CAPITOLO 5 SEMANTICA PROPOSIZIONALE CLASSICA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "CAPITOLO 5 SEMANTICA PROPOSIZIONALE CLASSICA"

Transcript

1 CAPITOLO 5 SEMANTICA PROPOSIZIONALE CLASSICA AVVERTENZA: TRASCURATELA A VOSTRO RISCHIO E PERICOLO. Quanto segue é un cross-over tra un set di lecture notes e un textbook. La presentazione in paragrafi e sottoparagrafi, la presenta di NOTE ed OSSERVAZIONI, etc é tipica di un libro di testo; invece la presenza di esempi ed esercizi, commenti a chiarimento, etc e la mancanza di una bibliografia sera e ragionata é tipica di appunti di lezione. La forma tipografica (colpa di Donald Knuth) é quella di un libro di testo. Il fatto che vi siano umpteen casi di errori di stompa, e magari errori matematici, lo denuncia come al massimo una bozza di possibile textbook, il che é avvalorato da ricorrenze di [[MANCA]] che sono dei promemoria di altro materiale che potrebbe essere aggiunto. Ogni segnalazione di sviste, errori, o miglioramenti possibili é benvenuta. aldo.ursini@unisi.it 1. Valutazioni delle formule proposizionali 1.1. Interpretazione classica dei connettivi. Le formule proposizionali hanno il compito di consentire uno studio formale del comportamento logico delle proposizioni rispetto ai connettivi. In logica classica una proposizione è concepita come un modo di indicare uno dei valori di verità Vero o Falso: si puó assegnare un significato ad una formula, facendo in modo che essa denoti uno di tali valori: vista la concezione classica dei connettivi, una volta assegnati valori alle variabili proposizionali presenti nella formula, occorre sapere come passare al valore della formula composta. La guida nell interpretazione dei connettivi classici è data da una tabella che non avrebbe sorpreso gli esponenti della scuola Megarico-Stoica di logica: a b a b a b a b a b a Falso Falso Falso Falso Vero Vero Vero Falso Vero Vero Falso Vero Falso Vero Vero Falso Vero Falso Falso Falso Falso Vero Vero Vero Vero Vero Vero Falso Si noti che con il segno si intende la disgiunzione debole (in latino vel), per cui una disgiunzione a b puó esser falsa in esattamente una circostanza, che cioè sia a che b siano false. ( La disgiunzione esclusiva in latino aut...aut... si puo ottenere come connettivo dagli altri.) Per la cosa è chiara: indica la congiunzione ( A e b, sia a che b, A ma anche B ) che risulta vera esattamente quando sono entrambe vere. Con si intende rappresentare il comportamento della cosidetta implicazione materiale, di cui si fa uso nelle scienze esatte, per cui l implicazione da una proposizione 1

2 2 CAPITOLO 5 a ad una proposizione b (enunciata come se a allora b, da a segue b, a comporta b, a sole se b, b e condizione necessaria per a o simili) sia falsa solo in un caso, cioè che a (l antecedente) sia vera e invece b (il conseguente) sia falso. Con si intende lo coimplicazione o mutua implicazione: a se e solo se b ( a sse b ) ; essa é vera esattamente quando a, b siano o entrambe vere o entrambe false. In logica classica la negazione, con il segno opera scambiando tra loro i valori di verità. Si aggiunga che il segno di costante ha sempre l interpretazione in una proposizione logicamente falsa, quale 1 1 o piove e non piove : denota una proposizione che abbia il valore di verità F also L algebra dei valori di veritá. Fa comodo indicare con i segni 1, 0 (e l ambiguità per cui essi sono anche simboli numerici ci sarà utile) i valori di verità: 1 per Vero, 0 per Falso. (Due qualunque segni, purchè distinti, possono essere impiegati: nella letteratura si incontrano: V, F ; oppure +, ; T, F, ed addirittura 0 per il Vero e 1 per il Falso.) Come in teoria degli insiemi, ricordiamo che 2 é l insieme {0, 1}. Possiamo far agire, in un certo senso, i connettivi direttamente sull insieme 2. Piú precisamente, a ciascun segno di connettivo facciamo corrispondere una concreta operazione denotata per ora come 2 sull insieme 2. Le definizioni sono le seguenti, per a, b 2 : (1) 2 (a, b) :=: 1 sse a = b = 1; (2) 2 (a, b) :=: 0 sse a = b = 0; (3) 2 (a, b) :=: 0 sse a = 1, b = 0; (4) 2 (a, b) :=: 1 sse a = b; (5) 2 (a) :=: 1 sse a = 0. (6) 2 = 0 Di solito, scriveremo semplicemente gli stessi segni di connettivo senza il suffisso 2, per denotare tali operazioni nell insieme 2; il contesto chiarisce se si tratta di segni di connettivo tra formule proposizionali oppure di simboli per tali operazioni su {0, 1}.. Per sintetizzare il loro modo di operare si riscrive la precedente tabella nelle seguenti tavole pitagoriche, in cui a, b sono variabili nell insieme 2, e che si chiamano pomposamente tavole di verità : a b a b a b a b a b a Per ottenere una struttura della segnatura S prop sull insieme 2, la costante per sarà 0; otteniamo cosí la struttura che si chiama l algebra de valori di verità. 2 =< 2,,,,,, 0 >

3 CAPITOLO 5 3 Vedremo piú avanti che si tratta, in un certo senso, del prototipo di algebra di Boole Assegnazioni e valutazioni. Definizione 1. Una funzione v da PROP verso 2 sarà detta una interpretazione o valutazione (proposizionale) se è un omomorfismo di strutture dall algebra PROP all algebra 2, ossia se (1) v( ) = 0; (2) v(c D) = v(c) v(d), ( =,,, ); (3) v( C) = v(c); (dove i segni di connettivo, a sinistra stanno come tali ed a destra stanno per le operazioni 2, 2 in 2.) Chiamiamo assegnazione una funzione dall insieme V ARP delle lettere proposizionali a 2. La restrizione di una valutazione v a V ARP e un assegnazione che si chiamerá corrispondente a v. Come applicazione del teorema sulle definizioni induttive si ha: Proposizione 1. Un assegnazione ha esattamente una estensione ad una valutazione. Una valutazione è univocamente determinata dalla corrispondente assegnazion, ossia dalla sua restrizione a V ARP.. Quindi si puó fornire una valutazione v dando semplicemente la sua restrizione a V ARP. Da risultati precedenti, segue anche che per valutare una singola formula C, è sufficiente conoscere la valutazione delle lettere proposizionali presenti in C : Proposizione 2. Se una formula C contiene occorrenze delle sole variabili proposizionali p 0,..., p n e le valutazioni v, v assegnano gli stessi valori a tali variabili, allora v(c) = v (C). Naturalmente, si puo dimostrare direttamente questo fatto per induzione su P ROP. In particolare, se C è una formula che non contiene variabili proposizionali, tutte le valutazioni assegnano a C uno stesso valore, ossia una siffatta formula o vale 0 per tutte le valutazioni o vale 1 per tutte le valutazioni. Si puó anche usare l aritmetica in 2; si vede facilmente che una funzione v : P ROP 2 e una valutazione se e solo se: (1) v(c D) = max{v(c), v(d)} = v(c) + v(d) v(c).v(d); (2) v(c D) = min{v(c), v(d)} = v(c).v(d); (3) v(c D) = 1 v(c) + v(c).v(d); (4) v(c D) = 1 v(c) v(d). Esempio. Supponiamo che la valutazione v assegni rispettivamente 1,0,1 alle tre lettere proposizionali p, q, r. Per determinare v(p ( (( q) r)))) si tratta del poco entusiasmante calcolo v( q) = 1, poi v(( q) r) = 1, poi di v( (( q) r)) = 0, etc. Oppure di lavorare nell algebra dei valori di veritá, e di computare 1 ( (( 0) 1))) = = 0.

4 4 CAPITOLO 5 NOTA. Una valutazione v determina una partizione dell insieme P ROP : i due insiemi v 1 (0), v 1 (1) sono disgiunti, non vuoti e la loro unione é P ROP. Viveversa se H, K formano una partizione di P ROP, questa non sempre corrisponde ad una valutazione, per esempio, potremmo avere A, A H per una certa formula A ; siccome in qualunque valutazione v, v(a) v( A), non potremmo avere che H = v 1 (0), né che H = v 1 (1). La proprieitá basilare che H, K devono soddisfare affinché formino una partizione semanticamente corretta, ossia derivante da una valutazione, é: per ogni A P ROP : (i) A H se e solo se A K; se questa é soddisfatta, poniamo K. Le ulteriori proprietá sono : (ii) A A K se e solo se A K, B K; (iii) A B K se e solo se A K oppure B K; (iiii) A B / K se e solo se A K, B / K. 2. Conseguenza logica proposizionale- Tautologie- Sostituzioni. La nozione di conseguenza logica vige, come si e discusso, tra asserti o giudizi della forma X vera: che il giudizio B vera sia conseguenza logica di certe premesse A 1 vera,..., A n vera viene inteso classicamente come una sintesi del fatto che non vi siano circostanze pensabili, situazioni o stati delle cose in cui, pur essendo vere tuttele proposizioni A 1,..., A n, capiti che B sia falsa. Quest osservazione dà appoggio alla seguente definizione (che tecnicamente si riferisce a formule proposizionali, anziché a giudizi, ed è quindi filosoficamente scorretta): Definizione 2. Se Γ PROP, C PROP, diciamo che C è conseguenza logica (classica) di Γ, e lo indichiamo con: Γ = C, se per ogni valutazione v tale che v(γ) {1} (ossia v(f ) = 1 per ogni Γ, ) si ha che v(c) = 1. Le formule di Γ si possono chiamare le premesse e C la conclusione della relazione Γ = C. Nel caso in cui Γ =, = C vuol dire che per ogni valutazione v(c) = 1 (infatti in tal caso per ogni valutazione v si ha v( ) = {1}); in tal caso C dicesi una tautologia (proposizionale) o una formula logicamente valida, e si scrive: = C. Indicheremo con T AU T l insieme delle tautologie. Si chiama contraddittoria una formula A tale che per ogni valutazione v, v(a) = 0; per esempio,, A A, (A A). Chiaramente, A e contraddittoria se e solo se (A) T AUT. Se Γ, sono sottinsiemi di P ROP, conveniamo di scrivere Γ, = C invece di Γ = C; se poi fosse un singoletto {D}, sriviamo Γ, D = C; Per esempio, D 1,..., D n = C sta per {D 1,..., D n } = C. Nota. Tavole di veritá. Per determinare se una data formula sia o meno una tautologia, esiste un algoritmo di decisione consistente nel costruire la tavola di verita (t.d.v) della formula stessa: se essa coinvolge n variabili proposizionali, si avranno 2 n righe, una per ciascuna possibile sequenza di 0, 1 di lunghezza n; su ogni riga si procede a computare i valori delle sottoformule fino ad avere la colonna finale di tutti i possibili valori che la formula puo assumere. Per esempio, la t.d.v. della formula A = p (( q) ( p)) si presenta come segue:

5 CAPITOLO 5 5 p q q p ( q) ( p) A Si noti come tale metodo, consistente nell esplorare tutti i casi di assegnazione possibili, ha la virtú di funzionare meccanicamente in ogni caso, e di consentire sempre la determinazione ] cercata. Ha peró il grave difetto della complicazione (il numero di righe sale esponenzialmente 2 n col numero n di variabili presenti) e della lungaggine: nell esempio è immediato, senza fare calcoli, che nella prima e seconda riga il risultato debba essere 0 : invero A è una congiunzione, ed uno dei congiunti è p pertanto se p ha valore 0, lo stesso capita per A. Da un algoritmo, peraltro, non si pretende che sia intelligente, ma solo di risolvere il problema. La formula sara una tautologia se e solo se nella colonna finale della sua t.d.v. compaia solo il valore 1. Notiamo infine che, per convenzione, nel costruire la t.d.v. per una formula con n variabili proposizionali, si parte sempre dalla prima riga con 0, 0,..., 0, per arrivare all ultima riga 1, 1,..., 1 e si procede ordinatamente, secondo l ordine crescente in 2 n, ordinato lessicograficamente come prodotto di ordini. [ Per es.: gli elementi di 2 3 sono essenzialmente le rappresentazioni in base due dei numeri da 0 a 7; l ordine di cui si tratta é allora l usuale ordine tra interi.] ESEMPI. 1. Se Γ 1 = C 1, Γ 2 = C 2, allora Γ 1, Γ 2 = C 1 C 2. [Basta applicare la definizione.] 2. D E, D A, E A = A Se D, E, A fossero lettere proposizionali, oltre che applicando la definizione, questo si potrebbe controllare anche con le t.d.v., ottenute dando tutte 8 le terne di valori possibili, calcolando i corrispondenti valori per ciascuna delle tre premesse; poi controllando che in ciascuna delle (eventuali) righe in cui tutte e tre le premesse valgono 1, anche la conclusione A valga 1 : D E A D E D A E A A Si vede che nelle due righe in cui le tre premesse valgono 1, anche la conclusione vale 1. Cosa succede se D, E, A non sono lettere proposizionali? Vale ancora la relazione =? Se per esempio D, E, A contegono in tutto 5 lettere proposizionali, si tratterebbe di fare una t.d.v. con 32 righe. Invece, l intuizione dice che valga lo stesso la relazione =, in virtu della forma : per questo occorre passare attraverso le sostituzioni (ved. il prossimo paragrafo).

6 6 CAPITOLO 5 3. = A A; = A (B A); = (A (B E)) ((A B) E). [Con le t.d.v. o mediante la definizione.] 4. Il significato del connettivo é contenuto in: Γ, C = D se e solo se Γ = C D. [Basta applicare le definizioni]. Per esempio A, B = C se e solo se = A (B C). Circa il comportamento reciproco di sostituzioni e valutazioni si ha: Lemma 1. Se S, v sono rispettivamente una sostituzione ed una valutazione, la composizione di S con v, che associa a C PROP il valore v(s(c)) 2 è a sua volta una valutazione. Precisamente, se si considera la valutazione v S definita assegnando : v S (p i ) = v(s(p i )), per ogni formula C, si ha che v(s(c)) = v S (C). Dim. In effetti la composizione di due omomorfismi e un omomorfismo. La prova diretta si fa per induzione su C; la tesi è ovvia se C è atomica. Per il passo induttivo, v(s(c D)) = v(s(c) S(D)) = 2 (v(s(c)), v(s(d))) = 2 (v S (C), v S (D)) = v S (C D), ed analogamente per C. Corollario 1. Se Γ = C ed S è una sostituzione, allora S(Γ) = S(C). Dim. Se v è una valutazione tale che v(s(f )) = 1 per F Γ, allora v S (F ) = 1 per ogni F Γ; usando l ipotesi, v S (C) = v(s(c)) = 1. In particolare se = A allora anche = S(A) per ogni sostituzione S. Per tornare all esempio n.2 qua sopra, abbiamo che la conseguenza logica vale, quali che siano le formule A, D, E : infatti essa vale se esse sono lettere proposizionali. Corollario 2. Se v è una valutazione e v(c i ) = v(d i ), i = 0,..., n, allora per ogni formula E, v(e[ C/ p]) = v(e[ D/ p]). Pertanto si ha: = (... ((C 0 D 0 ) (C 1 D 1 ))... (C n D n )) (E[ C/ p]) E[ D/ p]). In particolare si ha Corollario 3. (Teorema di sostituzione) Se = C i D i per ogni i = 0,..., n, allora = E[ C/ p] E[ D/ p]. Applicazioni ed esercizi. 1. Una sostituzione s che manda lettere proposizionali distinte in lettere proposizionali distinte si chiama una ridenominazione delle lettere proposizionali. É pressoché immediato che se s é una ridenominazione, allora per ogni formula C, si ha = C s(c). 2. Si noti che se v e una data valutazione, e v(a) = v(b) non e detto che capiti v(a[c/p ]) = v(b[c/p ]): per esempio siano P, Q variabili proposizionali distinte, e sia v(p ) = v(q) = 1; ma v(p [ /P ] = v( ) = 0 v(q[ /P ]) = v(q) = 1.

7 CAPITOLO Il concetto di conseguenza semantica si puo utilizzare per controllare la correttezza logica di presunti ragionamenti proposizionali. Per esempio: chiedo se il seguente ragionamento sia valido o meno. Premesse: 1.Tizio non lavora solo se piove. 2. Se Caio non lavora, allora Tizio lavora. 3. Non piove. Conclusione: Caio lavora. Introduciamo lettere proposizionali: A per Tizio lavora, B per Caio lavora, C per Piove. Le premesse si traducono : 1. A C; 2. B A; 3. C e la presunta conclusione: B. Proviamo a falsificare la =: vuol dire che abbiamo una valutazione che rende vere tutte le premesse e falsa la conclusione: B 0; mentre A C 1; B A 1; C 1; Allora C 0; allora necessariamente A 0 ossia A 1;. Quindi l assegnazione A 1; B 0; C 0 dimostra che il ragionamento e scorretto. Naturalmente si possono usare le tavole di verita, allo stesso scopo. Oppure: Premesse: 1.Tizio lavora solo quando Caio e Sempronio non lavorano. 2.O Tizio lavora o Caio lavora. 3. Sempronio lavora. Conclusione: Caio lavora. Prendiamo le lettere proposizionali T, C, S per indicare che i singoli personaggi lavorano. Si domanda se: T ( C S), T C, S = C(??) Questo si puo stabilire con le t.d.v.. Oppure, proviamo a falsificare: vorrebbe dire che abbiamo una valutazione con C 0; T ( C S) 1, T C 1, S 1 : allora necessariamente T 0 ma allora non e possibile T C 1. Una tal valutazione non esiste: il ragionamento e corretto ESERCIZI. Stabilire se i seguenti ragionamenti siano validi o meno. (1) Premesse 1.Tizio esce di casa solo se non piove e non c e vento. 2. Se non c e vento, allora piove.conclusione: Tizio non esce di casa. (2) Premesse: 1.Il circuito A fa passare corrente solo se nessuno dei circuiti B e C fa passare corrente. 2. Se la corrente passa dal circuito B allora passa dal circuito C. Conclusione: La corrente passa da A oppure passa da C. (3) Premesse: 1.Si vince solo se si gioca. 2. O si gioca o si lavora. 3. Non si vince. Conclusione: Si lavora. (4) Premesse 1.Il circuito A fa passare corrente solo se almeno uno dei circuiti B o C non fa passare corrente. 2. Se la corrente passa dal circuito B allora non passa dal circuito C. Conclusione: Se la corrente passa da A allora passa anche da C. (5) Premesse :1. La corrente passa da A solo se passa da B oppure da C. 2. Se la corrente passa da B, allora non passa da A. 3. La correnta passa da C oppure da A, ma non da entrambi. Conclusione: La corrente passa da C.

8 8 CAPITOLO 5 (6) Premesse: (1) Capita almeno una di tre possibilita. (2) Le prime due sono incompatibili. (3) la prima capita solo se capita la terza. (4)Non puo capitare la terza senza che capiti la seconda. Conclusione: O capita la seconda o la terza. (7) Premesse: (1)Qualcuno tra A,B,C mente e qualcuno non mente. (2) A dice il vero solo se C dice il vero. (3) A dice il vero oppure B mente. Conclusione: A non mente. 3. L equivalenza logica o equivalenza semantica La relazione di equivalenza logica (osemantica), denotata da, tra due formule è definita da: C D se = C D. Per esempio il teorema di sostituzione precedente si puó enunciare con questo simbolismo: se C i D i, i = 0,..., n, allora E[ C/ p] E[ D/ p]. Si noti che due formule contenenti le stesse variabili proposizionali sono logicamente equivalenti se e solo se, in senso preciso, hanno la stessa ultima colonna nelle loro tavole di veritá (questo vale solo se nel costruire le t.d.v. si segue la disciplina indicata sopra). Due formule possono essere equivalenti senza contenere alcuna variabile in comune, nel qual caso non ha senso dire che abbiano la stessa t.d.v.; per esempio (A (A B) C (D C). Inoltre, ogni formula contenente n variabili proposizionali distinte è logicamente equivalente ad una contenente le prime n variabili p 0,..., p n 1 : basta applicare una ridenominazione delle variabili. Lemma 2. La relazione è una relazione d equivalenza in PROP, ed è una congruenza della struttura PROP. DIM. Si tratta di stabilire che C C T AUT ; che se C D, D E T AUT allora anche D C, C E T AUT, e tutto ció è quasi ovvio. Inoltre c è da verificare che se C C, D D, allora anche (C D) (C D ) ed analogamente per. Si considerino la formula E = (p 0 p 1 ) e le sostituzioni [C, D/p 0, p 1 ], [C, D /p 0, p 1 ]. Per il teorema di sostituzione avremo: C D = E[C, D/p 0, p 1 ] E[C, D /p 0, p 1 ] = C D. Analogamente per la negazione. Il lemma consente di definire nel quoziente PROP/ operazioni corrispondenti ai connettivi; se con C denotiamo la classe di equivalenza di C: (1) C D := (C D) ; (2) (C ) := ( C) ; (3) 0 :=. A questo punto i segni di connettivo,,,, assumono ancora un altro senso: per denotare le operazioni nell algebra quoziente PROP/.

9 CAPITOLO 5 9 ESERCIZI. 1. Dimostrare che C se e solo se = C; ossia che ( ) = T AUT ; e che C se e solo se = C. 2. Ponendo ulteriormente 1 = ( ) (in effetti 1 = T AUT ), il lettore verifichi che la struttura PROP/ soddisfa le seguenti proprietà : (1) (idempotenti) a a = a, a a = a; (2) (commutative) a b = b a, a b = b a; (3) (associative) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (4) (assorbimento) a (a b) = a, a (a b) = a; (5) (distributive) a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c); (6) (elementi neutri) a 0 = a, a 1 = a; (7) (complementazione) a ( a) = 1, a ( a) = 0, a = ννa. (8) (de Morgan) (a b) = ( a) ( b), (a b) = ( a) (negb). (9) a b = ( a) b = (a b) [Si tratta di controllare una serie di tautologie; per esempio, che per ogni C, D P ROP, = (C (C D)) C, = C ( C), = (C C).] Tutto questo permette di lavorare algebricamente ; per esempio per mostrare che (A B) (B A) sia una tautologia, possiamo procedere cosi nell algebra quoziente: (a b) (b a) = ( a) b b a = 1 1 = La completezza funzionale L idea generale di connettivo logico é quella di un operazione n-aria in PROP tale che in ogni valutazione, il valore di verità del risultato dipende solo dai valori di verità degli operandi. Precisamente: un operazione G da PROP n verso PROP si dirà un connettivo (logico) n-ario se ammette una tavola di verità, ossia se esiste una funzione f da 2 n verso 2 tale che v(g(c 1,..., C n )) = f(v(c 1 ),..., v(c n )) per ogni n pla di formule C e per ogni valutazione v. Proposizione 3. Un operazione n aria G in P ROP (con n > 0)é un connettivo logico se e solo se per tutte le valutazioni v, v ed n ple di formule C, D se v(c i ) = v (D i ), i = 1,..., n allora v(g( C) = v (G( D)). Dim. Se G é un connettivo, con associata la t.d.v. f, avremo: v(g( C)) = (f(v(c 1 ),..., v(c n ))) = (f(v (D 1 ),..., v (D n ))) = v (G( D)). Viceversa se G ha la proprietá enunciata, definiamo f : 2 n 2 come segue: dati a i {0, 1} e fissata una valutazione v per cui v(p i ) = a i, i = 1,..., n, poniamo f(a 1,..., a n ) = v(g(p 1,..., p n )). Si noti che per ogni altra valutazione v tale che v (p i ) = a i, si avrá ancora v(g(p 1,..., p n ) = v (G(p 1,..., p n ). Pertanto la f é ben definita. Dimostriamo

10 10 CAPITOLO 5 che la f fornisce la tavola di veritá per G : cioé che data una valutazione v qualunque, e data una n pla C, v(g(c 1,..., C n ) = f(v(c 1 ),..., v(c n )). Allo scopo, sia v la valutazione definita da v (p i ) = v(c i ); per ipotesi, e per come é definita f si ha v(g(c 1,..., C n ) = v (G(p 1,..., p n ) = f(v (p 1 ),..., v (p n )) = f(v(c 1 ),..., v(c n )) Nella proposizione precedente, il caso n = o e poco interessante: G non fa altro che scegliere una formula A : Una siffatta funzione G e un connettivo logico se e solo se si ha uno dei due casi 1) = A, oppure 2) = A. Infatti, se cosi succede, prendiamo coma funzione f quella che sceglie 1, nel caso 1), e quella che sceglie 0, nel caso 2). Viceversa, se non capita nessuno dei due casi 1), ne 2), vuol dire che esistono una valutazione v 1 con v 1 (A) = 0, ed una valutazione v 2 con v 2 (A) = 1. Allora non possiamo scegliere un valore in 2 che vada bene per entrambe le valutazioni. Proposizione 4. Data una formula C contenente al piú n variabili p 1,..., p n si ottiene un connettivo logico G C cosí definito: per D i PROP, i = 1,..., n, G C (D 1,..., D n ) = C[ D/ p]. Dim. Controlliamo che G C é un connettivo logico: qualunque siano le valutazioni v, v con v(d i ) = v (B i ), i = 1,..., n, avremo: v(g C (D 1,..., D n ) = v(c[ D/ p]) = v S (C) v(g C (B 1,..., B n ) = v(c[ B/ p]) = v S (C) in cui S = [ D/ p], S = [ B/ p]; avremo inoltre v S (p i ) = v(s(p i )) = v(d i ) = v (B i ) = v (S (p i )) = v S (p i) e di conseguenza, essendo le variabili in C comprese tra le p 1,..., p n, avremo v S (C) = v S (C), ossia v(g C (D 1,..., D n )) = v (G C (B 1,..., B n )). Nella proposizione precedente, il caso n = 0 e possibile: se C non contiene variabili, o si ha = A oppure = A. : il corrispondente connettivo zeroario G C non fa altro che scegliere la formula C. Naturalmente ci sono operazioni su PROP che non sono connettivi, per esempio la f binaria definita da f(c, D) = C, se = C, ed altrimenti = D : data una valutazione v, dal conoscere solo v(c), v(d) non possiamo in genere ricavare v(f(c, D)).) Ci si chede:ci sono connettivi logici che non siano ottenuti da una qualche formula nel modo appena visto? Vedremo subito che la risposta è negativa. Cominciamo con l osservare che ad ogni t.d.v. (funzione da 2 n a 2) é associata ad almeno una formula:

11 CAPITOLO 5 11 Lemma 3. Data una funzione f da 2 n verso 2 possiamo determinare una formula C con variabili comprese tra le p 1,..., p n tale che per ogni valutazione v, v(c) = f(v(p 1 ),..., v(p n )). Dim. Per induzione su n. Se n = 0, f sarà una delle due costanti 0 o 1; nel primo caso, basta prendere per esempio C =, nel secondo una tautologia quale. Supponiamo che per funzioni di n posti il lemma valga, e sia f una funzione n + 1-aria. Definiamo h, g n arie da 2 n verso 2 come segue: h( x) = f( x, 0); g( x) = f( x, 1) ( x 2 n ). Siano C, D le formule associate ad h, g per ipotesi induttiva. Consideriamo la formula E = ( p n+1 C) (p n+1 D) ed è presto visto che, per ogni valutazione v si ha v(e) = 1 sse f(v(p 1 ),..., v(p n+1 )) = 1. Infatti, sia v(e) = 1, cioé cioé v(p n+1 C) = 1, oppure v(( (p n+1 ) D) = 1; v( p n+1 ) f(v(p 1 ),..., v(p n ), 0)) = 1 oppure v(p n+1 ) f(v(p 1 ),..., v(p n ), 1)) = 1 Se v(p n+1 ) = 0, siamo nel primo caso, altrimenti siamo nel secondo caso; e comunque avremo che f(v(p 1 ),..., v(p n ), v(p n+1 )) = 1. Viceversa, sia f(v(p 1 ),..., v(p n ), v(p n+1 )) = 1. Se v(p n+1 ) = 0, allora intanto v( p n+1 ) = 1; inoltre v(c) = h(v(p 1 ),..., v(p n )) = f(v(p 1 ),..., v(p n ), v(p n+1 )) = 1, e quindi anche v(e) = 1. Analogamente si ragiona nel caso che v(p n+1 ) = 1. Pertanto otteniamo: Teorema 3. Un operazione G da PROP n verso PROP è un connettivo logico se e solo se esiste una formula C con le variabili p 1,..., p n tale che G G C, ossia, tale che per ogni D, G( D) G C ( D). Dim. Se G é un connettivo logico, con t.d.v. f, intanto usiamo il lemma per costruire la formula C, e consideriamo l operatore G C. Dati D, sia s la sostituzione [ D/ p]. Quale che sia la valutazione v, avremo: v(g C ( D)) = v s (C) = f(v s (p 1 ),..., v s (p n )) = f(v(d 1 ),..., v(d n )) = v(g(d 1,..., D n )). NOTA. Con riferimento all algebra dei valori di verità il lemma dice che essa è funzionalmente completa, cioè che ogni operazione finitaria in 2 è ottenibile per composizione dalle operazioni corrispondenti ai connettivi 2, 2 2. Il teorema, a sua volta, dice che tutte le operazioni su PROP che hanno una tavola di verità si ottengono combinando i connettivi basilari,,. In effetti ne bastano anche di meno: per esempio, bastano, poichè gli altri connettivi si definiscono a partire da questi:a B ( A B); A B (A B).

12 12 CAPITOLO 5 Analogamente basterebbero:,, oppure,, oppure,. Se consideriamo il connettivo logico con tavola di verità x y = 1 se e solo se x = y = 0 (noto come Sheffer s stroke), esso da solo è funzionalmente completo; basta osservare che da esso si possono definire C come C C e C D come (C C) (D D). É vero che a (b c) = (a b) c? ESEMPIO. Trovare una formula che abbia la seguente t.d.v. f: f(a, b, c) = b se b=c; altrimenti f(a, b, c) = a, (a, b, c 2). Notiano che la prova del lemma fornisce un algoritmo per la soluzione. Consideriamo h(a, b) = f(a, b, 0) e g(a, b) = f(a, b, 1). Si ha h(a, b) = 0 se b = 0, e altrimenti h(a, b) = a; onde ad h basta far corrispondere la formula p 2 p 1. Si ha g(a, b) = 1 se b = 1 e altrimenti g(a, b) = a; onde a g corrisponde la formula p 2 p 1. Pertanto, una soluzione è data dalla formula ( p 3 (p 2 p 1 )) (p 3 (p 2 p 1 )). (Un altro metodo si vedrá nel prossimo paragrafo.) ESERCIZI. Trovare delle formule con due, tre o quattro variabili, che abbiano le seguenti tavole di veritá: (1) f(a, b) = 0 se e solo se a b = 1; (2) f(a, b) = 1 se e solo se a = b = 0; (3) f(1, 1) = 1 ed altrimenti = 0; (4) f(a, b, c) = 1 se e solo se a = b = c; (5) f(a, b, c) = 1 sse esattamente due tra a, b, c sono euguali ad 1. (6) f(a, b, c, d) = 1 sse a = b e c d. (7) f(a, b, c) = 1 sse la maggioranza tra a, b, c valgono Le forme normali disgiuntive e congiuntive In questo paragrafo si lavora quasi sempre a meno di. Lo scopo è di fare vedere che ogni formula di PROP é logicamente equivalente ad una di forma standard. Si chiamano letterali le formule p i, p i, i ω ossia le variabili proposizionali e le loro negazioni. Una congiunzione finita di letterali si puó chiamare una congiunzione elementare, ed una disgiunzione finita di congiunzioni elementari si chiama una forma normale disgiuntiva o DN F. Scambiando congiunzione con disgiunzione, si avrebbe la nozione duale di forma normale congiuntiva. Non abbiamo ancora definito cosa sia una congiunzione o disgiunzione finita di formule. Questo si puó fare dando significato a scritture come: ( ) C 1 C 2 C n

13 fissando che si debba intendere come una abbreviazione di CAPITOLO 5 13 (... ((C 1 C 2 ) C 3 )... ) C n, ossia pensando sempre ad associare a sinistra. A questo punto, invece di ( ) potremo anche scrivere: Ci oppure L ambiguità di ( ) sparisce a meno di equivalenza, nel senso che due qualunque modi di associare risultano equivalenti in. (Qualcosa di simile, con tutte le annesse possibiltà di estrema pedanteria, capita in algebra col segno di sommatoria...). Un singolo letterale e congiunzione elementare ( come pure e una disgiunzione elementare), ed una singola congiunzione (risp. disgiunzione) elementare sara da sola una forma normale disgiuntiva (risp. congiuntiva). In generale, una DNF è pertanto una formula del tipo: l ij i I j J i ove i, j sono variabili su insiemi finiti di indici I, J i non tutti vuoti, e ciascun l ij è un letterale. Se qualche J i =, la corrispondente congiunzione degenere si intende che denoti una tautologia quale p 0 p 0 ; se I =, si intende una formula contraddittoria quale p 0 p 0. Teorema 4. Esiste un algoritmo che per ogni C PROP produce una C DNF tale che C C. Dim. Sia N l insieme delle formule che non contengono,, ed in cui compare solo su lettere proposizionali p i. è abbastanza chiaro che ogni formula C ammette una equivalente in N. Ció si puo ottenere, eliminando innanzitutto le eventuali occorrenze di, mediante la equivalenza i=n i=1 C i. A B (A B) (B A). A quel punto si eliminano tutte le eventuali occorrenze di, mediante l equivalenza A B A B. Inoltre si elimina a favore di p i p i. Infine si spingono tutte le eventuali occorrenze di verso le lettere proposizionali, mediante le leggi di De Morgan : (A B) A B; (A B) A B e si eliminano le negazioni multiple mediante l equivalenza (legge della doppia negazione): A A. Avendo terminato la suddetta procedura, avremo una formula equivalente a C e che è costruita a partire da letterali mediante il solo uso di e di, ossia una formula di N.

14 14 CAPITOLO 5 Basterà pertanto mostrare come da una formula in N si possa trovare una equivalente in DN F. N ammette ovviamente una definizione induttiva: (1) ogni letterale appartiene a N; (2) se A, B N, allora A B, A b N; (3) niente altro appartiene a N. È ora facile mostrare per induzione su A N che c è una A DNF equivalente ad A. Per il passo induttivo relativo a si usa l equivalenza (che generalizza la proprietà distributiva ): ( A i B j ) (A i B j ). i j i j Esiste una procedura alternativa, comoda in pratica per porre una formula qualunque in DNF. Nel caso di formule contenenti n variabili (n 0) si otterra una DNF completa: in ciascuna congiunzione elementare compaiono tutte le n variabili. Supponiamo poi C contenga n 1 lettere proposizionali p 1,..., p n. Interessano solo le 2 n valutazioni possibili per tali lettere, e siano tra esse v 1,..., v k quelle per cui v i (C) = 1. Se k = 0, avremmo = C allora C p 1 p 1 p 2 p n DNF. Supponiamo allora k 1.. Definiamo per j = 1,..., k; i = 1,..., n il letterale l ij : l ij = { p i se v j (p i )) = 1 p i altrimenti Consideriamo la congiunzione elementare m j = l 1j l 2j l nj ed infine si ha che C m 1 m k DNF. Infatti, è chiaro che per una valutazione qualunque v, le seguenti sono equivalenti: (1) v(m 1 m k ) = 1 (2) per qualche j si ha: v(m j ) = 1 (3) per qualche j si ha: v(p i ) = v j (p i ) per ogni i = 1,..., n, (4) per qualche j, la restrizione di v a p 1,..., p n coincide con la restrizione di v j (5) v(c) = 1. ESEMPI. A. In pratica, per determinarne una forma normale disgiuntiva, si procede costruendo la tavola di verità di C, e poi considerando le righe in cui il valore finale sia 1, e da esse si scrivono le m j. Sia data per esempio (C, D siano letterali) A = (C (C D)) (D (D C));

15 CAPITOLO 5 15 la cui t.d.v. è : C D C (C D) D (D C) A ci sono tre righe (= valutazioni) per le quali A valuta 1; corrispondente si ottengono le tre congiunzioni elementari della seguente DN F completa: ( C D) ( C D) (C D). (Si vede peró facilmente che quest ultima, e quindi A stessa, è equivalente ad una forma molto piú semplice: C D.) Per quando riguarda la CNF, essa si puo ottenere dalla t.d.v., prendendo le righe in cui la valutazione da 0, e formando le disgiunzioni elementari in modo duale rispetto alla DN F. B. Il metodo puó anche servire a trovare una formula corrispondente ad una dato connettivo logico (oppure, avente una data tavola di veritá). Sia dato il connettivo ternario G che su ogni terna di formule C, D, E e per ogni valutazione v, dà valore 1 se e solo se esattamente due tra v(c), v(d), v(e) valgono 1. Per trovare una formula che lo rappresenti, si puó procedere osservando che nella tavola di verità di G solo tre righe danno come risultato 1, cioè < 011 >, < 100 >, < 101 >; la corrispondente DN F sarà pertanto: ( p q r) (p q r) (p q r) la quale, quindi, rappresenta G. C. Si noti che la negazione di una DNF é equivalente ad una CNF e viceversa (usando le leggi di De Morgan e la legge della doppia negazione). Si noti che una CNF i j é una tautologia se e solo se tutti i disgiunti elementari j l ij sono tautologie. Controllare che una disgiunzione elementare h 1 h 2 h n sia una tautologia é immediato: é una tautologia se e solo se per qualche letterale h j, esiste un altro h l = h j (altrimenti, potremmo trovare una assegnazione che falsifichi la disgiunzione elementare). [Tuttavia, il problema della decisione per una formula qualunque se essa sia o no in T AUT non per questo diventa altrettanto immediato: la procedura di trasformazione della formula in forma CNF resta lunga, nel caso peggiore, 2 n passi, se ci sono n lettere proposizionali.] l ij ESERCIZI.

16 16 CAPITOLO 5 1.Dare un criterio perché una DNF sia una tautologia. 2. Porre in forma normale disgiuntiva le formule: p (q (p q)); (p (q t)) (( (q) t) p); ((p ( q)) (q ( p)) ( (p q)); (p (q t)) ((p q) (p t)). 2. Svolgere gli esercizi alla fine del precedente paragrafo con il metodo B Definizione e proprietá Un algebra di Boole è una struttura 6. Le algebre di Boole B =< B,,, ν, 0, 1 > in cui B è un insieme non vuoto,, sono operazioni binarie in B, ν è un operazione unaria in B, 0, 1 sono costanti e sono soddisfatti i seguenti assiomi: per tutti gli a, b, c B : (1) (idempotenza) a a = a, a a = a; (2) (commutative) a b = b a, a b = b a; (3) (associative) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (4) (assorbimento) a (a b) = a, a (a b) = a; (5) (distributive) a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c); (6) (elementi neutri) a 0 = a, a 1 = a; (7) (complementazione) a (νa) = 1, a (νa) = 0. Nella precedente definizione, non si esclude che B abbia un solo elemento; significa allora che 1 = 0 in una tale struttura (algebra degenere). Nel seguito ci occuperemo solo di algebre di Boole con almeno due elementi, per cui algebra di Boole significherá in effetti algebra di Boole con 0 1. Spesso scriviamo B BOOLE per indicare che B è un algebra di Boole. Esempi. (1) La struttura 2 =< 2, 2, 2, 2, 0, 1 > dei valori di veritá è un algebra di Boole. (2) Per ogni insieme X, la struttura < P(X),,,,, X > in cui Y = X \ Y per Y X (complementazione), è un algebra di Boole. (3) PROP/ è un algebra di Boole. (4) Con le usuali operazioni insiemistiche, dato un insieme X la famiglia {Y Y X, Y finito oppure cofinito(cioe X \ Y finito )} è un algebra di Boole. (5) Dato uno spazio topologico < X, T >, la famiglia {Y Y x, Y aperto e chiuso}, con le usuali operazioni insiemistiche (come in 2), è un algebra di Boole (algebra dei clopen di X).

17 CAPITOLO 5 17 In una algebra di Boole si definisce la relazione binaria (o B ) ponendo a b se a b = b; nonchè si pone a b := (νa) b; a b =: (a b) (b a). Spesso scriviamo anche a per νa. Proposizione 5. Sia B BOOLE; per ogni a, b, x B si ha: (1) a b sse a b = a; se a b allora a x b x ed a x b x; (2) è un ordine parziale in B; (3) a b = inf {a, b}, a b = sup {a, b}; (4) 0 a 1, 0 a = 0, 1 a = 1; (5) a b sse a b = 1 sse a b = 0; a = b sse a b = 1; (6) a x b sse x a b; a b = 0 sse a b sse b a ; (7) Se a x = 0 e a x = 1 allora x = a ; a = ν(νa)) = a; a = b sse a = b; a b = b a ; a b sse b a ; (8) a b = (a b), a b = (a b). Dim. 1.Sia a b = b; allora a = a (a b) = a b. Sia a b = a; allora a b = (a b) b = b. Sia a b; allora a x = (a b) x = a (b x) = a (x b) = a ((x x) b) = a (x (x b)) = (a x) (b x); ossia a x b x. Similmente per. 2. è riflessiva (per l idempotenza); antisimmetrica (per la commutativita ) e transitiva (per l associativitá). 3.Si ha (a b) b = a b onde a b b. Similmente si vede a b a. Sia ora x a, x b; avremo x (a b) = (x a) (x b) = a b, onde x a b. Cioè a b = inf {a, b}. Similmente per. 4. è pressochè ovvio. 5. Sia a b; allora a b = a b = a (a b) = (a a) b = 1 b = 1. Sia a b = 1, allora a = a 1 = a (a b) = (a a ) (a b) = a b; onde a b. Sia a b; da a = a b otteniamo a b = a b b = 0. Sia a b = 0; allora a = a 1 = a (b b ) = (a b) (a b ) = a b, onde a b. 6. Sia a x b; allora x a x = (a a) (a x) = a (a x) a b. Sia x a b, allora a x a (a b) = a b b. Sia a b = 0; allora a b 0 = b. Viceversa sia a b ; allora a b b b = Da a x = 0 otteniamo x a. D altronde se a x = 1, avremo a = a (a x) = (a a) (a x) = a x x. Ne segue immediatamente che a = a. Da ció si ottiene che se a = b allora a = a = b = b. Inoltre a b = a b = b a = b a. Infine a b sse a b = 1 sse b a = 1 sse b a. 8. è presto visto che (a b) (a b ) = 0 e che (a b) (a b ) = 1. Infine (a b) = (a b ) = (a b ) = a b. NOTE.

18 18 CAPITOLO 5 1. La nozione di algebra di Boole si puó introdurre anche come insieme parzialmente ordinato. Sia < B, > un insieme parzialmente ordinato da ; si dice che esso è un reticolo se comunque dati a, b B, esistono in B, inf {a, b} (che si denota con A b) e sup {a, b}, (che si denota con a b.) (ESERCIZI.) 1. Si vede facilmente che in un reticolo valgono le identitá n. 1,2,3,4 della definizione di algebra di Boole. 2. Viceversa se le operazioni binarie, in un insieme B soddisfano tali identità, e si pone per definizione a b sse a b = b, allora < B, > è un reticolo. Un reticolo < B, > si dice limitato se esistono 0 = min B e 1 = max B. Un reticolo limitato si dice complementato se per ogni a B, esiste un x B (un complemento di a in B), tale che a x = 0, a x = 1. Se per ogni a B esiste uno ed un solo complemento, il reticolo si dice unicamente complementato. Un reticolo è distributivo se per tutti gli a, b, c, a (b c) = (a b) (a c). ( ESERCIZI.)1. Tale legge distributiva è equivalente alla sua duale: a (b c) = (a b) (a c). 2. Un reticolo complementato è distributivo se e solo se è unicamente complementato. Un reticolo complementato distributivo si chiama un reticolo di Boole. Si tratta di una presentazione equivalente delle algebre di Boole: la relazione definita in un algebra di Boole dà luogo ad un reticolo di Boole; viceversa, dato un reticolo di Boole, il complemento è unico, e la corrispondente operazione, insieme alle due operazioni reticolari,, danno luogo ad un algebra di Boole Algebre atomiche e algebre finite Il caso finito si riduce presto alla considerazine delle sole algebre della forma P(X) con X insieme finito. Intanto, un atomo di B Boole è un elemento a 0 e tale che 0 y a implica y = 0 oppure y = a. Si ha: a 0 è un atomo di B sse per ogni x B o si ha a x oppure a x. Invero sia a un atomo; se a x allora a x a, a x a, onde a x = 0, onde a x. Viceversa, sia y a, y a; allora a y; per ipotesi, a y, ossia y a onde y a a = 0. Si noti che se a, b sono atomi distinti, a b = 0 : invero sara a b oppure b a; nel primo caso, a b cioè a b = 0; e similmente nell altro caso. Un algebra è atomica se per ogni x 0 esiste un atomo a con a x. Si vede facilmente che B è atomica se e solo se per ogni b B esiste sup {a a atomo e a b} ed è eguale a b. Siccome un verso è ovvio, supponiamo che B sia atomica; se b = 0 avremo b = sup. Sia b 0; ovviamente b è un maggiorante di {a a atomo e a b}; sia x un maggiorante di tale insieme; se fosse b x, avremmo b x 0; ci sarebbe allora una atomo a b x ; allora a b e pertanto a x; ma allora a x x = 0 : assurdo. Onde effettivamente b = sup {a a atomo e a b}. Proposizione 6. Un algebra di Boole B finita è atomica, e se A è l insieme dei suoi atomi, B è isomorfa a P(A).

19 CAPITOLO 5 19 Dim. Dato b B, b 0, se b non è un atomo, ci sarebbe y 0 B con 0 < y 0 < b; ripetendo il ragionamento con y 0, se y 0 non è un atomo troveremmo y 1 con 0 < y 1 < y, etc.. Ma l algebra è finita, onde qualche y n sara un atomo b. L isomorfismo da B a P(A) si costruisce come segue: a b B associamo f(b) = {a A a b}. Intanto tale f è iniettiva; se b c, sarà b c oppure c b; nel primo caso, b c 0; se a è un atomo b c, allora a f(b) \ f(c); similmente nell altro caso. Inoltre f è suriettiva: se Y A, esiste, in quanto Y è finito, b = sup Y ; ora b = 0 sse Y = ; sia b 0; se a A, a Y = {a 1,..., a n }, allora a f(b); se poi a b, avremmo (a a 1 ) (a a n ) = a; ma ciascun a i è un atomo, e se fosse a a i, i = 1,..., n allora a a i = 0;, ed allora a = 0; pertanto sarà a = a i per qualche i. Infine f conserva le operazioni: basterà controllare che conserva, (perchè?). Invero ovviamente a b c sse a b ed a c; e se a A, a b sse a b. Corollario 4. Ogni algebra di Boole finita ha cardinalità 2 n dove nè il numero dei suoi atomi. Due algebre di Boole finite con lo stesso numero di elementi sono isomorfe. OSSERVAZIONI. 1 In generale, data un algebra atomica anche infinita, si puó costruire la funzione f come nella dimostrazione precedente; essa risulta essere un omomorfismo iniettivo, ma in generale non sarà suriettiva. Per ottenere l isomorfismo, occorrerà che l algebra sia anche completa, ossia che ogni sottinsieme ammetta sup nell algebra. Cosí si otterrebbe la caratterizzazione, a meno di isomorfismi, delle algebre della forma P(X) con X un insieme: sono tutte e sole le algebre di Boole atomiche e complete. 2.L algebra dei finiti e cofiniti di ω è atomica (gli atomi sono i singoletti) ma non completa : l insieme {{2n} n ω} non ha un sup in tale algebra. D altronde, tale algebra ha ℵ 0 elementi, e nessun algebra della forma P(X) è di cardinalitá numerabile: se X e finito, anche P(X) è finito; se X è infinito, P(X) è piú che numerabile. 3. Un algebra è priva di atomi se non possiede atomi. L algebra PROP/ è priva di atomi. Invero sia D 0, ossia esista una valutazione v tale che v(d) = 1. Se p è una lettera proposizionale che non occorre in D (ecco un caso in cui e necessario che ci siano infinite varabili proposizionali)e sia A = D p. Allora si ha = A D; mentre = D A : invero se v coincide con v salvo che manda p in 0, su ha v (D A) = 0. Inoltre A 0 : la valutazione che coincide con v salvo a mandare pin 1, valuterá A in 1. E cosí 0 A < D ; cioè D non è un atomo. La seconda osservazione mostra che non possiamo aspettarci che le algebre di Boole siano tutte del tipo P(X). Tuttavia, ogni algebra di Boole è (isomorfa ad) una sottalgebra di P(X) per un qualche insieme X, (teorema di M.H.Stone), come vedremo Filtri ed ultrafiltri booleani Data B Boole, un filtro di B è un sottinsieme non vuoto di B tale che per ogni x, y B, x y U sse x U ed y U.

20 20 CAPITOLO 5 Si noti che allora 1 U : invero esiste a U, ed allora a = a 1 U, onde anche 1 U. Un filtro U è un filtro proprio se U B. Se U è un filtro proprio di B e per ogni x, y B x y U sse x U oppure y U, allora U è detto un ultrafiltro di B. Proposizione 7. i. Per U B le seguenti sono equivalenti: (1) U è un filtro; (2) Se x, y U, x z allora anche x y U, z U. (3) Se x, y, x z U allora anche x y, z U. ii.per U filtro di B le seguenti sono equivalenti: (1) U è un filtro proprio; (2) 0 / U; (3) Per ogni x U si ha x / U. iii. Ogni intersezione di filtri (risp. filtri propri) di B è un filtro (risp. un filtro proprio) di B. iv. L unione di una famiglia direttata di filtri (risp. di filtri propri) U i, i I, di B (ossia: dati U i, U j esiste h I con U i U j U h ), ed in particolare l unione di una catena di filtri (ossia : per i, j I, U i U j oppure U j U i ) è un filtro (risp. un filtro proprio) di B. Dim. i.1 2.Se x z, allora z x = x U, ed allora anche z U Avremo: z x z = x (x z) U, onde z U Se x y U, avremo ovviamente x, y, inu. ii. Questo è un semplice esercizio. iii. Sia G l intersezione dei filtri U i, i I; G, poichè 1 G. Si ha: x y G sse per ogni i I, x y U i sse per ogni i I, x U i, y U i sse x G, y G. iv. Sia F = (U i i I). Ovviamente F non è vuoto; se x y F, allora x y U i per qualche i I; allora x, y U i, ed allora x, yinf. Viceversa, sia x, y F, allora x U I, y U j per opportuni i, j; ma allora x, y U h per un qualche h I : onde x y U h, ed infine x y F. È ovvio che F è proprio sse tutti gli U i sono proprii. In particolare, per ogni sottinsieme H B l intersezione di tutti i filtri contenenti H è un filtro, che di chiama il filtro generato da H in B, e si denota con H f. Per esempio, f = {1} mentre se a B, {a} f = {x B a x}. Piú in generale: Proposizione 8. Si ha: H f = {x B esistono y 1,..., y n H taliche x y 1 y 2 y n }. Dim. Sia G l insieme del secondo membro. Si ha 1 G : se n = 0 abbiamo l estremo inferiore della famiglia vuota, che è 1. Se x G, x y, ovviamente anche y G. Infine se x, y G, in quanto x y 1 y 2 y n, y z 1 z 2 z m, per certi y i, z j H, avremo x y y 1 y 2 y n z 1 z 2 z n, ed anche x y G. Sicché G è un filtro di B, inoltre esso contiene H, ed infine un qualunque filtro contenente H deve contenere anche G; pertanto G = H f.

21 Si noti che se U è un filtro ed a B, si ha x (U {a}) f qualche y U. CAPITOLO 5 21 Proposizione 9. Per U filtro proprio di B le seguenti sono equivalenti: se e solo se y a x per (1) U è un ultrafiltro; (2) U è massimale (per l inclusione) tra i filtri propri di B, (ossia l unico filtro che contenga propriamente U è B.) (3) Per ogni x B, o x U, oppure x U. Dim Sia V un filtro che includa propriamente U; sia a V \ U. Siccome a a = 1 U, ed a / U, avremo a U, onde a V, ed allora a, a V, e V = B Sia x / U; allora (U {x}) f = B, ed in particolare 0 (U {x}) f ; onde esiste un y U con y x = 0; allora y x, y U, e pertanto x U Se x y U ed x / U, avremo x U onde x (x y) U, ossia x y U, e pertanto y U. ESEMPI. Nell algebra 2 c e un solo filtro proprio, cioe {1}, che pertanto e anche l unico ultrafiltro. Nell algebra P(X) i filtri si dicono anche filtri su X. per esempio se si fissa A X, {B B X, A B} e un filtro, che e proprio se e solo se A ; ed e un ultrafiltro se e solo se A e un singoletto. Nell algebra PROP/ si ottiene un filtro fissando un insieme Γ PROP, e considerando {A Γ = A}. Esso e un filtro proprio se e solo se Γ =. Si teova un ultrafiltro fissando una valutazione v e definendo U v = {A v(a) = 1}. Diremo che H B ha la f.i.p.(proprietà dell intersezione finita) se per ogni sottinsieme finito {h 1,..., h n } H si ha h 1 h n 0. È immediato che H ha la f.i.p se e solo se H f è un filtro proprio. Lemma 4. Sia H B. H ha la f.i.p. ( se e ) solo se esiste un ultrafiltro U di B con H U. Dim. Un verso è ovvio. Viceversa, assumiamo che H abbia la f.i.p. Sia F la famiglia di tutti i filtri propri di B che contengano H. Essa non è vuota: H f F. La si consideri parzialmente ordinata dall inclusione. Sia data una catena (per l inclusione) in F. L unione della catena è un filtro proprio, contiene H e pertanto appartiene ad F. Possiamo applicare il lemma di Zorn: esisterá in F un elemento massimale U. Ora, tale U è un filtro proprio di B, e contiene H, ma è addirittura un ultrafiltro: se infatti un filtro F e proprio e contiene U, esso appartiene ad F, ma allora esso è uguale ad U. NOTA. Se consideriamo l algebra P(ω) dei sottinsiemi diω, il filtro dei cofiniti e costituito dai sottinsiemi il cui complementare e finito. In base al lemma precedente, esistera almeno un ultrafiltro su ω contenente tutti i cofiniti; nessuno e pero in grado di indicare come ottenere un

22 22 CAPITOLO 5 tale ultrafiltro (il che sottolinea il carattere non costruttivo che presentano spesso le applicazioni del lemma di Zorn). Teorema 5. (Stone) Sia X l insieme degli ultrafiltri dell algebra di Boole B.Allora B è isomorfa ad una sottalgebra di P(X). DIM. Si definisca la funzione u da B verso P(X) come segue: v(b) = {U X b U}. Cioè : U u(b) sse b U. Se b c, allora o b c o c b. Trattiamo il primo caso il secondo essendo analogo. Allora H = {b, c } ha la f.i.p.. Se U è un ultrafiltro con H U, avremo b U, c U, ossia U u(b) \ u(c). Pertanto u è iniettiva. Inoltre u conserva le operazioni: u(b c) = u(b) u(c), dalla definizione di filtro; e X \ u(b) = u(ν(b)) dalla proprietà degli ultrafiltri, x / U sse x U. Da questo risultato parte l interessante teoria della rappresentazione per algebre di Boole, una teoria della dualita, etc. (per un primo approccio, si veda : P.R.Haloms, Lectures on Boolean Algebras, Van Nostrand, Princeton, 1963). Notiamo solamente che, perversamente, qualcuno potrebbe voler applicare tale teorema all algebra P(X) : ogni sottinsieme A di X verrebbe rappresentato come l insieme degli ultrafiltri U su X con A U(!). 7. Soddisfacibilità e compattezza Il prossimo obiettivo è di dimostrare che se Γ PROP e C PROP, si ha Γ = C se e solo se esiste un sottinsieme finito F Γ tale che F = C. Tale risultato si chiama Teorema di Compattezza del calcolo proposizionale per un motivo che vedremo. Si noti che un verso è ovvio: se F = C per qualche sottinsieme F Γ, allora anche Γ = C. Definizione 6. Diremo che un insieme Γ PROP è (1) soddisfacibile se esiste una valutazione v con v(γ) {1} (cioè : v(f ) = 1 per ogni F Γ); (2) finitamente soddisfacibile se ogni sottinsieme finito di Γ è soddisfacibile; (3) insoddisfacible se per ogni valutazione v esiste una formula F Γ con v(f ) = 0, (cioè : se non è soddisfacibile); Ovviamente se Γ è soddisfacibile, allora Γ è finitamente soddisfacibile. Si noti che: Γ è insoddisfascibile sse Γ = ; nel caso in cui Γ sia un singoletto {F }, la nomenclatura sarà riferita a F : e per esempio avremo : F e insoddisfacibile se e solo se F è una tautologia ossia se e solo se F e contraddittoria. Si noti che un insieme puo essere insoddisfacibile senza contenere alcuna formula insoddisfacibile. Per esempio, se P e una variabile proposizionale, {P, P } e insoddisfacibile, ma sia P che P sono soddisfacibili. ESEMPI. 1. Un qualunque insieme di lettere proposizionali è soddisfacibile. L insieme vuoto e soddisfacibile. 2. Un insieme finito di formule e soddisfacibile se e solo se la congiunzione delle sue formule e soddisfacibile. 3. La formula p 0 p 1 è soddifacibile; la formula (p 0 p 1 ) p 0 p 1 è insoddisfacibile. 4. Una DNF l ij i I j J i

Esercitazioni per il corso di Logica Matematica

Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 02 marzo 2005 Nota importante. Queste pagine contengono appunti personali dell esercitatore e sono messe a disposizione nel caso possano risultare

Dettagli

Seconda lezione. Dipartimento di Matematica Università di Salerno

Seconda lezione. Dipartimento di Matematica Università di Salerno Algebra della Logica Seconda lezione Dipartimento di Matematica Università di Salerno http://logica.dmi.unisa.it/lucaspada Scuola AILA 2017 Palazzo Feltrinelli, Gargnano, 20 26 agosto 2017. Completezza

Dettagli

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x. ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se

Dettagli

ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD IN TEORIA COMBINATORIA DEI NUMERI

ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD IN TEORIA COMBINATORIA DEI NUMERI ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD IN TEORIA COMBINATORIA DEI NUMERI MAURO DI NASSO 1. Filtri e ultrafiltri Iniziamo introducendo le fondamentali nozioni di filtro e ultrafiltro. Definizione 1.1. Un filtro

Dettagli

Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1

Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Esercizio 1.12 Per dimostrare che per ogni funzione esiste una formula in cui compaiono le variabili tale che la corrispondente

Dettagli

Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica Istituzioni di Logica Matematica Sezione 7 del Capitolo 2 Alessandro Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 1 / 57 Ordini

Dettagli

Fondamenti di Informatica 2

Fondamenti di Informatica 2 Fondamenti di Informatica 2 Linguaggi e Complessità : Lezione 1 Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, 2009-2010 Linguaggi e Complessità : Lezione 1 1 Logica proposizionale Linguaggio matematico

Dettagli

Seconda prova in itinere. Logica e Algebra. 10 luglio Esercizio 1 Si considerino le seguenti formule della logica del primo ordine:

Seconda prova in itinere. Logica e Algebra. 10 luglio Esercizio 1 Si considerino le seguenti formule della logica del primo ordine: Seconda prova in itinere Logica e Algebra luglio 5 Esercizio Si considerino le seguenti formule della logica del primo ordine: a) x y A x, aa y, a A f x, y, b) z A f x, z, b c) x y A x, aa y, a A f x,

Dettagli

Esercizi sul Calcolo Proposizionale

Esercizi sul Calcolo Proposizionale Esercizi sul Calcolo Proposizionale Francesco Sborgia Matricola: 459245 December 7, 2015 1 Esercizio 1 Per ogni formula A dimostrare che ρ(a) = min{n A F n } Definizione 1. Ricordiamo che, dato un linguaggio

Dettagli

Precorsi di matematica

Precorsi di matematica Precorsi di matematica Francesco Dinuzzo 12 settembre 2005 1 Insiemi Il concetto di base nella matematica moderna è l insieme. Un insieme è una collezione di elementi. Gli elementi di un insieme vengono

Dettagli

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che

Dettagli

Esercizi di Logica Matematica (parte 2)

Esercizi di Logica Matematica (parte 2) Luca Costabile Esercizio 317 Esercizi di Logica Matematica (parte 2) Dimostro per induzione sulla costruzione del termine : - Supponiamo che sia una variabile :, - Supponiamo che sia una variabile diversa

Dettagli

Dispensa su. Funzioni Booleane. Jianyi Lin Università degli Studi di Milano

Dispensa su. Funzioni Booleane. Jianyi Lin Università degli Studi di Milano Dispensa su Funzioni Booleane Jianyi Lin Università degli Studi di Milano jianyi.lin@unimi.it 18 novembre 2011 1 Operazioni booleane In questa sezione introduciamo il concetto di funzione booleana e accenniamo

Dettagli

Elementi di Informatica A. A. 2016/2017

Elementi di Informatica A. A. 2016/2017 Elementi di Informatica A. A. 2016/2017 Ing. Nicola Amatucci Università degli studi di Napoli Federico II Scuola Politecnica e Delle Scienze di Base nicola.amatucci@unina.it Algebra di Boole Elementi di

Dettagli

$marina/did/md

$marina/did/md Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica Insiemi (parzialmente) ordinati 10 dicembre 00 Marina Cazzola (marina@matapp.unimib.it) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano

Dettagli

RISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE. Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine

RISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE. Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine RISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine 1. Risoluzione Definitione 1.1. Un letterale l è una variabile proposizionale (letterale

Dettagli

CAPITOLO 1. Fondamenti. 1. Assiomi, postulati, definizioni

CAPITOLO 1. Fondamenti. 1. Assiomi, postulati, definizioni CAPITOLO 1 Fondamenti In questo capitolo presentiamo alcune nozioni necessarie per i successivi capitoli. 1. Assiomi, postulati, definizioni La Matematica è la scienza ipotetico-deduttiva per eccellenza.

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

Elementi di teoria degli insiemi

Elementi di teoria degli insiemi ppendice Elementi di teoria degli insiemi.1 Introduzione Comincia qui l esposizione di alcuni concetti primitivi, molto semplici da un punto di vista intuitivo, ma a volte difficili da definire con grande

Dettagli

Logica: materiale didattico

Logica: materiale didattico Logica: materiale didattico M. Cialdea Mayer. Logica (dispense): http://cialdea.dia.uniroma3.it/teaching/logica/materiale/dispense-logica.pdf Logica dei Predicati (Logica per l Informatica) 01: Logica

Dettagli

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi INSIEMI E RELAZIONI 1. Insiemi e operazioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. Sia A un insieme di elementi qualunque. Per indicare che a è un elemento di

Dettagli

Logica proposizionale

Logica proposizionale Logica proposizionale Proposizione: frase compiuta che è sempre o vera o falsa. Connettivi Posti in ordine di precedenza: not, and, or, implica, doppia implicazione Sintassi Le proposizioni sono costituite

Dettagli

METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA

METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA ANNO ACCADEMICO 2011/2012 Sommario. Sintassi e semantica della Logica dei predicati. Proprietà fondamentali dei quantificatori. Strutture, soddisfacibilità e verità

Dettagli

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica

Dettagli

ESERCIZI DI LOGICA MATEMATICA A.A Alessandro Combi

ESERCIZI DI LOGICA MATEMATICA A.A Alessandro Combi ESERCIZI DI LOGICA MATEMATICA A.A. 2015-16 Alessandro Combi Esercizio 1.7 Per ogni formula A, dimostrare che ρ(a) = min{n A F n } Soluzione: Chiamo rank(a) = min{n A F n }. Bisogna provare che rank segue

Dettagli

Introduzione alla logica proposizionale

Introduzione alla logica proposizionale Introduzione alla logica proposizionale Mauro Bianco Questa frase è falsa Contents 1 Proposizioni 1 2 Altri operatori 4 Nota : Le parti delimitate da *** sono da considerarsi facoltative. 1 Proposizioni

Dettagli

INSIEMI. DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti.

INSIEMI. DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti. INSIEMI DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti. Esso è ben definito quando è chiaro se un oggetto appartiene o non appartiene all insieme stesso. Esempio. E possibile definire l insieme

Dettagli

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) [# Aii [10 pagine]] Algebre di Boole Un algebra di Boole è una struttura 1. Definizione e proprietá B =< B,,, ν, 0, 1 > in cui B è un insieme non

Dettagli

Ragionamento Automatico Richiami di tableaux proposizionali

Ragionamento Automatico Richiami di tableaux proposizionali Richiami di logica e deduzione proposizionale Ragionamento Automatico Richiami di tableaux proposizionali (L. Carlucci Aiello & F. Pirri: SLL, Cap. 5) La logica proposizionale I tableau proposizionali

Dettagli

Errata corrige del libro Introduzione alla logica e al linguaggio matematico

Errata corrige del libro Introduzione alla logica e al linguaggio matematico Errata corrige del libro Introduzione alla logica e al linguaggio matematico 28 gennaio 2009 Capitolo 1 Pag. 7, Definizione 6. Il complemento di un sottoinsieme A di I è il sottoinsieme A = {x I : x /

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 4 Sommario. Dimostriamo il Teorema di Completezza per il Calcolo dei Predicati del I ordine. 1. Teorema di Completezza Dimostriamo il Teorema

Dettagli

Sistemi Deduttivi. Marco Piastra. Intelligenza Artificiale I. Intelligenza Artificiale I - A.A Sistemi Deduttivi[1]

Sistemi Deduttivi. Marco Piastra. Intelligenza Artificiale I. Intelligenza Artificiale I - A.A Sistemi Deduttivi[1] Intelligenza Artificiale I Sistemi Deduttivi Marco Piastra Intelligenza Artificiale I - A.A. 2010- Sistemi Deduttivi[1] Calcolo simbolico? Una fbf è conseguenza logica di un insieme di fbf sse qualsiasi

Dettagli

APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I

APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI MAURIZIO CORNALBA L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I un insieme di insiemi. Il prodotto i I A i è l insieme di tutte le applicazioni α : I i I A i

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI 1. GLI ASSIOMI DI PEANO Come puro esercizio di stile voglio offrire una derivazione delle proprietà elementari dei numeri naturali e delle operazioni

Dettagli

Logica Proposizionale

Logica Proposizionale Intelligenza rtificiale I Logica Proposizionale Introduzione Marco Piastra Intelligenza rtificiale I -.. 28-29 29 Introduzione al corso ] lgebre di Boole Definizione Una collezione di oggetti X su cui

Dettagli

Analogamente, avremmo ottenuto la stessa relazione d ordine parziale A B se A B a partire da A B se A B = B. Z B, B W.

Analogamente, avremmo ottenuto la stessa relazione d ordine parziale A B se A B a partire da A B se A B = B. Z B, B W. Elementi di Algebra e Logica 2008. 6. Reticoli. 1. Sia X un insieme e sia P(X) l insieme delle parti di X. Indichiamo con e le operazioni di intersezione e di unione fra sottoinsiemi di X. (a) Dimostrare

Dettagli

9 Calcolo dei sequenti LC p

9 Calcolo dei sequenti LC p 9 Calcolo dei sequenti LC p In questa sezione mostriamo un metodo più elegante, semplice e soprattutto AUTOMATICO per mostrare se una proposizione è valida o meno e soddisfacibile o meno. Tale metodo è

Dettagli

Complemento 1 Gli insiemi N, Z e Q

Complemento 1 Gli insiemi N, Z e Q AM110 Mat, Univ. Roma Tre (AA 2010/11 L. Chierchia) 30/9/10 1 Complemento 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA A.A. 10/11, DISPENSA N. 2 Sommario. Assiomi dell identità, modelli normali. Forma normale negativa, forma normale prenessa, forma normale di Skolem. 1. L identità Esistono

Dettagli

1 Richiami di logica matematica

1 Richiami di logica matematica Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini

Dettagli

Esercitazioni per il corso di Logica Matematica

Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 27 febbraio 2005 Nota importante. Queste pagine contengono appunti personali dell esercitatore e sono messe a disposizione nel caso possano

Dettagli

INSIEMI. Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X).

INSIEMI. Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X). INSIEMI Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X). Sia A = {A λ : λ Λ} una famiglia di insiemi. Definiamo: unione A = A λ è l insieme U tale

Dettagli

LEZIONI DI LOGICA MATEMATICA DEL 6 E 9 OTTOBRE 2008:LOGICA PROPOSIZIONALE

LEZIONI DI LOGICA MATEMATICA DEL 6 E 9 OTTOBRE 2008:LOGICA PROPOSIZIONALE LEZIONI DI LOGICA MATEMATICA DEL 6 E 9 OTTOBRE 2008:LOGICA PROPOSIZIONALE 1. Semantica Definitione 1.1. Sia v una valutazione proposizionale, cioè una funzione dall insieme delle variabili proposizionali

Dettagli

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html Ricevimento:

Dettagli

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre 2017 1 Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico

Dettagli

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre 2015 1 Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico

Dettagli

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2018/2019 1 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/2018 2 1 Logica matematica Serve

Dettagli

NOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI.

NOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI. NOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI. Una proposizione è un affermazione che è vera o falsa, ma non può essere contemporaneamente vera e falsa. ESEMPI Sono proposizioni : 7 è maggiore di 2 Londra è la capitale

Dettagli

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata

Dettagli

Esercitazioni Informatica A. M. M. Bersani

Esercitazioni Informatica A. M. M. Bersani Esercitazioni Informatica A M. M. Bersani A.A. 2012/2013 Codifiche Scriviamo n b per intendere il numero n rappresentato in base 2, se b = 2, in base 10, se b = 10, e C2 se b = C2. L operatore mod è un

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 1 a.a Soluzioni

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 1 a.a Soluzioni Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 1 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.1, 3.2,

Dettagli

1 Richiami di logica matematica

1 Richiami di logica matematica Geometria e Topologia I 2006-mar-05 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini

Dettagli

LOGICA FUZZY, I LOGICA DI GÖDEL

LOGICA FUZZY, I LOGICA DI GÖDEL LOICA FUZZY, I LOICA DI ÖDEL SINTASSI, SEMANTICA POLIVALENTE, COMPLETEZZA VINCENZO MARRA 1. Sintassi Si consideri nuovamente l alfabeto A = {(, ), X,, $,,,,, } impiegato per la logica proposizionale classica,

Dettagli

marina/did/mdis03/ marina/did/mdis03/ marina/did/mdis03/

marina/did/mdis03/   marina/did/mdis03/   marina/did/mdis03/ Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica Elementi di logica formale 8 ottobre 2003 Marina Cazzola (marina@matapp.unimib.it) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA A.A. 12/13, DISPENSA N. 6 Sommario. Il Teorema di Compattezza e alcune sue applicazioni: assiomatizzabilità e non-assiomatizzabilità di proprietà di strutture, e modelli

Dettagli

1. equivalenze e implicazioni logiche. Esercizio 1.2. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R):

1. equivalenze e implicazioni logiche. Esercizio 1.2. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): . equivalenze e implicazioni logiche Esercizio.. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): () x < y, () x = y, () x y, () x y, () (x y) > 0. Osserviamo subito che (x y) > 0 equivale

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI Diamo per note le nozioni fondamentali di teoria degli insiemi, come: la nozione di appartenenza di un elemento a un insieme (x A), la nozione di insieme vuoto (indicato

Dettagli

Logica per la Programmazione

Logica per la Programmazione Logica per la Programmazione Lezione 2 Dimostrazione di tautologie Proof System pag. 1 Un Problema di Deduzione Logica [da un test di ingresso] Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare

Dettagli

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE VII

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE VII ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE VII MAURO DI NASSO In questa lezione introdurremo i numeri naturali, che sono forse gli oggetti matematici più importanti della matematica. Poiché stiamo lavorando

Dettagli

Elementi di Teoria degli Insiemi

Elementi di Teoria degli Insiemi Elementi di Teoria degli Insiemi 2016/17 Esercizi di Giacomo Bertolucci (matr. 519430) Lezioni 7-10 Lezione 7 Esercizio 1. Dimostrare che, se A R con A ℵ 0, allora R A è denso in R. Se così non fosse,

Dettagli

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica Facoltà di Ingegneria Precorso di Matematica Parte I : Fondamenti di Matematica 1. Teoria degli insiemi e cenni di logica Il concetto di insieme costituisce l elemento fondante di gran parte delle esposizioni

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI LA SAPIENZA CORSO DI STUDI IN INFORMATICA ESERCITAZIONI AL CORSO DI LOGICA MATEMATICA LOGICA PROPOSIZIONALE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI LA SAPIENZA CORSO DI STUDI IN INFORMATICA ESERCITAZIONI AL CORSO DI LOGICA MATEMATICA LOGICA PROPOSIZIONALE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI LA SAPIENZA CORSO DI STUDI IN INFORMATICA ESERCITAZIONI AL CORSO DI LOGICA MATEMATICA LOGICA PROPOSIZIONALE TAVOLE DI VERITÀ, COLETEZZA VERO-FUNZIONALE Esercizio 1. Calcola le tavole

Dettagli

Definizione 1.1. Sia A un sottoinsieme dei numeri reali. Diciamo che A è un insieme induttivo se

Definizione 1.1. Sia A un sottoinsieme dei numeri reali. Diciamo che A è un insieme induttivo se 1 Numeri naturali, interi e razionali Definizione 1.1. Sia A un sottoinsieme dei numeri reali. Diciamo che A è un insieme induttivo se 1. 1 A. per ogni x A, si ha x + 1 A Definizione 1.. Chiamo insieme

Dettagli

INDUZIONE E NUMERI NATURALI

INDUZIONE E NUMERI NATURALI INDUZIONE E NUMERI NATURALI 1. Il principio di induzione Il principio di induzione è una tecnica di dimostrazione molto usata in matematica. Lo scopo di questa sezione è di enunciare tale principio e di

Dettagli

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti

Dettagli

Logica booleana. Bogdan Maris ( )

Logica booleana. Bogdan Maris ( ) Logica booleana 1 Algebra di Boole Opera con i soli valori di verità 0 o 1 (variabili booleane o logiche) La struttura algebrica studiata dall'algebra booleana è finalizzata all'elaborazione di espressioni

Dettagli

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

1.1 Esempio. Siano A = {11, f, β,,, } e B = {x, 11,,,, α, γ} e le seguenti leggi:

1.1 Esempio. Siano A = {11, f, β,,, } e B = {x, 11,,,, α, γ} e le seguenti leggi: 1. Relazioni. 1 Dati due insiemi possiamo stabilire in modo del tutto arbitrario una legge che associ elementi di un insieme ad elementi dell altro insieme. Ovviamente, data la totale arbitrarietà di tale

Dettagli

Il Teorema Never Two di Vaught

Il Teorema Never Two di Vaught Il Teorema Never Two di Vaught Lorenzo Lami Rosario Mennuni 8 aprile 2014 1 Contesto 1.1 Ipotesi, notazioni e definizioni Ipotesi 1.1. A meno di indicazione contraria, T sarà sempre una teoria: completa,

Dettagli

Se con e indichiamo l elemento neutro di in G, e deve appartenere ad H.

Se con e indichiamo l elemento neutro di in G, e deve appartenere ad H. Abbiamo visto a lezione che una sottoalgebra B di un algebra A è identificabile con l immagine di un omomorfismo iniettivo a valori in A. Una sottoalgebra B di A è in particolare un sottoinsieme non vuoto

Dettagli

concetti matematici di base

concetti matematici di base concetti matematici di base Fabrizio d Amore Università La Sapienza, Dip. Informatica e Sistemistica A. Ruberti settembre 2008 concetti elementari di insiemistica Sia A un insieme x A significa che l elemento

Dettagli

Corso di Elementi di Informatica Anno accademico 2015/16

Corso di Elementi di Informatica Anno accademico 2015/16 Corso di Laurea triennale in Ingegneria Navale in condivisione con Corso di Laurea triennale in Ingegneria Chimica (matr. P-Z) Corso di Elementi di Informatica Anno accademico 2015/16 Docente: Ing. Alessandra

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

8 Due strategie per verificare una tautologia

8 Due strategie per verificare una tautologia 8 Due strategie per verificare una tautologia Per quanto spiegato finora per vedere se vale abbiamo almeno due possibilità: = pr 1. strategia tabella: fai la tabella di verità di pr vantaggio: strategia

Dettagli

Appunti del Corso Analisi 1

Appunti del Corso Analisi 1 Appunti del Corso Analisi 1 Anno Accademico 2011-2012 Roberto Monti Versione del 5 Ottobre 2011 1 Contents Chapter 1. Cardinalità 5 1. Insiemi e funzioni. Introduzione informale 5 2. Cardinalità 7 3.

Dettagli

Calcolo proposizionale

Calcolo proposizionale 1 Il calcolo delle proposizioni Una proposizione logica si dice semplice o atomica se contiene soltanto un predicato. Due o più proposizioni semplici collegate mediante l'uso di connettivi formano proposizioni

Dettagli

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2017/2018 1 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/2018 2 1 Logica matematica Serve

Dettagli

Elementi di Logica matematica. Elementi di logica matematica

Elementi di Logica matematica. Elementi di logica matematica 1 Elementi di logica matematica Molte grammatiche definiscono la proposizione come un giudizio della mente espresso con parole, cioè da un punto di vista grammaticale la parola proposizione sta ad indicare

Dettagli

TEORIA degli INSIEMI 1

TEORIA degli INSIEMI 1 TORIA degli INSIMI 1 INDIC Premessa... 3 1 - Generalità.... 4 2 - Parte di un insieme. Insieme delle parti di un insieme.... 5 3 - Unione, intersezione, complementare..... 6 4 - Prodotto di insiemi. Relazioni...

Dettagli

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni 1 1 Logica matematica Corsi Introduttivi - a.a. 2016/2017 2 Serve

Dettagli

3. Successioni di insiemi.

3. Successioni di insiemi. 3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

$marina/did/md

$marina/did/md Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica Relazioni di equivalenza 26 novembre 2003 Marina Cazzola (marina@matapp.unimib.it) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca

Dettagli

API. Ripasso di logica. Davide Martinenghi. Politecnico di Milano. API Davide Martinenghi (1/30)

API. Ripasso di logica. Davide Martinenghi. Politecnico di Milano. API Davide Martinenghi (1/30) API Ripasso di logica Davide Martinenghi Politecnico di Milano API Davide Martinenghi (1/30) Logica proposizionale - sintassi L è un linguaggio della logica proposizionale L alfabeto di L è composto da

Dettagli

Logica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati;

Logica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati; Logica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati; Implicazione logica. Equivalenza logica; Condizione necessaria,

Dettagli

Logica. Claudio Sacerdoti Coen 13-15/11/ : Semantica classica della logica proposizionale. Universitá di Bologna

Logica. Claudio Sacerdoti Coen 13-15/11/ : Semantica classica della logica proposizionale. Universitá di Bologna Logica 6: Semantica classica della logica proposizionale Universitá di Bologna 13-15/11/2017 Outline Semantica classica della logica proposizionale 1 Semantica classica della logica

Dettagli

11. Misure con segno.

11. Misure con segno. 11. Misure con segno. 11.1. Misure con segno. Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 11.1.1. (Misura con segno). Si chiama misura con segno su A ogni funzione ϕ : A R verificante

Dettagli

3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon

3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 1 3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon ordine per A,

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA A.A. 10/11, SETTIMANA N. 1 Sommario. Introduciamo il linguaggio e la sintassi e la semantica della Logica del I Ordine. Introduciamo i concetti di teoria, teoria completa,

Dettagli

04 - Logica delle dimostrazioni

04 - Logica delle dimostrazioni Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 04 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 013/014 D. Provenzano,

Dettagli

Elementi di Algebra e Logica Determinare la tavola della verità di ciascuna delle seguenti forme proposizionali:

Elementi di Algebra e Logica Determinare la tavola della verità di ciascuna delle seguenti forme proposizionali: Elementi di Algebra e Logica 2008. 8. Logica. 1. Determinare la tavola della verità di ciascuna delle seguenti forme proposizionali: (a) p ( q r); (b) p (q r); (c) (p q) ( p r); (d) (p q) ( p r); (e) (p

Dettagli

Tommaso Cortopassi- Settimana 6-8 (da 4 Aprile a 21 Aprile) Esercizio 1 Mostrare che A (B C) = (A B) (A C) come insiemi ordinati.

Tommaso Cortopassi- Settimana 6-8 (da 4 Aprile a 21 Aprile) Esercizio 1 Mostrare che A (B C) = (A B) (A C) come insiemi ordinati. Tommaso Cortopassi- Settimana 6-8 (da 4 Aprile a 2 Aprile) Esercizio Mostrare che A (B C) = (A B) (A C) come insiemi ordinati. Intanto fissiamo i termini. Definiamo somma e prodotto nel seguente modo:

Dettagli

La logica (dal greco logos=ragione/parola) è la scienza del ragionamento. Nasce come branca della filosofia e dall'ottocento in poi diviene campo di

La logica (dal greco logos=ragione/parola) è la scienza del ragionamento. Nasce come branca della filosofia e dall'ottocento in poi diviene campo di La logica (dal greco logos=ragione/parola) è la scienza del ragionamento. Nasce come branca della filosofia e dall'ottocento in poi diviene campo di studio da parte anche dei matematici. LE PROPOSIZIONI

Dettagli

CALCOLO PROPOSIZIONALE

CALCOLO PROPOSIZIONALE CALCOLO PROPOSIZIONALE UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA (da un test d ingresso) Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche

Dettagli

1 Cenni di logica matematica

1 Cenni di logica matematica 1 Cenni di logica matematica 1 1 Cenni di logica matematica Una delle discipline chiave della matematica (e non solo, visto che è fondamentale anche per comprendere la lingua parlata) è la logica matematica,

Dettagli