Università di Milano Bicocca Esercitazione 4 di Matematica per la Finanza 24 Aprile 2015

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1 Uiversità di Milao Bicocca Esercitazioe 4 di Matematica per la Fiaza 24 Aprile 205 Esercizio Completare il seguete piao di ammortameto: Osserviamo iazitutto che, per il vicolo di chiusura vale D 2 = C 3, da cui ricaviamo immediatamete C 3 = 234. Di cosegueza, otteiamo facilmete R 3 come somma della quota capitale ed iteresse: R 3 = C 3 + R 3 = 270. Ifie, ricordiamo che D 3 = 0. Possiamo così completare l ultima riga del piao di ammortameto: Proseguiamo ricavado il tasso di iteresse applicato tra ua scadeza e la successiva. Poichè deve valere I 3 = id 2, il tasso di iteresse applicato tra la secoda e la terza rata risulta pari a i = 0, 576. Coseguetemete, il tasso applicato el primo periodo è pari a i = 3 + i = 0, 05, metre quello applicato el secodo periodo è i = ( + i ) 2 = 0, 025. Dai calcoli precedeti, è possibile completare la secoda riga del piao. Dalla relazioe C k + D k = D k ricaviamo D = D 0 C = Pertato I = i D 0 = 250. Ifie, sommado la quota capitale e la quota iteressi otteiamo ua rata R pari a

2 Procededo i maiera aaloga, ricaviamo C 2 = D D 2 = 659, I 2 = D i = 40 e R 2 = C 2 + I 2 = Abbiamo così completato il piao di ammortameto: Esercizio 2 Completare il seguete piao di ammortameto co quote di capitale costati. k R k C k I k D k Osserviamo iazitutto che, trattadosi di ammortameto a quote di capitale costati (detto ache ammortameto italiao), la coloa di C k sarà formata da valori tutti uguali tra di loro. La secoda quota iteressi è calcolata sul debito residuo del primo ao, vale a dire su e: I 2 = id. Sostituedo i dati del problema, si trova i = Stabilito il tasso dell operazioe, possiamo ricavare l importo mutuato C. Ifatti, ricordado che el piao di ammortameto italiao la rata k-esima è data da R k = C + i C ( k + ), (k =,...,, si ha C = i R = e. La quota capitale è quidi C k = 30000/6 = 5000 e, per ogi k =,..., 6. A questo puto, la compilazioe del piao di ammortameto segue direttamete dal calcolo di R k, D k, I k secodo le formule R k = C + C ( k + ) D k = C ( k) I k = i C ( k + ). 2

3 Esercizio 3 Stefao deve rimborsare u capitale di C = 20000e tra otto ai. Egli paga aualmete i via posticipata gli iteressi del 6%; al cotempo provvede alla costituzioe del capitale da rimborsare mediate versameti aui di importo costate e posticipati presso ua baca al tasso del 5%. Determiare l esborso auo complessivo e redigere il piao relativo alla costituzioe del capitale mutuato. Idicado co i = 0, 06 il tasso del prestito e co j = 0, 05 il tasso di accumulo del capitale, la rata di costituzioe per il fodo si ricava da: Q = L iteresse sul prestito ammota a: C s,j = 2094, 5 I = Ci = 200. Quidi l esborso auo complessivo è pari a: R = I + Q = 3294, 5. Esercizio 4 Per procedere al riovo di u macchiario obsoleto, u impreditore tessile cotratta co u istituto di credito u prestito di 75000e, da rimborsarsi i 6 rate semestrali posticipate di importo costate i base al tasso di iteresse auo del 8%. Si rediga il piao di ammortameto del prestito. Il modello di ammortameto adottato dalle parti cotrattuali, che prevede il pagameto di rate costati posticipate, va sotto il ome di ammortameto fracese. Secodo tale modello di ammortameto, il capitale C = 75000e che all istate t = 0 passa dall istituto di credito (parte creditrice) all impreditore tessile (parte debitrice) è itesa come il valore attuale di ua redita a rate semestrali costati posticipate R. Si ha duque: C = k= R ( + i 2 ) k = Ra,i 2, dove i 2 è il tasso semestrale equivalete al tasso auo i = 8%. Svolgedo i calcoli si trova i 2 = ( + i) = 0, Duque l importo di ogi sigola rata è R = C a,i2 =

4 Nel piao di ammortameto fracese, le altre quatità icogite C k, I k, D k possoo essere calcolate a partire dal valore di R el modo seguete. Iazitutto, la quota capitale rimborsata all istate t = risulta pari a duque el ostro caso: C = R ( + i) ; C = Le restati quote di capitale risultao cresceti i progressioe geometrica di ragioe ( + i), ossia C k = C k ( + i). = C k 2 ( + i) 2 = C ( + i) k, k =,...,. Per differeza tra le rate e le quote di capitale si possoo otteere direttamete ache le quote iteressi I k : [ ( )] I k = R ( + i) k+, k =,...,. Ifie, il debito residuo D k può essere scritto come segue: D k = =R j=k+ C k j=k+ ( + i) j+ =Ra,i2, k = 0,,...,. Le relazioi ricavate sopra cosetoo di calcolare per ogi periodo le sigole voci del seguete piao di ammortameto: k R k C k I k D k

5 Esercizio 5 U idividuo prede i prestito, al tempo t = 0, la somma S = 300e da restituire co u piao di ammortameto a quote capitali costati ed iteressi aticipati (ammortameto tedesco) co = 3 rate auali posticipate al tasso di iteresse i = 0%. Sviluppare il piao di ammortameto. Svolgedo opportuamete i calcoli si trova: k R k C k I k D k tasso % Esercizio 6 U impresa ha i portafoglio due cambiali che scadoo, rispettivamete, tra 3 e 6 mesi e il cui ammotare è di e2000 ciascua. La cede ad ua Baca che ricoosce all impresa il loro valore V i regime di scoto commerciale.. Calcolare V sapedo che il tasso auo di scoto commerciale applicato dalla Baca è d = 8%. 2. Scrivere il VAN dell operazioe fiaziaria compiuta della Baca i fuzioe del tasso di iteresse i. 3. Determiare il tasso itero di redimeto i dell operazioe.. Risulta: ( V = 2000 d 3 ) ( d 6 ) = Idichiamo co G(i) il VAN dell operazioe fiaziaria compiuta della Baca i fuzioe del tasso di iteresse i. Si ha: G(i) = ( + i) /4 ( + i). /2 3. Si tratta di risolvere l equazioe G(i ) = ( + i ) = 0. /4 ( + i ) /2 Posto y = (+i ) /4, l equazioe sopra è equivalete a y y 2 = 0. L uica soluzioe accettabile è y =.02055, da cui i = , ovvero i = 8.48%. 5