Prestiti divisi. 1 I prestiti obbligazionari. 1.1 Introduzione

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1 Prestiti divisi 1 I prestiti obbligazionari 1.1 Introduzione Finora ci siamo occupati di prestiti indivisi (mutui in cui un unico soggetto (creditore o mutuante presta denaro ad un unico soggetto debitore (mutuatario. Nella pratica può accadere che per reperire liquidità, specie se di ingente dimensione, società ed enti pubblici ritengano opportuno ricorrere a prestiti obbligazionari, cioè prestiti il cui importo complessivo è frazionato (diviso in più parti (obbligazioni. Per l emittente, il prestito obbligazionario rappresenta un debito a medio-lungo termine nei confronti di più soggetti creditori (obbligazionisti. Le obbligazioni possono essere sottoscritte dai creditori, in sede di emissione del prestito, oppure possono essere acquistate sul mercato secondario. Gli obbligazionisti sono creditori di un unico soggetto debitore (l emittente, per importi rappresentati dalle obbligazioni in cui è stato frazionato il prestisto. L emittente ha l obbligo nei confronti di ogni creditore, di corrispondere un interesse (periodico o alla scadenza e di rimborsare il capitale di rimborso alla scadenza dell obbligazione o a scadenze periodiche prefissate nel piano di rimborso del prestito. L emissione del prestito prevede la formulazione di un programma nel quale devono essere indicati l ammontare del capitale sociale sottoscritto e versato dalla società che emette il prestito; l ammontare complessivo del prestito, la sua durata, la modalità di rimborso, il tasso di remunerazione (detto anche tasso di obbligazione, il numero e le caratteristiche tecniche delle obbligazioni emesse, specificando il valore nominale, il prezzo di emissione, il prezzo di rimborso e la modalità di pagamento delle cedole. Per maggiori dettagli si veda il par. 2: Valutazione dei titoli a reddito fisso in Mercato dei titoli a reddito fisso. Età dell obbligazione, vita residua, vita media residua Supponiamo che il piano di estrazione delle obbligazioni emesse sia prefissato in partenza, sia noto ed immutabile. Per ogni singola obbligazione vivente definiamo l età, la vita residua e la vita media residua. 1

2 L età di un obbligazione vivente è il tempo già trascorso dalla sua emissione. Per tale obbligazione la vita residua è la variabile casuale che misura il tempo durante il quale il titolo risulterà ancora in circolazione, prima della sua estrazione, cioè prima del suo rimborso. La vita media residua, che indichiamo con e k, è il valor medio della variabile casuale vita residua. Calcoliamo la vita media residua e k dell obbligazione di età k, trascorsi quindi k anni dall emissione del prestito. Supponiamo che siano state emesse N obbligazioni da rimborsare in n anni mediante estrazioni annuali a sorte di N 1, N 2,..., N n obbligazioni, rispettivamente agli anni 1, 2,..., n, rispettando il vincolo N = N 1 + N N n, cioè la somma delle obbligazioni estratte deve essere pari al numero delle obbligazioni emesse. Indichiamo con il numero delle obbligazioni viventi dopo la k-esima estrazione, avremo L 0 = N = N (N 1 + N N k, k (1, 2,..., n. Consideriamo una di tali obbligazioni e calcoliamo la probabilità t p k che essa sia ancora viva dopo l estrazione prevista t anni più tardi, cioè alla fine dell anno (k + t dall emissione. Dato che in ogni estrazione tutte le obbligazioni viventi hanno una comune probabilità di essere estratte (beninteso, a parità di taglio, risulta allora tp k = +t, mentre la probabilità t/1 q k che quell obbligazione sopravviva per t anni e venga estratta esattamente dopo un altro anno, cioè dopo (k + t + 1 anni dall emissione, vale t/1q k = N k+t+1. La vita media residua e k risulta allora e k = 1 Nk Nk (n k N n, k (0, 1,..., n. Facciamo un esempio. Acquisto oggi un obbligazione emessa 15 anni fa, al prezzo di 102. Il prestito è diviso in obbligazioni, ciascuna dal valore nominale di euro, cedole semestrali al 2% semestrale, valore di rimborso 104, estrazioni di 100 obbligazioni ogni anno. Calcola la vita media residua dell obbligazione acquistata. Oggi, delle obbligazioni emesse ne sono già state rimborsate = e ne restano da rimborsare 500, ogni anno 100 per i prossimi 5 anni. La probabilità che l obbligazione sia estratta tra 1, 2, 3, 4, 5 anni è pari ad 1 5 e quindi la vita media residua risulta essere = 3 anni. Tutti gli altri dati riportati nell esempio non servono. 2

3 2 Ammortamento di prestiti obbligazionari Mettiamoci nel caso più semplice in cui vengono emesse N obbligazioni, ognuna del valore nominale C e cedola annuale Ci. Il capitale da rimborsare a ciascuna delle N k obbligazioni da estrarre alla fine dell anno k, con k {1, 2,..., n}, è pari a c k, importo eventualmente variabile con k. Al termine dell anno k l emittente deve pagare: l importo C k = c k N k per rimborsare il capitale previsto a ciascuna delle N k obbligazioni estratte; l importo I k = (Ci 1 per pagare le cedole a ciascuna delle 1 obbligazioni ancora viventi alla precedente estrazione. La cedola Ci è l interesse semplice calcolato sul valore nominale C della singola obbligazione, dato il tasso d interesse i, conforme alla periodicità di pagamento. Al termine dell anno k l emittente paga l importo complessivo R k rata = C k + I k = c k N k + (Ci 1. quota capitale quota interessi La quota capitale C k misura l esborso necessario per ritirare dalla circolazione le N k obbligazioni il cui rimborso è programmato per la fine dell anno k, momento al quale il debito residuo si riduce in misura pari a CN k. La differenza (c k N k CN k deve essere quindi contabilizzata come minus- o plus-valenza patrimoniale. Brevemente illustriamo i metodi utilizzati per ammortizzare un prestito obbligazionario: il metodo italiano e il metodo francese con gestione dei residui. Metodo italiano Supponiamo che siano state emesse N obbligazioni, da rimborsare in n anni mediante estrazioni annuali. Calcoliamo la successione {N k } di interi positivi con somma N. Nota la successione {N k } delle obbligazioni estratte ogni anno e la successione {c k } dei capitali di rimborso, calcoliamo la successione delle quote capitali {C k } ; calcoliamo poi la successione delle obbligazioni viventi e a partire da quest ultima calcoliamo la successione delle quote interessi {I k } e poi quella delle rate {R k }. Metodo francese (con gestione dei residui L emittente rimborsa il prestito obbligazionario pagando la successione {R k } delle rate costanti con k. Mettiamoci nel caso più semplice: N obbligazioni emesse alla pari, tutte di un comune taglio, dal valore nominale C, tasso annuo d obbligazione i, cedole annuali, rimborso alla pari. Calcoliamo la rata annua costante necessaria per ammortizzare il prestito di importo NC. 3

4 Per la condizione di equità prospettiva sulle rate risulta R 1 vn i i = NC e quindi R = (NC 1 v n. Ci renderemo conto tra breve della pratica impossibilità che tutto quadri in modo che questa sia davvero la rata R = R 1 = R 2 = = R n da pagare ogni anno per ammortizzare il nostro debito. Dalla rata R 1 = R,che chiamiamo rata teorica del 1 anno, deduciamo l importo I 1 = (CiL 0 = (CiN destinato al pagamento delle prime cedole; resta così disponibile la quota capitale teorica C 1 = R I 1, con la quale rimborsiamo un numero N 1 di obbligazioni pari al massimo intero contenuto in C 1 /C, ( C1 N 1 =. C La rata pratica R 1 del 1 anno sarà pari alla somma tra la quota interessi I 1 e la quota capitale pratica C 1 = N 1 C. Rimane quindi un residuo pari a r 1 = R 1 R 1 = R R 1 = R I 1 C 1 = R (CiN N 1 C. Alla fine del 2 anno, aggiungiamo alla rata R il montante (1+ir 1 del residuo dell anno 1 ed otteniamo così la rata teorica calcoliamo poi l importo R 2 = R + (1 + ir 1 ; I 2 = (CiL 1 = (Ci(N N 1 e dedotto I 2 da R 2 ci resta disponibile C 2, la quota capitale teorica con la quale rimborsiamo N 2, il massimo numero intero di obbligazioni contenuto in ( C 2 /C. Calcoliamo ora la quota capitale pratica C 2 = N 2 C la cui somma con I 2 genera la rata pratica R 2 del 2 anno. Infine calcoliamo il residuo r 2 = R 2 R 2, differenza tra la rata teorica R 2 e la rata pratica R 2, il cui montante (1 + ir 2 si aggiunge ad R per ottenere la rata teorica R 3 del 3 anno. 4

5 Procediamo così di anno di anno fino all ultima scadenza. In questo modo, alla successione di n rate costanti di comune importo R sostituiamo la successione delle rate pratiche, calcolate con la procedura detta gestione dei residui. La rendita descritta dalle rate pratiche deve avere lo stesso valore attuale NC della rendita a rata R costante, garantendo così l equità dell operazione e il requisito di interezza richiesto sul numero N k di obbligazioni estratte. Facciamo un esempio. Un prestito suddiviso in obbligazioni, ciascuna dal valore nominale di 500 euro, è rimborsato in due anni con il metodo francese. Le obbligazioni prevedono cedole annue calcolate al 5, 5% annuo e sono rimborsate alla pari. Calcola le due rate pratiche. Il prestito ammonta a = euro. Calcoliamo le rate teoriche 0, 055 R = , , 07 euro. Al termine del primo anno occorre pagare le cedole a tutte le obbligazioni emesse. Ogni singola cedola ammonta a 500 0, 055 = 27, 50 euro, per cui la prima quota interessi I 1 = 27, = euro e quindi la prima quota capitale teorica è , = , 07 euro con la quale rimborsiamo , 07 = , obbligazioni. 500 La prima quota capitale pratica e la rispettiva rata pratica sono C 1 = = R 1 = = generando un residuo di , = 270, 07 euro. Al termine del secondo anno, aggiungo il montante del residuo alla rata teorica 270, 07 1, , e con questa somma posso pagare la seconda quota interessi I 2 = 27, 50 ( = 27, = che deduco dalla rata teorica ottenendo così la seconda quota capitale teorica = con la quale rimborso un numero di obbligazioni pari a = , 500 cioè tutte quelle in circolazione, per cui la seconda rata pratica è pari a R 2 = = euro. 5

6 3 Valore, nuda proprietà, usufrutto Valore, nuda proprietà, usufrutto del prestito Anche per i prestiti obbligazionari, come per quelli indivisi, si possono calcolare il valore W k (x del prestito all epoca k, la nuda proprietà T k (x e l usufrutto U k (x, grandezze calcolate al tasso di valutazione composto x. Definiamo ora il valore, la nuda proprietà e l usufrutto di una singola obbligazione. L usufrutto U k (x di un obbligazione di età k è il valore all anno k (cioè trascorsi k anni dall emissione dell obbligazione al tasso d interesse composto x, della rendita formata dalle future cedole che il possessore dell obbligazione incasserà fino all estrazione del titolo. In simboli U k (x = (Ci(1 v + 1 p k v p k v n k 1 p k v n k. Il possesore di un obbligazione vivente di età k è pure titolare di un altra rendita, anch essa aleatoria: quella descritta dai capitali di rimborso, nel senso che egli incasserà rispettivamente tra 1, 2,..., (n k anni i valori di rimborso c k+1, c k+2,..., c n, a seconda che il titolo sia estratto alla fine dell anno (k + 1, (k + 2,..., n, con le rispettive probabilità 0/1 q k, 1/1q k,..., n k 1/1q k. Ciò premesso, la nuda proprietà T k (x di un obbligazione di età k è il valore di tale rendita, sempre riferito all epoca k di valutazione, calcolato al tasso d interesse composto x: T k (x = = c k+1 v ( 0/1q k + ck+2 v 2 ( 1/1q k + + cn v n k ( n k 1/1q k = = c k+1 vn k+1 + c k+2 v 2 N k c n v n k N n. Infine, il valore dell obbligazione di età k è il valore W k (x della rendita aleatoria descritta da tutti i futuri capitali (cedole e capitali di rimborso che quel titolo consente di incassare prima del suo ritiro dalla circolazione. Ovviamente risulta W k (x = U k (x + T k (x. Facciamo un esempio: Un prestito obbligazionario prevede obbligazioni da rimborsare in 10 anni con il metodo italiano, ognuna dal valore nominale di euro, cedole annuali al tasso d interesse annuo del 4%, valore di rimborso euro. Calcola, al tasso d interesse annuo composto del 3%, la nuda proprietà, l usufrutto e il valore di un obbligazione vivente al termine del sesto anno. Ogni anno vengono rimborsate = obbligazioni e pagate le cedole a quelle circolanti fino a quel momento. L importo della cedola di ciascuna obbligazione è pari a , 04 = 80 euro. Al termine del sesto anno sono in circolazione = obbligazioni per cui la nuda proprietà calcolata al 3% annuo composto risulta 6

7 ( , , , = , , , 03 l usufrutto é pari a ( , , , e il valore è dato dalla somma di nuda proprietà e usufrutto 1 905, , 60 = 2 093, 61. 1, , , 60 7

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