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1 1 IL CALCOLO COMBINATORIO: l arte di contare Il calcolo combinatorio permette di stabilire, ad esempio, quanti sono gli anagrammi di una parola, in quanti modi si possono sedere dieci amici attorno a un tavolo rotondo, quanti gruppi diversi di 4 persone si possono formare scegliendo tra 20 persone, ecc. Il calcolo combinatorio fornisce dei modelli risolutivi e per determinare il risultato di un problema reale basta riconoscere il modello e applicare la relativa formula. I raggruppamenti di k elementi scelti tra n elementi, sono detti raggruppamenti di n elementi di classe k o raggruppamenti di n elementi in k posti. Si possono presentare i seguenti casi. DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti in k posti: i gruppi differiscono per almeno un elemento o per l ordine D n,k = = n*(n-1)*(n-2) (n-k+1) *)Tra 10 persone di un comitato si vogliono nominare il Presidente, il Vicepresidente e il Segretario. In quanti modi diversi si possono scegliere? D 10,3 = =720 **)Quante parole di 3 lettere, anche prive di significato, si possono scrivere con p,a,r,t,e? D 5,3 = =60 ***) In quanti modi diversi si possono piazzare al I, II e III posto le 8 squadre di calcio partecipanti alle semifinali? D 8,3 = ATTENZIONE la condizione di esistenza di D n,k è n>k PERMUTAZIONI SEMPLICI di n oggetti in n posti P n =n! DISPOSIZIONE CON RIPETIZIONE di n oggetti in k posti D n,k =n k *)Quante parole di 3 lettere, anche prive di significato, si possono scrivere con le lettere p,a,r,l,o, anche ripetendo le lettere? D 5,3 =5 3 =125 **) In quanti modi diversi si può compilare la schedina del totocalcio con le tredici partite di cui si deve indicare l esito 1, X, 2? D 3,13 =3 13 = ***) Quante parole di 3 lettere, anche prive di significato, che contengono lettere ripetute, si possono scrivere con le lettere p,a,r,l,o? D 5,3 =60,parole senza ripetizione di lettere D 5,3 =125, parole totali, anche con ripetizione delle lett. Risultato: Le parole di 3 lettere contenenti ripetizioni di lettere sono =65 ****) In quanti modi si possono distribuire due oggetti diversi in tre cassetti? D 3,2 =3 2 =9 ATTENZIONE: D n,k ha come condizione di esistenza n>0 e k>0 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti che si ripetono volte, volte, *) Quanti sono i possibili anagrammi, anche privi di significato, della parola perlina? P 7 =7!=5040 **) Quante password di 6 cifre che non iniziano con lo 0, si possono scrivere, con le sei cifre 0,1,2,3,4,5? *) Quanti sono i possibili anagrammi, anche privi di significato, della parola parrucca? =5040 **) Si devono riporre 2 oggetti indistinguibili, in 4 cassetti. In quanti modi si può fare? o I o I I

2 2 Password che iniziano con lo 0: P 5 =5! Tutte le password con le sei cifre date P 6 =6! Risultato : 6!-5!=600 ATTENZIONE: P n ha campo di esistenza n>0 COMBINAZIONI SEMPLICI : raggruppamenti di n oggetti di classe k che si differenziano per almeno un elemento ( NON CONTA L ORDINE) C n,k = *)In quanti modi si possono scegliere tre persone tra 10, che vadano a pulire il giardino? C 10,3 = =120 ATTENZIONE: C n,k ha campo di esistenza n>k, k>0 È un esempio di cassettiera con 4 cassetti. Le I sono i divisori dei cassetti e le O gli oggetti. Ciascuna distribuzione di oggetti equivale a una parola formata da tre I e due O. COMBINAZIONI RIPETUTE: raggruppamenti di n oggetti di classe k che si differenziano per almeno un elemento oppure per il numero delle volte in cui lo stesso oggetto viene ripetuto C n,k = *) Lanciando contemporaneamente tre dadi, quante sono le composizioni con cui si possono presentare le facce? C 6,3 = = 56 DISPOSIZIONI SEMPLICI ESERCIZI SVOLTI

3 3 5)Quanti numeri diversi di 4 cifre diverse si possono formare con i numeri 0,1,2,3,4,5,6 che non iniziano con 0? [6*D 6,3 =6*120=720] 6) A una gara ciclistica si iscrivono 20 persone. Sono previsti tre premi diversi per i primi tre classificati. Quante sono le possibili terne vincenti? [6840] 7) quante parole di 4 lettere, anche prive di significato, si possono formare con le 21 lettere dell alfabeto? [143640] Equazioni (n+2)!=4(n+1)!+4n! [ n=3 ] ; 3(n-2)!+3(n-1)!=n! ; 3n=0 ; =1 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

4 4 4)Calcolare : D 7,2 [49] ; D 10,4 [10000] ; 5)Quanti numeri di tre cifre, anche ripetute, si possono ottenere con 1,2,3,4,5,6. [216] 6)Calcolare quanti sono i numeri di 5 cifre, con significato, che si possono formare con 0,2,4. [162] PERMUTAZIONI SEMPLICI E CON RIPETIZIONE 2) Quanti numeri di 5 cifre tutte diverse si possono formare si possono formare con 1,2,3,4,5. [120] 3) In quanti modi diversi 7 persone possono occupare una fila di 7 posti? [5040] 4) Calcola P 4 [24] COMBINAZIONI SEMPLICI

5 5 2) Calcola C 8,3 ed C 7,6 [56;7] 3) Disponendo di 20 bottiglie diverse di liquore, quanti cocktail è possibile fare usandone 4 alla volta? [4845] 4)Su un foglio sono segnati 9 punti di cui mai tre allineati, unendoli quanti triangoli si possono formare? [84] 5)Risolvi le seguenti equazioni : ; COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE

6 6

7 SOLUZIONI 7

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