Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale

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1 rimanente naturale L archeologia e il tempo, Metodi di datazione 4-8 Maggio 2009, Peveragno (Cuneo)

2 Parte I Magnetizzazione Rimanente Naturale S

3 Magnetizzazione naturale rimanente in un campione di roccia Possiamo immaginare un campione di roccia come una matrice diamagnetica nella quale sono immersi dei granuli ferromagnetici (s.l.). In assenza di campo esterno la direzione dei momenti magnetici (M s) dei singoli granuli è diretta lungo una direzione preferenziale di ogni granulo detta asse facile. Un campione è magnetizzato quando la somma vettoriale dei momenti magnetici dei singoli granuli è 0. In granuli uniassiali il momento magnetico può essere diretto in entrambi i versi lungo la direzione dell asse, ma per passare da un verso a quella opposta bisogna superare una barriera energetica che chiamiamo energia di blocco (Eb). Per magnetizzare o smagnetizzare un campione bisogna superare l energia di blocco delle sue particelle magnetiche. S

4 Prendiamo in considerazione l anisotropia uniassiale e vediamo come l applicaziopne di un campo magnetico possa cambiare la direzione della M s. L energia libera di una particella magnetica di questo tipo è data dalla somma di due termini, l energia di anisotropia (K u sin 2 θ) e l energia di Zeeman -(µ 0 M s H cos(φ θ)) dovuta al campo magnetico. In questo caso l energia libera E = E A + E H sarà data dalla E = v `K u sin 2 θ µ 0 M s H cos(φ θ) (1) dove K u è la costante di anisotropia, θ l angolo fra M s e l asse facile e φ l angolo fra l asse facile e la direzione di H, v è il volume della particella, µ 0 è la permeabilità magnetica del vuoto, M s spontanea, H l intensità del campo magnetico. L applicazione di un campo magnetico permette di superare l energia di blocco. S

5 S Le direzioni stabili di M s corrispondono ai minimi di E.

6 Effetto della temperatura Per effetto della agitazione termica ogni tanto succede che qualche momento magnetico acquisti una energia sufficientemente alta da superare la barriera energetica (energia di blocco) e cambi la sua direzione. Questo succede in maniera del tutto casuale. Se si attende abbastanza a lungo i momenti magnetici si troveranno dispersi casualmente ed il campione sarà demagnetizato. S

7 Effetto della temperatura Se consideriamo i 2 possibili stati che M s può assumere, che chiamiamo 1 e 2, e che corrispondono agli angoli θ dei minimi della eq. 1. Per una tale particella bi-stato la probablità che che il momento magnetico si trovi in uno dei due minimi (diciamo 1) è descritta dalla cosiddetta equazione cinetica. n 1 = n 1 w 1 + n 2 w 2 (2) t dove n 1 e n 2 sono le frazioni della rispettivamente negli stati 1 e 2 (assumendo n 1 + n 2 = 1) e w 1,2 = f o exp ( Eb 1,2 /kt ). I termini n 1 w 1 e n 2 w 2 nella eq. 2 descrivono la probabilità del momento magnetico di passare rispettivamente dallo stato 1 2 e dallo stato 2 1, in accordo con la statistica di Boltzmann. Il fattore di proporzionlità f o rappresenta la frequenza di ri-organizzazione atomica (in pratica il nr. di tentativi/sec), che è a sua volta funzione di K u, M s, T, H e φ. Nella letteratura vengono riportate diverse formulazioni per f o, ma si può considerare con buona approssimazione f o S

8 Effetto della temperatura Sostituendo n 2 = 1 n 1 e integrando con eq. 2 rispetto a t, assumendo quindi T and Eb 1,2 constanti, otteniamo la expressione classica dell approccio all equilibrio. «t n 1 (t) = n eq + (n 1 (0) n eq) exp (3) τ dove n eq = w 2 1 w 1 + w 2 τ = w 1 + w 2 Il termine n eq rappresenta la all equilibrio termodinamico, mentre n 1 (0) è la frazione iniziale di momento magnetico nello stato 1. Dato che il tempo di τ è funzione delle barriere energetiche Eb 1,2, viene introdotta una dipendenza di τ dal volume delle particelle. Dalla eq. 3, le frazioni n 1 (t) and n 2 (t) = 1 n 1 (t) possono essere calcolate come funzione del tempo t e la di un insieme di particelle può essere calcolata come la somma vettoriale dei momenti nei 2 stati. L effetto della agitazione termica sui minerali magnetici è quello di ristabilire l equilibrio termodinamico e quindi cancellare la rimanente. Il suo studio è importante per capire la stabilità della rimanente e il metodo della de termica. S

9 τ Il tempo di (τ) è il tempo necessario per ridurre la rimenente iniziale (M r0 ) di un insieme di particelle a M r0 /e. Rappresenta una misura della stabilità della rimanente. S

10 τ L espressione classica per τ riportata spesso nei libri di testo è la seguente 1 τ = 1 f o exp «v hc M s 2 kt Dimensionalmente v h c M s = [cm 3 ] [Oe] [G] = [cm 3 ] [erg] [G 1 ] [cm 3 ] [G] v hc Ms = [erg] è una energia. Il termine rappresenta quindi l energia di 2 blocco, kt l energia termica. 1 l eq. 4 è equivalente alla τ definita nella eq. 3 se assumiamo H = 0 Eb1 = Eb 2 = v K u e hc Ms consideriamo la coercività h c equivalente alla microcoercività h k = (2K u)/m s (quindi K u = ) e 2 infine consideriamo w 2 = 0 (cioè nessuno momento nel minimo 2). sostituendo Eb con 1 τ = w 1 + w 2 = f o exp ( Eb/kT ) + 0 = f o exp ( Eb/kT ) v hc Ms 2 che è equivalente alla eq. 4. abbiamo 1 τ v hc Ms = fo exp 2 kt «(4) S

11 τ e S

12 τ e temperatura τ = 1 f o exp «v hc M s 2 kt τ diminuisce drasticamente con l aumento della temperatura, quindi la temperatura è un altro modo per superare l energia di blocco e cambiare la rimanente. S

13 τ rispetto a h c e v Tempi di di un insieme di granuli SD con lo stesso M s su un diagramma volume (v) vs. coercività (h c). Le linee con lo stesso τ hanno lo stesso prodotto v h c, La popolazione di granuli del nostro ipotetico campione è rappresentata dai contour grigi. Granuli con τ < τ s sono superparamagnetici 2. 2 τs è un tempo di durante il quale osserviamo (misuriamo) il campione, convenzionalmente τ s = 100 sec S

14 S in campi alternati Se campione di roccia è posto in un campo magnetico alternato, la di tutti i domini con coercività inferiore al picco del campo alternato sono rimagnetizzati. Il campo alternato viene lentamente ridotto a zero in uno spazio privo di altri campi quindi le direzioni dei granuli rimagnetizzati vengono disperse casualmente. La parte che rimane è stata magneticamente ripulita da quella a coercività più bassa del campo massimo. In alcuni laboratori il campione è demagnetizzato AF successivamente lungo i tre assi ortogonali; in altri il campione è ruotato (tumbled) in maniera più casuale possibile entro la bobina di de. Attenzione Il metodo AF è limitato dalla intensità del campo che può essere prodotto nella bobina di de, comunemente intorno a T. Questi campi sono efficaci nel demagnetizzare solo rocce che contengono magnetite. S

15 Rappresentazione schematica della s AF In alcuni laboratori il campione è demagnetizzato AF successivamente lungo i tre assi ortogonali, in altri il campione è ruotato (tumbled) in maniera più casuale possibile entro la bobina di de. S

16 S termica Abbiamo visto che la temperatura (T ) è in grado di diminuire drasticamente il tempo di. Quando un campione di roccia è riscaldato alla temperatura T le direzioni dei granuli magnetici che hanno una temperatura di sblocco inferiore a T verranno disperse casualmente. Se adesso il campione viene raffreddato in uno spazio privo di campi magnetici, questa parte della rimane demagnetizzata. Questo metodo è più efficace della de AF perchè il campo di temperature necessarie per distruggere tutti i tipi di è sotto i 700 C, che è una temperatura facilmente raggiungibile. Attenzione Se la roccia contiene una mineralogia magnetica metastabile o instabile, i suoi cambiamenti irreversibili della mineraolgia possono complicare i risultati della de termica. S

17 Rappresentazione schematica della s termica a) Il diagramma rappresenta la distribuzione dell ipotetica popolazione di granuli di volume (v) e coercività (h c) contenuti nel nostro campione; i granuli stabili sono rappresentati dalla porzione grigia. Le temperature di blocco (T B ) aumentano verso l alto e la destra. b) Alla temperatura di de T demag rimangono magnetizzati solo i granuli stabili (T B > T demag ) che registrano la direzione della caratteristica (ChRM), mentre la direzione degli altri è cancellata. S

18 S progressiva Quale è il livello di s appropriato (termico o in campi alternati) per isolare la caratteristica (ChRM)? In una s progressiva il campione viene smagnetizzato a livelli progressivamente crescenti misurando la dopo ogni s. Nella s termica i cicli di riscaldamento e raffreddamento sono ripetuti con temperature massime progressivamente crescenti, in quella AF vengono usati campi di picco progressivamente crescenti. La procedura adottata normalmente consiste nello smagnetizzare alcuni campioni termicamente ed altri AF e di confrontare i risultati, ma la conoscenza della mineralogia magnetica può indicare quale tecnica di smagnetizzzione è la più adatta. La progressiva distruzione della rivela le componenti presenti nella. La loro resistenza alla de è indice della loro stabilità. Le componenti stabili, cioè sono quelle rimosse agli intervalli di manetizzazione più alti, sono quelle che possono resistere ai tempi geologici e quindi presumilmente le componenti originali (ChRM). S

19 di s progressiva Quanti e quali livelli di s usare? Dipende, spesso i livelli di s sono scelti per tentativi. Però un regola generale è che le coercività hanno una distribuzione log-normale, quindi i campi AF sono scelti piccoli all inizio e più grandi alla fine, per es. 2.5, 5.0, 10.0, 15.0, 20.0, 30.0, 40.0, 60.0, 80.0, e mt. Nella s termica, le temperature andranno dalla temp. ambiente alla temperatura di Curie. Spesso si usano gradini di temperatura di C ma avvicinandoci alla temperatura di Curie si usano incrementi più piccoli anche disolo 5 C. Il prodotto finale della s progressiva è un insieme di misure di per ogni livello di s. S

20 Componenti della La è una grandezza vettoriale e la di un campione di roccia è spesso formata dalla somma di più vettori. La s progressiva permette di estrarre le diverse componenti della in base alla loro stabilità. Rappresentazione prospetica, in coordinate geografiche, del vettore della durante una s progressiva. Le frecce in linea continua mostrano il vettore della durante i vari intervalli di s (da 1 a 6), le frecce tratteggiate mostrano la componente della a bassa stabilità rimossa durante gli intervalli 1 3. Durante la s dall intervallo 4 al 6 la componente della ad alta stabilità diminuisce di intensità ma non cambia di direzione. S

21 Nota: Proiezione equiareale Se dobbiamo rappresentare una direzione (versore) possiamo usare una proiezione equiareale. S

22 Come rappresentare un vettore Direzione e intensità La rappresentazione in prospettiva non è molto pratica, però ll direzione ed intensità di un vettore possono essere rappresentati su due diversi diagrammi, uno per la direzione ed un altro per l intensità. S

23 Come rappresentare un vettore Il metodo più efficace per analizzare la struttura e la stabilità di una rimanente è la costruzione diagrammi vettoriali (, 1967). La direzione è scomposta nelle componenti nord (x), est (y) e verticale (z), e i diagrammi sono fatti disegnando la componente nord rispetto la est, e una delle componenti orizzontali (la nord o la est) rispetto la componente verticale. Questo equivale a proiettare il vettore in un piano orizzontale e in un piano verticale nord-sud o est-ovest, la scelta della proiezione verticale dipende dalla intensità di N ed E. S

24 (di ) S

25 Analisi dei diagrammi vettoriali Nel caso più semplice dove è presente una singola componente stabile della, rimanente la de progressiva produrrà una linea diritta all origine in entrambe le parti del diagramma vettoriale. Quando le componenti instabili sono rimosse, esse sono rappresentate sul diagramma vettoriale come linee non dirette verso l origine. Se dopo la de di una componente meno stabile rimane un vettore stabile, esso è rappresentato da una linea dritta all origine del diagramma vettoriale. S

26 Analisi dei diagrammi vettoriali casi complessi L analisi dei diagrammi vettoriali può essere complicata se le temperature di blocco o gli spettri di coercività delle diverse componenti si sovrappongono. Quando è presente più di una componente della è possibile che gli spettri della coercività o delle temperature di sblocco si sovrappongano parzialmente, e quando questa sovrapposizione viene demagnetizzata il diagramma vettoriale può mostrare una parte curva piuttosto che 2 segmenti rettilinei. Nei casi in cui gli spettri di coercività si sovrappongono molto la porzione rettilinea delle componenti vettoriali può essere molto ridotta o addirittura assente. In questi casi si può provare ad usare la tecnica dei circoli di ri per ricavare la direzione della ChRM. S

27 Analisi dei diagrammi vettoriali casi complessi S

28 Direzione della ChRM Come ricaviamo la direzione della ChRM una volta che abbiamo individuato la giusta componente sui diagrammi vettoriali? La declinazione (D) e l inclinazione (I ) della componente stabile della si possono misurare direttamente sul diagramma vettoriale, tenendo presente che la inclinazione reale si ricava da quella apparente (I app) misurata sul diagramma tramite la tan I = tan I app cos D S

29 Analisi delle Componenti Principali () In pratica la direzione si calcola facendo un best-fit delle misure di che identificano la componente di nostro interesse. La tecnica comunemente usata è una versione leggermente modificata dell analisi statistica multivariata chiamata Analisi degli Elementi Principali (). S

30 passo-passo 1) Calcolare la orientation matrix T 2P x 6P T = 4 y P z i x i i x i P x P y P z i y i i y i i y i P x P y P z dove x, y e z sono le in coordinate cartesiane (alle quali è stata sottratta la media se il best-fit non è ancorato all origine). 2) Calcolare autovalori e autovettori di T i x i TV = λv dove V è la matrice degli autovettori e λ sono gli autovalori. I valori di λ possono essere calcolati risolvendo la det T λ = 0, ma in generale entrambi V e λ vengono calcolati numericamente. 3) Best-fit direction e MAD La direzione della ChRM sarà data dall autovettore corrispondente al autovalore più grande. Inoltre è possibile calcolare la cosiddetta Maximum Angular Deviation. «MAD = tan qσ σ2 3 /σ 1 dove σ 1 = λ i i z i i z i i z i S

31 Parte II Direzioni e Paleopoli Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye

32 Sistema di riferimento Componenti del campo geomagnetico Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye Nella nostra convenzione la direzione del campo magnetico è rappresentata dalla declinazione (D) che è l angolo fra in nord geografico e la proiezione del vettore lungo il piano orizzontale, e la inclinazione (I ), ovvero l angolo fra il vettore e il piano orizzontale preso con valori positivi verso il basso.

33 Sistema di riferimento Coordinate del campione In laboratorio le direzioni della non sono misurate rispetto alle coordinate geografiche (nord e piano orizzontale) ma rispetto alle direzioni di riferimento disegnate sul campione, che sono schematizzate in figura e che generalmente non corrispondono alle coordinate geografiche. Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye Quindi è necessario riportare la direzione della misurata rispetto alle coordinate del campione alle originali cordinate geografiche. Per fare ciò è necessario avere orientato il campione al momento del campionamento.

34 Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye

35 Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye

36 Orientazione del campione Esistono diverse convenzioni per l orientazione del campione, quì usiamo gli angoli A e C illustrati in figura. Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye Applicando un po di trigonometria si riporta la dalle coordinate del campione a quelle geografiche con la cosidetta correzione geografica e, se necessario la correzione tettonica.

37 Correzione geografica Consideriamo una direzione relativa agli assi del campione ha declinazione D ed inclinazione I ; i suoi coseni direttori (λ, µ, ν) sarano λ = cos D cos I ; µ = sin D cos I ; ν = sin I Assumendo che il campione provenga da una carota perforata con azimut A e inclinazione C (come nella figura precedente) possiamo calcolare i coseni direttori (λ g, µ g, ν g ) relativi alle coordinate geografiche con le λ g = λ sin C cos A µ sin A +ν cos C cos A µ g = λ sin C sin A +µ cos A +ν cos C sin A ν g = λ cos C +ν sin C Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye La direzione (D g, I g ) relativa alle coordinate geografiche sarà quindi tan D g = µg λ g ; sin I g = ν g

38 Correzione tettonica Questa correzione è fatta quando gli strati non sono orizzontali a causa della inclinazione tettonica. Supponiamo che lo strato immerga con un angolo P rispetto all orizzontale in una direzione con azimut B. In una situazione tettonica semplice la correzione dell inclinazione è fatta tramite una semplice rotazione di un corpo rigido lungo la linea orizzontale della direzione dello strato per riportare lo strato inclinato ad una posizione orizzontale. Ciò causa una rotazione del vettore paleomagnetico, i nuovi coseni direttori (λ t, µ t, ν t) possono essere facilmente calcolati in tre semplici passaggi come segue 3. λ 1 = λ g cos B + µ g sin B; µ 1 = λ g sin B + µ g cos B; ν 1 = ν s λ 2 = λ 1 cos P + µ 1 sin P; µ 2 = µ 1 ; ν 2 = λ 1 sin P + ν 1 cos P λ t = λ 2 cos B + µ 2 sin B; µ t = λ 2 sin B + µ 2 cos B; ν t = ν 2 Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye Le direzioni paleomagnetiche corrette per l inclinazione degli strati sono date da: tan D t = µt ; sin I t = ν t λ t 3 se lo strato è rovesciato, nel secondo passaggio, P deve essere sostituito da (P ).

39 Coordinate riassunto Nel paleomagnetismo quindi ci si riferisce a direzioni in diverse coordinate a seconda della correzione che è stata applicata. COORDINATE Coordinate del Campione Direzioni della misurate in laboratorio e orientate rispetto agli assi del campione. Coordinate Geografiche Direzioni rispetto alle coordinate geografiche del sito di campionamento, si ottengono dopo la correzione geografica. Coordinate Tettoniche Direzioni corrette per una eventuale rotazione tettonica, si ottengono dopo la correzione tettonica. Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye Normalmente i calcoli per la correzione delle coordinate vengono fatti automaticamnete dal computer una volta forniti i dati di orientazione (per la correzione geografica) e di giacitura (per la correzione tettonica) di ogni campione

40 Statistiche delle direzioni Una volte calcolate le direzioni della ChRM di un sito, può essere utile calcolare alcune statistiche come la direzione media e dispersione ed intervalli di confidenza. Le direzioni paleomagnetiche sono rappresentate come versori (vettori di lunghezza unitaria) che possono essere trattati come una distribuzione di punti su una sfera. Le statistiche di Fisher o di Bingham sono quindi metodi appropriati per trattare i dati paleomagnetici. Fisher (1953) suggerì che la densità della probabilità (p) dell angolo θ fra la direzione di un singolo campione e la direzione media della distribuzione è data da: Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye k p(θ, k) = exp (k cos θ) (5) 4π sinh k Il parametro di precisione k descrive la dispersione dei punti. Se k = 0 le direzioni sono uniformemente (o casualmente) distribuite, se k è grande i punti sono fortemente raggruppati intorno alla direzione media.

41 Distribuzione di Fisher Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye Grafico della distribuzione di Fisher (eq. 5) per diversi parametri di precisione k. P A (θ) è la probabilità di trovare una direzione entro una area A centrata ad un angolo θ dalla media. Notate come al crescere di k la distribuzione si raggruppi intorno alla media.

42 Il vettore medio La migliore stima della direzione media di una popolazione di direzioni (versori) è il vettore media dei versori. Calcoliamo i coseni direttori delle direzioni singola direzione (D i, I i ) x i = cos I i cos D i componente nord y i = cos I i sin D i componente est z i = sin I i componente verticale (verso il basso) La lunghezza R del vettore somma degli N versori è dato dalla R 2 = X 2 + Y 2 + Z 2 Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye dove NX NX NX X = x i ; Y = y i ; Z = z i i=1 i=1 i=1 La direzione media (D, I ) è quindi data dalla: tan D = Y X ; sin I = Z R

43 Parametri di dispersione Fisher ha dimostrato che la migliore stima (k) del parametro di precisione k (valida per k > 3) è data dalla: k = N 1 N R dove R è il vettore somma degli N versori. Il parametro k è equivalente all inverso della varianza della distribuzione. Il parametro k permette un calcolo approssimato di un analogo della deviazione standard σ nella distribuzione normale. θ 63 = 81 k Per analogia con la distribuzione normale θ 63 viene spesso chiamato angular standard deviation e indicato con σ 4. Similmente il 95% delle direzioni giacciono entro un angolo dalla media che è dato da: θ 95 = 140 k Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye Un altro parametro statistico, δ, che è spesso usato come misura della dispersione angolare (chiamato anche lui angular standard deviation) è δ = cos 1 R N In pratica per N 10 σ δ. 4 N.B. nella distribuzione normale σ contiene il 68% dei casi, mentre θ63 solo il 63%.

44 Limiti di confidenza Come in altre situazioni statistiche l errore standard nel definire la direzione media della distribuzione di N punti si può trovare dividendo la deviazione standard per la N ed i limiti di confidenza sono multipli degli errori standard. Nel paleomagnetismo un livello del 95% di confidenza è spesso usato per definire un cerchio α 95 attorno alla direzione media stimata, questo cerchio delimita il luogo entro il quale si ha il 95% di probabilità di trovare la vera media della distribuzione. La misura del limite di confidenza dipende dal numero di punti (N) e dal parametro di dispersione k. Una formula approssimata per il raggio dei circoli di confidenza del 63% e 95% valida per N 10 e k 10 è la seguente Una formula più esatta α Nk ; cos α 1 p = 1 N R R α Nk «1! 1 N 1 1 p Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye dove solitamente 1 p = 0.95 ed il livello di confidenza chiamato α 95.

45 Esempi di statistiche Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye

46 Polo Geomagnetico Virtuale (VGP) Dalle equazioni per le componenti di un dipolo magnetico, la distanza angolare (ρ) dal polo magnetico può essere calcolata dalla inclinazione del campo (I ). tan ρ = 2 tan I Il valore di ρ determina il raggio del circolo centrato sul sito di campionamento paleomagnetico, il cerchio è il luogo di tutte le possibili posizioni del polo magnetico. La declinazione definisce una direzione lungo un circolo maggiore che passa attraverso il sito di campionamento e forma un angolo D con il meridiano magnetico. Il luogo dove questo circolo maggiore interseca il cerchio di raggio ρ è la posizione del polo geomagnetico virtuale (VGP). La latitudine (λ) e longitudine (φ) del VGP che indica la direzione del campo (D, I ) misurata in un determinato sito (latitudine λ s, longitudine φ s) sono date da: sin λ = sin λ s cos ρ + cos λ s sin ρ cos D dove: Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye e ϕ = ϕ s + β per, cos ρ > sin λ s sin λ ϕ = ϕ s β per, cos ρ < sin λ s sin λ sin β = sin ρ sin D/ cos λ

47 Limiti di confidenza del VGP La posizione del polo per uno studio paleomagnetico può essere calcolata in due modi. Si possono usare le direzioni di ogni singolo campione per calcolare la posizione del VGP per ogni campione. La distribuzione dei VGP è quindi analizzata come punti su una sfera ed il vettore medio, il raggio del circolo di confidenza α 95 ed altre statistiche di Fisher sono calcolate come sopra. Un metodo alternativo è analizzare le direzioni paleomagnetiche per ricavarne la declinazione, l inclinazione, il raggio di confidenza e la media; viene poi trovata la posizione del VGP corrispondente a tale media. In questo caso il circolo di confidenza della direzione media è proiettato come un ovale intorno alla posizione del VGP dando un errore di latitudine λ e di longitudine φ dato da: Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye cos ρ sin ρ λ = α 95 ; φ = α 95 2 cos I

48 That s all folks! Sistema di riferimento Coord. campione Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye

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