Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

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1 Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore; G. De Mrco, Anlisi Due/1, Decibel Znichelli Editore. 1 Convergenz puntule Definizione 1.1. Si {f n }, n = 0, 1, 2, 3,..., un successione di funzioni definite su un insieme D R vlori reli, f n : D R. Supponimo che per ogni x D l successione numeric {f n x} = {f 0 x, f 1 x, f 2 x, f 3 x,...} converg, e indichimo fx il suo ite, cioè fx := f nx, x D. 1 Dicimo llor che l successione {f n } converge puntulmente f, e che f è l funzione ite, o il ite puntule dell successione. Usndo l definizione di ite, 1 si riscrive così: per ogni x D, per ogni ε > 0 esiste un intero nε, x dipendente d ε e d x tle che f n x fx < ε n nε, x. In modo simile, supponimo che per ogni x D l serie numeric n f nx converg, e indichimo sx l somm di tle serie, cioè sx := f n x, x D. n=1 Dicimo llor che l serie n f n converge puntulmente, e che l funzione s è l somm dell serie di funzioni. In ltre prole, n f n s puntulmente se l successione delle somme przili {s n }, definite come s n x := n f k x = f 0 x + f 1 x + f 2 x f n x, 1

2 converge puntulmente ll funzione ite s, cioè: per ogni x D, per ogni ε > 0 esiste un intero nε, x dipendente d ε e d x tle che s n x sx = n f k x sx < ε n nε, x. Qundo si h che fre con le serie si numeriche che serie di funzioni, si teng sempre mente che il simbolo, somm di infiniti termini, sottintende sempre il ite delle somme przili n. Anche se incluso nell definizione stess di convergenz puntule, forse non è inutile ribdire che per clcolre il ite puntule di un successione di funzioni {f n } si procede così: si consider x D fissto, e si studi l convergenz dell successione numeric {f n x}, in cui x è un numero fissto e st fermo, n invece si muove, è l indice dell successione, n = 1, 2,..., e si studi il ite di quest successione numeric per n. Vedimo un esempio concreto. Esempio 1.2. Si f n : R R, n = 0, 1, 2,..., l funzione crtteristic dell intervllo [n, n + 1, cioè { 1 se x [n, n + 1, f n x = 0 ltrimenti. Studimone l convergenz puntule. Considerimo x < 0 fissto. Essendo negtivo, x non st in nessuno degli intervlli [0, 1, [1, 2, [2, 3,..., e quindi f n x = 0 per ogni indice n 0. Dunque {f n x} è l successione {0, 0, 0,...}, il cui ite è 0. Questo vle per ogni x < 0, e di conseguenz fx := f nx = 0 x < 0. Or fissimo invece x 0. Esiste un unico intero N dipendente d x tle che il punto x pprteng ll intervllo [N, N + 1. Per esempio, se x = 5/2, llor N = 2 perché 5/2 [2, 3; se x = 0, N = 0 perché 0 [0, 1; se x = π, N = 3, perché π [3, 4. Insomm N è il mssimo tr gli interi x, N = mx{n Z : n x} e viene detto l prte inter di x. Dunque tr gli intervlli [0, 1, [1, 2, [2, 3,..., l unico che contiene il punto x è [N, N + 1, mentre x / [n, n + 1 se n N. Quindi f n x = 0 per ogni n N, mentre f N x = 1. L 2

3 successione {f n x} risult perciò ftt tutt di zeri eccetto nell N-sim posizione, dove compre un 1. Per esempio, se x = 9/2, llor N = 4, e {f n x} = {f 1 x, f 2 x, f 3 x,...} = {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,...}. Quest successione h ite 0: per ogni ε > 0, come indice nε, x prendimo nε, x = N + 1, così f n x 0 = 0 < ε per ogni n N + 1. Questo rgionmento vle per ogni punto x 0, e quindi, in conclusione, fx = f nx = 0 x R. * * * Or che bbimo definito il concetto di convergenz puntule per successioni e serie di funzioni, ci ponimo queste domnde: se tutte le funzioni f n di un successione hnno un cert proprietà sono continue, o derivbili, o integrbili, e f n f puntulmente, llor nche l funzione ite h quell proprietà? Le operzioni di ite, di sommtori, di integrle, di derivt, in generle possono essere scmbite? In generle, l rispost è negtiv: può cpitre che un successione di funzioni continue f n converg puntulmente un funzione f che non è continu, e f nx x x 0 f n x x x 0 in qulche punto x 0 del dominio, come mostrto dll esercizio 1. Può cpitre che un serie puntulmente convergente di funzioni continue bbi somm non continu, e che f n x x x 0 f n x x x 0 in qulche x 0 del dominio, come mostrto dll esercizio 2. Può cpitre che un successione di funzioni derivbili {f n } converg puntulmente un funzione ite f che non è derivbile, come mostrto dll esercizio 3, o che f x = d dx f nx d dx f nx = f nx 3

4 in qulche punto x del dominio, come mostrto dll esercizio 18. Può cpitre che un successione {f n } di funzioni Riemnn-integrbili su un intervllo [, b] converg puntulmente d un funzione ite f che non è Riemnn-integrbile, o che f nx dx f n x dx, come mostrto dll esercizio 4. In conclusione: con l sol ipotesi di convergenz puntule, i segni di ite, di derivt, di serie, di integrle non si possono scmbire. Per poterlo fre serve un tipo di convergenz più forte, l convergenz uniforme. 2 Convergenz uniforme Definizione 2.1. Si D R. Dicimo che l successione di funzioni {f n }, f n : D R, converge uniformemente in D ll funzione f : D R se per ogni ε > 0 esiste un intero nε N dipendente solo d ε tle che f n x fx < ε x D, n nε. In modo simile, dicimo che l serie di funzioni f n converge uniformemente in D ll somm s se l successione {s n } delle somme przili converge uniformemente in D ll funzione s, cioè: per ogni ε > 0 esiste nε N dipendente solo d ε tle che s n x sx = n f k x sx < ε k=1 Confrontimo le due definizioni di convergenz: x D, n nε. Puntule: x D, ε > 0 nε, x N t.c. f n x fx < ε n nε, x. Uniforme: ε > 0 nε N t.c. f n x fx < ε n nε, x D. L differenz tr i due tipi di convergenz è quest: nell convergenz uniforme esiste un nε che v bene per tutti i punti x del dominio D, mentre in quell puntule nε, x v scelto second del punto x. L convergenz puntule chiede che soltnto punto per punto f n x fx, mentre quell uniforme chiede di più: chiede che f n si vvicini f dppertutto contempornemente. Grficmente l convergenz uniforme si può vedere in questo modo: fissto ε > 0, d un certo indice nε in poi, i grfici di 4

5 tutte le f n sono contenuti nel tubo di spessore 2ε che vvolge il grfico di f, cioè nell regione di pino compres tr il grfico dell funzione f ε e quello dell funzione f + ε. L convergenz uniforme è più forte dell convergenz puntule: se f n f uniformemente, llor f n f nche puntulmente. Inftti l intero nε dell definizione di convergenz uniforme soddisf le richieste dell definizione di convergenz puntule in ogni punto x. Per vere un esempio concreto dell differenz tr convergenz uniforme e puntule, tornimo ll esempio 1: f n f = 0 puntulmente m non uniformemente. Inftti, se l convergenz fosse uniforme, dto ε > 0, per esempio ε = 1/2, esisterebbe un certo indice n tle che f n x fx = f n x < 1 2 x R, n n. M quest disuguglinz non può mi vlere per tutti gli x R: fissto un qulsisi indice n, nei punti x che stnno nell intervllo [n, n+1 l funzione f n vle 1, e in questi punti l disuguglinz f n x < 1/2 è fls. Quindi l successione non converge uniformemente f su R. Il ftto che l convergenz si uniforme dipende dl dominio: se ci itimo considerre l successione sulle semirette, b], con b R, llor f n f uniformemente su, b] vedi esercizio 5. Definizione 2.2. Se f : D R, indichimo f := sup fx. x D f viene dett norm infinito, o norm del sup, o sup-norm di f. Spesso viene indict f, o, qundo si vuole specificre il dominio D su cui si st fcendo il sup, f,d o semplicemente f D. In generle, sup x D fx può essere è il cso, per esempio, dell funzione fx = x sul dominio D = R. Un funzione si dice itt su D se f D <. In tl cso fx f D x D rivedere l definizione di sup dl corso di Anlisi Uno. Per definizione di sup, si h f n x fx ε x D 5

6 se e solo se f n f D = sup f n x fx ε. x D Quindi l definizione di convergenz uniforme si può riscrivere così: f n f uniformemente in D se per ogni ε > 0 esiste un intero nε N tle che f n f D < ε per ogni n nε, cioè se f n f D = 0. 2 Quest definizione equivlente di convergenz uniforme è spesso più rpid d usre negli esercizi. Per esempio, è immedito mostrre che l successione dell esempio 1 non converge uniformemente f = 0 su R usndo le supnorme: f n f R = f n R = sup f n x = 1 n N, x R quindi f n = 1, e l 2 non è soddisftt. L norm del sup gode delle seguenti proprietà: se f, g : D R sono funzioni itte, e λ R, i f = 0 se e solo se f = 0; ii λf = λ f ; iii f + g f + g disuguglinz tringolre. Dimostrzione. i Si f = 0. Allor fx f = 0 per ogni x D, quindi fx = 0 per ogni x, cioè f = 0. Vicevers, si f = 0. Allor f = sup x D fx = sup x D 0 = 0. ii sup x D λ fx = λ sup x D fx per le proprietà del sup. iii Si x D. Per l disuguglinz tringolre in R, fx + gx fx + gx. Poi fx f e gx g. Dunque fx + gx fx + gx f + g. Allor fx+gx f + g per ogni x D, d cui sup x D fx+gx f + g. 6

7 3 Criterio di Cuchy Ricordimo corso di Anlisi Uno che per le successioni numeriche vle il criterio di convergenz di Cuchy: un successione di numeri reli { n } converge se e solo se è di Cuchy, cioè: per ogni ε > 0 esiste un intero nε dipendente d ε tle che n m < ε per ogni n, m nε. Per le successioni di funzioni vle lo stesso criterio con l convergenz uniforme: Teorem 3.1 Criterio di convergenz uniforme di Cuchy. Un successione di funzioni f n : D R converge uniformemente in D se e solo se è un successione uniformemente di Cuchy, cioè: per ogni ε > 0 esiste un intero nε N dipendente d ε tle che f n f m D < ε n, m nε. Dimostrzione. Supponimo che f n converg uniformemente, e dimostrimo che llor {f n } è di Cuchy. Si f il ite uniforme di f n che esiste per ipotesi. Fissimo ε > 0. Dll definizione di convergenz uniforme pplict per ε/2, esiste un intero nε, dipendente d ε, tle che f n f < ε 2 n nε. Allor, per ogni n, m nε, dll disuguglinz tringolre si h f n f m = f n f + f f m f n f + f f m < ε 2 + ε 2 = ε. In questo modo bbimo provto che {f n } è uniformemente di Cuchy. Supponimo che {f n } si un successione uniformemente di Cuchy, e provimo che llor f n converge uniformemente un certo ite f che dobbimo trovre. Innnzitutto, osservimo che per ogni x D l successione numeric {f n x} è di Cuchy: per ogni ε > 0, per ipotesi esiste nε tle che f n f m < ε per ogni n, m nε, e quindi f n x f m x f n f m < ε n, m nε. Quindi, per il criterio di convergenz di Cuchy per successioni di numeri reli, {f n x} è convergente; indichimo con fx il suo ite. Abbimo dunque mostrto che f n f puntulmente. Rest d provre che l convergenz è uniforme. 7

8 Fissimo ε > 0. Poiché l successione è uniformemente di Cuchy, esiste un intero nε, dipendente solo d ε, tle che cioè f n x f m x < ε n, m nε, x D, f n x ε < f m x < f n x + ε n, m nε, x D. Or pensimo x D, n nε fissti. L successione numeric {f m x : m = 0, 1,...} converge fx per m, e ogni termine dell successione {f m x} st nell intervllo [f n x ε, f n x + ε] intervllo che non dipende d m, e che quindi rest fermo se m. Quindi, pssndo l ite per m, f n x ε fx f n x + ε, cioè f n x fx ε. Questo vle per ogni x D e per ogni n nε, e così bbimo dimostrto l convergenz uniforme. 4 Il ite uniforme di funzioni continue è un funzione continu Teorem 4.1. Si f n : D R un successione di funzioni continue in D. Supponimo che {f n } converg uniformemente d un funzione ite f. Allor f è continu in D. Dimostrzione. Fissimo un punto x 0 D e ε > 0. Poiché f n f uniformemente, esiste nε tle che f n f < ε 3 n nε. Scrivimo, per brevità, n = nε. Dll disuguglinz tringolre, per ogni x D fx fx 0 fx f n x + f n x f n x 0 + f n x 0 fx 0, e sppimo che il primo e il terzo termine dell somm sono < ε/3. funzione f n è continu per ipotesi, quindi esiste δ > 0 tle che L f n x f n x 0 < ε 3 x D t.c. x x 0 < δ. Perciò sommndo i tre termini si h fx fx 0 < ε x D t.c. x x 0 < δ. 8

9 Abbimo mostrto che per ogni ε > 0 possimo trovre un δ > 0 per cui fx fx 0 < ε per tutti gli x D x 0 δ, x 0 + δ; in ltre prole, bbimo provto che f è continu in x 0, per qulsisi punto x 0 di D. Corollrio 4.2 Scmbio dei segni di ite. Se un successione di funzioni continue {f n } converge uniformemente, llor f n x = f nx, x x 0 x x 0 cioè i segni di ite possono essere scmbiti. Dimostrzione. Si fx := f n x l funzione ite. Per ogni n, x x0 f n x = f n x 0 perché f n è continu. Quindi f n x = f nx 0 = fx 0. x x 0 D ltr prte, x x 0 f nx = x x 0 fx = fx 0 perché, come provto nel teorem precedente, f è continu. Corollrio 4.3 Scmbio dei segni di ite e di sommtori. Se l serie fn converge uniformemente e le f n sono tutte funzioni continue, llor f n x = f n x, x x 0 x x 0 cioè i segni di ite e di sommtori possono essere scmbiti. Dimostrzione. Se f n converge uniformemente, l successione delle somme przili {s n } converge uniformemente ll funzione somm, che indichimo s. Per ogni n, s n è un funzione continu, essendo l somm delle funzioni continue f 0, f 1,..., f n. Perciò, dl corollrio precedente, Il termine sinistr è x x 0 s n x = x x 0 s nx. s n x = x x 0 = = x x 0 n f k x n f k x x x 0 f k x, x x 0 9

10 mentre quello destr è s nx = x x 0 x x 0 n = f k x, x x 0 e l tesi è provt. Abbimo usto il ftto che x x 0 n f k x f k x = f 0 x + f 1 x f n x x x 0 = f 0 x + f 1 x f n x x x 0 x x 0 x x 0 n = f k x, x x 0 vero perché si trtt di un somm di un numero finito di termini. 5 Convergenz totle e criterio di Weierstrss per le serie Definizione 5.1. L serie di funzioni f n, con f n : D R, si dice totlmente convergente in D se l serie numeric delle sup-norme converge, cioè se f n <. Teorem 5.2 Criterio di Weierstrss per le serie di funzioni. Si f n : D R un successione di funzioni. Supponimo che f n M n n 0, per certi M n 0, e supponimo che l serie numeric M n si convergente, cioè M n <. Allor l serie di funzioni f n converge uniformemente in D. 10

11 Dimostrzione. Per dimostrre l convergenz uniforme dell serie, dobbimo dimostrre che l successione {s n } delle somme przili converge uniformemente in D. Grzie l criterio di Cuchy, tle scopo ci bst provre che {s n } è un successione uniformemente di Cuchy; dimostrimolo. Fissimo ε > 0. Per ipotesi, l serie numeric M n converge, cioè l successione delle sue somme przili converge, e quindi è di Cuchy. Perciò esiste un intero nε tle che n M k m M k = m k=n+1 M k < ε n, m nε, m > n. Allor, usndo l disuguglinz tringolre il modulo di un somm è dell somm dei moduli, per ogni x D m k=n+1 f k x m k=n+1 f k x m k=n+1 f k m k=n+1 M k < ε. Il criterio di Weierstrss ci dice quindi che l convergenz totle implic l convergenz uniforme se l serie f n converge totlmente, si pplic il teorem precedente con M n = f n. Come mostr l esercizio 6, il vicevers del teorem 5.2 non è vero: un serie di funzioni f n può convergere uniformemente senz che necessrimente l serie numeric delle sup-norme f n si convergente. 6 Pssggio l ite sotto il segno di integrle Teorem 6.1 Pssggio l ite sotto il segno di integrle. Si f n : [, b] R un successione di funzioni Riemnn-integrbili sull intervllo chiuso e itto [, b]. Supponimo che f n converg uniformemente in [, b] ll funzione f. Allor nche f è Riemnn-integrbile in [, b], e f nx dx = fx dx = f n x dx. Dimostrzione. Si ε > 0. Per l definizione di convergenz uniforme pplict per ε/b, esiste un intero n tle che f n f ε/b per ogni n n. Dunque f n x ε b fx f nx + ε b x [, b], n n. 3 11

12 Considerimo un prtizione P dell intervllo [, b], cioè un insieme di un certo numero di punti P = {x 0, x 1,..., x N }, con = x 0 < x 1 < x 2 <... < x N = b. L prtizione suddivide [, b] negli N intervlli I 1 := [x 0, x 1 ], I 2 := [x 1, x 2 ],..., I N := [x N 1, x N ]. Su ciscun intervllo I k, k = 1,..., N, considerimo il sup delle funzioni f n e f: dll 3 si ottiene sup f n x ε x I k b sup fx x I k sup f n x x I k Pssndo ll inf su I k invece del sup, l 3 dà inf f n x ε x I k b inf fx inf f n x x I k x I k + ε b n n. 4 + ε, n n. 5 b Moltiplichimo ciscun termine dell 4 per l lunghezz dell intervllo I k, cioè per l k := x k x k 1 : sup f n x l k ε x I k b l k Sommndo tutti i termini si ottiene sup fx l k x I k sup f n x l k + ε x I k b l k n n. N sup f n x l k ε x I k b k=1 N k=1 l k N sup fx x I k k=1 k=1 l k N sup f n x l k + ε x I k b N l k, k=1 cioè perché Sf n, P ε Sf, P Sf n, P + ε n n, 6 N l k = x 1 x 0 + x 2 x 1 + x 3 x x N x N 1 k=1 = x N x 0 = b, 12

13 e per l definizione di somm integrle superiore reltiv ll prtizione P. Fcendo gli stessi pssggi sull 5 invece che sull 4 si ottiene l stess disuguglinz per le somme integrli inferiori, sf n, P ε sf, P sf n, P + ε n n. 7 Tutto questo vle per ogni prtizione di [, b]. Or, per ipotesi f n è Riemnnintegrbile per ogni n, cioè inf Sf n, P = sup sf n, P =: P P f n x dx l inf delle somme integrli superiori ftto su tutte le prtizioni di [, b] e il sup delle somme integrli inferiori ftto su tutte le prtizioni di [, b] coincidono, e il loro vlore si chim l integrle di f n su [, b]. Dunque pssndo ll inf su tutte le prtizioni nell 6 si ottiene f n x dx ε inf P Sf, P mentre pssndo l sup su tutte le prtizioni nell 7 si h f n x dx ε sup sf, P P f n x dx + ε n n, 8 f n x dx + ε n n. 9 I due numeri inf P Sf, P e sup P sf, P si trovno entrmbi nell intervllo centrto nel punto f nx dx e rggio ε, quindi l loro distnz è l più 2ε, inf Sf, P sup sf, P 2ε. P P Quest disuguglinz vle per ogni ε > 0, e quindi inf P Sf, P = sup sf, P. P Questo signific che f è Riemnn-integrbile su [, b], e, per definizione di integrle, fx dx := inf P Sf, P = sup sf, P. P Rest d provre che f n f qundo n. uguglinz, tornimo ll 8 e riscrivimol: All luce dell ultim f n x dx ε fx dx f n x dx + ε n n. 13

14 In ltre prole, fissto ε > 0, bbimo trovto un intero n tle che f n x dx fx dx ε n n, che è proprio il ite desiderto. Osservzione 6.2. Con l ipotesi ggiuntiv che f n si continu per ogni n, il teorem 6.1 può essere dimostrto in modo molto più semplice: f n f uniformemente, quindi f è continu per il teorem 4.1, e dunque è integrbile su [, b]; poi f n x dx e l ultimo termine 0 qundo n. b fx dx = f n x fx dx f n x fx dx f n f dx = b f n f Il teorem di pssggio l ite sotto il segno di integrle non può essere esteso lle funzioni integrbili in senso generlizzto: se un successione di funzioni {f n } integrbili in senso generlizzto converge uniformemente un funzione ite f, può ccdere che f non si integrbile in senso generlizzto, come mostrto dll esercizio 7, oppure che lo si, m fx dx fn x dx, come mostr l esercizio 8. D qunto finor provto segue il seguente risultto sullo scmbio dei segni di integrle e di sommtori. Corollrio 6.3 Integrzione di un serie termine termine. Si f n : [, b] R integrbile per ogni n, e supponimo che l serie f n converg uniformemente in [, b]. Allor l somm dell serie è un funzione integrbile, e f n x dx = cioè l serie può essere integrt termine termine. f n x dx, 14

15 Dimostrzione. Per ipotesi, l successione delle somme przili s n = n f k converge uniformemente ll funzione somm, che indichimo s. Per ogni n, s n è integrbile in qunto somm di un numero finito di funzioni integrbili. Per il teorem 6.1, s è integrbile in [, b] e sx dx = Per l proprietà di dditività dell integrle, s n x dx = n f k x dx = s n x dx. 10 n f k x dx si noti che qui l somm h un numero finito di termini, per cui 10 si riscrive: n sx dx = f k x dx. Questo signific che l serie numeric n f nx dx è un serie per cui l successione delle somme przili converge, cioè è un serie convergente, che converge ll somm sxdx. In ltre prole, 7 Derivzione sx dx = f n x dx. Come mostr l esercizio 3, l convergenz uniforme non bst grntire l derivbilità dell funzione ite, né l convergenz delle derivte: occorrono ipotesi più forti. Teorem 7.1 Pssggio l ite sotto il segno di derivt. Si f n : [, b] R di clsse C 1, cioè derivbile con f n continu, per ogni n. Supponimo che l successione delle derivte {f n} converg uniformemente in [, b], e che esist un punto x 0 [, b] per cui l successione numeric {f n x 0 } converge. Allor f n converge uniformemente in [, b] d un funzione f di clsse C 1, e f x = f nx x [, b] l derivt del ite è il ite delle derivte. 15

16 Dimostrzione. Indichimo con h l funzione ite dell successione {f n}, e c il ite dell successione numeric {f n x 0 }. Dl teorem fondmentle del clcolo integrle, f n x = f n x 0 + x x 0 f nt dt x [, b]. Per il teorem 6.1, x x f nt dt = x 0 ht dt, x 0 mentre f n x 0 c, quindi per ogni x [, b] esiste il ite f nx = f n x 0 + x f nt dt = c + x 0 Dunque f n converge puntulmente ll funzione ite fx := c + x x 0 ht dt. x x 0 ht dt. Mostrimo che l convergenz f n f è uniforme: per ogni x [, b], f n x fx = = f n x 0 + x f n x 0 c + x 0 f nt dt c x x 0 x x ht dt x 0 f nt ht dt f n x 0 c + f n t ht dt x 0 x f n x 0 c + f n h dt x 0 f n x 0 c + b f n h, per cui, prendendo il primo e l ultimo termine dell disuguglinz e pssndo l sup sugli x [, b], f n f f n x 0 c + b f n h. Il termine destr tende zero per n, quindi f n f 0, cioè f n f uniformemente. Infine, h è continu per il teorem 4.1, quindi f è derivbile, l su derivt è h e perciò f è di clsse C 1, e f = h = f n. 16

17 Il teorem 7.1 è flso se si toglie l ipotesi che esist un punto x 0 per cui f n x 0 converge esercizio 15. Come conseguenz del teorem, vle il seguente risultto per lo scmbio dei segni di derivzione e di sommtori. Corollrio 7.2 Derivzione di un serie termine termine. Si f n : [, b] R di clsse C 1 per ogni n. Supponimo che esist un punto x 0 [, b] per cui l serie numeric f n x 0 converge, e che l serie delle derivte f n converg uniformemente su [, b]. Allor l serie f n converge uniformemente in [, b], l somm dell serie è un funzione s di clsse C 1, e s x = f n x = f nx x [, b], l derivt dell serie è l serie delle derivte. Dimostrzione. Considerre l successione delle somme przili e pplicre il teorem Serie di potenze Definizione 8.1. Un serie di potenze centrt nel punto x 0 R è un serie di funzioni f nx in cui f 0 x = 0, f n x = n x x 0 n n 1, e gli n sono numeri reli, detti i coefficienti dell serie. Un serie di potenze centrt in un punto x 0 si può scrivere come serie di potenze centrt in zero ponendo y = x x 0 : n x x 0 n = n y n. Per questo motivo itimo il nostro studio lle serie di potenze centrte in zero. Scritt esplicitmente, un serie di potenze centrt in zero è l serie n x n = x + 2 x x Definizione 8.2. Dicimo insieme di convergenz dell serie di potenze n x n l insieme A dei punti in cui l serie converge, A := { x R : n x n 17 } è serie convergente.

18 Dicimo rggio di convergenz dell serie R := sup x. x A Notimo che in x = 0 ogni serie di potenze converge: tutti i termini di indice n 1 sono nulli, ogni somm przile s n x = x+...+ n x n si riduce l solo termine 0, perciò l serie converge d 0. Dunque A contiene sempre lmeno il punto x = 0, e quindi A non è un insieme vuoto. Questo rende sensto considerre il sup nell definizione del rggio di convergenz. Or mostrimo che A è un intervllo centrto in zero di rggio R eventulmente con R = 0 o R =. Teorem 8.3. Dt l serie di potenze nx n, si verific un delle tre lterntive seguenti: i R = 0 e A = {0}; ii 0 < R < e R, R A [ R, R], cioè A è uno di questi quttro intervlli: R, R, [ R, R, R, R], [ R, R]; iii R = e A = R. Dimostrzione. i Supponimo che R = 0. Abbimo già osservto che 0 A; se A contenesse nche qulche ltro punto x 0 0, vremmo R = sup x A x x 0 > 0, mentre invece R = 0. Quindi A = {0}. ii Supponimo che 0 < R <. Mostrimo che R, R A. Si x R, R. Allor x < R, e, per definizione di sup, esiste un punto x 0 A tle che x < x 0 se questo x 0 non esistesse, vremmo che ogni punto di A h modulo x, e llor srebbe R = x, mentre invece x < R. Siccome x 0 A, l serie n x n 0 è un serie numeric convergente, dunque l successione { n x n 0 } tende zero per n. Quindi è itt, cioè esiste un numero M > 0 tle che Allor n x n = n x n 0 M n 0. n x 0 n x n x 0 n x n M x 0 e l ultim serie converge perché è un serie geometric di rgione x / x 0, che è < 1. Questo mostr che nx n è un serie numeric ssolutmente convergente, e quindi convergente. Di conseguenz x st nell insieme dei 18

19 punti in cui l serie converge, cioè x A. Abbimo provto che ogni x R, R pprtiene d A, cioè R, R A. L ltr inclusione è immedit: se x 0 A, llor x 0 sup x A x = R, e quindi x 0 R, cioè x 0 [ R, R]. Questo prov che A [ R, R]. Ricpitolndo, tutti i punti x di modulo x < R stnno in A, tutti quelli di modulo x > R non pprtengono d A, e gli unici punti per i quli non sppimo dire se stnno dentro o fuori d A sono quelli di modulo = R, cioè i due punti R e R. Le quttro possibilità per ±R di pprtenere o meno d A determinno i quttro intervlli dell ii. iii Supponimo che R =. Mostrimo che A = R. Si x R. Per definizione di sup, esiste x 0 A tle che x < x 0 se così non fosse, ogni punto di A vrebbe modulo x, quindi R srebbe <, flso. Proseguendo come l punto ii, si prov che l serie converge in x. Quindi l serie converge in ogni x R. Il criterio del rpporto e quello dell rdice per serie numeriche forniscono un criterio utile per determinre il rggio di convergenz di un serie di potenze: Teorem 8.4. Supponimo che l successione numeric n+1 / n, oppure l successione numeric n n, bbi ite l, con 0 l. Allor l serie di potenze n x n h rggio di convergenz 0 se l =, R = 1/l se 0 < l <, se l = 0. Dimostrzione. Supponimo che n+1 / n l. Considerimo il ite dei rpporti per l serie n x n con x 0: n+1 x n+1 n+1 n x n = x = l x. n Applichimo il criterio del rpporto: se l x < 1 l serie converge, mentre se l x > 1 l serie non converge. Vedimo i tre csi per l. Se l =, llor l x = per ogni x 0, l serie non converge in nessun punto x 0, e quindi A = {0}, R = 0. Se 0 < l <, l serie converge nei punti x di modulo x < 1/l e non converge nei punti di modulo x > 1/l. Quindi 1/l, 1/l A [ 1/l, 1/l], A è un intervllo di estremi ±1/l, e llor, per qunto provto nel teorem precedente, 1/l = R. 19

20 Se l = 0, llor l x = 0 per ogni x 0, quindi l serie converge in ogni punto x R, A = R, e R =. Per il criterio dell rdice si procede esttmente llo stesso modo. Teorem 8.5. Si n x n un serie di potenze con rggio di convergenz R, con 0 < R. Allor l serie converge totlmente sull intervllo [ ρ, ρ], per ogni ρ < R. Dimostrzione. Si ρ < R. Per ogni n, n x n [ ρ,ρ] = sup n x n = n ρ n ; x [ ρ,ρ] dobbimo provre che l serie delle sup-norme n ρ n converge. Fissimo r tle che ρ < r < R. Siccome r R, R, l serie converge in x = r, quindi l successione { n r n } è infinitesim, e dunque itt, n r n M n. Di conseguenz, essendo ρ/r < 1, n ρ n = n r n ρn r n M ρ/r n <. Questo prov che l serie converge totlmente su [ ρ, ρ]. L convergenz totle implic l convergenz uniforme, quindi i teoremi di continuità dell funzione somm e di integrzione termine termine visti in precedenz si pplicno lle serie di potenze sugli intervlli [ ρ, ρ], per ogni ρ < R. Per l derivzione termine termine dobbimo proseguire l nostr nlisi. Definizione 8.6. Dt un serie di potenze n x n, si dice serie derivt l serie di potenze n=1 n n x n 1. L serie derivt è l serie che ottenimo se derivimo un serie termine termine senz studirne, per il momento, l convergenz: se l serie di prtenz è x + 2 x x , l su serie derivt è x x x Notimo che l serie derivt prte dll indice n = 1 il termine di indice n = 0 è nullo, perché è l derivt dell costnte 0 dell serie di prtenz. Ricordimo un ite, già visto in Anlisi 1, che ci srà utile nell dimostrzione del teorem che segue. Lemm 8.7. Si 0 < p < 1. Allor np n 0 per n. 20

21 Dimostrzione. np n = ne logpn = ne n log p n n = = e n log p Applicndo de l Hospitl, perché log1/p > 0. n = en log1/p e n log1/p. 1 e n log1/p log1/p = 0 Teorem 8.8. Un serie di potenze e l su serie derivt hnno lo stesso rggio di convergenz. Dimostrzione. Considerimo un serie di potenze nx n, e si R il suo rggio di convergenz, A il suo insieme di convergenz. Si R il rggio di convergenz dell serie derivt, n=1 n nx n 1, e A il suo insieme di convergenz. Dobbimo provre che R = R. 1 Cso 0 < R <. Provimo che R, R A. 0 A utomticmente. Si x R, R, x 0. Fissimo ρ tle che x < ρ < R. Dl lemm precedente, l successione n x/ρ n è infinitesim, e dunque itt, n x n M n 1. ρn Dl teorem 8.5, sppimo che n ρ n <. Quindi n=1 n n x n 1 = 1 x M x n x n ρ n n ρ n n ρ n <. n=1 n=1 Questo prov che l serie derivt converge in x, cioè x A. dimostrto che R, R A. Quindi Abbimo R = sup x sup x = R, x A x R,R R R. Or provimo che R non può essere > R. Supponimo inftti che si R > R. Fissimo ρ tle che R < ρ < R. Dl teorem 8.5 pplicto ll serie derivt, n n x n 1 [ ρ,ρ] = n=1 21 n n ρ n 1 <. n=1

22 Quindi n ρ n = 0 + n ρ n = 0 + ρ 0 + ρ n=1 n ρ n 1 n=1 n n ρ n 1 <. n=1 Perciò nρ n converge, e ρ A. M A [ R, R], quindi ρ R, ssurdo. Di conseguenz, R non può essere > R, e llor R = R. 2 Cso R = 0. Se R > R, ripercorrendo l second prte del punto 1 rrivimo ll stess contrddizione. Quindi R = R = 0. 3 Cso R =. L prim prte del punto 1 continu vlere, e prov che l serie derivt converge in ogni punto di R, quindi A = R, e R = = R. Corollrio 8.9. Si f l serie di potenze fx := n x n, e supponimo bbi rggio di convergenz R > 0. Allor f è derivbile in R, R, e l derivt dell serie è l serie derivt. Questo vle per le derivte di ogni ordine, quindi f è un funzione di clsse C in R, R. L derivt k-sim di f è l serie di funzioni f k x = n=k n! n k! n x n k. 11 I coefficienti k e le derivte dell f in zero sono legti dll relzione f k 0 = k! k k 0. Di conseguenz l serie f coincide con il suo sviluppo in serie di Tylor, fx = f n 0 n! x n x R, R. Dimostrzione. Il teorem precedente prov che si f si l su serie derivt sono convergenti su R, R. Applichimo il teorem 8.5 ll serie derivt: l serie derivt converge totlmente, e quindi uniformemente, su 22

23 ogni intervllo [ ρ, ρ], ρ < R. Allor, per il corollrio 7.2, l serie f è di clsse C 1 su [ ρ, ρ], e si può derivre termine termine, ottenendo f x = n n x n 1. n=1 Questo vle per ogni x [ ρ, ρ], per ogni ρ < R, dunque vle per ogni x R, R. Mostrimo, per induzione, che f è di clsse C k per ogni k, e che vle l formul 11. Per k = 1 l bbimo ppen dimostrto. Supponimolo vero per k, e provimo che llor è vero nche per k + 1. Lo stesso rgionmento usto qui sopr per f si pplic ll funzione f k che è l serie di potenze 11 per ipotesi induttiv. Quindi f k è di clsse C 1 e derivbile termine termine. Usndo l ipotesi induttiv e osservndo che il termine di indice n = k è un costnte, quindi h derivt null, f k+1 x = f k x = d n! dx n k! n x n k = = n=k n=k+1 n=k+1 n! n k! n n k x n k 1 n! n k + 1! n x n k+1, che è proprio l formul 11 per k + 1 invece che k. Dunque, per induzione, f C k per ogni k, cioè f C su R, R, e l formul 11 vle per ogni k 0, per ogni x R, R. L formul 11 per x = 0 dà f k 0 = k! k. Sostituendo n = f n 0/n! nell serie di prtenz si h l serie di Tylor. Abbimo provto che un serie di potenze è un funzione di clsse C che coincide con l su serie di Tylor su R, R. Se f è un funzione di clsse C, si può scrivere l su serie di Tylor, cioè l serie di potenze che h per coefficienti i vlori f n 0/n!. In generle, non si può dire se quest serie converge in qulche ltro punto oltre x = 0, e, nel cso in cui l serie converg in un certo punto x 0, non si può nemmeno dire se converge fx o d un ltro vlore: vedi l esercizio 26. Se però tutte le derivte di f soddisfno un stim di tipo esponenzile, 23

24 come l disuguglinz 12 che segue, llor l serie di Tylor converge, e converge ll f stess. Prim di enuncire e dimostrre il risultto, ricordimo un ite di Anlisi 1 che useremo nell dimostrzione. Lemm Si c > 0. Allor c n /n! 0 per n. Dimostrzione. L serie n=1 cn /n! è convergente per il criterio del rpporto, quindi l successione dei suoi termini è infinitesim. Teorem 8.11 Criterio di sviluppbilità in serie di Tylor. Si f : r, r R un funzione di clsse C sull intervllo r, r, r > 0. Supponimo che esistno due numeri positivi A, B > 0 tli che f n r,r AB n n Allor f è sviluppbile in serie di Tylor in r, r, cioè fx = f n 0 n! x n x r, r. Dimostrzione del teorem f è di clsse C, cioè è di clsse C n per ogni n. Vle llor l formul di Tylor con resto in form integrle: fx = n f k 0 k! x k + 1 n! t n f n+1 tx dt x n+1. Dunque l differenz tr fx e l somm przile n-esim dell serie di Tylor s n x := n f k 0/k! x k è fx s n x = t n f n+1 tx dt x n+1 n! 1 n! 1 n! = 1 n! t n f n+1 tx dt x n+1 f n+1 r,r dt r n+1 f n+1 r,r r n+1 1 n! ABn+1 r n+1 = ABr Brn n!, 24

25 e, per il lemm precedente, fx s nx = 0. Questo prov che l serie di potenze converge in ogni punto x r, r, e converge l numero fx, f k 0 k! x k = n f k 0 k! cioè f coincide con l su serie di Tylor su r, r. x k = s nx = fx, 25

26 9 Esercizi Alcuni di questi esercizi sono trtti di libri di testo citti ll inizio. Esercizio 1. Il ite puntule di un successione di funzioni continue può essere non continuo. Si f n : [ 1, 1] R, n 1, 1 per 1 x 1 n, f n x = nx per 1 n x 1 n, 1 per 1 n x 1. Disegnre il grfico di f 1, f 2, f 3, f 4. b Provre che l successione converge puntulmente in [ 1, 1], clcolndone il ite. Verificre che l funzione ite non è continu. Verificre che, per ogni ε > 0, ogni intero nε, x che soddisf l definizione di convergenz puntule dipende non solo d ε, m nche dl punto x [ 1, 1]. c Provre che l successione non converge uniformemente in [ 1, 1]. Verificre che non è possibile trovre un intero nε come richiesto dll definizione di convergenz uniforme che vd bene per tutti i punti x [ 1, 1]. d Trovre tutti gli intervlli [, b] [ 1, 1] in cui l convergenz è uniforme. Esercizio 2. L somm di un serie puntulmente convergente di funzioni continue può essere non continu. Si f n : R R, f n x = x x 2, n = 0, 1, 2,... n Provre che l serie converge puntulmente, clcolndone l somm sx. b Verificre che s non è continu, e che in prticolre f k x x 0 x 0 f k x. Esercizio 3. Il ite uniforme di un successione di funzioni derivbili può essere non derivbile. Si f n : R R, 1 f n x = n + x2, n = 1, 2,... Provre che l successione converge uniformemente, e clcolrne il ite. b Provre che l successione delle derivte {f n} converge puntulmente, e clcolrne il ite. c Provre che {f n} non converge uniformemente. d Trovre tutti gli intervlli [, su cui {f n} converge uniformemente. 26

27 Esercizio 4. Integrle e ite non si scmbino. Si f n : [0, 1] R, f n x = nx1 x 2 n, n = 1, 2,... Provre che l successione converge puntulmente f = 0. b Clcolre l sup-norm f n = sup x [0,1] f n x. Dimostrre che {f n } non converge uniformemente su [0, 1], provndo che f n =. c Si 0, 1. Clcolre l sup-norm f n [,1] = sup x [,1] f n x. Provre che f n 0 uniformemente su [, 1]. d Clcolre verificndo che f n x dx f n x dx, 1 0 f nx dx. L esercizio che segue è stto przilmente svolto nell Esempio 1. Esercizio 5. Si f n : R R, n = 0, 1,..., l funzione crtteristic dell intervllo [n, n + 1], cioè { 1 se x [n, n + 1], f n x = 0 se x / [n, n + 1]. Disegnre il grfico di f 1, f 2, f 3, f 4, f 5. b Provre che l successione converge puntulmente f = 0. c Provre che l successione non converge uniformemente su R. d Provre che l successione converge uniformemente sull semirett, b], per ogni b R. e Considerimo l successione delle somme przili s n = n k=1 f k. Disegnre il grfico di s 1, s 2, s 3, s 4, s 5. f Provre che l serie f n converge puntulmente. Clcolre l funzione somm s. g Provre che l serie f n converge uniformemente sull semirett, b], per ogni b R. h Provre che l serie f n non converge uniformemente su R. L esercizio seguente mostr che nel criterio di Weierstrss di convergenz uniforme per serie di funzioni l impliczione è solo in un direzione non è un se e solo se. 27

28 Esercizio 6. Convergenz uniforme senz convergenz totle. Si f n : [1, + R, n = 1, 2,..., { 1/n se x [n, n + 1 f n x = 0 ltrimenti. Disegnre il grfico di f 1, f 2, f 3, f 4, f 5. b Provre che l successione converge uniformemente f = 0. c Si s n = n k=1 f k. Disegnre il grfico di s 1, s 2, s 3, s 4, s 5. f Provre che l serie f n converge uniformemente su R. Scrivere l funzione somm. g Provre che l serie f n non converge totlmente. I due esercizi che seguono mostrno che il teorem di pssggio l ite sotto il segno di integrle non può essere esteso lle funzioni integrbili in senso generlizzto: se un successione di funzioni {f n } integrbili in senso generlizzto converge uniformemente un funzione ite f, può ccdere che f non si integrbile in senso generlizzto esercizio 7, oppure che lo si, m fx dx fn x dx esercizio 8. Esercizio 7. Si f n : [1, + R, n = 1, 2,..., { 1 f n x = x per x [1, n], 0 per x > n. Disegnre il grfico di f 1, f 2, f 3, f 4. b Verificre che f n è Riemnn-integrbile in senso generlizzto su [1,, e clcolre 1 f n x dx := b 1 f n x dx. c Provre che l successione converge uniformemente in R, e clcolre l funzione ite f. d Provre che f non è Riemnn-integrbile in senso generlizzto su [1,, verificndo che b 1 fx dx = b log b =. Esercizio 8. Si f n : R R, n = 1, 2,..., { 1 f n x = n se x [n, 2n], 0 ltrimenti. 28

29 Disegnre il grfico di f 1, f 2, f 3, f 4. b Provre che f n 0 uniformemente in R. c Verificre che f n è Riemnn-integrbile in senso generlizzto su [0,, con per cui 0 f n x dx := b 0 f n x dx 0 f n x dx = 1 n 1, Esercizio 9. Si f n : R R, n = 0, 1,..., f n x = x 2 e n2 x 2. 0 f nx dx. Provre che l successione converge uniformemente su R. b Provre che l serie f n converge totlmente. Esercizio 10. Si f n : [0, R, n = 1, 2,..., f n x = n n + x. Provre che l successione converge puntulmente su [0,, e clcolre l funzione ite f. b Clcolre f n f, e provre che f n non converge uniformemente f su [0,. c Si b > 0. Clcolre f n f [0,b], e provre che f n f uniformemente su [0, b]. Esercizio 11. Si f n : [0, 1] R, n = 1, 2,..., f n x = nx 1 + nx 2. Provre che l successione converge puntulmente su [0,, e clcolre l funzione ite f. b Clcolre f n f, e provre che f n non converge uniformemente f su [0, 1]. c Si > 0. Clcolre f n f [,1], e provre che f n f uniformemente su [, 1]. d Per x [0, 1], clcolre F n x := x 0 f n t dt. Mostrre che F n 0 uniformemente su [0, 1]. 29

30 Esercizio 12. Si f n : R R, n = 1, 2,..., f n x = sinnx n α, α 0. Per quli vlori di α 0 l successione converge uniformemente su R? b Per quli vlori di α 0 l serie f n converge totlmente su R? Esercizio 13. Si f n : R R, n = 1, 2,..., f n x = 1n n + x 2. Provre che f n 0 uniformemente su R. b Provre che l serie f n non converge totlmente su R. c Provre che l serie f n converge uniformemente su R. Esercizio 14. Si f n : R R, f n x = x n /n!, n = 0, 1,.... Mostrre che l serie f n converge uniformemente in [ R, R], per ogni R > 0. b Verificre che per ogni R > 0 R integrndo l serie termine termine. 0 e x dx = e R 1, L esercizio che segue mostr che nel teorem di pssggio l ite sotto il segno di derivt l ipotesi di convergenz in un punto non può essere rimoss. Esercizio 15. Costruire un successione di funzioni f n : R R derivbili tle che l successione delle derivte {f n} si uniformemente convergente su R, m l successione stess non converg. Esercizio 16. Si consideri l serie di funzioni n= n 2 x, x 0. Per quli vlori di x l serie converge totlmente? b In quli intervlli l serie f n converge uniformemente? c In quli intervlli l convergenz non è uniforme? d Qulor l serie converg, l funzione somm è continu? e L funzione somm è itt? 30

31 Esercizio 17. Considerimo l serie di funzioni 1 n x2 + n n 2. n=1 Provre che l serie converge uniformemente in ogni intervllo itto. b Provre che l serie non converge totlmente per nessun vlore di x. Esercizio 18. Si f n x = x, x R, n = 1, 2, nx2 Dimostrre che l successione converge uniformemente, e clcolrne l funzione ite f. b Provre che l uguglinz f x = f nx è corrett per x 0, m errt se x = 0. Esercizio 19. Si f n : [0, 1] R, n = 1, 2,..., f n x = n 2 x n 1 x. Provre che l successione {f n } converge puntulmente, clcolndone l funzione ite f. b Dimostrre che l convergenz non è uniforme su [0, 1], clcolndo il ite f n f. c Provre che f n f uniformemente su [0, b], per ogni b 0, 1. d Clcolre il ite 1 0 f n x dx, verificndo che è un vlore diverso d 1 0 fx dx. Esercizio 20. Si f : [0, R di clsse C 1, e ϕ n : [0, R, n = 1, 2,..., ϕ n x := x 0 ft cosnt dt. Provre che ϕ n 0 uniformemente sull intervllo [0, b], per ogni b > 0. [Suggerimento: integrre per prti.] 31

32 Esercizio 21. Si f n : [0, 2] R, n = 1, 2,..., f n x = 1 + x n 1/n. Clcolre il ite puntule fx = f n x per ogni x [0, 2]. b Provre che f n f uniformemente su [0, 2]. Esercizio 22. Si b > 0, f n : [0, b] R, n = 1, 2,..., f n x = n log 1 + x. n Clcolre il ite puntule f dell successione. b Provre che f n f uniformemente su [0, b]. Si può frlo nche studindo l serie delle derivte f n e usndo il teorem di pssggio l ite sotto il segno di derivt. Esercizio 23. Si f n :, b R un successione che converge uniformemente ll funzione continu f sull intervllo, b R. Si {x n } un successione di punti di, b che converge d un punto x 0, b. Provre che f nx n = fx 0. Esercizio 24. Si f n : R R, n = 1, 2,..., 0 se x = 0, f n x = n n 2 x se 0 < x < 1 n, 0 se x 1 n. Disegnre il grfico di f 1, f 2, f 3, f 4. b Clcolre il ite puntule fx = f n x, per ogni x R. c Stbilire per quli vlori, b R, con < b, l successione converge uniformemente sull intervllo [, b]. d Clcolre 1 1 f n x dx. Stbilire se l successione numeric { 1 1 f n} h ite, e, in cso ffermtivo, dire se è vero che 1 1 f n x dx = fx dx. 1 1 e Provre che l serie f n converge puntulmente in R. 32

33 f Stbilire per quli vlori, b R, con < b, l serie converge totlmente sull intervllo [, b]. g Provre che sugli intervlli [, b] in cui l serie non converge totlmente, l serie non converge nemmeno uniformemente. h Provre che l funzione somm non è itt. Esercizio 25. Si 0 = 1, 1 = 2 = 3, 3 = 4 = 3 2, 5 = 6 = 3 3, 7 = 8 = 3 4, 9 = 10 = 3 5,... Clcolre il rggio di convergenz e l insieme di convergenz dell serie di potenze n x n. L esercizio seguente è l esempio clssico di un funzione di clsse C che non coincide con il suo sviluppo di Tylor: fx f n 0/n! x n per ogni x 0. Esercizio 26. Si f : R R, fx = { e 1/x2 se x 0, 0 se x = 0. Provre che f è di clsse C, mostrndo per induzione che l derivt n-esim è dell form f n x = p nx x αn e 1/x2 x 0, f n 0 = 0, per un certo polinomio p n x e un certo esponente α n, ed è continu. 33