82 Capitolo 6. Il modello B & S: le basi

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1 82 Capitolo 6. Il modello B & S: le basi

2 Every financial axiom I ve ever seen is demonstrably wrong. (P. Wilmott, [53], p. 1) Capitolo 7 Il modello B & S: complementi 7.1 Introduzione Questo capitolo mescola problemi di taglio teorico e di taglio pratico sul modello b&s. Apro coi primi occupandomi del cosiddetto principio di linearità delle valutazioni. Passo poi ai secondi parlando di stima della volatilità, di alcuni parametri, detti i greci, usati per controllare il valore di un portafoglio, nonché della relazione di parità put-call e delle tecniche di copertura. Chiudo infine con qualche stringata riflessione teorica sollevata da alcune critiche alle ipotesi del modello. 7.2 Principio di linearità delle valutazioni Parlando del modello di b&s standard ho visto che è possibile replicare una call europea mediante un paf che contiene varie attività finanziarie in proporzioni opportune. Senza rendermene conto, per trovare un portafoglio del genere ho sfruttato il seguente Teorema (Proprietà di linearità delle valutazioni). Siano Φ 1 e Φ 2 le funzioni di contratto per i derivati semplici X 1 = Φ 1 (S T ) e X 2 = Φ 2 (S T ) esianoα 1 e α 2 numeri reali. Infine il mercato sia arb.free. Allora vale la seguente relazione di valutazione: F (t, α 1 Φ 1 + α 2 Φ 2 )=α 1 F (t, Φ 1 )+α 2 F (t, Φ 2 ). Dimostrazione. Mi basta usare la formula di valutazione arb.free (6.4.5) elalinearitàdie [ ]. Nel séguito utilizzerò a man bassa questa proprietà di linearità, almeno finché potrò. La stessa viene spesso usata anche per valutare un T -derivato 83

3 84 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi complesso, che viene decomposto in una opportuna combinazione lineare di attività semplici, che di solito comprendono: azioni, bond e opzioni europee call o put con vari prezzi di esercizio e/o scadenze. 7.3 Volatilità L utilizzo pratico della formula di b&s (6.5.4) richiede da un lato l osservazione di S t, r (dati che leggo sul mercato), (T t) e K (li leggo nel contratto), e dall altro la stima della volatilità σ dei rendimenti dell azione sottostante, 1.Semplificando, per quest ultima ci sono 4 approcci: quelli della volatilità storica, della volatilità implicita, della superficie di volatilità, della volatilità stocastica, che ora riassumo. Tornerò poi nel par sull argomento Volatilità storica Il 1 approccio stima σ sulla base della variabilità delle quotazioni in un recente passato. Per esempio, se la mia opzione scade tra 3 mesi, userò i dati storici del prezzo dell azione sottostante nell ultimo trimestre. Apro allora una parentesi. Riscrivo la solita eds che regge S t nella forma ds t = α dt + σ dw t, ovvero :dlns t = α dt + σ dw t, S t anzi, nella corrispondente equazione alle differenze cioè (ln S t )=α ( t)+σ ( W t ), ln (S t+ t /S t )=α ( t)+σ (W t+ t W t ). Oracalcolomediaevarianzadiln (S t+ t /S t ) ricordando che α e σ sono costanti e che (W t+ t W t ) ha media nulla e varianza t: E [ln (S t+ t /S t )] = α ( t), var [ln (S t+ t /S t )] = σ 2 ( t), dunque α = E [ln (S r t+ t/s t )] var [ln (St+ t /S t )], σ =. t t Io voglio fare i miei conti sulla quotazione S (t) alla chiusura di ciascuno degli ultimi n giorni lavorativi dell ultimo trimestre nei quali l azione è stata 1 Si tratta dello scarto quadratico medio non delle quotazioni dell azione, ma di quella dei rispettivi rendimenti. Accontentandomi di valutazioni a spanne, valori plausibili su base annua di σ per titoli azionari stanno tra 0.05 e 0.50 (di solito è σ 0.2).

4 7.3. Volatilità 85 quotata, sul totale degli N giorni lavorativi dell intero anno. Di solito si prende n =63e N = 252. Prendo allora t =1giorno, cioè di anno. Passo a calcolare gli n tassidirendimentogiornalieri α 1 =ln S (t 1) S (t 0 ), α 2 =ln S (t 2) S (t 1 ),..., α 63 =ln S (t 63) S (t 62 ), dei quali calcolo media m evarianzav 2 (giornaliere): m = E [α i ]= 1 63 dalle quali mi escono α e σ: α = P 63 i=1 α i, v 2 =var[α i ]= 1 P i=1 [α i m] 2, m 1/252 =4P 63 i=1 α i, σ = s v 2 1/252 =2 q P63 i=1 [α i m] 2, stavolta calcolati su base annua, come sempre intenderò salvo avviso contrario. Alcuni modificano questo metodo classico usando pesi che smorzano l effetto di rendimenti anomali (cioè troppo lontani da m) o troppo lontani dalla data della stima. I metodi di perequazione (smoothing) sono vari. Uno speciale, che era usato dalla J.P. Morgan [41], sceglie i pesi in modo da rendere minima la somma dei quadrati degli scarti tra la volatilità storica e quella implicita che ora vedo Volatilità implicita La volatilità storica riassume il comportamento passato della volatilità. Tuttavia essa di fatto non è per nulla costante, ma varia, e di parecchio, nel tempo. Qui salta fuori un problema di fondo. Al contrario di molti sistemi fisici chiusi nei quali le condizioni iniziali governano il futuro, nei mercati questo dipende pesantemente da eventi futuri che oggi sfuggono al mio controllo e da informazioni che oggi non conosco e non posso prevedere, sicché mi devo accontentare, almeno quando ci riesco, di capire ciò che la gente immagina possa succedere. A tale proposito, alcuni, dopo aver sottolineato che la storia non si ripete mai, affermano che è più serio trovare un modo per stimare σ che sia d accordo con le aspettative di mercato sulla volatilità, cioè la cosiddetta volatilità implicita. Con riferimento ad una call europea, si tratta di: rilevare tutti i dati (T t), r, S t e K, nonché il prezzo di call europee diverse per il prezzo di esercizio K e/oladiversadurata(t t), però per il resto eguali a quella che voglio valutare; supporre che il prezzo dell opzione sia sempre determinato con la formula di b&s (6.5.4);

5 86 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi trovare la volatilità implicita, cioè l unico σ che risolve quest equazione 2. Il successo della formula di b&s è testimoniato dal fatto che spesso alcune azioni sono proprio quotate in termini della rispettiva volatilità implicita. In teoria (cioè se ho una fiducia cieca nel modello di b&s enelmercato)lasoluzione σ non dovrebbe variare coi diversi valori di K. In pratica si osserva invece il fenomeno detto volatility smile (il sorriso mi ricorda quello del gatto di Cheshire in Alice nel Paese delle Meraviglie ), nel quale σ è descritto, al variare di K, da una curva a U chehaunminimoperleopzioniat the money (cioè con S t = K), mentre si alza man mano che mi sposto verso le opzioni sempre più out the money (S t <K)oin the money (S t >K). In qualche rara occasione la curva diventa invece a U rovesciato (cioè _ anziché ^, eallora si parla non di smile ma di frown: faccia di disapprovazione, smorfia), oppure crescente o decrescente, o anche irregolare. Infine, quasi sempre la volatilità implicita calcolata sui prezzi effettivi delle call è un po diversa da quella che esce dai prezzi delle put. In tutti questi casi emergono imperfezioni del modello di b&s, cioè sospetti sulla sua capacità di descrivere perfettamente l effettivo comportamento del mercato. O meglio: il modello magari funziona, ma non èpiùverocheσ è indipendente dal resto, in particolare da K, odalrapporto S t /K Superfici di volatilità Possosupporrechelavolatilitàσ varii nel tempo durante la vita dell opzione, però ancora in modo deterministico. In questo caso, se indico con σ z il valore di σ all istante z [t, T ], micalcololamedia( σ) 2 = 1 R T T t t (σ z) 2 dz enella formula di b&s (6.5.4) al posto di σ scrivo σ e con questa semplice variante tutto resta in piedi. Se σ z èdefinita soltanto per alcuni z [t, T ], ècomune ridefinire σ immaginando che σ z sia lineare a tratti sugli altri valori. Naturalmente, essendo ignota la legge che governa σ z, devo arrangiarmi cercando di estrarla dalle informazioni che ho, battendo la seguente strada, che è un po più raffinata di quella della volatilità implicita. Considero le quotazioni di tutte le call e le put europee, di varie scadenze T e con diversi valori del prezzo di esercizio K, che oggi vengono trattate sul mercato. Da ognuna delle quotazioni estraggo la rispettiva volatilità implicita σ, che dunque varia con la coppia (T,K), diciamoσ (T,K). Questa funzione misura la volatilità per una specifica coppia (T,K), e gli addetti ai lavori la battezzano forward volatility (termine un po ambiguo). Della funzione σ (T,K) conosco solo alcuni punti, quelli che corrispondono ai soli contratti che oggi sono conclusi. Il problema che a questo 2 La stretta monotonia del valore F della call e della put europea rispetto a σ (nel par vedrò infatti che è F/ σ > 0) garantisce che questa radice è unica. La posso calcolare anche per via breve usando i programmi freeware indicati nella nota di pag. 113.

6 7.3. Volatilità 87 punto mi si presenta è un problema di interpolazione, che dunque va risolto con tutti i trucchi e le ingenuità (palesi o nascoste) tipici di ogni problema del genere. Ad esempio, se la griglia dei valori disponibili di (T,K) presenta pochi buchi, posso costruire la cosiddetta superficie delle volatilità locali interpolando linearmente tra i valori noti di σ (T,K). In caso contrario sono costretto ad assumere una qualche ipotesi sul tipo di funzione che può descrivere σ (T,K) ed ecco che il problema iniziale, cacciato dalla porta (conoscere la legge che governa σ), rientra dalla finestra. Sia come sia, la superficie delle volatilità è un prodotto con scadenza molto più breve di quella del latte fresco. La colpa non sta nei difetti del metodo che posso usare per costruirla, bensì nel fatto che il punto di vista del mercato sulla volatilità futura può benissimo cambiare anche nel giro di un quarto d ora Volatilità stocastica Ovviamente, visto che l appetito vien mangiando, sono stati messi a punto modelli di volatilità stocastica, nel senso che il comportamento di questa viene descritto da una eds (modelli a due fattori), coi suoi bravi termini di deriva e di diffusione. Prendendo a prestito termini della teoria dei tassi di interesse, nei modelli con volatilità variabile la curva di σ al variare di t viene battezzata da quelli del mestiere volatility term structure: struttura a termine della volatilità. In una delle versioni più semplici ma già decenti, questo approccio associa all eds che regge S t un altra eds che regge σ t, per esempio ( dst = αs t dt + σ t S t dw t, h d (σ t ) 2i h = η (σ 0 ) 2 (σ t ) 2i dt + θ (σ t ) 2 dwt, (7.3.1) con Wh t e Wt p.s. di Wiener, η, θ e σ 0 parametri > 0. Il termine di deriva η (σ 0 ) 2 (σ t ) 2i dt segnala che la volatilità effettiva σ t può anche scostarsi dalla volatilità di lungo periodo (o volatilità media) σ 0,mavienerichiamata ³ verso questo valore grazie al parametro di aggiustamento η, 3. L addendo θ (σ t ) 2 dwt indica invece movimenti imprevedibili nella volatilità, stocasticamente indipendenti dal livello di S t.questoθ è, ridicolo a dirsi, la volatilità della volatilità. L unica cosa che posso dire per chiudere il discorso è che la volatilità resta, comunque e purtroppo, una variabile non osservabile o quasi, per giunta parecchio capricciosa (sinonimo di volatile), dunque sommamente instabile. Debbo anche osservare che, se la volatilità è stocastica, costruire un 3 Questo effetto di richiamo è tipico delle cosiddette eds del tipo mean reverting (ovvero dei processi di Ornstein-Uhlenbeck). Una caratteristica importante di queste eds è la positività di ogni traiettoria che parte da un valore iniziale S 0 > 0. Sono anche imparentate coi modelli econometrici del tipo garch(1, 1), cioè riconducibili all equazione alle differenze finite (σ t+1) 2 = ω + a (σ t) 2 + b ( r t) 2,con r t v.a. che definisce il tasso di rendimento, al netto del drift r, del sottostante, nella forma S t+1 /S t (1 + r) =σ t r t.

7 88 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi portafoglio di perfetta copertura diventa una grana: una miscela di derivato e di attività sottostante non basta più, occorre miscelare (ma la cosa è molto più semplice da dirsi che da farsi) diversi derivati. 7.4 I greci Cosa sono Considero il valore V = V (t, S t ) a t di un portafoglio che contiene un (unico) sottostante, il cui prezzo a t indico con S = S t,oltread1 opiùderivatisu quel sottostante. Ha forte interesse pratico misurare la sensitività di V rispetto sia a cambiamenti di prezzo nel sottostante (per misurare la mia esposizione alrischiorispettoavariazioniins), sia a mutamenti in t e nei parametri del modello (per capire cosa succede se ne ho specificato male i parametri). A questo scopo vengono introdotti i seguenti oggetti, detti igreci(qualcuno dice: le greche) perché battezzati tutti (salvo l ultimo, che si chiama anche k, κ o z) con lettere dell alfabeto greco: N delta Θ theta = V S, = V t, Γ gamma V vega = 2 V S 2, = V σ. ρ ro = V r, (7.4.1) Definiti questi simboli 4, posso divertirmi a riscrivere l edp (6.2.6) del modello di b&s, cioè nella forma stenografica F {z} t + rs (F S ) {z} σ2 S 2 (F SS ) {z } rf =0, Θ (theta) N (delta) Γ (gamma) Θ + rsn σ2 S 2 Γ rf =0. Un portafoglio insensibile a piccole variazioni in S (dico piccole perché, attenzione!, si tratta di un discorso soltanto locale!) è detto N-neutrale (leggi: delta-neutrale). Con N( ) e ϕ ( ) funzioni di distribuzione e di densità della gaussiana standardizzata, nel caso di una call europea ottengo (basta derivare 4 Come fanno tutti, ho usato un po dovunque il simbolo per indicare incrementi, ad esempio t o S t. Nel par. 6.1 ho poi introdotto con la (6.1.2) il simbolo N, chequiritrovo come stenografia di V/ S (o di F/ S, se il portafoglio contiene soltanto una call europea che vale F ). Lo so che N è un simbolo semplicemente orrendo (di solito si scrive per V/ S t e si tira via), ma ci tenevo ad evitare confusioni e non sapevo come regolarmi diversamente.

8 7.4. I greci 89 i 2 membri della formula di b&s (6.5.4), ma è noiosissimo): ln S t µr N =N(d 1 ) con d K + + σ2 (T t) 2 1 = σ T t, Γ = ϕ (d ³ 1) S t σ con ϕ (z) = 1 T t 2π e /2 z2, ³ ρ = K (T t) e r(t t) N(d 2 ) con d 2 = d 1 T t, Θ = σs tϕ (d 1 ) 2 rke r(t t) N(d 2 ), T t V = S t T t ϕ (d1 ). Nel caso dell esercizio (6.5.5) ho N ' , Γ ' , ρ ' , Θ ' , V' Per una put europea Γ e V sono gli stessi della call e gli altri greci sono N =N(d 1 ) 1, ρ = K (T t) e r(t t) N( d 2 ), Θ = σs tϕ ( d 1 ) 2 + rke r(t t) N( d 2 ). T t Delta- e gamma-hedging Ho il portafoglio P, che a t vale V = V (t, S), e voglio immunizzare il suo valore contro piccole variazioni nel prezzo S = S t del sottostante, nell ovvia ipotesi che il suo delta, che chiamo N P = V S, non sia nullo e, beninteso, senza liquidare tutto per investire il ricavato in bond privi di rischio. Un idea seria è di aggiungere al mio portafoglio P un nuovo prodotto (derivato o sottostante): essendo il suo prezzo correlato con S, posso forse dosare questa correzione in modo che il nuovo portafoglio sia N-neutrale. Indico con x la quantità di questo prodotto, con F = F (t, S) il suo prezzo e con N F = F/ S 6= 0il suo delta. Il valore V (t, S) del nuovo portafoglio è V (t, S)+xF (t, S)

9 90 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi e per averlo N-neutrale devo scegliere x in modo che sia [V (t, S)+xF (t, S)] =0, ovvero V S S + x F S =0, cioè: x = V/ S F/ S, diciamo x = N P. N F Mi metto in un esempio. Avendo sottoscritto un derivato (ne sono writer, perciò l ho scritto in Bilancio al Passivo) con la funzione di prezzo F (t, S), voglio ora coprirmi usando il sottostante, del quale acquisto x unità, con x da scegliere in modo che la variazione nel valore del mio portafoglio sia nulla. Poiché all Attivo ho xs ed al Passivo ho F (t, S), il valore del mio portafoglio è xf (t, S) V (t, S) ed imponendo che la sua derivata rispetto ad S sia nulla ottengo [xs F (t, S)] S =0, cioè: x = F (t, S) ; S ecco che il N del derivato, cioè F (t, S) / S, mi indica proprio la quantità del sottostante che devo detenere per immunizzare il mio portafoglio P: è esattamente lo stesso trucco usato da b&s nel modello b&s 73 (par. 6.1). Naturalmente, le variazioni che così riesco a controllare sono soltanto locali. Dunque, visto che tutti i valori cambiano man mano che il tempo passa, per fare le cose seriamente dovrei procedere con un ribilanciamento (N-hedging, N- copertura) continuo, cioè istante per istante. Trattandosi di cosa costosissima e di fatto impraticabile, mi accontento allora di un ribilanciamento discreto, cioè fatto ogni tanto (ne riparlo nel par. 7.6). Se il mio portafoglio P ha valore V (t, S), mi converrà sorvegliare anche il Γ di P, che è proprio 2 V (t, S) / S 2,e cercare di rendere P anche Γ-neutrale. Ci ragiono su.il N e il Γ del portafoglio integrativo, cioè dell azione sottostante, sono dati da N S =1, Γ S =0, perciò non posso usare l azione per controllare il Γ del portafoglio. Dunque, per rendere il portafoglio sia N- cheγ-neutrale ho bisogno di 2 diversi derivati, per esempio 2 call con valori diversi di K odit. Indico con: G (t, S) e H (t, S) i valori dei 2 diversiderivati(coin e Γ che sono N G, N H, Γ G, Γ H ), x G e x H le loro quantità, V = V (t, S) il valore del mio portafoglio originale da immunizzare, V = V (t, S) quello del portafoglio immunizzato. Ho dunque V (t, S) =V (t, S)+x G G (t, S)+x H H (t, S). Averlo N- eγ-neutralevuoldirechex G e x H devono rendere V S =0, 2 V S 2 =0,

10 7.5. Relazione di parità put-call 91 cioè che devono risolvere il sistemino lineare 2 2 nelle incognite (x G,x H ) ( NP + x G N G + x H N H =0, Γ P + x G Γ G + x H Γ H =0, che posso gestire senza diventare matto. Problemi analoghi sorgono per la neutralità rispetto ad altri parametri. Avverto che per una call o una put europea di solito il parametro Γ esplode quando si avvicina la scadenza dell opzione. 7.5 Relazione di parità put-call Un esempio ben noto che illustra il principio di linearità delle valutazioni del par. 7.2 è quello del seguente Teorema (parità put-call). Siano p (t, S t ) e c (t, S t ) i prezzi di una call e di una put europee, entrambe con scadenza T, prezzo di esercizio K e con S t quotazione a t del sottostante. Allora è p (t, S t ) valore a t della put = Ke r(t t) + c (t, S t ) valore a t del valore a t prezzo di esercizio della call S t valore a t del sottostante. (7.5.1) Dimostrazione. Considero il portafoglio in cui: sto lungo con un bond di scadenza T e valore nominale K; sto lungo con una call europea con scadenza T e prezzo di esercizio K; sto corto con una azione (cioè la vendo allo scoperto: è al Passivo). Questo portafoglio alla scadenza T mi dà ( K + K +max(s ST K S T =0, se S T K, T K, 0) S T = bond azione K +0 S T = K S T, se S T <K, ricavo dalla call esattamente quanto offre la put con le stesse caratteristiche, cioè: ( 0, se ST K, max (K S T, 0) = K S T, se S T <K, mentre a t il portafoglio vale Ke r(t t) + c (t, S t ) S t. Per evitare arbitraggi il prezzo a t della put deve eguagliare questo valore, perciò vale la (7.5.1). Ad esempio, nell esercizio (6.5.5) era S t = 100, K =105, (T t) =0.25, r =0.04, σ =0.1,

11 92 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi perciò il prezzo della call a t era c (t, S t ) ' ; usando questo risultato la (7.5.1) mi fornisce il prezzo (già anticipato alla fine del par ) dell analoga put: p (t, S t )=105e ' Copertura statica (buy and hold) e dinamica La valutazione di una opzione è parecchio delicata quando essa non è quotata su un mercato, sicché fallisce il trucco di immaginare un paf di replica. Per chi ha sottoscritto un opzione del genere emerge poi, come sempre, il problema di trovare una qualche forma di controllo e di copertura dei rischi assunti. Semplificando, le tecniche di copertura sono di 2 tipi: copertura statica e copertura dinamica. Si può usare una tecnica di copertura statica,fatta con un programma di acquisti e vendite iniziali di attività finanziarie, deciso una volta per sempre e inteso a creare un portafoglio il cui valore finale duplicherà quello dell opzione. Questo portafoglio viene anche detto del tipo buy and hold (compra e detieni, oppure copriti e dimentica) perché non necessita di alcun successivo ribilanciamento. Se mi chiedo quali derivati possono essere coperti con un portafoglio composto soltanto da bond, call, put e azioni, trovo la risposta nel seguente: Teorema Considero un derivato semplice la cui funzione di contratto Φ sia continua e con immagine chiusa e limitata. Allora esiste un portafoglio che lo replica con precisione arbitraria e che contiene soltanto bond, opzioni call e put e il sottostante. Usando anche opzioni binarie (par. 9.1) ciò vale anche per derivati con funzione di contratto Φ che, anziché essere continua, presenta un numero finito di salti (discontinuità di 1 a specie). Dimostrazione. Ogni funzione continua Φ del tipo indicato può essere approssimata bene quanto si vuole con funzioni lineari a tratti, come sono quelle dei contratti di base. Se Φ presenta salti, mi basta aggiungere alla cassetta dei ferri le opzioni binarie, proprio perché, come vedrò nel par. 9.1, la funzione di contratto di un opzione di questo tipo presenta un salto. Questo risultato consente di ottenere portafogli che replicano perfettamente qualunque funzione di contratto Φ che sia a tratti rettilinea. Dei profili più comuni, nonché dei relativi portafogli di replica dirò qualcosa nei par. 9.1 e 9.3. Il testo [32] li gestisce tutti ed è anche una vera e propria miniera per molti altri argomenti qui neppure sfiorati, (come, ad esempio, alcune notevoli

12 7.7. Critiche ed estensioni 93 limitazioni sui prezzi di opzioni call e put), oppure discussi in modo sbrigativo (ad esempio, i forward eifutures: par.9.7). Le tecniche di copertura dinamica prevedono invece la costruzione di un portafoglio che viene revisionato durante tutta la vita dell opzione, in rapporto al comportamento del sottostante e degli altri dati, esattamente come ho visto nei par. 6.1 su un portafoglio assoluto e 6.2 su un portafoglio relativo. Come si può immaginare, emerge subito la necessità di un compromesso decente tra l accuratezza della copertura, che è garantita soltanto da un ribilanciamento discreto molto frequente (ma quanto frequente? In teoria dovrebbe essere un ribilanciamento continuo, dunque da ripetere ad ogni istante: ipotesi del tutto impraticabile) ed un livello accettabile dei costi accessori di transazione che si incontrano ad ogni revisione. La distinzione tra copertura statica e dinamica è grossolana e di comodo. Nel par torno sull argomento. 7.7 Critiche ed estensioni Il modello di b&s si è rivelato nella pratica davvero flessibile (nel cap. 8 trovo alcune varianti) ed incredibilmente robusto, cioè capace di sopportarne di tutti i colori quanto a riformulazioni nelle ipotesi e nelle caratteristiche tecniche del contratto. Ciò nonostante, la critica alle sue ipotesi prosegue tuttora, nel tentativo di ottenere varianti più flessibili e/o più convincenti. Qui di séguito rendo conto, sia pure in modo molto sbrigativo, di alcune critiche ed estensioni del modello b&s standard in aggiunta a quelle che ho già presentato o almeno sfiorato Attenti alle scorciatoie! Di opzioni, intese in senso generico, ne trovo di tutti i colori in ogni momento. Ad esempio, se ho un automobile vecchia di 5 anni, ho sempre l opzione (cioè la possibilità ma non l obbligo) di comprarne una nuova, con tutti i costi e i vantaggi del caso. Anche se quest opzione ha un suo valore (controprova: è meglio averla che non averla), capisco subito che il modello di b&s non mi serve per valutarla. Per usarlo dovrei infatti controllare, una per una, tutte le ipotesi su cui esso si regge, ricevendo altrettante delusioni. Questa banale osservazione serve per invitare il mio prossimo a stare attento alle scorciatoie, cioè a rifiutare l idea che qualunque opzione possa essere valutata col modello di b&s (o con strade analoghe, per esempio col modello binomiale), pur di conoscere la relativa formula, cioè pur di sapere come si fa anche se non so perché: un po come voler curare qualunque malattia con un unico farmaco. Purtroppo, questa scorciatoia è diventata molto popolare. In altre parole, molti credono non solo alla Befana (poco male!), ma anche all idea che ogni opzione

13 94 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi la si possa valutare con una qualche formula, disinteressandosi di tutto quello che sta alle spalle di quest ultima. Per evitare illusioni è dunque bene che mi ponga sempre qualche domanda. Comincio subito: chi è il mio sottostante? Ce l ha o no un mercato arb.free sul quale osservare i suoi prezzi? È sensata l idea che questi si muovano con un moto browniano geometrico? Posso comprare e vendere (magari allo scoperto) il sottostante su quel mercato? Davvero posso costruire un portafoglio privo di rischio, che posso man mano ribilanciare per mantenerlo tale e che in ogni caso replica la mia opzione? E via di questo passo. Se la risposta ad ogni domanda è sì, allora la formula di b&s èilmio cacio per i miei maccheroni. In caso contrario è meglio che la lasci perdere. Caso particolare: se sono un ciarlatano, non mi faccio nessuna domanda e uso sempre quella formula non appena trovo qualcuna che la beve Copertura dinamica e costi di transazione Ho già accennato poche righe sopra sia ai problemi che sorgono quando si cerca la copertura dinamica di un portafoglio sorvegliando il comportamento del sottostante, sia alla necessità di trovare un compromesso tra accuratezza della copertura e costi di transazione. Analogo discorso vale per tecniche di monitoraggio e di copertura quali il delta- e il gamma-hedging del par e la regola di platino che vedrò nel par In ogni caso non posso scordare che in tutti questi casi si lavora sempre su risultati locali che devo augurarmi siano non troppo locali, dunque accettabili quando mi limito a variazioni comprese in una banda di valori plausibili Linearità addio? La presenza di costi di transazione tradisce le ipotesi di base del par , perché esalta il fenomeno del bid-ask spread e riduce la liquidità del mercato. Modellizzare i costi di transazione è anche possibile, tuttavia farlo in modo realistico non è proprio cosa facile (la proposta, forse un po ingenua, che vedrò nel par è solo una delle tante). Sia come sia, i costi di transazione hanno anche un effetto secondario importante, quello di alterare la linearità delle valutazioni (teorema 7.2.1) del modello di base. Devo infatti tener conto che quei costi provocano vere e proprie economie di scala, nel senso che i loro effetti sono relativamente moderati nei portafogli di grosse dimensioni, invece sensibili in quelli di dimensioni modeste, col risultato che l effettivo valore di un derivato o di un portafoglio finisce per dipendere dal soggetto che lo gestisce. Questa perdita di linearità si riflette anche nella non-linearità delle edp che descrivono la dinamica dei valori (ne dico qualcosa nel par ). Ma qui non è proprio il caso, come talvolta si legge, di sottolineare questo effetto in

14 7.7. Critiche ed estensioni 95 modo drammatico. In fondo, c è sempre gente disposta a guadagnarsi il pane risolvendo per via numerica edp rognose Sono tutti price-taker? Un altra grana molto seria nasce dal fatto che, nella pratica, in mercati non perfettamente liquidi, le stesse transazioni che gli operatori effettuano a scopo di copertura e ribilanciamento finiscono spesso per spostare il prezzo dei beni sottostanti. Ciò contrasta con l idea che quelle transazioni seguano le variazioni, per giunta del tutto casuali, in quei prezzi. In altre parole, nella realtà il meccanismo teorico S t cambia gli operatori reagiscono viene ad essere modificato inserendo una sorta di effetto di feed-back, cioè diventa S t cambia gli operatori reagiscono Specialmente in un mercato che ha già di suo problemi di liquidità, questo nuovo schema può diventare perverso, cioè creare non solo instabilità e oscillazioni, ma addirittura occasioni non banali di arbitraggio, bolle speculative e crolli Incertezza nei parametri Ho già avvertito nel par. 7.3 che, di fatto, il parametro σ del modello di b&s non solo è variabile col tempo e col prezzo del sottostante (poco male se questa dipendenza restasse deterministica), nonché col prezzo di esercizio K (fenomeni del tipo smile, frown e simili), ma è addirittura non deterministico, sicché andrebbe modellizzato in modo un po più credibile, cioè come un vero e proprio p.s.. In realtà osservazioni simili valgono anche per gli altri parametri del modello, in particolare per il tasso istantaneo di interesse r eperilflusso istantaneo di dividendi (li introduco nel par. 8.1). Anche senza definire nuovi modelli che li trattano non come parametri ma come p.s. ben definiti, è comunque prudente fare sempre i conti immaginando che ogni parametro si muova in una sua banda di valori plausibili, spesso chiamata banda di certezza (alcuni dicono banda di incertezza). In questo ordine di idee la prudenza suggerisce anche di esplorare un intero ventaglio di diversi scenari futuri che si possono presentare, dal peggiore al migliore (worst case e best case analysis). Le 5 Esistono parecchi metodi per risolvere edp, tutti curiosi e interessanti. Non potendo occuparmene qui, mi limito a rinviare ai cap di [53] ed ai testi [12] e [44].

15 96 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi idee che presenterò nel par per gestire un derivato o un portafoglio in condizioni di crash rientrano in questo schema, al pari di ciò che racconto nei prossimi 2 paragrafi Volatilità incerta Alcuni sostengono (e hanno ragioni da vendere!) che la volatilità è così bizzosa, imperscrutabile e non osservabile che è impossibile stimarla in modo appena appena affidabile, tanto meno modellizzarla in modo decente. Aggiungono perciò che l unica cosa da fare è questa: fisso, sulla base dell esperienza passata dei rendimenti del sottostante che mi interessa, una banda ragionevolmente ristretta di valori [σ, σ + ]; suppongo che in futuro σ non possa mai uscire da questa banda; suppongo che, di fatto, le cose vadano sempre nel peggiore dei modi, cioè che, ad ogni istante futuro, σ assuma il valore che, in quell istante, è per me il più sfortunato: come dire che vale sempre la legge di Murphy 6. Vedo di ragionarci sopra. Ritorno al modello b&s 73 del par All istante t il mio portafoglio ha queste caratteristiche: ho una posizione lunga (perciò all Attivo) su N azioni, ognuna di valore corrente S t, ed una corta (perciò al Passivo) su un T -derivato che ho venduto (cioè sottoscritto) su quelle azioni; questo derivato ha il valore F = F (t, S t ), ancora incognito, e scade a T col suo pay-off Φ (S T ); ho già fatto delta-hedging, cioè ho già provveduto a rendere privo di rischio il mio portafoglio scegliendo N = F/ S t, sicché il valore V (t) del portafoglio e il suo differenziale dv (t) sono descritti dalle (6.1.3)-(6.1.4), che qui ricopio: V (t) =F S S t F, (7.7.1) h dv (t) = F t 1 2 F SS (S t σ) 2i dt. (7.7.2) 6 Per quanto priva di fondamento razionale, è una legge popolarissima nella quale moltissimi credono. Ne esistono varie versioni, che tutte rispondono a domande come questa: se sto spalmando un po di burro su una fetta di pane e questa mi casca per terra, quale lato finirà a contatto col pavimento? Oppure: se al supermercato sono in coda davanti ad una cassa, con una coda come quelle delle altre casse, in quale cassa finirà il rotolo di carta, oppure un cliente cercherà di pagare con una carta di credito non valida bloccando la fila?

16 7.7. Critiche ed estensioni 97 A questo punto faccio il pessimista (per darmi delle arie: faccio della worst case analysis) supponendo che, ad ogni istante, σ assuma nella banda [σ, σ + ] il valore per me peggiore, cioè quello che più di tutti deprime dv (t), cioèquello che massimizza F SS (S t σ) 2. In altre parole suppongo sia σ = σ + se è F SS > 0, invece σ = σ se F SS < 0, infine un valore qualunque in [σ, σ + ] se F SS =0. Insomma, σ non è più una costante deterministica ma diventa una funzione σ (F SS ) fatta così: σ (F SS )= (posizione corta) ( σ +, se F SS 0, σ, se F SS < 0. (7.7.3) Per chiamare cose diverse con nomi diversi indico con F + il corrispondente valore del derivato e con Γ il suo gamma, cioè F + SS. Questa notazione può sembrare stravagante, ma mi serve proprio per sottolineare che σ viene scelto in modo da deprimere il valore V (t) della mia posizione netta, nel mio caso gonfiando il valore F (t, S t ) del derivato che sta al Passivo del mio Stato Patrimoniale,prospettochequiricopiodalpar.6.1: Stato Patrimoniale Attivo F + S S t Debiti F + Netto (F + S S t F + ) V (t) totale F + S S t totale F + S S t Ora proseguo come nel par. 6.1: per l ipotesi di non arbitraggio, il mio portafoglio dovrà avere lo stesso rendimento (tasso istantaneo r) di un titolo privodirischioediparivalorev (t), cioè impongo che sia dv (t) =rv (t) dt; poi riscrivo le (7.7.1)-(7.7.2) con F + al posto di F,semplifico quanto basta e arrivo al problema F t + + rf + S S t Γ [S tσ (Γ)] 2 rf + =0, F + (T,S T )=Φ (S T ), ( σ +, se Γ = F + SS σ (Γ) = 0, (7.7.4) (posizione corta) σ, se Γ = F + SS < 0. che è del tutto simile a quello di b&s (6.2.6), però col parametro di volatilità σ cheadessononèpiùcostantemaèσ (Γ), cioè si muove con la legge del pessimismo (7.7.3). Finora ho immaginato di stare corto (cioè debitore) su un derivato, e il mio pessimismo ha visto σ massimizzare il valore del derivato. Se invece avessi una

17 98 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi posizione lunga sul derivato (cioè se avessi: il suo valore F all Attivo e F S S t al Passivo), allora al posto delle (7.7.1) e (7.7.2) avrei V (t) =F F S S t, h dv (t) = F t F SS (S t σ) 2i dt. In questo caso il mio pessimismo mi spinge ancora a deprimere il valore di V (t), ma per ottenere questo risultato stavolta devo cercare il σ che minimizza F, valore che indicherei con F. In altre parole, con una posizione lunga sul derivato rovescerei la regola (7.7.3), ottenendo così, al posto del sistema (7.7.4), il sistema: Ft + rfs S t Γ [S tσ (Γ)] 2 rf =0, F (T,S T )=Φ (S T ), ( σ, se Γ = FSS σ (Γ) = 0, (7.7.5) (posizione lunga) σ +, se Γ = FSS < 0. Posso osservare quanto segue: se indico con F BS (t, S t ) il valore che il derivato assume nel consueto modello di b&s con un σ fisso scelto in [σ, σ + ], allora risulta F (t, S t ) F BS (t, S t ) F + (t, S t ); adottare una visione pessimista sul comportamento di σ mi assicura che, continuando a fare delta-hedging, il rendimento della mia posizione sarà almeno r; anzi, più di r se non avrò sfortuna massima in ogni istante futuro; il discorso che ho raccontato diventa delicato per le opzioni il cui gamma può cambiare segno; al contrario, nelle call e put europee, che hanno sempre questo greco positivo, posso usare la consueta formula di b&s con volatilità σ costante, cioè con σ = σ + o σ = σ a seconda dei casi (posizione corta o lunga), ritrovando in entrambi un caso particolare delle (7.7.4) e (7.7.5); non essendoci più un unico valore di σ ma un intera banda di valori [σ, σ + ], non esiste più il valore del derivato, ma esistono i due valori F (t, S t ) e F + (t, S t );inpiùèdiversanei2 casi l edp che devo risolvere per calcolare il valore del mio derivato; nei problemi (7.7.4) e (7.7.5) ho a che fare con una edp non lineare, dunque una sua soluzione per quadrature me la scordo, la devo trovare per via numerica;

18 7.7. Critiche ed estensioni 99 a questo punto devo dire addio anche al principio di linearità delle valutazioni (teorema 7.2.1); il problema (7.7.4), al pari di suo fratello (7.7.5), è stato costruito da Avellaneda e altri (in [4] e [5]) apposta per gestire il caso di volatilità incerta; tuttavia ad un problema dello stesso tipo vengo condotto anche quando l incertezza riguarda non σ ma il tasso di interesse r privo di rischio o il flusso di dividendi pagati dall azione sottostante, oppure per gestire la presenza di costi di transazione (vedi [3]); i sistemi (7.7.4) e (7.7.5) servono per valutare in modo pessimista il derivato sul quale mantengo, rispettivamente, una posizione corta (e allora è F = F + ) ed una lunga (e allora è F = F ); per gestire in modo unificato i 2 casi senza andare in oca, posso lavorare come segue: assegno a Φ (S T ) il suo segno naturale, cioè Φ (S T ) indica un incasso se Φ (S T ) > 0, un pagamento se Φ (S T ) < 0; definisco una posizione sul derivato come corta se F (t, S t ) < 0, come lunga se F (t, S t ) > 0; unifico i 2 sistemi nella forma F t + rf S S t Γ [S tσ (F Γ)] 2 rf =0, F (T,S T )=Φ (S T ), ( σ (7.7.6), se F Γ 0, σ (F Γ) = σ +, se F Γ < 0, nella quale, per farla corta, sono tornato alla notazione standard F per indicare il valore del derivato, in ogni caso calcolato sotto l ipotesi pessimista che vede σ comportarsi, ad ogni istante, in modo da rendere minimo il valore V (t) della mia posizione netta Copertura statica ottimale Fermo il resto, più è ampio l intervallo [σ, σ + ] e più ampio è lo scarto tra F (t, S t ) e F + (t, S t ). È però possibile adottare qualche contromisura per ridurre questo possibile spazio di contrattazione sul derivato. Ora vedo come. Suppongo che mi venga chiesto di definire: il minimo prezzo al quale vendere un derivato non quotato (lo si chiama prezzo del venditore, seller s price, bid price, short price, prezzo denaro), oppure: il massimo prezzo al quale comprare il derivato (prezzo del compratore, buyer s price, ask price, long price, prezzo lettera).

19 100 Capitolo 7. Il modello B & S: complementi Non avendo informazioni affidabili su σ (magari il derivato non è neppure quotato!), fisso una banda [σ, σ + ] di valori per la volatilità σ ecilavoro. Userò le convenzioni sul segno di F edelpayoff Φ già indicate poco prima della (7.7.6) e tratterò un entrata o un uscita di cassa derivanti da una compravendita di altri derivati con la stessa convenzione scelta per Φ. Riassumendo, userò queste convenzioni: ½ attività (crediti, posizioni lunghe) + per : entrate di cassa ½ passività (debiti, posizioni corte) per : uscite di cassa Per fissare le idee immagino che mi si chieda di vendere un derivato con pay-off Φ (S T ) 0 alla scadenza T. Correre rischi non è mai piacevole, perciò cerco di trovare una qualche forma di copertura. Suppongo che siano trattati sul mercato n derivati semplici con scadenza T, scritti anch essi sullo stesso sottostante quotato S t e che posso acquistare e/o vendere nelle quantità descritte dal vettore x =[x 1,...,x n ] con componenti di segno libero. Per farla corta, indico con Φ i (S T ) il pay-off del derivato i-esimo in quantità unitaria x i =1econc i il suo prezzo di mercato, elemento del vettore colonna c di R n. Una volta fissato il mio portafoglio integrativo di copertura x, esso genera il corrispondente flusso di cassa xc = P n i=1 x ic i, esaràxc > 0 o xc < 0 a seconda che in x prevalgano gli acquisti (cioè i costi) o le vendite (cioè i ricavi). Il pay-off finale generato da x, cioè P n i=1 x iφ i (S T ), va ad aggiungersi al pay-off Φ (S T ) del derivato che voglio vendere, sicché il pay-off della mia posizione (posizione complessiva, cioè: derivato di partenza + portafoglio integrativo x) è il cosiddetto pay-off integrato o residuale Φ (S T )+ P n i=1 x iφ i (S T ), (7.7.7) che, per semplicità, posso supporre non sia identicamente nullo e non cambi segno al variare di S T, in modo da capire subito se la mia posizione è lunga (Φ + P i x iφ i 0) oppure corta (Φ + P i x iφ i 0). Per valutare la mia posizione a t devo allora: Valutare il mio portafoglio di (n +1)derivati, al quale compete il pay-off (7.7.7). Beninteso, questa valutazione la condurrò con la stessa visione pessimista che ho esposto nel par , arrivando al valore, che chiamo

20 7.7. Critiche ed estensioni 101 G = G (t, S t ),cherisolveilsistema G t + rg S S t G SS [S t σ (GG SS )] 2 rg =0, G (T,S T )=Φ (S T )+ P n i=1 x iφ i (S T ), ( σ, se GG SS 0, σ (GG SS )= σ +, se GG SS < 0, (7.7.8) che ottengo dal sistema (7.7.6) usando G al posto di F (difatti ora c è un pay-off diverso) e scrivendo in chiaro G SS per Γ. Naturalmenteavrò G>0 o G<0 a seconda che la mia posizione sia lunga o corta. Visto che a G ci arrivo grazie al portafoglio integrativo x, non devo scordarmi di aggiungere a G il valore di x, cioèxc, ottenendo la somma f (x) = G (t, S t ) {z } valore (pessimista) a t della + ( xc) {z } ricavo (se >0) ocosto. (7.7.9) posizione coperta con x (se <0) dellacoperturax A questo punto il minimo prezzo di vendita del derivato che devo quotare non è altro che [ f (x)]. Finora x era fissato, ma posso farmi furbo, cioè cercare, tra tutte le possibili scelte di x, il portafoglio integrativo x che rende massimo f (x) (difatti devo rendere minimo [ f (x)]): f (x )=maxf (x). (7.7.10) x L idea che sta sotto a tutto quanto è: devo trovare un x che riduce, come meglio non potrei fare, il prezzo di vendita al quale offro il derivato. Resta inteso che sulla mia posizione complessiva dovrò poi fare, se lo desidero, copertura dinamica. È ovvio che il valore del mio portafoglio di (n +1)derivati risulterà tanto meno sensibile all incertezza della volatilità quanto più il pay-off residuo (7.7.7) è ridotto. Addirittura, se x rendesse nullo, S T,ilpay-off integrato, allora G (t, S t ) sarebbe nullo ed x sarebbe il (miglior) portafoglio che replica il derivato da vendere, derivato il cui valore sarebbe semplicemente x c. Una volta che conosco il prezzo minimo al quale offrire il derivato, posso anche calcolarmi la volatilità implicita σ nella quotazione alla quale lo offro. Beninteso, la vera volatilità σ era aleatoria e tale rimane, perciò questo σ ha, della vera volatilità implicita, l apparenza più che la sostanza. Nel caso che debba calcolare il massimo prezzo al quale acquistare il derivato, l unica cosa che cambia in quanto ho già detto è che questo prezzo è f (x ).

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