Campo magnetico: concetti introduttivi

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1 Appunti di Fisica II Campo magnetico: concetti intoduttivi Intoduzione ai fenomeni magnetici...1 Azione dei magneti su caiche elettiche in moto... Foza di Loentz...5 Selettoe di velocità...5 Invaianza della caica elettica...6 Moto di caiche elettiche in un campo magnetico...7 Ciclotone...9 INTRODUZIONE AI FENOMENI MAGNETICI In natua esistono due tipi di magneti: i magneti natuali, che sono capaci di manifestae spontaneamente foze di natua non elettostatica su mateiali feosi; i magneti atificiali, pe i quali, invece, le popietà magnetiche non sono spontanee ma vengono indotte. Tuttavia, tutti i tipi di magneti sono accomunati da una paticolae caatteistica: il loo compotamento è molto simile a quello visto pe i dielettici polaizzati, i quali, pu essendo globalmente neuti, pesentano caiche supeficiali di polaizzazione di segni opposti. Si veifica infatti che ogni magnete pesenta distinte polaità, convenzionalmente indicate con Nod e Sud in analogia al fatto che la Tea stessa si compota come un gigantesco magnete. Pendendo come esempio di magnete popio la Tea, osseviamo quale è l'azione che essa esplica su di una sbaetta magnetizzata: la sbaetta sente una coppia di foze che tende ad oientala paallelamente al campo applicato e poi una foza che tende invece a tascinala dove il campo è più intenso. Questo è esattamente lo stesso che accade ta due dipoli elettici, o, ciò che è lo stesso, ciò che accade quando inseiamo un dipolo elettico all'inteno di un campo elettico non unifome (più volte ci capiteà di ossevae foti analogie ta le situazioni in magnetostatica e quelle in elettostatica). Quando ci fuono i pimi studi sul magnetismo, si pensava che il campo magnetico fosse geneato da ipotetiche masse magnetiche positive e negative localizzate sui cosiddetti magneti. Più tadi, con le scopete di Oested (180), questa teoia venne smentita dalla evidente impossibilità di sepaae su un copo delle masse magnetiche. Al contaio, si ha adesso la cetezza che non esistono copi caichi magneticamente, come invece ci sono quelli caichi eletticamente. Questo significa che, scomponendo un magnete in pati sempe più piccole, non faemmo alto che ottenee magneti sempe più piccoli.

2 Appunti di Fisica Lo studio dell elettomagnetismo ci poteà alla seguente fondamentale conclusione: tutti i fenomeni magnetici sono dovuti a coenti elettiche, cioè a caiche in movimento. AZIONE DEI MAGNETI SU CARICHE ELETTRICHE IN MOTO Si può veificae speimentalmente che, mettendo un magnete nei pessi di un copo caico in quiete, non si esplica alcuna foza ta di essi; al contaio, se facciamo muovee il copo caico, sempe in pesenza del magnete, alloa il copo isente di una ceta foza che tende a modificae la sua taiettoia: pe esempio, se avviciniamo una calamita ad un tubo di aggi catodici (nel quale ci sono elettoni in movimento), osseviamo uno spostamento del pennellino elettonico che confluisce veso un diveso punto dello schemo destinato ad accoglielo. Le caatteistiche della foza che agisce su una caica puntifome che si muove nei pessi di un magnete vengono dedotte facilmente pe via speimentale. In paticolae, queste caatteistiche possono essee schematizzate come segue: il modulo della foza è popozionale al valoe q della caica in moto: basta usae caiche divese e veificae che, a paità di tutte le alte vaiabili, la foza isulta più intensa quando la caica è maggioe; il modulo della foza è anche popozionale al modulo della velocità del copo in moto: basta usae la stessa caica e lanciala nello stesso punto con velocità divese pe veificae che la foza aumenta all'aumentae della velocità; la diezione della foza è sempe otogonale alla diezione del moto (cioè della velocità) della caica puntifome: questo, come vedemo, implica sia che la foza non compia alcun lavoo sulla caica sia che non possa modificae il modulo della sua velocità; la diezione della foza è anche otogonale ad una diezione b legata esclusivamente al punto P in cui effettuiamo le misuazioni; infine, il modulo della foza è popozionale al seno dell angolo fomato dal vettoe velocità v con il vettoe b. Sempe da ossevazioni speimentali, si veifica che la foza sentita dalla caica in moto isulta avee massima intensità quando il vettoe velocità v e il vettoe b isultano otogonali. Questo fatto ci pemette di stabilie l'intensità del campo magnetico, che indicheemo con B. Indichiamo infatti con F m il valoe della massima intensità della foza esecitata sul copo caico; definiamo quindi un nuovo vettoe B avente le seguenti caatteistiche: la sua diezione è quella del vettoe b ; il suo modulo è dato invece da F m /qv. In base a questa definizione, veifichiamo se espimendo la foza magnetica come podotto vettoiale F = qv B essa isulta soddisfae a tutte le popietà pima elencate: il modulo di questa foza è evidentemente popozionale sia al valoe della caica q che la sente sia al modulo della velocità v con cui tale caica si muove; Autoe: Sando Petizzelli

3 Campo magnetico: concetti intoduttivi la diezione di F è otogonale sia al vettoe v sia al vettoe b (che indica la diezione di B ): infatti, in base alla egola del podotto vettoiale, il vettoe F deve essee otogonale al piano fomato da questi due vettoi; sempe in base alla egola del podotto vettoiale, il modulo di F è qvbsenθ, dove θ è l'angolo fomato dai due vettoi v e B, pe cui tale modulo è popozionale al valoe di senθ; infine, il modulo di F è massimo (è vale F=qvB) quando i vettoi v e b sono otogonali, ossia quando θ=90 e senθ=1. Quindi, effettivamente, la foza magnetica può essee espessa tamite quel podotto vettoiale 1. La funzione B = B(x, y,z) che definisce il vettoe in tutti i punti dello spazio costituisce dunque un nuovo campo vettoiale, cui diamo il nome di campo magnetico. La sua unità di misua si deduce facilmente dalle elazioni appena consideate: infatti, se consideiamo popio l espessione F = qv B e, in paticolae, consideiamo il valoe massimo della foza (che si ottiene quando i vettoi v e b sono otogonali), toviamo evidentemente che il campo magnetico vale Fmax B = qv da cui quindi deduciamo che le sue dimensioni sono [ B] = [ Fmax ] [ q] [ v] = [ N] N s = [ C] [ m / s] C m Nel sistema MKS, questa unità di misua pende il nome di Tesla. Tuttavia, si pefeisce spesso usae un alta unità di misua: infatti, consideando che il flusso magnetico (di cui paleemo più avanti) si misua in Webe (simbolo: Wb), il campo magnetico viene spesso misuato in Webe/m. Del vettoe B abbiamo fino ad oa definito il modulo, la diezione e l'unità di misua; manca il veso. Possiamo subito die che il veso da attibuie a B (come ad un qualsiasi vettoe) dipende dalla scelta di una tena di ifeimento che sia destosa o sinistosa: dato che genealmente si usano tene destose, diciamo che il veso di B si detemina in base alla egola della mano desta (o, analogamente, in base alla egola del cavatappi). Pima di concludee questa intoduzione del campo magnetico, vediamo alcune ulteioi ossevazioni: in pimo luogo, icodiamo che non esiste una convenzione geneale su come denominae i campi vettoiali in magnetismo: il simbolo B viene 1 Sempe in base alle popietà del podotto vettoiale, possiamo dedue una impotante caatteistica del campo magnetico e in paticolae della sua azione sulle caiche in moto: abbiamo detto che l'azione di B è massima quando è otogonale alla velocità (ossia alla taiettoia) del copo caico; l'azione di B è invece nulla (olte al caso di caiche in quiete) quando la velocità del copo caico è paallela o antipaallela a B stesso. Questo implica una ossevazione molto semplice: immaginiamo di avee una paticella che si muove in una ceta egione dello spazio senza subie alteazioni della sua taiettoia; il fatto che non venga deviata non è necessaiamente sinonimo di assenza di campo magnetico: può essee che non ci sia come può essee che sia paallelo alla velocità, pe cui non esecita alcuna azione su di essa. 3 Autoe: Sando Petizzelli

4 Appunti di Fisica peciò usato talvolta pe indicae il campo magnetico, così come faemo in questa sede, mente alte volte viene usato pe indicae la cosiddetta induzione magnetica, di cui paleemo in seguito; esiste una evidente similitudine ta il campo magnetico e il campo elettico E e cioè il fatto che entambi possono essee comodamente appesentati tamite linee di campo: tali linee sono disegnate in modo tale che in ogni punto la loo tangente dia la diezione del vettoe e che, inolte, il numeo di linee che attavesano una qualsiasi supeficie ad esse otogonale dia una misua del modulo del vettoe stesso; esistono tuttavia anche pofonde diffeenze ta il campo magnetico e quello elettico. La pima e più evidente è sulla azione che questi campi esecitano sui copi caichi: il campo magnetico agisce solo su copi caichi in moto, il campo elettico sia sui copi in moto sia su quelli in quiete; inolte, la foza cui dà oigine il campo magnetico è otogonale alla diezione del campo, mente quella cui dà oigine il campo elettico è sempe ad esso paallela; un'alta diffeenza, che veà spiegata meglio più avanti, consiste nel fatto che le linee di E cominciano e finiscono sempe in coispondenza di caiche, mente le linee del campo magnetico sono sempe delle linee chiuse; dalla maggio pate delle cose che abbiamo finoa detto cica il campo magnetico, si deduce che esso pesenta una maggioe complessità ispetto al campo elettico. La pima diffeenza, in questo senso, con il campo elettico appae popio quando si tatta di valutae modulo, diezione e veso di un deteminato campo magnetico una volta che sia nota la foza che esso esecita su un copo caico in moto: infatti, immaginiamo di avee un copo che si muove con velocità v e sente una foza di natua magnetica F ; supponiamo di misuae F e di individuae il suo veso; questo non ci aiuta affatto pe la deteminazione di B, in quanto la diezione di F non indica in modo univoco la diezione di B. Di conseguenza, pe pima cosa si individua la diezione di B : un metodo patico consiste nel tovae la diezione di v pe cui la foza isulta nulla; la diezione del vettoe B saà alloa otogonale a questa diezione e ad F ; si effettua quindi una seconda misua, con una divesa velocità, in base alla quale si detemina l'intensità di B. In paole povee, data una egione in cui è pesente un ceto campo magnetico che si vuole deteminae, si pende un copo caico, lo si fa muovee in questa egione fino a che non si tova una diezione pe la quale il copo non isente di alcuna foza magnetica; la diezione ad essa otogonale saà quella di B ; poi si ilancia il copo nella stessa egione, si misuano velocità e intensità della foza e si deduce il modulo di B ; il veso infine viene dato dalla egola della mano desta una volta nota la diezione; una inteessante ossevazione può essee la seguente: se abbiamo la necessità di deviae la taiettoia di una paticella caica, possiamo falo utilizzando sepaatamente un campo elettico o uno magnetico o applicandoli entambi. A meno di non ceae un campo elettico otogonale alla taiettoia iniziale della paticella, è sempe conveniente utilizzae come deviatoe il campo magnetico, pe il semplice fatto che non occoe spendee alcun lavoo sulla paticella; pe concludee, una ossevazione di caattee patico che saà utile pe appesentae gaficamente i vettoi: un vettoe che è otogonale al foglio ed è entante saà disegnato con un cechio con all'inteno una coce (come a appesentae la coda di una feccia); vicevesa, se il vettoe è uscente dal piano del foglio, al cento del cechio ci saà un puntino (come a appesentae la punta della feccia). Autoe: Sando Petizzelli 4

5 Campo magnetico: concetti intoduttivi FORZA DI LORENTZ Abbiamo sottolineato, nel pecedente paagafo, che il campo magnetico non dà oigine ad una foza di tipo posizionale, che cioè dipende dalla posizione in cui si tova il copo caico che la sente, ma ad una foza che dipende dalla velocità (in senso vettoiale) del copo caico. Osseviamo inolte che la foza magnetica, in base all espessione F = qv B, isulta sempe otogonale alla diezione della velocità v : questo significa che il lavoo compiuto da questa foza è nullo, il che compota che non possa deteminae una vaiazione dell enegia cinetica del copo; pe dila in fomule, abbiamo infatti che la vaiazione di enegia cinetica del copo, pai al lavoo compiuto su quest ultimo, vale E CIN = L = F dl = qv B dl = q v B vdt = Se la vaiazione di enegia cinetica è nulla e se teniamo conto che tale enegia cinetica vale 1 notoiamente E CIN = mv, deduciamo che il modulo della velocità deve imanee costante nonostante il copo caico sia sottoposto all azione della foza magnetica. Da queste consideazioni deduciamo che l unico effetto della foza magnetica su un copo caico in movimento è quello di incuvane la taiettoia. Adesso supponiamo che il copo caico si stia muovendo sotto l azione contempoanea di un campo elettico e di un campo magnetico. Vale, in questo caso, il noto pincipio di sovapposizione degli effetti, in base al quale ciascuna foza (elettica o magnetica) agisce come se l alta non ci fosse, ossia, in alte paole, la pesenza di ciascun campo non modifica l azione dell alto. Ricodando alloa che la foza esecitata dal campo elettico su un copo caico (non necessaiamente in moto) è F E = qe, possiamo scivee che la foza complessiva agente su un copo caico ha la seguente espessione: F TOT = F E + F M = qe + qv B = q 1 ( E + v B) Questa pende il nome di foza di Loentz. E evidente che l azione del campo elettico si manifesta a pescindee dal fatto che il copo sia in movimento oppue no, mente invece l azione del campo elettico si manifesta solo se il copo è in movimento. Entambe le foze pesuppongono invece che il copo possieda una popia caica elettica. Ricodiamo infine che, a diffeenza dell azione del campo magnetico, l azione del campo elettico compie un lavoo sul copo in questione, pe cui ne modifica l enegia cinetica e quindi la velocità. SELETTORE DI VELOCITÀ La foza di Loentz isulta nulla, come avemo modo di vedee adesso, quando il campo magnetico ed il campo elettico sono disposti in modo tale che le loo azioni siano uguali ed opposte. Infatti, un uso comune che si fa della foza di Loentz è la ealizzazione del cosiddetto selettoe di velocità, ossia di un dispositivo che, dato un fascio di paticelle eletticamente caiche (elettoni, ioni,...), sia in gado di selezionane solo alcune. Vediamo quale pincipio viene utilizzato a questo scopo. 5 Autoe: Sando Petizzelli

6 Appunti di Fisica Immaginiamo di avee una egione di spazio in cui siano pesenti un campo magnetico B e un campo elettico E otogonali ta loo: la foza elettica sentita da un copo caico che passa attaveso questa egione è F qe E = ed agisce nella stessa diezione del campo elettico; la foza magnetica è invece F M = qv B ed agisce otogonalmente al campo magnetico, il che significa che agisce nella stessa diezione della foza elettica; possiamo alloa dispoe i vesi dei due campi in modo che le ispettive foze isultino agie in diezioni opposte. In questa situazione, possiamo deteminae il valoe della velocità v in seguito al quale le due foze, elettica e magnetica, isultano avee lo stesso modulo: dovendo essee si icava evidentemente che qe = qvb E v = B Quindi, data una egione di spazio dove il campo elettico e il campo magnetico sono disposti otogonalmente ta loo e in modo tale (ci ifeiamo al veso) che le ispettive foze isultino opposte, solo le paticelle che si muovono in questa egione di spazio con velocità v otogonale ai due campi e con modulo v=e/b non isentono di alcuna foza e poseguono indistubate il loo moto. Pe tutti gli alti valoi della velocità, ci saà una foza che pevale sull'alta e quindi ne isulteanno sempe taiettoie deviate. E' popio in questo senso che si può costuie un selettoe di velocità: dato un flusso di paticelle caiche che attavesa la suddetta egione, le uniche paticelle che la attaveseanno indistubate sono quelle aventi quella paticolae velocità. Esistono due impotanti applicazioni di questo pincipio: la pima è uno stumento, costuito pe la pima volta da Thompson, atto a deteminae il appoto e/m ta la caica e la massa di un elettone; la seconda consiste nei cosiddetti spettogafi di massa, i quali sevono ad individuae, tamite appunto la loo massa, tutti i costituenti di una deteminata sostanza. INVARIANZA DELLA CARICA ELETTRICA L espessione della foza di Loentz appena descitta contiene implicita una popietà fondamentale della caica elettica: la caica elettica q di un copo non dipende dallo stato di moto di questo ed è la stessa che si può calcolae pe lo stesso copo, supposto in quiete, pe mezzo della legge di Coulomb o del teoema di Gauss. Esiste tuttavia una diffeenza ta una caica in moto ed una in quiete: la caica di un punto espime, in modo quantitativo, la caatteistica di questo come sogente di azioni elettiche su alti copi; in condizioni statiche ed in uno spazio isotopo, tali azioni devono essee le stesse in tutte le diezioni; al contaio, pe una caica in moto esiste una diezione pivilegiata che è quella della sua velocità v, pe cui non abbiamo alcuna agione, a pioi, pe die che, in questo caso, la foza elettica sia adiale e uguale in tutte le diezioni. Sulla base di questa diffeenza, anziché definie il valoe di un caica in movimento in base alla legge di Coulomb, cioè misuando la foza da questa esecitata su una caica di pova, è pefeibile definie la quantità di caica sulla base del teoema Autoe: Sando Petizzelli 6

7 Campo magnetico: concetti intoduttivi di Gauss, ossia tamite il flusso uscente da una supeficie chiusa che abbaccia completamente il copo caico in esame. Così facendo, la valutazione della caica è icondotta alla valutazione del campo elettico geneato, mediato su tutte le diezioni dello spazio: possiamo cioè definie la quantità di caica q, sia in quiete sia in moto, tamite la elazione q = ε 0 E nds S dove appunto q è la caica totale contenuta nella egione delimitata dalla supeficie chiusa S. Il valoe della caica elettica q, definito mediante il teoema di Gauss come appena enunciato, isulta dunque indipendente dalla velocità, pe cui possiamo misuae il valoe q di tale caica quando questa è in quiete e poi poe tale valoe nell espessione della foza di Loentz: F = q ( E + v B) L indipendenza di q dalla velocità viene nomalmente enunciata come invaianza elativistica della caica elettica. E noto che, al contaio della caica elettica, la massa di un copo non gode della stessa popietà: la massa, infatti, aumenta con la velocità e tende a diventae infinita al tendee del valoe della velocità a quello di popagazione dei fenomeni elettomagnetici del vuoto, ossia la cosiddetta velocità della luce nel vuoto (pai a 3 * 10 8 m/s). E bene inolte distinguee la costanza della caica con la velocità dal pincipio di consevazione della caica pecedentemente enunciato: dρ div J + = 0 dt Questa elazione stabilisce solo la costanza della quantità di caica in una data egione dello spazio qualoa non ci sia flusso di caica attaveso le paeti che delimitano tale egione. MOTO DI CARICHE ELETTRICHE IN UN CAMPO MAGNETICO Consideiamo un campo magnetico B unifome ed un copo, di massa m e caica q, che si muove inizialmente con velocità v giacente su un piano π pependicolae a B, come illustato nella figua seguente: 7 Autoe: Sando Petizzelli

8 Appunti di Fisica Se non c è campo elettico nella egione di spazio consideata, la foza agente sul copo in questione è solo quella del campo magnetico: F = qv B In base alle egole del podotto vettoiale, è evidente che questa foza è di natua centipeta; vediamo alloa che tipo di moto si ottiene. In pimo luogo, sappiamo che il modulo della velocità non può vaiae (in quanto la foza è otogonale allo spostamento e quindi non compie lavoo), e ci accogiamo inolte che anche l acceleazione è costante in modulo, in quanto isulta, in base alla seconda legge di Newton, che F qv B qvb a = = = ν m m m dove abbiamo indicato con ν il vesoe della nomale alla taiettoia. Sapendo, inolte, che l acceleazione è pai alla deivata della velocità, possiamo scivee quanto segue: dv d( vτ) dv dτ a = = = τ + v dt dt dt dt dove abbiamo indicato con τ il vesoe della tangente al moto in ciascun punto. Avendo detto che la velocità ha modulo costante, deduciamo che dv/dt=0, pe cui isulta dτ dτ a = v = v dt ds ds dt = v ν v R v = R dove abbiamo indicato con R il aggio di cuvatua della taiettoia: ν Deduciamo che la pesenza del campo magnetico unifome dà oigine ad un moto cicolae, con aggio R valutabile dall uguaglianza qvb v a = = m R e quindi pai a mv R = qb Autoe: Sando Petizzelli 8

9 Campo magnetico: concetti intoduttivi In base a questa espessione, il aggio di cuvatua dipende, a paità di velocità e di campo magnetico, dalla massa e dalla caica della paticella: questo significa che paticelle meno caiche ma con massa minoe si muovono sulle stesse taiettoie. Osseviamo inolte che il moto avviene con velocità angolae non solo costante (pe cui è un moto cicolae unifome) ma anche indipendente dalla velocità v : infatti, la velocità angolae, in base alla semplice definizione, vale v qb ω = = R m Ovviamente, da qui discende che anche il peiodo di ivoluzione T (cioè il tempo necessaio affinché il copo compia un gio completo) è indipendente dalla velocità v. Questo implica che una stessa paticella, lanciata con divese velocità, pecoe un gio completo (sia pu su ciconfeenze con aggio diveso) nello stesso tempo In conclusione, ipotiamo le vaie quantità di inteesse in temini vettoiali: dv qv B = F = ma = m = m dt v ( qb + mω) = 0 ( ω v) = m( v ω) da cui scatuisce che la velocità angolae è ω = q B m Ricodiamo, pima di concludee, che la taiettoia sulla quale viene deviata la paticella caica è una ciconfeenza solo nel caso che il campo magnetico (unifome) e la velocità iniziale della paticella siano ta loo otogonali. Nel caso più geneale di campo magnetico e velocità non necessaiamente otogonali, vedemo il moto della paticelle è elicoidale. CICLOTRONE Il ciclotone è un dispositivo utilizzato pe acceleae le paticelle nucleai sfuttando l'azione combinata di un campo elettico altenato e di un campo magnetico costante. Il ciclotone è così composto: 9 Autoe: Sando Petizzelli

10 Appunti di Fisica Ci sono due elettodi metallici, cavi, entambi di foma cicolae e posti a poca distanza uno dall'alto in modo tale che i ispettivi diameti siano paalleli. Un gas di potoni (oppue di nuclei leggei) viene immesso nella cavità delimitata dai due elettodi. I due elettodi sono collegati ai mosetti di un geneatoe che mantiene ta di essi una d.d.p. che vaia altenativamente nel tempo con oppotuna fequenza. All'inteno della cavità, che è a vuoto spinto, è instauato un campo magnetico costante pependicolae al piano della cavità stessa. Sotto l'effetto del campo elettico, gli ioni vengono acceleati e, sotto l'effetto del campo magnetico, vengono spinti lungo taiettoie cicolai, acquistando enegia e velocità ogni volta che passano attaveso la sepaazione ta i due elettodi. Dato che il peiodo del moto cicolae imposto dal campo magnetico alle paticelle non dipende dalla loo velocità, è possibile sinconizzae il geneatoe di d.d.p. : questo è in gado quindi, invetendo il senso della d.d.p., di acceleae gli ioni ogni volta che passano nella egione che sepaa gli elettodi. In tal modo, si foniscono alti valoi di enegia agli ioni. Il pocesso funziona sempe meno all'aumentae della loo velocità: infatti, quando la massa comincia a vaiae a causa della velocità, il peiodo di otazione cambia con essa e la sinconizzazione si fa più complicata. Autoe: SANDRO PETRIZZELLI sito pesonale: succusale: Autoe: Sando Petizzelli 10

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