Il traffico è un gioco?

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1 Il traffco è un goco? Gacomo Tomme Dpartmento d Matematca, Unverstà d Psa e-mal: tomme@dm.unp.t Introduzone Il ttolo potrebbe apparre provocatoro, ma n realtà è solo lo spunto per ntrodurre tem che voglamo trattare. Traffco e goco sono termn famlar a tutt, ma poch sanno che c sono schere d matematc, nformatc, ngegner ed economst che fanno rcerche su tal tematche. Bast pensare che lo studo del traffco (o flusso) su ret convolge dverse aree della matematca a partre dalla topologa (è famoso l problema de pont d Könngsberg) per arrvare a problem d estremo vncolato ed al calcolo delle varazon. La teora de goch è un approcco plurdscplnare che hacome scopo lo studo del comportamento umano e convolge, oltre a var aspett matematc, l'economa e le scenze socal. Il fondatore può essere consderato Von Neumann e l prmo fondamentale testo è Theory of games and economc behavor (1944) che lo stesso matematco ungheresestatuntense scrsse nseme all'economsta Morgenstern. Fu però con l lavoro d John Nash all'nzo degl ann '50 che s fece un notevole salto d qualtà: tale lavoro gl è po valso un premo Nobel per l'economa. Sa ne problem d traffco che ne problem affrontat dalla teora de goch è mportante studare modell d equlbro. In questo lavoro voglamo analzzare le relazon tra due dvers equlbr (dett d Wardrop e d Nash) per problem d traffco, mostrando n partcolare come è possble modellzzare tal problem con un goco. Nel paragrafo \ref 1 ntroducamo l problema d equlbro su ret e defnamo l'equlbro d Wardrop. Nel paragrafo successvo, dopo un breve accenno alla termnologa della teora de goch classca, defnamo l'equlbro secondo Nash per un goco non-cooperatvo. Nel paragrafo \ref{sec:goco} mostramo come è possble nterpretare un problema d flusso su ret come un goco, mentre nel paragrafo \ref{sec:confronto} mettamo a confronto due equlbr dscuss. L'ultmo paragrafo, d carattere pù specalstco, è dedcato al rapporto tra problem d equlbro e dsequazon varazonal. 1. Problem d traffco Comncamo con l'llustrare un problema d flusso su ret attraverso un esempo rconducble alla vta quotdana. Consderamo una rete stradale nella quale nod rappresentano dverse cttà e gl arch le strade che le collegano. Assumamo che sano not cost (un costo potrebbe essere ad esempo l tempo d percorrenza o l consumo d carburante) d cascun tneraro che collega le vare coppe d cttà. Tal cost dpenderanno 1

2 naturalmente dal flusso corrente sulla rete; se nfatt v è una maggore crcolazone su un dato tratto d strada l tempo per percorrerla aumenterà. In generale l'utente tenderà a mnmzzare l costo d spostamento per andare da una certa orgne O ad una destnazone D. S pone l problema d defnre un flusso d equlbro per la rete: l prncpo d Wardrop afferma che un flusso è d equlbro per la rete se tutt cammn effettvamente utlzzat, e che connettono una stessa coppa OD, hanno lo stesso costo. Passamo ad una formalzzazone del problema descrtto. Consderamo un grafo orentato G = (N,A), composto da un nseme d nod N e d arch A. Ogn arco è una coppa ordnata d nod. La scrttura a Œ A sgnfca che a è un arco. Un cammno è una famgla ordnata d arch a 1,...,a m tale che l secondo nodo d a s concde con l prmo d a s+ 1 (s = 1,2,...,m - 1 ). Sa po dato un nseme d coppe Orgne-Destnazone (OD). Ogn coppa è formata da due nod: l'orgne O, detta sorgente (prmo nodo), e la destnazone D, detta pozzo (secondo nodo). Grafo orentato con 7 nod e 10 arch Indchamo con {K } Œ I la famgla d tutt cammn che unscono l prmo con l secondo nodo della -esma coppa OD. Ponamo e sa K l numero d element d k. Un vettore v = (v a :a ŒA) tale che v a 0 " a ŒA è detto flusso sul grafo. Ogn v a ndca l flusso sull'arco a. Sa po data una funzone vettorale c(v) = (c a (v): a Œ A) dove c a(v) 0, " a Œ A. Questa funzone c(v) è chamata funzone d costo per l vaggo. Ogn numero c a(v) è nterpretato come l costo per untà d flusso materale sull'arco a, quando esste un flusso non nullo v sul grafo. Il costo su un cammno k Œ K ( Œ I) è defnto dalla formula C ( v) = c ( v) (1) k Sa C(v) = (C k (v):k Œ K) e per ogn ŒI defnamo l costo mnmo d vaggo per la -esma coppa OD ponendo  aœk a 2

3 u (v) = mn C k (v). (2) kœk Defnamo la matrce d'ncdenza delle relazon arch-cammn: dove a ŒA, k ŒK. Sa po dato un vettore d domande g =(g : ŒI). Ogn componente g ndca la domanda per la -esma coppa OD: rappresenta qund l flusso d materale che voglamo far passare dal prmo al secondo nodo d tale coppa. cammno. Osservazone Un flusso su un cammno k è defnto come l mnmo tra fluss sugl arch che compongono l È possble adesso defnre un flusso ammssble. Defnzone Un flusso v = (v a :a ŒA) s dce ammssble se e solo se valgono entramb seguent fatt: 1. legge d nvaranza del flusso v a =  kœk 2. l flusso v soddsfa le domande, vale a dre d (3) v ak k  kœk v k = g (4) Sa ( ŒI,k ŒK) la matrce d'ncdenza delle relazon cammn-coppe OD così defnta: La condzone (4) può allora essere rscrtta sfruttando la matrce B: Fatte queste necessare premesse è ora possble defnre una rete. Bv = g. (6) Defnzone Una rete {G, I, c(v), g} è ndvduata da un grafo orentato G, da un nseme d coppe OD, da una funzone che defnsce l costo d vaggo sugl arch c(v) = (c a (v) : a ŒA) e da un vettore d domande g = (g : ŒI). 3

4 1.1. Equlbro d Wardrop Defnta una rete è possble esprmere l concetto d flusso d equlbro secondo Wardrop. Defnzone Un flusso ammssble h sulla rete {G, I, c(v), g} è detto un flusso d equlbro se e solo se Ï= 0 C k (h) - u (h) Ì Ó 0 se h k se h k > 0 (7) = 0 In altre parole, se C k (h) (l costo d vaggo sul cammno kœ K ) è maggore d u (h) (l costo mnmo per la coppa OD), allora h k = 0, coè l flusso totale su k è nullo (potrebbe esserc comunque del flusso postvo su qualche arco d k). Osservazone La seconda parte della condzone d equlbro è sempre verfcata. Qund la nostra condzone (7) può essere così rformulata: " Œ I, " k Œ K se h > 0 allora C ( h) u ( h) (8) k k = Possamo qund formulare l problema d equlbro su ret: data una rete {G, I, c(v), g}, trovare un flusso d equlbro che soddsf le domande. 2. Teora de goch ed equlbro d Nash Cos'è un goco? Secondo la teora de goch classca un goco è un nseme d partte fatte seguendo un sstema d regole; una partta è un nseme d azon (mosse) fatte secondo le regole che s conclude con un rsultato per cascuno de partecpant (gocator). Le regole non devono essere ambgue, contraddttore e devono permettere d precsare lo stato nzale e quello fnale del goco. Ogn goco è qund analzzable, n lnea d prncpo, come un sstema n grado d evolvers nel tempo, compendo una sere d transzon defnte dalle regole del goco. Una partta è un nseme d azon elementar, dettate dalle regole, che fa passare l goco da uno stato nzale ad uno fnale. Tra le regole ne deve esstere almeno una che stablsce l rsultato fnale per cascun gocatore. Una stratega è costtuta da uno o pù prncp d scelta, n base a qual l gocatore decde l'nseme delle azon secondo cu svluppare l propro goco; deve essere n grado noltre d determnare le scelte n tutte le stuazon che possono presentars. Una stratega è qund l'nseme de prncp che determnano le mosse durante l goco. Se una stratega adotta a pror la decsone d fare sempre la stessa scelta per tutte le partte, essa vene detta pura; se la scelta vene fatta d volta n volta, n base allo svluppo del goco o a qualche altro crtero, s parla d stratega msta. 4

5 Caratterstca d un goco è una funzone defnta sull'nseme delle stratege e a valor real, detta d pagamento (payoff functon): per cascun gocatore rappresenta l'esto fnale del goco (spesso un costo o un benefco). Quando la somma de valor delle funzon d pagamento d cascun gocatore vale zero, l goco s dce a somma nulla. Un'mportante dstnzone è quella tra goch non-cooperatv e goch cooperatv. Un goco è detto cooperatvo se due o pù gocator s coalzzano, coè se concordano le propre stratege con l'obettvo d mnmzzare la perdta globale della coalzone; un goco è detto non-cooperatvo se ogn gocatore ha l'obettvo d mnmzzare esclusvamente propr cost. Il goco che andremo a formulare sulla rete è non-cooperatvo. S consult [3] per maggor dettagl Equlbro d Nash Samo nteressat a studare modell d equlbro e a tal proposto ntrodurremo una nozone d equlbro seguendo la defnzone data da Nash. Defnzone Dat un nseme N d n gocator n un goco non-cooperatvo, dove cascun gocatore ŒI è rappresentato da un vettore stratega x ŒX Õ R m (m ntero postvo), ed una funzone d payoff u : X Æ R X = (9) X ŒN un equlbro d Nash, x* ŒX, per l goco, è defnto come un punto nel quale nessun gocatore può unlateralmente dmnure propr cost: u (x*,x* N\ { } ) u (x*,x* N\ { } ) dove x* N\ { } = { x j : j ŒN, j }. " x Œ X (10) 3. Un goco sulla rete Date le necessare defnzon voglamo ora mostrare come s possa studare l problema d equlbro su ret formulando un goco (cfr.[6]). Lo scopo è quello d arrvare a poter confrontare due equlbr precedentemente dscuss (Wardrop e Nash). Assumamo che gocator sano le coppe Orgne-Destnazone (OD). Ogn gocatore è rappresentato da un vettore stratega (pura) dove sono cammn che connettono la -esma coppa OD e fluss attraverso cammn k (j). Con le nostre potes, la stratega pura deve soddsfare la seguente condzone: 5

6 Per esplctare la funzone d payoff dobbamo defnre A = {a:a Œk per qualche k ŒK }. Una possble funzone d payoff del gocatore è data qund da Utlzzando l teorema 3, enuncato e descrtto nel paragrafo5, s arrva alla seguente formulazone per l'equlbro d Nash mentre c era gà noto Wardrop dove e L è l'nseme d tutt gl arch della rete. Z = {z: z = Dv, con Bv = g} 4. I due equlbr a confronto A questo punto vene spontaneo cheders che tpo d relazone susssta tra quest due tp d equlbro. Devarajan (cfr. \cte{dev}) osserva che la condzone d Nash è pù forte d quella d Wardrop. La deduzone d questo fatto dalle due formulazon date non è mmedata, anche perchè, se osservamo con attenzone, notamo che le due funzon d costo non concdono. è opportuno allora consderare un'altra funzone d payoff per l goco n questone e pù precsamente: Avendo adesso a dsposzone la stessa funzone costo per defnre due equlbr è possble dare una defnzone che c charrà n che rapporto stanno due. Con C k s ndcherà come al solto l costo sul cammno k. Defnzone 6

7 Come s può notare Nash confronta l costo della scelta d percorrere l cammno k con l costo se s fosse percorso l cammno ; nfatt sta ad ndcare che l'untà d flusso è dmnuta n k mentre è aumentata n. Wardrop nvece paragona cost d due cammn per lo stesso flusso; qund possamo affermare che Wardrop confronta la scelta fatta con le alternatve n modo statco, mentre Nash valuta le alternatve consderando l costo n funzone del possble cambamento d stratega del gocatore stesso. è qund charo che Nash mplca Wardrop, ma non vale l vceversa; la condzone (17) è nfatt una condzone debole per l'equlbro d Nash. Osservazone I due concett sono equvalent nel caso entrambe le seguent condzon sano soddsfatte: soluzone unca d Wardrop; esstenza d un equlbro d Nash per l goco formulato sulla rete. Per stablre l'unctà d Wardrop s fa uso d un rsultato ben noto: l problema d trovare un flusso d equlbro d Wardrop è equvalente al seguente problema d mnmzzazone dove D = {v 0: Bv = g}. Se mostramo che la funzone obettvo è strettamente convessa, allora ha un unco mnmo. Le propretà della funzone costo necessare per questo sono la crescenza e la contnutà; sappamo nfatt che se una funzone u g(t) è crescente e contnua, allora F(u) = Ú 0 g( t) dt è strettamente convessa. Pochè la somma d funzon strettamenteconvessa è strettamente convessa, la funzone obettvo ha un unco mnmo. 7

8 L'esstenza d un equlbro d Nash c è asscurata da un teorema enuncato e dmostrato dallo stesso matematco. Le potes che rchede sono le stesse del teorema 3 (paragrafo 5): X Õ e convesso, funzone d payoff dfferenzable con contnutà e pseudo-convessa. non vuoto, compatto Esempo Andamo adesso ad llustrare due equlbr dscuss con un semplce esempo. Supponamo d avere una rete costtuta da 3 nod (numerat con 1,2 e 3) e 3 arch. Grafo orentato con 3 nod e 3 arch. Le coppe OD sono la 1-3 e la 2-3, mentre con g j ndchamo la domanda relatva alla coppa (,j); c j è l costo dell'arco (,j), mentre v j rappresenta l flusso sull'arco (,j). Supponamo che g 13 =2 g 23 =2 e che Le relazon d conservazone del flusso sono allora WARDROP Cerchamo fluss d equlbro secondo Wardrop: 8

9 Da questo sstema ottenamo da cu s deduce che tutt fluss tal che 6 = v (2 - v 12 )+ v = 6, sono d equlbro secondo Wardrop. NASH La payoff functon per l gocatore (la coppa OD 1-3) è C I (v) = 6 + v 13 + v v 13 + v 23 dove v appartene all'nseme A I de cammn che connettono l nodo 1 con l nodo 3. Supponendo che l gocatore II (la coppa Orgne-Destnazone 2-3) abba raggunto l'equlbro, nell'arco (2,3) v è un flusso v 23 =2+, dove è l flusso relatvo al gocatore sull'arco (2,3). S arrva dunque al seguente problema Calcolando l'ottmo ottenamo Per l gocatore II s ha con l vncolo v 23 =2 dove sono fluss d equlbro per l gocatore I. Il flusso d equlbro secondo Nash è qund dato da v 13 = 0 v 12 = 2 v 23 = Problem d equlbro e dsequazon varazonal Lo scopo d questo paragrafo è mostrare come sa possble studare problem d equlbro attraverso dsequazon varazonal. Per prma cosa comncamo col chederc come sa formulato un problema d equlbro generale. Data f:k K Æ R, con K Õ R n l problema d equlbro consste nel trovare un y* ŒK tale che f(x,y*) 0 x ŒK. 9

10 Una dsequazone varazonale non è altro che un caso partcolare del problema defnto n precedenza, nel quale f(x,y)= <F(y),x y > con F: K Æ R n (con <, > s ntende l prodotto scalare canonco n R n ). Tenendo conto delle notazon usate ne paragraf precedent passamo a far vedere che trovare un flusso ammssble d equlbro equvale a rsolvere un problema varazonale a dmensone fnta. Sa D = { v 0: Bv = g}, dove v = (v k :k ŒK). D, per come è stato defnto, è un nseme chuso e convesso. Teorema 1 Un flusso h Œ D è un flusso d equlbro se e solo se < C(h), v h > 0, " v Œ D Dmostrazone (f ) Sa h Œ D un flusso d equlbro. Sa v Œ D un altro flusso e consderamo seguent nsem: In accordo con l prncpo d Wardrop e con l'assunzone che h Œ D, v Œ D abbamo: Abbamo così ottenuto (20). ( ) Sa h Œ D un flusso che soddsfa la dsequazone varazonale (20). Voglamo provare che h è un flusso d equlbro. Per fare questo è suffcente mostrare che, se per la -esma coppa OD esstono due cammn e tal che 10

11 allora Consderamo un vettore v = (v k :k ŒK) defnto ponendo (Vene cambato l flusso al cammno pochè l costo d vaggo su questo cammno è nferore.) Allora " j ŒI tale che j s ha Se j= abbamo Qund v Œ D, e dalla relazone (20) ottenamo Pochè deve essere per forza. Abbamo qund trovato un flusso d equlbro h=(h k : k Œ.K). Il prossmo passo è mostrare come la dsequazone varazonale possa essere espressa anche sull'nseme de fluss sugl arch. Sano v,h Œ D e v A,h A corrspondent vettor de fluss su arch. Rcordando che c(h) è l vettore d costo d vaggo sull'arco mentre D = (d ak ) è la matrce d'ncdenza delle relazon arch-cammn ottenamo 11

12 Dato l'nseme Z = {z : z = Dv, v Œ D } = { z : z = Dv, Bv = g, v 0} possamo enuncare l seguente teorema. Teorema 2 Un flusso h A ŒZ è un flusso d equlbro se e solo se < c(h), v A - h A > 0 " v A ŒZ. Il fatto che l problema d trovare un equlbro d Nash equvalga a rsolvere una dsequazone varazonale rsale agl scrtt d Stampaccha e Lons ntorno agl ann '60. Il teorema che c nteressa è l seguente. Teorema 3 Sa X un sottonseme non vuoto, chuso e convesso d, m 1, e u :X Æ R sa dfferenzable con contnutà e pseudo-convessa rspetto ad x, " ŒN. Allora x* ŒX è una soluzone al problema d equlbro secondo Nash se e solo se x* è soluzone della seguente dsequazone varazonale: dove F(x) = (F (x): ŒN) con F :X Æ tale che F (x) = La dmostrazone d questo teorema è una semplce applcazone della seguente proposzone. Proposzone 1 Sa :A Æ R n un'applcazone avente come domno un nseme aperto a tale che Õ A Õ R n ; sa po 1. Se è convesso e è dfferenzable allora 12

13 2. Se è pseudo-convessa n allora Dmostrazone (teorema 3) (f ) Se x* ŒX è un punto d equlbro d Nash allora è un punto d mnmo per la funzone dfferenzable u, qund, applcando l punto 1. della proposzone ottenamo F (x*) T (x - x *) 0 " x Œ X " Œ N; e pochè la somma d quanttà non negatve è non negatva, la tes è dmostrata. ( ) Se la (23) vale " x ŒX allora vale anche per x = (x 1 *,...,x - 1 *,x,x + 1 *,...,x n ) " x Œ X Sosttuendo questo punto nella dsequazone varazonale s deduce che F (x*) T (x - x *) 0 " x Œ X " Œ N; essendo u pseudo-convessa rspetto a x, applcando l punto 2. della proposzone, s ottene la (10), ovvero la condzone d equlbro d Nash. Rpetendo lo stesso procedmento per = 1,...,n s ottene che x* è un punto d equlbro secondo Nash. Per maggor approfondment consglamo la lettura degl artcol [5],[2] and [1]. Bblografa [1] Castellan M., Jama J.M. e Mastroen G. Dualty relatons for varatonal nequaltes wth applcaton to network flow Gruppo d ottmzzazone e rcerca operatva, [2] Chen G.Y. e Yen N.D. On the varatonal nequalty model for network equlbrum Gruppo d ottmzzazone e rcerca operatva, [3] D'amore B. Element d teora de goch Zanchell, [4] Devarajan S. A note on network equlbrum and non cooperatve games Transportaton Research, 1981, 15B, pp [5] Harker P.T. e Pang J. S. Fnte dmensonal varatonal nequalty and non lnear complementary problems Math. Progr., 1990, 48, pp [6] Haure A. e Marcotte P. A game-theoretc approach to network equlbrum Math. Progr. Study, 1986, 26, pp