= 1, = w 2 x σ 2 x + (1 w x ) 2 σ 2 x 2 w x (1 w x ) σ x σ y, = w x 0.2. = 0,

Transcript

1 Corso di Laurea: Numero di Matricola: Esame del 6 febbraio 2014 Tempo consentito: 120 minuti Professor Paolo Vitale Anno Accademico UDA, Facoltà d Economia Domanda 1 [9 punti, 270 & 509]. 1. Se w x è il peso attribuito al titolo x, il rendimento del portafoglio p è pari a r p = w x r x + 1 w x ) r y. Così, il valore atteso del rendimento del portafoglio p è E[ r p ] = w x E[ r x ] + 1 w x ) E[ r y ] = E[ r y ] + E[ r x ] E[ r y ]) w x = w x, cioè una funzione crescente del peso attribuito al titolo x. Per quanto riguarda la varianza del rendimento del portafoglio p si noti che i due titoli sono perfettamente negativamente correlati, in quanto ρ xy = σ xy σ x σ y = 1, cosicché si ha che: Var [ r p ] = w 2 x σ 2 x + 1 w x ) 2 σ 2 x + 2 w x 1 w x ) σ xy = w 2 x σ 2 x + 1 w x ) 2 σ 2 x 2 w x 1 w x ) σ x σ y, cioè Var [ r p ] = w x σ x 1 w x ) σ y ) 2 = 0.6 w x 0.2) 2, La varianza del portafoglio p è quindi una funzione non monotona del peso attribuito al titolo x. 2. Derivando l espressione della varianza del rendimento del portafoglio p rispetto al peso w x abbiamo che: ) Var [ r p ] = w x 0.2. w x La varianza è una funzione convessa del peso w x e quindi ammette un minimo per Var [ r p ] w x = 0, cioè per w x = Poiché il rendimento atteso del portafoglio p è crescente nel peso attribuito al titolo x, l insieme dei portafogli efficienti è dato dalla condizione che: w x 1 3.

2 Frontiera dei Portafogli della Domanda 1 Domanda 2 [6 punti, 270 & 509]. 1. Si veda la discussione sull APT negli appunti delle lezioni, presso il seguente URL: vitale/riservato/finanza6-handout.pdf. Si noti in particolare la discussione sulla relazione tra dimensione di impresa, rapporto vc/vm e tassi di rendimento medi evidenziata da Fama e French. 2. Secondo il CAPM il rendimento di un titolo rischioso è pari a: mentre per l APT è dato da: r j = r f + β j r m r f ) + ɛ t, r j = r f + L b jl F l + ɛ t, l=1 Per ottenere i premi di rischio associati al CAPM e al modello a tre fattori si usano quindi le seguenti relazioni: E[ r j ] r f = b j,mercato E[ r m] r f ), E[ r j ] r f = b j,mercato E[ r m] r f ) + b j,dimensione E[ F dimensione ] + b j,vc/vm E[ F vc/vm ]. Così, considerando che E[ r m ] r f = 5.2%, E[ F dimensione ] = 3.2% e E[ F vc/vm ] = 5.4%, si ha che: Premio di Rischio Atteso percentuale) Sensibilità ai Fattori Modello a Industria b mercato b dimensione b vc/vm Tre Fattori CAPM Aereonautica Bancaria Chimica Farmaceutica

3 Domanda 3 [3 punti, 270]. L imprenditore agricolo può vendere 3 contratti futures con scadenza tra 3 mesi. Se il prezzo dei maiali scende, il guadagno sul contratto futures compensa la perdita sulla vendita dei maiali. Se il prezzo dei maiali sale, il guadagno sulla vendita di maiali viene compensato dalla perdita sul contratto futures. Quindi l impiego del contratto futures consente un immunizzazione completa rispetto alle fluttuazioni del prezzo dei maiali. Domanda 4 [6 punti, 270]. 1. La Tabella riporta i risultati dell applicazione del metodo della regressione cross-section per l analisi della persistenza della performance dei fondi comuni di investimento. Diversamente dal metodo presentato negli appunti delle lezioni presso il seguente URL: vitale/riservato/finanza7-handout.pdf) Goetzmann e Ibbotson impiegano una misura della performance corretta per il rischio, ovvero l alfa di Jensen. Sulla base delle statistiche t-student riportate nella Tabella si può dire che i risultati di Goetzmann e Ibbotson manifestano una forte persistenza nella performance dei fondi comuni statunitensi nel periodo preso in considerazione. 2. Nell applicazione del metodo della cross-section proposta da Goetzmann e Ibbotson il problema principale consiste nel survivoship bias. Poiché i fondi peggiori sono molto spesso liquidati prima del termine del periodo di osservazione e quindi sono esclusi dal campione di stima, i risultati riportati tendono a sovrastimare la performance dei fondi. Un secondo problema consiste nella stima stessa degli alfa di Jensen. Questa prevede la specificazione e la stima di un modello ad uno CAPM) o più fattori a là Fama e French). La scelta e la stima del suddetto modello propone gli usuali problemi di identificazione. Domanda 5 [6 punti, 270]. 1. Lo spread è pari alla differenza tra il miglior prezzo di vendita ask), $20.70, e il migliore prezzo di acquisto bid), $20.55, prevalenti nel mercato, cioè è pari a Il valore complessivo dei limit order di vendita è pari a 30,000 azioni. Il valore complessivo dei limit order di acquisto è pari a 45,000 azioni. Quindi essendoci una maggiore disponibilità ad acquistare che a vendere, possiamo dire che il mercato è più consistente o profondo deeper) sul lato della domanda. 3. Il prezzo ask prevalente nel mercato corrisponde al migliore limit order di vendita, cioè quello a cui corrisponde il prezzo più basso a cui un venditore è disposto a trattare. In questo caso il prezzo ask è pari a $20.70 e corrisponde ad un ordine di vendita di 20,000 azioni a non meno di $ Il prezzo bid prevalente nel mercato corrisponde al migliore limit order di acquisto, cioè quello a cui corrisponde il prezzo più alto a cui un acquirente è disposto a trattare. In questo caso il tasso di cambio bid è pari a $20.55 e corrisponde ad un ordine di acquisto di 5,000 azioni a non più di $ Il market order di acquisto di 10,000 azioni viene abbinato al migliore limit order di vendita esistente, per la vendita di 20,000 azioni a non meno di $ Ovviamente il nostro acquirente compra solo una frazione del migliore ordine di vendita 10,000 su 20,000 azioni) ad un prezzo di $ In questo caso il migliore limit order di acquisto esistente non copre la quantità indicata dal market order, 5,000 azioni contro 30,000. La parte del market order non soddisfatta dal migliore limit order di acquisto viene quindi completata muovendosi lungo la curva di domanda del libro degli ordini. Così, una prima parte del market order di vendita, per 5,000 azioni, viene soddisfatta ad un prezzo di $20.55, una seconda parte, per 20,000 azioni, viene soddisfatta ad un prezzo di $20.50 e la rimanente parte, per 5,000 azioni, viene soddisfatta ad un prezzo di $20.45.

4 7. Questo ordine di acquisto non può essere eseguito. L ordine verrà aggiunto al libro degli ordini. Il lato della domanda del mercato risulterà più cospicuo e il prezzo bid aumenterà di 5 a $20,60 con una riduzione corrispondente dello spread a 10. Ciò conferma che generalmente i limit order, diversamente dai market order, aumentano la liquidità del mercato e ne riducono i costi di transazione. Domanda 6 [3 punti, 509]. La risposta è affermativa. Infatti per verificare l opportunità di arbitraggio è sufficiente acquistare due obbligazioni A e un obbligazione B per un esborso di 287 e contestualmente vendere tre obbligazioni C ricavando 288. In questo modo si ottiene un profitto iniziale di 1 e nessun esborso successivo. Domanda 7 [6 punti, 509]. 1. La formula della rendita annua costante immediatamente fornisce il valore economico, V, del brevetto nel primo scenario, [ ] 1, 000, V = ) 10 = 1, 000, = 1, 000, = 7, 721, 734, Nel caso esista il rischio che un nuovo brevetto elimini i ricavi del brevetto della società farmaceutica Benarini, occorre considerare i valori attesi dei ricavi del brevetto negli anni da 1 a 10. In particolare, considerando che ogni anno vi è una probabilità che un nuovo brevetto emerga sia costante e pari a p, con p = 0.1 = 10%, non è difficile stabilire che il valore atteso del payoff del brevetto nell anno 1 è 1, 000, p), poichè 1 p) è la probabilità che il brevetto frutti ancora dei ricavi nell anno 1. In maniera analoga possiamo concludere che la probabilità che nell anno 2 non sia ancora emerso un nuovo brevetto è 1 p) 1 p) = 1 p) 2, cosicché il valore atteso del payoff del brevetto nell anno 2 è 1, 000, p) 2. In pratica ci troviamo difronte ad una situazione simile a quella che si avrebbe con rendita annua decrescente, in quanto i valori attesi del payoff del brevetto dagli anni 1 a 10 sono 1, 000, p)... 1, 000, p) 10. Sfruttando la formula delle rendite annue crescenti, dove in questo caso il tasso di crescita è di fatto negativo, si ha V = 1, 000, [ p ) ] 1 p) 10 1 r + p 1 + r) [ = 1, 000, ) ] 0.9) ) Domanda 8 [6 punti, 509]. = 1, 000, [ ] = 1, 000, = 4, 715, 650, Falso. Il TRES non è una valida misura di rendimento per i coupon bonds poiché non prende in considerazione correttamente le opportunità future di reinvestimento. Il calcolo del TRES assume che il reinvestimento avvenga sempre al con tasso di interesse pari al TRES. In verità le cedole saranno reinvestite ai tassi a pronti che prevarranno in futuro.

5 2. Vero. Negli appunti delle lezioni vengono presentati esempi numerici che confermano la veridicità di tale affermazione vedi il seguente URL: vitale/riservato/finanza9- Handout.pdf). Un ulteriore modo per verificarla si ottiene notando che la durata di un obbligazione, che misura la sensibilità del prezzo rispetto a variazioni dei tassi di interesse, aumenta con la scadenza del titolo e diminuisce con la cedola. 3. Vero. Sia infatti r 0,t+n > r 0,t per n > 0. Per definizione f t,n rispetta la seguente formulazione, Per cui, 1 + r 0,t+n ) t+n 1 + r 0,t ) t 1 + f t,n ) n. 1 + f t,n ) n = 1 + r 0,t+n) t+n 1 + r 0,t ) t = Comunque, considerando che r 0,t+n > r 0,t si ha 1 + r 0,t+n ) t+n 1 + r 0,t ) t 1 + r 0,n ) n 1 + r 0,n) n. 1 + r 0,t+n ) t+n 1 + r 0,t ) t 1 + r 0,n ) n 1 + r 0,n) n = 1 + r 0,t+n) t 1 + r 0,t+n ) n 1 + r 0,t ) t 1 + r 0,n ) n 1 + r 0,n ) n > 1 + r 0,t+n) n 1 + r 0,n ) n 1 + r 0,n) n. Inoltre considerando che r 0,t+n > r 0,n si ha che Per cui abbiamo verificato che 1 + r 0,t+n ) n 1 + r 0,n ) n 1 + r 0,n) n > 1 + r 0,n ) n. 1 + f t,n ) n > 1 + r 0,n ) n, cioè f t,n > r 0,n. In altre parole, abbiamo verificato che n, e t il tasso di interesse a termine, f t,n è maggiore del corrispondente tasso a pronti, r 0,n.