I.15. Il teorema di conservazione dell'energia nella meccanica classica

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1 L enegia meccanica: consevazione e non consevazione Consevazione dell enegia nel caso di foze costanti Consevazione dell enegia nel caso di sistemi obitanti I diagammi della enegia potenziale Quesiti di fine capitolo Quesiti dalle Olimpiadi della Fisica Poblemi di fine capitolo L'enegia meccanica definita come somma di enegia cinetica ed enegia potenziale I.15. Il teoema di consevazione dell'enegia nella meccanica classica 15.1 L'enegia meccanica: consevazione e non consevazione DEFINIZIONE: L ENERGIA MECCANICA Dato un sistema di copi soggetti solo all'azione di foze consevative si chiama enegia meccanica totale del sistema la somma delle enegie cinetiche e delle enegie potenziali elative a ciascun componente del sistema: E = U + E k U = 1 U ij E k = E k,i (1) (I.15.1) Quando invece di un singolo copo si considea un sistema fisico complesso sul quale agiscono sia foze intene al sistema, sia foze estene al sistema, le poblematiche enegetiche ichiedono alcune puntualizzazioni. Il teoema della enegia cinetica continua a valee a condizione di ifeilo a tutte le foze che agiscono sul sistema e di calcolae le enegie cinetiche di tutti i componenti del sistema. Abbiamo già ossevato che la enegia potenziale si ifeisce sempe ad inteazioni ta copi e non è mai di popietà del singolo copo ma piuttosto del sistema di cui il copo fa pate (pesino la enegia potenziale della foza peso appatiene egualmente al copo pesante ed alla tea che lo attia). Petanto pima di agionae in temini enegetici pe sistemi di più copi dovemo aggiungee una ulteioe ipotesi: supponiamo che il sistema consideato sia chiuso, cioè che tutti i copi che esecitano foze su copi del sistema facciano, a loo volta, pate del sistema. In questo caso si può stabilie il teoema di consevazione della enegia meccanica e affemae che l'enegia meccanica di un sistema chiuso consevativo imane costante. Quando peò la distinzione ta inteno ed esteno non è eliminabile o conveniente saemo costetti, nel calcolo del lavoo, a tenee distinto il lavoo delle foze estene e a valutae la capacità di tale lavoo di influenzae l enegia dei costituenti inteni del sistema. Ciò ci poteà ad intodue il concetto di enegia intena di un sistema e alla nozione di quantità di caloe IL LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE È PARI ALLA VARIAZIONE DI ENERGIA MECCANICA La enegia cinetica e la enegia potenziale, sotto paticolai condizioni, godono di una inteessante ed utile popietà di consevazione. 1 Come si è ossevato nel capitolo dedicato alla enegia potenziale la enegia potenziale di un sistema si calcola sommando tutte le enegie potenziali delle coppie di copi e pendendo la sua metà pe evitae di conteggiale due volte. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 1

2 Consideiamo inizialmente un copo soggetto all'azione di svaiate foze che distingueemo in consevative e non consevative e indichiamo con R c e R nc le coispondenti foze isultanti. In base al teoema della enegia cinetica, se indichiamo come al solito con L il lavoo e con E k l'enegia cinetica, potemo scivee che: L c + L nc = E k D'alta pate pe le foze consevative si possono definie una o più e- negie potenziali tali che: L c = U Se teniamo conto delle due elazioni ichiamate avemo che: L nc = E k L c = E k + U = ( E k + U ) = E (I.15.) La vaiazione di enegia meccanica di un copo è pai al lavoo delle foze non consevative che agiscono su di esso SE AGISCONO SOLO FORZE CONSERVATIVE L ENERGIA MECCANICA SI CONSERVA Se sul copo agiscono solo foze consevative si ha che L nc = 0 e dunque: E = 0 o anche E = costante (I.15.3) L'enegia meccanica di un copo soggetto solo all'azione di foze consevative imane costante. Questa è la agione pe la quale le foze consevative hanno avuto questo nome che, appaentemente, non ha a che fae con la definizione. Se l enegia meccanica del copo consideato si conseva ciò significa che le due componenti di cui è costituita vaiano mantenendo peò costante la loo somma. Si avanno petanto pedite di enegia cinetica a favoe dell enegia potenziale e vicevesa. dalla applicazione simultanea del teoema della enegia cinetica e della definizione di enegia potenziale si deduce che: il lavoo delle foze non consevative è pai alla vaiazione di enegia meccanica se agiscono solo foze consevative l enegia meccanica non cambia COME SI RAGIONA IN PRESENZA DI ATTRITO La legge di consevazione dell'enegia meccanica così come è stata enunciata è solo una idealizzazione peché le foze di attito agiscono sempe ed esse sono foze non consevative. Dunque la legge di consevazione dell'enegia meccanica è valida solo in pima appossimazione ed è tanto più accuata quanto più le foze d'attito sono tascuabili ispetto alle foze elastiche, elettiche o gavitazionali in gioco. Quando le foze d'attito non possono essee tascuate il bilancio enegetico del sistema può essee scitto tamite la (I.15.): la vaiazione di e- negia meccanica di un sistema chiuso soggetto a foze d'attito è pai al lavoo compiuto dalle foze d'attito. Il lavoo compiuto dalle foze d'attito, nella maggioanza dei casi, viene popio misuato attaveso la deteminazione della diminuzione di enegia meccanica. Si può dimostae che il lavoo compito dalle foze d'attito che opeano in un sistema dipende dal sistema di ifeimento ma che esso è comunque sempe negativo. Petanto la enegia meccanica totale di un sistema nel quale agiscono foze non consevative diminuisce sempe. Nel capitolo dedicato alla enegia intena veà ipesa questa questione facendo vedee che la quota di enegia meccanica che spaisce può essee descitta come tasfomazione in alte fome di enegia e si possa dunque affemae una sota di consevazione geneale dell'enegia. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag.

3 Passiamo oa ad una seie di esemplificazioni della consevazione della enegia meccanica. Il teoema veà applicato allo studio di singoli copi. Pe essee completamente coetti nell'usae il concetto di enegia potenziale ci si dovebbe ifeie al sistema costituito da tutti i copi che inteagiscono: pe e- sempio, negli esempi gavitazionali ci si dovebbe ifeie al satellite ed al pianeta. Ma, come sappiamo, il cento di massa di questi sistemi coincide paticamente con il cento del pianeta e le acceleazioni subite dal pianeta duante gli spostamenti del satellite possono essee tascuate. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 3

4 15. Consevazione dell enegia nel caso di foze costanti LA VELOCITÀ FINALE NON DIPENDE DALLA TRAIETTORIA MA SOLO DAL DISLIVELLO Consideiamo il movimento di un copo di massa m soggetto alla sola azione del peso che, pecoendo una taiettoia qualsiasi, si muova di un dislivello x = x x 1. La pesenza di eventuali eazioni vincolai non ha ilevanza peché tali eazioni non compiono lavoo essendo sempe pependicolai allo spostamento. La foza peso è consevativa e petanto si può applicae ad essa il teoema di consevazione dell enegia: U + E k, = U 1 + E k,1 Tenendo conto che quando il ifeimento è oientato in veso opposto alla foza U = F x si ha: x 1 O x x v 1 mgx + 1 mv = mgx mv 1 da cui: v v 1 = g x (I.15.4) La velocità finale con cui un copo cade lungo una taiettoia qualsiasi dipende esclusivamente dalla velocità iniziale e dal dislivello. Si tatta della genealizzazione di quanto aveva già ottenuto Galilei pe il movimento sul piano inclinato IL GIRO DELLA MORTE Esecizio:Il poblema che poponiamo costituisce un esempio di una catena numeosa di poblemi che, con piccole divesità si pongono il poblema di studiae moti cicolai che, avvenendo in un piano veticale, sono di tipo non unifome; infatti la velocità isulta vaiabile con la quota in base a quanto abbiamo appena visto nell'esempio pecedente. Supponiamo che un ciclista scenda senza pedalae lungo la pate semi veticale del gio della mote il cui modello è appesentato in figua. Ci poponiamo di deteminae l'altezza minima H da cui può patie senza coee il ischio di pecipitae in coispondenza del punto più peicoloso della taiettoia, che è il più alto. Nel punto più alto il ciclista è soggetto all'azione di due foze: la foza di gavità P = mg e la eazione vincolae N. La isultante di queste due foze fonisce al ciclista la necessaia acceleazione a n = v. Se applichiamo la II legge della dinamica avemo che: mg + N = m v () v nel caso di foze costanti la velocità finale dipende solo da quella iniziale e dal dislivello H v P N v 0 nel gio della mote la velocità iesce a vincee la gavità Si è peso il ifeimento di U nel punto più basso della taiettoia e si è oientato l'asse del ifeimento pe le foze veso il basso. Si ossevi che la eazione vincolae nel punto più alto della taiettoia può solo essee oientata veso il basso e petanto, sotto queste ipotesi, può solo essee addizionata positivamente a mg. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 4

5 Pe tovae la velocità nel punto più alto dell'anello cicolae utilizzeemo la legge di consevazione della enegia meccanica: la enegia potenziale nel punto di patenza (altezza H) dovà essee uguale alla somma di enegia cinetica e potenziale nel punto alto della taiettoia cicolae (altezza h = ): mgh = mg + 1 mv H = + v g Come pevisto esiste un legame semplice ta la quota da cui si pate e il valoe della velocità ad un deteminato livello. Infine, se sostituiamo il valoe di v, otteniamo una elazione che ci dice, fissato il punto di patenza, quanto vale la coispondente eazione vincolae nel punto più alto della taiettoia: H = 5 + N mg L'altezza minima, tascuando l'attito, si ha quando il ciclista passa pe il punto più alto sfioando appena la pista (in quel caso la foza centipeta è dovuta al peso). Se N = 0 il coispondente valoe di H isulta: H min = 5. Se il nosto ciclista pate da un punto più alto aiveà al culmine con una velocità supeioe e una quota della foza centipeta saà fonita dalla eazione vincolae. Se invece pate da un punto più basso aiva in punti della taiettoia nei quali non è fonito di sufficiente velocità e pecipita ovinosamente a tea. Si consiglia di disegnae il diagamma del copo libeo in un punto intemedio e iflettee su cosa accade. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 5

6 15.3 Consevazione dell enegia nel caso di sistemi obitanti LA VELOCITÀ NECESSARIA A METTERE IN ORBITA UN SATELLITE Applicando la II legge della dinamica nel capitolo sulla gavitazione siamo stati in gado di deteminae le velocità obitali di un qualunque satellite o pianeta in funzione della distanza dal cento di foza. Rimane un poblema. Se si vuole mettee in obita un satellite ad una distanza da un pianeta, quale deve essee la velocità da impatie inizialmente al satellite pe consentigli di aggiungee la quota ichiesta e, a quella quota, entae in obita? È evidente che se ci si limita a fonie al satellite una velocità veticale pai a quella che dovebbe possedee in obita non si aggiungeà il isultato peché, salendo di quota, il satellite pedeà velocità e si toveà alla distanza con una velocità infeioe a quella ichiesta. La isposta a questa questione ichiede l uso combinato della II legge della dinamica e del teoema di consevazione della enegia. Cechiamo dunque di deteminae che velocità debba essee impatita ad un copo lanciato lungo la tangente alla tea pe consentigli di entae in obita. Supponiamo di indicae con v ob la velocità obitale, con v la velocità di lancio e con il aggio obitale. Un copo che si muova in obita cicolae è soggetto alla acceleazione centipeta a n = v ob e petanto, applicando la II legge della dinamica, si ha: GMm = mv ob da cui GMm = mv ob Abbiamo tovato un pimo isultato impotante: il temine di sinista appesenta l enegia potenziale cambiata di segno mente quello di desta è il doppio dell enegia cinetica. Dunque: in un sistema obitante l enegia cinetica è la metà, cambiata di segno, della enegia potenziale: E k,ob = ½ U ob (I.15.5) Pe deteminae la velocità di lancio basta applicae la consevazione della enegia: le somme della enegia cinetica e di quella potenziale, sulla supeficie teeste e in obita, sono identiche, cioè: E k,sup + U sup = E k,ob + U ob che si scive anche come: mv GMm R = mv ob GMm Questa equazione combinata con la (I.15.5) pota a: mv GMm R = GMm GMm v = GM 1 R 1 v = GM R 1 (I.15.6) v R M v ob Il legame ta enegia cinetica e potenziale nei sistemi obitanti Ek,ob = ½ Uob fa sì che si possa indiffeentemente agionae sulla enegia cinetica, su quella potenziale o su quella totale Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 6

7 Si ossevi che ci siamo completamente disinteessati di come faccia il satellite a modificae la sua taiettoia e a disposi tangenzialmente nel momento giusto. La cosa, in questa fase, non ci inteessa peché ciò che conta è il valoe di velocità ed esso, in vitù della consevatività della foza gavitazionale e del teoema della enegia cinetica, non dipende dalla taiettoia seguita. In questo calcolo non si è tenuto conto della esistenza dell'aia (foza non consevativa); la sua pesenza detemineebbe un aumento nella velocità ichiesta. I calcoli necessai pe tenene conto sono piuttosto complessi e non possono essee affontati in questo tipo di tattazione. La velocità di fuga appesenta la velocità necessaia a sfuggie da un sistema legato e coisponde al caso di enegia totale uguale a zeo LA VELOCITÀ DI FUGA Esecizio: La velocità di fuga è il minimo valoe di velocità necessaio ad un copo pe sfuggie alla attazione teeste e divenie petanto un satellite del sole. Possiamo a questo scopo suppoe che il nosto oggetto debba essee lanciato a distanza infinita e poe petanto nella equazione (I.15.6) il che ci pota a: v f = GM R = 11. km/s. Nel capitolo dedicato alla gavitazione si ea già deteminata la pima velocità cosmica (velocità obitale a livello del suolo) e si ea tovato che: GM v I = R Dunque: v f = v I La velocità di fuga è cica una volta e mezza la velocità di pima obita ed è nota come seconda velocità cosmica. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 7

8 15.4 I diagammi dell'enegia potenziale LA BUCA DI POTENZIALE Capita spesso che una paticella sia vincolata a muovesi seguendo una cuva deteminata, pe esempio lungo l'asse delle ascisse. In tale caso la sua enegia potenziale viene a dipendee da una sola vaiabile e cioè la sua enegia potenziale può essee scitta come U = f(x). Il diagamma che illusta la dipendenza della enegia potenziale dalla posizione è detto diagamma dell'enegia potenziale. L'analisi di tale diagamma fonisce molte infomazioni sul compotamento di una paticella soggetta alla inteazione descitta dalla enegia potenziale. Consideiamo, pe esempio, il moto di una paticella di massa m soggetta ad una foza elastica. Nella posizione x 0 la molla si tova in condizioni di iposo e la foza agente sulla paticella è nulla. Quando la paticella si sposta dalla posizione di iposo isulta soggetta ad una foza F x = k(x x 0 ). Si ossevi che quando x > x 0 la foza è negativa (attazione dovuta alla tazione), mente quando x < x 0 la foza è positiva (epulsione dovuta alla compessione). La enegia potenziale della paticella vale: E U E k U x 1 x 0 x x U = k (x) = k (x x 0 ) (I.15.7) Essa è appesentata nel diagamma in figua da una paabola con il vetice in x = x 0. La enegia meccanica della paticella E = E k + U imane costante ed è appesentata da una etta paallela all'asse delle ascisse. Dal diagamma, si osseva in pimo luogo che la enegia cinetica è pai alla lunghezza del segmento veticale che va dal geneico punto della paabola alla etta dell'enegia peché E k = E U. L'enegia cinetica aggiunge il suo valoe massimo in x 0 peché in quel punto si ha U = 0 e dunque E k,max = E. Nei punti x 1 e x la enegia cinetica si annulla mente si ha U max = E. È ancoa evidente dal diagamma che la paticella è vincolata a muovesi ta x 1 e x peché la enegia cinetica non può diventae negativa e di conseguenza la enegia potenziale deve sempe essee minoe o eguale dell'enegia meccanica totale. In una situazione come quella indicata si dice che la paticella si tova in una buca di potenziale di coodinate compese ta x 1 e x. (3) La buca di potenziale della foza elastica coisponde ad una paabola IL LEGAME TRA FORZA ED ENERGIA POTENZIALE I diagammi della enegia potenziale sono lo stumento coentemente utilizzato, non solo in fisica, pe evidenziae i sistemi legati e pe descivee le caatteistiche del legame. Supponiamo dunque che sia noto l andamento della enegia potenziale ifeita ad una dimensione, cioè ifeita ad una paticolae coodinata spaziale. 3 La meccanica quantistica modifica questa conclusione a causa della natua speciale delle micopaticelle e del pincipio di indeteminazione e pevede il cosiddetto effetto tunnel gazie al quale una paticella può uscie da una buca di potenziale anche quando la sua enegia meccanica non lo consentiebbe. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 8

9 Poiché il lavoo elementae vale L = F x x, mente L = U si ha: F x x = U, o anche: U la inclinazione della etta tangente ai diagammi della enegia potenziale è la misua della componente della foza cambiata di segno. Petanto i massimi e minimi coispondono alle condizioni di equilibio U equilibio instabile equilibio stabile x x F x = U (I.15.8) x Dunque la inclinazione della etta tangente al diagamma della enegia, cambiata di segno, fonisce il valoe della componente della foza in quel punto. Petanto, peso un x > 0 (allontanamento), possiamo affemae che la foza ha veso contaio al segno di U il quale è positivo nei tatti in cui la funzione è cescente e negativo quando è decescente. Quando la enegia potenziale aumenta, F x < 0 e la foza si oppone allo spostamento. Quando la enegia potenziale diminuisce, F x > 0 e la foza agevola lo spostamento. Infine, in coispondenza dei punti di massimo e minimo la foza si annulla peché in tal caso la etta tangente diventa oizzontale e la sua inclinazione è nulla. Dunque i massimi e i minimi di enegia potenziale sono dei punti di e- quilibio. Che diffeenza c'è ta un massimo e un minimo? I massimi sono punti di equilibio instabile mente i minimi sono punti di equilibio stabile. Un copo si tova in equilibio quando la isultante delle foze applicate ad esso è u- guale a zeo. I punti di equilibi coispondeanno ai massimi e minimi della cuva dell'enegia potenziale peché, solo in coispondenza di essi, la foza si annulla. Ma i punti di massimo non sono equivalenti a quelli di minimo. In un punto di massimo lo spostamento veso desta coisponde a inclinazione negativa cioè a foza positiva. Lo spostamento veso sinista coisponde invece a foze negative. In entambi i casi la foza ha lo stesso segno dello spostamento e dunque lo agevola: petanto l equilibio si distugge pemanentemente. Si tatta dunque di un punto di equilibio instabile. Nei punti di minimo accade il contaio e dunque, una paticella collocata in un punto di minimo, quando subisce uno spostamento, tende a itonae nel punto iniziale sospinta dalla foza. Se ne conclude che la esistenza di un punto di minimo fa da condizione pe l'equilibio stabile. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 9

10 15.5 Quesiti di fine capitolo 1. Enegia meccanica; iceca di veo: a) La enegia potenziale di un sistema composto da n copi è data da U = U ij dove la somma viene e- stesa a tutti le possibili coppie i,j con ij; b) Il lavoo compiuto dalla isultante delle foze consevative agenti su un sistema è pai alla vaiazione di enegia cinetica del sistema; c) La enegia meccanica di un sistema chiuso e consevativo imane costante; d) La enegia meccanica si conseva anche in pesenza di foze non consevative peché il teoema della enegia cinetica non distingue ta foze consevative e non consevative. 4. Enegia meccanica: iceca di veo: a) Quando la enegia meccanica si conseva la enegia potenziale diminuisce; b) In pesenza di attito la enegia cinetica di un sistema diminuisce sempe; c) La enegia intena di un sistema viene intodotta pe tene conto del lavoo delle foze intene; d) Attaveso il concetto di enegia intena si può aivae a genealizzae il teoema di consevazione della enegia anche al caso in cui si debba tene conto del lavoo svolto da foze e- stene al sistema pe le quali non si possa utilizzae la nozione di enegia potenziale Dimostae in maniea fomale che la vaiazione di enegia meccanica di un sistema è pai al lavoo delle foze non consevative a- genti sul sistema Spiegae come mai le foze consevative si chiamano così Spiegae peché quando ci si ifeisce a sistemi, pe pote applicae il teoema di consevazione della enegia bisogna ichiedee che il sistema sia chiuso olte che consevativo Quale dei seguenti diagammi elativi al moto di una paticella mateiale sottoposta all'azione di una foza costante dietta lungo l'asse y è compatibile con la consevazione dell'enegia: a) b) c) d) 9 v x (a) U (c) t y E k (b) E (d) y y 4 a) Falso. Bisogna pendee la metà del valoe tovato pe evitae di conteggiae due volte l enegia. Nella maggioanza degli esempi il poblema non compae peché si sottace il fatto di calcolae pe ogni coppia di elementi solo la enegia potenziale dell uno ispetto all alto ignoando il vicevesa. Pe esempio si pala di enegia potenziale della tea ispetto al sole ignoando la inteazione sole tea. Il poblema diventa significativo nel caso di sistemi complessi composti da molti oggetti. b) Falso. La vaiazione di enegia cinetica è pai al lavoo della isultante di tutte le foze che agiscono sul sistema indipendentemente dal fatto che siano intene o estene, consevative o non consevative. c) Veo d) Falso 5 a) Falso: può aumentae a spese della enegia cinetica b) Falso: dipende da cosa accade alla enegia potenziale c) Falso (vedi punto successivo) d) Veo. 6 Basta applicae il teoema dell'enegia cinetica e distinguee il lavoo in lavoo delle foze consevative e delle foze non consevative. Vedi dettagli sul testo 7 Peché in pesenza di sole foze consevative si conseva la enegia meccanica 8 Se il sistema non è chiuso diventa poblematico stabilie quali siano i contibuti di enegia potenziale che, come è noto, si ifeiscono alla inteazione ta coppie di copi. 9 a) Falso peché v x è costante visto che la foza agisce lungo y; b) Falso, al cescee di y la enegia cinetica aumenta; c) Veo: la enegia potenziale cambia in maniea lineae visto che U = L 1 = F y d) Falso: la enegia meccanica è costante Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 10

11 h 7. Con ifeimento all'esecizio sul gio della mote discusso nel testo si discuta cosa accade quando il copo viene lasciato cadee da una altezza maggioe di 5/ Espimee il isultato dell'esecizio sul gio della mote nel caso in cui il copo venga lasciato cadee essendo dotato di velocità iniziale v 0 oientata veso il basso. 9. Un copo puntifome scivola in assenza di attito lungo un piano inclinato di dislivello h e passa quindi ento una guida cicolae di diameto h lungo la quale isale finché la velocità non aggiunge un valoe infeioe a quello necessaio a mantenelo sulla guida. Deteminae tale valoe di velocità Sistemi obitanti su taiettoie cicolai: iceca di veo; a) Se si fa diminuie la enegia totale la enegia cinetica diminuisce; b) la enegia cinetica è pai alla metà della enegia potenziale; c) Pe aggiungee la obita pestabilita il copo deve essee lanciato con una velocità pai alla velocità di fuga; d) Pe deteminae la velocità di lancio bisogna applicae la consevazione della enegia ta la posizione di patenza e la posizione in obita Sistemi obitanti; Riceca di veo. Si considei un copo di massa m e velocità v oientata adialmente veso l'esteno a distanza da un pianeta di massa M >> m.: a) La velocità di fuga è quel valoe di velocità pe cui l'enegia totale del copo è nulla; b) Nel caso della tea la velocità di fuga misuata al suolo vale cica 8 km/s; c) La velocità obitale è metà della velocità di fuga; d) La velocità di fuga dalla tea è molto maggioe della velocità di pima obita Velocità obitali e velocità di fuga; iceca di veo; a) Pe deteminae la velocità obitale è necessaio applicae la consevazione della enegia ; b) La velocità obitale di un satellite in moto cicolae unifome è invesamente popozionale al aggio dell'obita; c) La enegia cinetica di un satellite in moto cicolae unifome è invesamente popozionale al aggio dell'obita; d) La enegia potenziale di un satellite in moto cicolae unifome è invesamente popozionale alla quota del satellite ispetto alla supeficie del pianeta Dimostae che se un oggetto viene lanciato veso l alto con la velocità necessaia a polo in obita ad una distanza, nel caso in cui non gli si fa piegae la taiettoia, esso aggiunge la distanza. 10 E' possibile deteminae il valoe della eazione vincolae esecitata dal sedile nel punto più alto della taiettoia. 11 Applicando congiuntamente la consevazione dell'enegia e la seconda legge della dinamica si ottiene v = g h a) Falso; la enegia cinetica aumenta. Infatti quando E diminuisce si ha il passaggio veso un'obita più intena e ad obite più intene coisponde una enegia cinetica maggioe b) Falso è pai alla metà della enegia potenziale cambiata di segno c) Falso: in quel caso il copo abbandona il cento di foza d) Veo. 13 a) Veo b) Falso: vale cica 11 km/s c) Falso d) Falso è pai a 1.41 volte 14 a) Falso; basta applicae la II legge della dinamica b) Falso è invesamente popozionale alla adice del aggio dell'obita c) Veo d) Falso è invesamente popozionale al aggio obitale. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 11

12 14. Dae la definizione di velocità obitale e di velocità di fuga individuando le elazioni che consentono di deteminale. 15. Dato un pianeta di massa M e aggio R si detemini la velocità con cui un copo deve essee lanciato dalla supeficie pe entae in obita a distanza Buca di potenziale; Riceca di veo a) La buca di potenziale è una voagine nella distibuzione dell'enegia potenziale da cui un copo non può più uscie una volta che vi sia entato; b) In una buca di potenziale gli estemi ento cui può muovesi una paticella dipendono esclusivamente dalla foma della buca; c) Una paticella soggetta ad una foza elastica si tova in una buca di potenziale di tipo paabolico; d) In un diagamma della enegia potenziale in funzione della posizione i punti di massimo coispondono al massimo della foza Diagammi della enegia potenziale; iceca di falso. Si considei la figua qui a lato. a) Con il valoe dato di E il tatto AC è intedetto alla paticella; b) La paticella si tova sicuamente nel tatto CE; c) I punti B e D sono caatteizzati da annullamento della foza; d) Nel punto C la foza pende, in valoe assoluto, il suo valoe massimo Nel peielio l enegia cinetica di un pianeta è massima come mai? (ispondee usando il teoema dell enegia cinetica) Nel peielio l enegia potenziale è minima: dae due motivazioni In un sistema planetaio (stella di massa M e pianeti di massa m i posti a distanza i dal pianeta si ipotizza solitamente che i pianeti uotino intono alla stella tascuando la otazione della stella intono al pianeta. a) Come mai? b) Nella ipotesi che la taiettoia sia cicolae come mai il moto è unifome? c) Tova la elazione ta il peiodo di ivoluzione e la distanza d) Questa elazione a cosa potebbe sevie? 0 O A U B C D E E x 15 Fissato il aggio obitale è fissata anche la velocità (in base alla II legge della dinamica) e se è fissata la velocità basta scivee la consevazione dell enegia ta il punto di patenza e quello di aivo pe avee una equazione che contiene come unica incognita la velocità iniziale. 16 a) Falso b) Falso, dipendono anche dalla enegia totale della paticella c) Veo d) Falso; sono i punti di annullamento della foza 17 a) Veo; la paticella dovebbe avee enegia cinetica negativa b) Falso; potebbe tovasi nel tatto OA c) Veo d) Veo la etta di inclinazione pesenta il valoe massimo negativo. 18 peché nel tatto da afelio a peielio i lavoi elementai sono tutti positivi (la foza foma angoli acuti con il vettoe spostamento) il lavoo complessivo è positivo e dunque l enegia cinetica cesce 19 Pe il punto pecedente visto che la somma di enegia cinetica e potenziale è costante. Peché U = G M m e se è minimo 1/ è massimo e 1/ è minimo. 0 A) Se M >> m i a << a i visto che le foze sono uguali. B) Se la taiettoia è cicolae la foza isulta pependicolae alla velocità e dunque il lavoo elementae è sempe nullo; C) la vaiazione di enegia cinetica è nulla e dunque la v è costante. basta applicae la II legge della dinamica: G Mm i i = v i e dunque G M = 4 i i T i da cui T = 4 GM i 3 D) A tovae la massa del pianeta dalla ossevazione del moto dei suoi satelliti Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 1

13 1. Un copo di massa m si tova sulla supeficie di un pianeta di massa M e aggio R. a) Se gli viene impatita la velocità v a che distanza massima dal cento del pianeta è in gado di aivae? b) Cos è la velocità di fuga? Rispondi con ifeimento alla domanda pecedente c) Usa il calcolo pecedente pe scivee la velocità di fuga dal Sole. d) Scivi simbolicamente il appoto delle due velocità v fs v semplificando tutto ciò che si semplifica. 1 ft. Pe un satellite in obita il appoto ta l enegia cinetica e il modulo dell enegia potenziale vale A 1 B C 1/ D dipende da E 1/3 3. Un sistema fisico è caatteizzato da E k = 50 J e U = 400 J e passa ad una configuazione con E k = 300 J e U = 500 J. Vengono fatte le seguenti affemazioni: a) l enegia meccanica è aumentata b) hanno agito foze pe le quali non si può definie l enegia potenziale c) il lavoo delle foze non consevative è stato di 50 J. Quali sono vee? 3 A solo a) B solo b) C solo c) D solo a) e b) E solo b) e c) 4. In un sistema fisico su cui agiscono solo foze consevative si cambia da if a if il ifeimento delle enegie potenziali. Vengono fatte le seguenti affemazioni: a) tutte le enegie potenziali cambiano in modo diveso a seconda della maggioe o minoe vicinanza al nuovo ifeimento b) tutte le enegie potenziali cambiano di una stessa quantità c) pe effetto di tale cambiamento cambiano le enegie cinetiche. Quali sono vee?. 4 1 bisogna applicae la consevazione della enegia ½ m v G M m R = 0 G M m da cui ½v + G M R = G M e quindi: 1 = 1 R v GM e infine = 1 1 R v GM La velocità di fuga è quel valoe di velocità che consente al copo di aivae all infinito (sfuggie all attazione gavitazionale); in quel caso 1/ = 0 e dunque 1 R v GM = 0 La velocità di fuga dal Sole si icava dalla equazione pecedente e isulta GM S v fs = R S Vista la popozionalità si ha: v fs v ft = M S R S R T M T = M S M T R T R S Si vedano i diagammi e comunque la deduzione si basa sul fatto che la velocità obitale, in base alla II legge della dinamica, si connette univocamente con la distanza. 3 L enegia meccanica iniziale è di 150 J e quella finale 00 J petanto la pima affemazione è falsa. La seconda affemazione è vea peché se si ha una pedita di e- negia meccanica vuol die che hanno agito foze dissipative e, pe esse, l enegia potenziale non è definibile. Visto che l enegia meccanica è diminuita di 50 J si può affemae che tale lavoo sia appunto stato di 50 J 4 Quando si cambia il ifeimento pe l enegia potenziale da if a if tutte le enegie potenziali cambiano di una stessa quantità pai al lavoo pe andae da if a if. Le e- negie cinetiche non mutano peché esse si legano alle vaiazioni di enegia potenziale Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 13

14 A solo a) B solo b) C solo c) D solo a) e c) E solo b) e c) e poiché esse cambiano tutte della stessa quantità nel calcolae le vaiazioni si ottiene lo stesso isultato. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 14

15 15.6 Quesiti dalle Olimpiadi della Fisica 1) Olimpiadi 1995, I livello; Nel tempo in cui un paacadutista si lancia dall'aeeo e tocca tea: 1) la somma della sua enegia cinetica e della sua enegia potenziale gavitazionale è costante; ) la sua enegia cinetica dipende dalla sua velocità; 3) la sua enegia potenziale è popozionale all'altezza dal suolo. Quali delle pecedenti affemazioni sono coette? a) Tutte e te. b) solo la 1 e la. c) solo la e la 3. d) Solo la 1. e) Solo la 3. ) Olimpiadi 1996, I livello; In un'espeienza di laboatoio si studia il moto di una massa che oscilla veticalmente appesa ad una molla. Quale dei gafici in figua appesenta nel modo miglioe l'andamento dell'enegia totale (asse veticale) in funzione del tempo (asse o- izzontale)? 5 A B C D E 3) Olimpiadi 1996, I livello; In un'espeienza di laboatoio si studia il moto di una massa che oscilla veticalmente appesa ad una molla. Rifeendosi alla figua del quesito pecedente, quale gafico può appesentae nel modo miglioe l'enegia potenziale complessiva (asse veticale) in funzione dello spostamento dalla posizione dell'equilibio (asse oizzontale)? 6 A B C D E 4) Olimpiadi 1997 I livello: I cinque gafici in figua mostano come una ceta gandezza y può dipendee da un'alta gandezza x. Die quale di questi appesenta meglio la elazione ta l'enegia potenziale di un pendolo semplice che oscilla senza attito (gandezza y) e la sua enegia cinetica (gandezza x) allo stesso istante. 7 A B C D E 5) Olimpiadi 1998 I livello. La figua mosta un oscillatoe, di massa m e costante elastica k, che si muove su un piano senza attito. Le posizioni esteme dell'oscillazione sono x 1 e x. Quale, ta i gafici seguenti appesenta meglio come vaia l'enegia totale dell'oscillatoe in funzione della posizione x? A B C D E 6) Nella figua è schematizzato un caello delle montagne usse in patenza dalla posizione A. In quale dei punti indicati il caello sta au- 5 Non è costante pe la pesenza di fenomeni dissipativi (attito con l aia, non pefetta elasticità della molla) 6 Ricodae che U = ½ kx 7 E k + U = costante etta nel pimo quadante con coefficiente angolae -1 Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 15

16 mentando la popia enegia potenziale gavitazionale? (Junioes 1996) 8 A B C D E 7) Nella figua a lato viene schematizzata una massa di 3.0 kg che, fissata ad un'estemità di un filo sospeso lungo 5.0 m, oscilla lungo un aco di cechio AD in un piano veticale. Il punto B è il più basso della taiettoia, C si tova a 0.50 m al di sopa di B e D a.0 m al di sopa di B. Assumendo che la esistenza dell'aia sia tascuabile e che l'acceleazione di gavità valga g = 10 m/s, la velocità della massa quando passa pe il punto C è, appossimativamente (Junioes 1996) 9 A 7.8 m/s B 3.9 m/s C 6.3 m/s D 5.5 m/s E 3. m/s 8) II gafico in figua mosta la foza F con cui viene tiato un cavo e- lastico in funzione del suo allungamento x. L'enegia immagazzinata nel cavo elastico quando viene allungato di m è (Junioes 000) 30 A 100 J B fa 50 e 100 J C 50 J D meno di 50 J 9) Romeo dal giadino vuole fa aivae a Giulietta, che si tova sul balcone, un foglietto di cata con un messaggio. Lo appallottola e lo lancia con tutta la sua foza, ma il foglietto non aggiunge l'altezza del balcone. Alloa vi mette all'inteno un piccolo sasso, lo lancia allo stesso modo di pima e oa il "pacchetto" aggiunge il balcone. Come mai il foglietto con il sasso aiva più in alto di quello senza sasso? (Junioes 001) 31 A Poiché, andando più veloce, inconta una mino foza di esistenza da pate dell'aia. B Poiché, avendo massa maggioe, ha acquistato maggio velocità nell'istante della patenza. C Poiché, avendo massa maggioe, viene allentato di meno dalla foza di esistenza dell'aia. D Poiché ha massa maggioe e l'enegia potenziale gavitazionale è diettamente popozionale alla massa. 10) Si lascia cadee una palla da tennis su un pavimento oizzontale. Mente la palla imbalza su e giù, l'altezza di ogni imbalzo via via diminuisce. Peché? (Junioes 00) 3 A E costante l'enegia cinetica della palla. B E costante l'enegia potenziale gavitazionale della palla. 8 L enegia aumenta nei tatti di salita. Si ossevi che C e E sono punti stazionai cioè punti in cui, istantaneamente, l enegia non sta cambiando. 9 Basta applicae la consevazione dell enegia: mg = 0.5 mg + ½ mv si ottiene v = 5.48 m/s 30 Bisogna stimae l aea e ispetto alle isposte essa è cetamente minoe di 50J 31 La pallina in entambi i casi ha la stessa velocità iniziale; anche la foza d attito è uguale ma la acceleazione negativa è invesamente popozionale alla massa. 3 Duante i imbalzi diminuisce l enegia totale della palla a spese di quella dell aia e del pavimento. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 16

17 C E costante la somma dell'enegia cinetica e dell'enegia potenziale della palla. D E costante l'enegia totale della palla, del pavimento e dell'aia. 11) Qui sotto sono affiguate quatto successive posizioni di una bambina che si dondola aggappandosi ad una coda appesa ad un amo. In quale di esse è maggioe la sua enegia cinetica? (Junioes 003) A B C D 1) Il gafico a lato è ifeito al moto di un copo che sta cadendo senza attito pe effetto della gavità. Quale delle seguenti quantità è stata ipotata sull asse delle odinate? (I livello 1995) 33 A La distanza pecosa B La quantità di moto C L enegia totale D L enegia cinetica E L enegia potenziale 13) Due oggetti, di massa ispettivamente m e m, inizialmente femi, vengono lasciati scivolae lungo i due piani inclinati mostati in figua, patendo dalla stessa altezza iniziale h 0. I due piani hanno inclinazioni divese e l attito ta piani e oggetti è tascuabile. Quale delle seguenti affemazioni NON è coetta. (I livello 1998) A Nella discesa un oggetto pede il doppio dell enegia potenziale dell alto. B Entambi gli oggetti hanno la stessa velocità in fondo ai piani inclinati C Entambi gli oggetti impiegano lo stesso tempo a aggiungee il fondo dei piani inclinati D L acceleazione dell oggetto sul piano a desta è maggioe di quella dell oggetto sul piano a sinista E L enegia cinetica dei due oggetti in fondo ai piani inclinati è divesa 14) Una palla A di massa 0.1 kg è lanciata in alto veticalmente con una velocità di 5m/s, da un punto al livello del suolo. Simultaneamente un'alta palla B di massa 0.kg viene lanciata dallo stesso punto con una velocità di 10 m/s ad un angolo di 30 con l'oizzontale. Se la esistenza dell'aia è tascuabile, si può affemae che (I livello 000) 34 A A aggiunge un'altezza maggioe di B B B aggiunge un'altezza maggioe di A C A e B cadono a tea simultaneamente D A esta in moto più a lungo di B E quando toccano il suolo l'enegia cinetica di B è 4 volte quella di A 15) Una massa di 40 kg può essee fatta oscillae avanti e indieto lungo un binaio oizzontale e liscio attaccandola ad una molla di costante elastica k = 500 N/m. Qual è l enegia totale di questo sistema oscil- 33 U = mgh = mg(h 0 ½ gt ). Paabola con concavità veso il basso e vetice in t= 0 34 Le velocità veticali sono uguali e dunque il tempo di volo è lo stesso Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 17

18 lante se la massa viene messa in oscillazione allontanandola di 0 cm dalla posizione di equilibio lungo il binaio? (I livello 005) 35 A 10 J B 0 J C 50 J D J E J 16) Un pianeta si muove intono al sole S lungo un obita ellittica come mostato in figua. Quando il pianeta si sposta dal punto P al punto P come cambiano la sua enegia cinetica e la sua enegia potenziale? (I livello 006) A L enegia cinetica diminuisce, l enegia potenziale diminuisce B L enegia cinetica diminuisce, l enegia potenziale aumenta C L enegia cinetica aumenta, l enegia potenziale diminuisce D L enegia cinetica aumenta, l enegia potenziale aumenta E L enegia cinetica e l enegia potenziale non vaiano. 17) Un caello si sta muovendo lungo il pecoso di una montagna ussa mostato in figua. Nel punto A la sua velocità vale l0 m/s. Se l'attito può essee tascuato, quale saà la velocità del caello nel punto B? (I livello 006) A 14 m/s B 0 m/s C m/s D 6 m/s E 31 m/s 18) La isultante di tutte le foze estene che agiscono su un sistema di paticelle è nulla. Quale delle seguenti affemazioni è sicuamente vea pe il sistema di paticelle? (I livello 007) A L'enegia meccanica totale è costante. B L'enegia potenziale totale è costante. C L'enegia cinetica totale è costante. D La quantità di moto totale è costante. E II sistema di paticelle si tova in una situazione di equilibio statico. 19) Nel gafico a fianco sono appesentate l enegia cinetica, l enegia potenziale gavitazionale e l enegia meccanica di un oggetto in moto. Quale delle seguenti affemazioni descive meglio il moto dell oggetto. (I livello 008) A L oggetto sta acceleando sopa una supeficie oizzontale piana B L oggetto si muove veso l alto sopa un piano inclinato senza attito C L oggetto è in caduta libea D L oggetto viene sollevato a velocità costante E L oggetto si muove in basso, sopa un piano inclinato con attito 35 L enegia totale è pai alla enegia potenziale iniziale Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 18

19 pe affontae i poblemi tieni pesente che Poblemi di fine capitolo Pe isolvee i poblemi poposti tieni pesenti anche le leggi e le definizioni dei capitoli sul lavoo e sulla enegia potenziale. La definizione di lavoo elementae, quella di lavoo elativa ad uno spostamento finiti, la sua intepetazione geometica (aea del diagamma). La definizione di enegia cinetica E k ed il teoema della enegia cinetica icodando in paticolae che esso si ifeisce al lavoo di tutte le foze e che ha una validità geneale. Si chiamano foze consevative le foze pe le quali il lavoo compiuto pe spostae il punto di applicazione da un geneico punto 1 a un geneico punto non dipende dal pecoso compiuto ma solo dalla posizione di patenza e di aivo. Se si fissa un punto di ifeimento (indicato d'oa in poi con if) si può alloa definie una nuova gandezza, tipica della posizione, e che saà chiamata enegia potenziale del punto consideato, U P = L Pif Poiché il lavoo non dipende dal pecoso U = U 1 U = L 1if L if = L 1 if + L if = L 1 E k = L fc + L fnc = U + L fnc da cui E k + U = L fnc o anche (E k + U) = L fnc Alla quantità E k + U = E si dà il nome di enegia meccanica e si può affemae che in pesenza di foze consevative la enegia meccanica di un sistema esta costante o, equivalentemente, la vaiazione di enegia meccaniva è uguale a zeo. Questo enunciato pende il nome di teoema di consevazione della enegia. Sono consevative tutte le foze costanti (e quindi in paticolae la foza peso), le foze elastiche, le foze gavitazionali e le foze elettiche. Non sono consevative le foze d'attito e tutte le foze che inducono defomazioni pemanenti Foze costanti: indicato con h il livello misuato su una etta oientata in veso contaio alla foza si ha U = mgh Foza elastica di costante k: si assume il ifeimento nel punto di equilibio e in tal caso, se si indica con x lo scostamento dalla posizione di equilibio U = ½ k x Foza gavitazionale: si assume il ifeimento all'infinito e, in tal caso, pe due masse m 1 e m poste a distanza, si ha U = G m 1 m. Pe la foza elettica si ha, analogamente, U = K q 1 q, mente il segno è già contenuto nelle caiche. 1. Relazioni ta enegia e distanza pe un oggetto in obita Esecizio: Si considei un oggetto di massa m in obita cicolae intono ad un oggetto di massa M >> m. Deteminae la elazione ta enegia cinetica ed enegia potenziale e quella ta distanza ed enegia. Deteminae la elazione ta velocità di otazione e distanza. Spiegae cosa accade se il copo pede enegia. Poiché il moto è cicolae unifome, applicando la II legge della dinamica avemo che: G M m = m v v = G M Petanto l'enegia cinetica di un oggetto in obita isulta essee: Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 19

20 E k = ½ m v = ½ G m M = ½ U e inolte E = E k + U = ½ U. Da quest'ultima elazione possiamo vedee che, pe un sistema obitante, è indiffeente appesentae l'enegia potenziale o quella totale peché i due diagammi sono identici a meno di un fattoe di scala. Pe deteminae la elazione ta distanza ed enegia basta utilizzae la : E = G M m = G M m E Dalla segue che la coispondenza distanza - enegia è di tipo biunivoco e che le due gandezze sono invesamente popozionali. Questo isultato è paticolamente impotante pe lo studio delle configuazioni elettoniche negli atomi visto che la foza elettica ha le stesse caatteistiche della foza gavitazionale. Inolte se si fissa il valoe di E ad esso coisponde, in base al teoema di consevazione della enegia, un valoe di pe il quale tutta l'enegia diventa potenziale. Tale valoe, che coisponde alla quota massima, è doppio del valoe del aggio obitale (peché E = ½ U). Dunque fissata l'enegia totale, un copo può aggiungee la distanza massima di R oppue entae in obita a distanza R. Infine, consideato un copo in obita con enegia E ed enegia potenziale U = E, se il copo pede una quantità E > 0 di enegia si pota ad un valoe E ' = E E < E e petanto U' = E' = (E E) = U E < U. Dunque il copo si pota su una obita più intena a cui coisponde una minoe e- negia potenziale e una maggioe enegia cinetica. Paadossalmente, il copo pede e- negia e aumenta la sua velocità. In effetti la fase di iento nell'atmosfea dei satelliti è caatteizzata da una taiettoia a spiale con il satellite che uota sempe più velocemente man mano che ienta nella atmosfea (negli stati più densi è maggioe la quota di enegia peduta).. Il moto di un sistema con una foza intena di tipo elastico Esecizio: Un copo di massa m, dotato di velocità v uta con uto totalmente elastico una coppia di copi di massa m connessi da una molla di costante k. Sapendo che i due copi sono inizialmente in quiete: si desciva il movimento del sistema dopo l'uto. si spieghi peché i due copi si muovono sempe nello stesso veso si tovino la elongazione massima della molla e il valoe delle velocità in quei punti. Poiché il pocesso d'uto ha una duata limitata si può ammette che il fenomeno sia costituito inizialmente da un uto elastico ta il copo dotato di velocità v e il pimo dei due copi del sistema. Duante questo uto il copo femo iceve tutta la velocità di quello in moto. U R R ½ U U U R' R U U' E m v m k m Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 0

21 Da qui in poi la situazione si pesenta come in figua ed inizia il moto del sistema in accodo al teoema di consevazione della enegia. Se indichiamo con x la compessione della molla e con v 1 e v le due velocità avemo pe la consevazione della quantità di moto e dell'enegia: mv 1 + mv = mv ½ mv 1 + ½ mv + ½ kx = ½ mv Il sistema tovato può essee scitto in una foma più elegante eliminando m dalla pima equazione e ponendo = k m Si ottiene così: v 1 + v = v v 1 + v + x = v Il sistema è simmetico (d e si isolve attaveso una equazione di II gado, dopo avelo idotto a foma nomale. v 1 + v = v (v 1 + v ) v 1 v + x = v v v 1 + v = v 1 + v = v v v 1 v + x = v v 1 v = x Le due velocità ichieste sono le soluzioni della equazione: z vz + x = 0. Questa equazione ammette soluzioni se: ' = v x 0 il che equivale a ichiedee x v = Sotto la condizione data le soluzioni sono: v 1- = v ' m k v (*) Dal sistema sappiamo anche che la somma e il podotto delle due velocità sono numei positivi, petanto le due velocità sono entambe, sempe positive. Inolte la equazione ci dice diettamente come vaiano le due velocità al vaiae di x; infatti:. v z m k v x z vz + x = 0 (z vz + v 4 ) v 4 + x = 0 (z ½ v) + x = v 4 Si tatta di una ellisse con cento di simmetia nel punto (0,½ v) che taglia l'asse z (x = 0) nei punti: (0,0) e (0,v) e pesenta semiassi di lunghezza ½ v e m k v. (*) La condizione tovata ci dice solamente che la molla non può assumee delle elongazioni qualsiasi ma che pesenta una compessione e allungamento massimi nel ispetto della consevazione della enegia. Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag. 1

22 Le due velocità vaiano da 0 a v altenativamente e sono massima e minima quando è nulla l'enegia potenziale, mente le elongazioni massime dipendono olte che dal valoe di v anche dalla massa e dalla costante della molla. Come è ovvio, se k è gande (molla dua) si hanno elongazioni minoi. Osseviamo infine che il cento di massa del sistema viaggia veso desta di moto ettilineo unifome con velocità ½ v. 3. Una molla che si solleva da sé Esecizio: Un copo di massa m 1 ne compime un alto di massa m appoggiato al pavimento attaveso una molla di costante k. Deteminae la foza F dietta veso il basso che bisogna applicae al pimo copo affinché, quando si imuove tale foza, il secondo copo si sollevi da tea. Indichiamo con A, B e C le posizioni coispondenti alla molla a iposo, alla molla compessa da F e dalla foza peso di m 1, alla molla nel momento in cui sta pe sollevae m. Quantifichiamo le sollecitazioni della molla attaveso il sistema di ifeimento x oientato veso il basso e indichiamo le foze attaveso i loo valoi assoluti. Petanto nella posizione B sciveemo: F + m 1 g kx 1 = 0 mente nella posizione C (di sollevamento incipiente) saà: m g + kx 0 (con x < 0 i che vuol die che la foza della molla deve essee, in valoe assoluto più gande del peso che deve sollevae). D'alta pate, pe il teoema di consevazione della enegia, applicato alle posizioni B e C (in cui l'enegia cinetica è nulla) si ha che: ½ k x 1 m 1 g x 1 + U = ½ k x m 1 g x + U ½ k(x 1 x ) = m 1 g(x 1 x ) e poiché x 1 x 0 (essendo x 1 e x discodi) si ottiene ½ k(x 1 + x ) = m 1 g e quindi x = m g 1 k x 1 Se applichiamo la alla avemo che: k m g 1 k kx + m g 0 e dunque: kx 1 1 g(m 1 + m ). Ma pe la kx 1 = F + m 1 g g(m 1 + m ) F g(m 1 + m ) ovveo la foza di compessione deve essee supeioe alla somma dei due pesi coinvolti, come si poteva intuie. 4. Un pendolo che fa oscillae il cao a cui è sospeso Esecizio: Un cao di massa M può muovesi lungo l'oizzontale senza attito. Sul soffitto viene appeso un pendolo di lunghezza b, massa m e angolo iniziale 0. Deteminae la velocità v del vagone al vaiae di. A m 1 x 1 m x O F B C v M x b u m Pima pate: Il moto e le foze - Cap. 15: Il teoema di consevazione dell enegia nella meccanica classica pag.