1, X t I, X t3 I 3,..., X tn I n ) I I n R e 1 β T +βx F x βt )g t1 x 1 )g t t 1 x x 1 ) g tn t n 1 x n x n 1 )g T tn x x n ) dx 1 dx... dx n dx F x) exp βx 1 β T ) F x βt ) exp βx + 1 β T ) P X t1, X t I, X t3 I 3,..., X tn I n ) g t1 x 1 )g t t 1 x x 1 ) g tn t n 1 x n x n 1 ) dx 1 dx... dx n I I n St) expα σ )t + σw t)s 0 exp σ t + σ α σ + W t))s 0 W t X t rispetto a P E St) F r ) Sr) 5

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