Lezione 2 Equazioni e Grafici. Docente: Leonardo Bargigli 2015

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1 1 Lezione 2 Equazioni e Grafici Docente: Leonardo Bargigli 2015

2 Gli strumenti per studiare economia L'economia teorica fa un ampio uso di strumenti matematici avanzati. In particolare lo studio delle componenti dinamiche dei sistemi economici richiedono strumenti matematici sofisticati. Anche la stima delle relazioni economiche richiede approfondite competenze di matematica e statistica. Nel presente corso, poiché esso si configura come una semplice introduzione alla disciplina, ci accontenteremo di utilizzare l'algebra elementare e di rappresentare le relazioni economiche tramite l'ausilio di grafici.

3 L'algebra elementare: un esempio Il profitto di un impresa è dato dal ricavo totale costi totali Il ricavo totale (che indichiamo con R) è pari alla quantità di merci venduta (Q) moltiplicato il prezzo di ogni merce (P). R=P Q I costi totali sono dati dalla spesa per i salari (W), quella per gli impianti (K) e quella per le materie prime (M) C=W +K +M

4 L'algebra elementare: un esempio Il profitto di un impresa (Y) può quindi essere scritto con la seguente equazione: Y =R C Data l'equazione per il profitto sopra indicata, qual è il costo per unità di prodotto (costo medio)? E qual è il profitto per unità di prodotto? La quantità di beni prodotti è pari a Q e quindi...

5 L'algebra elementare Il costo medio (CU) è pari ai costi totali diviso la quantità di prodotto CU =C /Q il profitto medio (YM) è pari al profitto totale diviso la quantità di prodotto YU =(R C )/Q=P CU Ovvero il profitto medio è pari al prezzo meno il costo medio!

6 Il concetto di variabile All'interno dell'analisi di fenomeni economici che vogliamo studiare ci concentreremo su alcuni aspetti specifici: ad esempio potremmo analizzare come si determina la disoccupazione, il risparmio, il PIL, i prezzi o i profitti dell'impresa. Tutte questi "aspetti" o "oggetti" possono assumere valori numerici precisi. Ad esempio i disoccupati a giugno 2014 erano

7 Il concetto di variabile Gli "oggetti" che in momenti diversi possono assumere valori diversi prendono il nome di "variabile". Ad esempio i disoccupati a gennaio 2014 erano circa 3,200,000 (mentre a giugno erano 3,150,000) La disoccupazione è quindi una "variabile". L'economia studia questi oggetti sia valutandone il valore sia studiando la loro relazione con altre variabili. Esempio: che relazione c'è fra la variabile "Disoccupazione" e la variabile "crescita economica"?

8 La relazione fra variabili L'economia studia la relazione fra variabili Se il salario medio cambia, come cambia la disoccupazione? Ovvero, che relazione c'è fra salario e disoccupazione? Se il prezzo del petrolio aumenta, come cambia la quantità di benzina consumata? E la quantità di auto acquistata? I modelli economici costruiscono delle relazioni logico formali fra le variabili economiche.

9 Variabili e funzioni In matematica, le funzioni sono delle applicazioni che collegano uno o più elementi di un insieme di partenza a un unico elemento dell'insieme di arrivo. In altre parole, la funzione è un meccanismo che lega alcune variabili (Prezzo, quantità venduta, salari e costo delle materie prime) ad un'altra variabile (il profitto) Y=P*Q-W- K - M è la funzione che determina il profitto.

10 Un altro esempio di funzione Una funzione per calcolare i punti in classifica della Fiorentina. Se io vi dico il numero di vittorie V della fiorentina (1), il numero di pareggi N (3) ed il numero di sconfitte S (1) voi siete immediatamente in grado di calcolare il numero di punti P. Vittorie, pareggi e sconfitte costituiscono gli elementi dell'insieme di partenza mentre i punti in classifica costituisce l'elemento dell'insieme di arrivo. Si noti che vittorie, pareggi e sconfitte definiscono univocamente il numero di punti in classifica.

11 Un altro esempio di funzione Una funzione per calcolare i punti in classifica della Fiorentina. Se io vi dico il numero di vittorie V della fiorentina (1), il numero di pareggi N (3) ed il numero di sconfitte S (1) voi siete immediatamente in grado di calcolare il numero di punti P. Vittorie, pareggi e sconfitte costituiscono gli elementi dell'insieme di partenza mentre i punti in classifica costituisce l'elemento dell'insieme di arrivo. Si noti che vittorie, pareggi e sconfitte definiscono univocamente il numero di punti in classifica.

12 Funzioni specifiche e funzioni generiche La seguente funzione descrive esattamente come calcolare i punti in classifica della fiorentina. P=0 S +1 N +3 V Questa funzione esprime in maniera esplicita la relazione esatta fra le variabili in esame. Tuttavia potremmo scrivere tale funzione in maniera più generica, limitandoci a mostrare che esiste un relazione fra punti in classifica e vittorie, pareggi e sconfitte senza però esplicitare la relazione esatta. In tal caso utilizziamo la seguente notazione:

13 Funzioni generiche La funzione generica non ci dice esattamente qual è la relazione fra vittorie e punti in classifica. Tuttavia, pur non esplicitandola, è lecito fare delle assunzioni su questa relazione Ovvero, possiamo supporre che fra vittorie e punti in classifica via sia una relazione crescente: all'aumentare delle vittorie aumentano i punti in classifica. Ovvero, i punti in classifica sono una funzione crescente delle vittorie

14 Variabili dipendenti e indipendenti La funzione generica descrive una relazione fra punti in classifica da un lato e vittorie, pareggi e sconfitte dall'altro. Ovvero, ci dice che il numero di punti dipende dalle altre tre variabili. Nelle funzioni la variabile che è determinata dai valori delle altre variabili è detta variabile dipendente (è la variabile a sinistra dell'uguale ) Le altre variabili, che determinano il valore della variabile dipendente sono dette variabili indipendenti (sono le variabili a destra dell'uguale )

15 Funzioni a più variabili e funzioni a una sola variabile La funzione che calcolava i punti in classifica dipendeva da tre variabili (vittorie, pareggi, sconfitte). Di conseguenza era necessario conoscere i valori di tutte queste tre variabili per poter calcolare i punti in classifica. In altri casi, una certa variabile può dipendere da un'altra variabile soltanto. Esempio: il numero di denunce di furti (D) dipende unicamente dalla quantità di furti (F). Cosa accade a D se F aumenta?

16 Funzioni crescenti e funzioni decrescenti E' lecito aspettarsi che se il numero di furti aumenta allora il numero di denunce aumenti. D è una funzione crescente di F. Altro esempio: la temperatura dell'aria (T) e il consumo di cioccolata calda. All'aumentare della temperatura il consumo di cioccolata si riduce, C è una funzione decrescente di T. L'incremento marginale della variabile dipendente in seguito ad un incremento marginale della variabile indipendente è detto derivata.

17 Le relazioni fra due variabili rappresentate graficamente E' possibile rappresentare graficamente la relazione fra due variabili. Si consideri la relazione fra numero di furti e denunce Denunce Relazione fra denunce e furti Furti

18 Come si legge un grafico? Si consideri la relazione fra numero di furti e denunce A un certo quantitativo di furti F1 corrisponde un certo numero di denunce D1. (F1 e D1 indicano rispettivamente i valori assunti dalle variabili furti e denunce) Denunce Furti

19 Come si legge un grafico? Per ogni valore della variabile F possiamo identificare il valore della variabile D. Il grafico descrive quindi la relazione fra le due variabili. La funzione D=g(F) è quindi rappresentabile tramite un grafico Denunce Furti

20 L'asse cartesiano Lo schema entro cui si disegna il grafico di una funzione è detto asse cartesiano L'asse orizzontale è detto asse delle ascisse, quello verticale è detto asse delle ordinate La curva disegnata nel grafico rappresenta la funzione in oggetto Denunce Asse delle ordinate Funzione delle denunce D=g(F) Asse delle ascisse Furti

21 Rappresentazioni di funzioni crescenti e decrescenti Le funzioni rappresentate possono essere crescenti o decrescenti. Ad esempio la funzione delle denunce è crescente: all'aumentare dei furti aumentano le denunce Denunce Relazione fra denunce e furti Furti

22 Rappresentazioni di funzioni crescenti e decrescenti Al contrario il consumo di cioccolata calda è una funzione decrescente della temperatura. Consumo di cioccolata calda Relazione fra consumo di cioccolata calda e temperature Temperatura

23 Quantità di Pioggia Rappresentazioni di funzioni crescenti e decrescenti Alcune funzioni possono essere crescenti in alcuni tratti e decrescenti in altri tratti. Esempio pioggia e altezza dell'erba. Altezza erba Relazione fra altezza dell'erba e quantità di pioggia

24 Analisi visiva di una relazione. Tasso di interesse e investimenti delle imprese Si consideri la relazione fra tasso di interesse e investimenti. Investimenti Relazione fra investimenti e tasso di interesse Tasso di interesse

25 Pendenza e derivate E' possibile capire il tipo relazione fra la variabile dipendente e indipendente osservando il grafico. Se il grafico "sale" allora la variabile dipendente è una funzione crescente della variabile indipendente. Viceversa se il grafico scende allora la funzione è decrescente. La pendenza della curva che descrive la funzione descrive quindi il tipo di relazione. In matematica, la pendenza della curva è misurabile tramite quello che si chiama "derivata". Ovvero la derivata misura la crescita marginale di una funzione.

26 Spostamento lungo la curva e spostamento della curva La quantità di denunce effettuata: se aumentano i furti aumentano le denunce. Ci si muove lungo la curva Denunce 2 Furti

27 Spostamento lungo la curva e spostamento della curva Quando interviene un evento esterno (esogeno) è la curva a spostarsi, ovvero, è la natura della relazione a cambiare Denunce Relazione fra furti e denunce quando denunciare è gratuito Relazione fra furti e denunce quando denunciare è costoso 1 Furti

28 Spostamento lungo la curva e spostamento della curva In seguito allo spostamento della curva si ha: Denunce Relazione fra furti e denunce quando denunciare è gratuito Relazione fra furti e denunce quando denunciare è costoso 1 Furti

29 Le relazione di causalità Si consideri la relazione fra numero di malati di influenza (I) e consumo di aspirine (A). Quando I è alto anche A è alto, ovvero, la relazione può essere rappresentata dal seguente grafico. Malati di influenza Consumo di aspirine Attenzione però, questo grafico potrebbe far intendere che siano le aspirine a causare l'influenza

30 Le relazione di causalità Un grafico non sempre indica una relazione di causalità corretta e sta allo studioso (e allo studente) interpretare l'effettiva causalità. Nel caso precedente, la corretta interpretazione è che il consumo di aspirine è dato dal numero di malati di influenza e non viceversa.

31 Un primo modello di domanda e offerta Esempio: la compravendita delle pizze Variabili economiche di interesse: P = prezzo QD = quantità domandata QO = quantità offerta Pm = prezzo della farina (fattore di produzione)

32 Le funzioni matematiche Per esprimere le relazioni tra le variabili Funzione generica per la domanda di Pizze Q D = D(P) Funzione specifica. Indica una precisa relazione quantitativa Q D = 60 10P D( P) = 60 10P

33 Funzione di domanda Q Quantità La curva di domanda esprime una relazione negativa tra quantità e prezzo (date tutte le altre variabili) Q D = D (P) Domanda P Prezzo

34 Funzione di offerta Q Quantità Offerta La curva di offerta esprima una relazione positiva tra quantità e prezzi date tutte le altre variabili QO = O(P) P Prezzo

35 Variabili endogene ed esogene Le variabili endogene vengono determinate dal modello (equilibrio) dato il valore delle variabili esogene. Il valore delle variabili esogene viene, al contrario, determinato fuori dal modello e viene preso per dato (variabili non controllabili). Variabili esogene Modello Variabili endogene

36 Variabili endogene ed esogene Le variabili sono endogene o esogene a seconda del problema (modello) che si sta studiando. Nel modello di domanda e offerta di pizza: Endogene: P, Q Esogene: Pm

37 L'equilibrio: la determinazione delle variabili endogene L equilibrio del modello è individuato dall intersezione tra curva di domanda e offerta Q Quantità Q Offerta Domanda Al prezzo di equilibrio la quantità domandata e offerta sono uguali: market clearing P P Prezzo

38 Effetti di un cambiamento delle esogene Un aumento del prezzo della farina Un aumento del prezzo di un fattore (esogeno) Pm riduce l offerta di pizze per ogni livello di prezzo. Q Quantità Q1 Q2 La curva di offerta si sposta verso il basso e le endogene: il prezzo aumenta e la quantità diminuisce P1 P2 O1 D O2 P Prezzo

39 Il Mercato della pizza Le relazioni che spiegano la compravendita della pizza costituiscono il "mercato delle pizza". Il nostro modello, quindi, da una rappresentazione stilizzata del mercato della pizza.

40 Diversi modelli per studiare diversi problemi Un modello spiega il comportamento delle variabili endogene in relazione alle esogene. Problemi diversi richiedono modelli diversi (ovvero non tutte le variabili possono essere endogene). Il modello di domanda e offerta determina l effetto su prezzo e quantità di equilibrio in seguito a una variazione del reddito e del prezzo dei fattori. Ma se vogliamo sapere perché il prezzo dei fattori è cambiato è necessario utilizzare un modello in cui queste variabili siano endogene

41 L utilizzo dei modelli economici Per ogni modello è importante comprendere: Le domande: a cui il modello cerca di rispondere Identificare le variabili endogene: variabili che sono spiegate dal modello Comprendere le ipotesi di base: ipotesi che identificano gli elementi essenziali del problema. Alcuni problemi non possono essere spiegati dal modello e sono identificati dalle variabili esogene.