Lezione 10. La Statistica Inferenziale

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1 Lezione 10 La Statistica Inferenziale

2 Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione 10 2

3 Problema dell induzione Tutte le inferenze tratte dall esperienza suppongono, come loro fondamento, che il futuro rassomiglierà al passato e che poteri simili saranno uniti a simili qualità sensibili. Se ci fosse qualche sospetto che il corso della natura potesse cambiare e che il passato non servisse di regola per il futuro, ogni esperienza diverrebbe inutile e non potrebbe dare origine ad alcuna inferenza o conclusione. Lezione 10 3

4 Teoria della Falsificazione Popper afferma che il metodo che consente agli scienziati di trovare le teorie vere è: falsificare le teorie false sulla base delle evidenze empiriche. Lezione 10 4

5 Falsificazionismo e inferenza statistica L approccio falsificazionista di Popper viene usato nella statistica per formulare delle inferenze che, sulla base delle informazioni fornite da un campione di osservazioni, ci consentono di descrivere le caratteristiche della popolazione da cui quel campione è stato tratto. Lezione 10 5

6 Soluzione pragmatica al problema dell induzione Ovviamente, si può cercare di superare questo problema cercando di mostrare che non è vero che le inferenze induttive siano ingiustificate. La soluzione moderna a questo problema è la concezione probabilistica dell induzione. Quando un certo carattere ricorre in una certa proporzione di osservazioni, si può assumere che questa proporzione valga per tutti gli altri esempi del caso, salvo prova contraria. Lezione 10 6

7 Esempio 1 Il responsabile controllo qualità di un azienda che produce bibite, sospetta che il macchinario di riempimento delle lattine, sia fuori taratura, immette cioè maggior prodotto di quanto riportato sulla etichetta. Lezione 10 7

8 Esempio 2 Il proprietario di un azienda vinicola, sospetta che alcune bottiglie siano state chiuse male e che quindi il sapore del vino di queste bottiglie sia alterato. Lezione 10 8

9 Alcune definizioni Eventi incompatibili Dati due eventi A e B, sono detti incompatibili se il verificarsi dell uno esclude l altro Lancio di una moneta Evento A: Testa Evento B: Croce La probabilità del verificarsi dell uno O dell altro evento è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi: P(A U B)= P(A) + P(B) (principio delle probabilità totali) La probabilità del verificarsi dell uno E dell altro evento: P(A B)= P(A) P(B)=0 E possibile generalizzare questi risultati ad n eventi Lezione 10 9

10 Eventi Incompatibili Eventi Compatibili P(A) P(B) P(A) P(B) Si estrae una carta da un mazzo francese (52 carte, 4 semi) Evento A=carta di cuori Evento B= sette P(AUB)=P(A)+P(B) 13/52 4/52 Conteggiamo l evento comune due volte Quindi per eventi compatibili P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A B) P(Cuori o Sette)= P(Cuori)+P(Sette)-P(Sette di Cuori)= =4/13 1/4 + 1/13-1/52 Lezione 10 10

11 ESERCIZIO Prendendo un mazzo di carte francesi ben mescolato e pescando a caso da questo, si valutino le seguenti probabilità: a) di ottenere l asso di quadri; b) di ottenere un asso; c) di ottenere un asso come seconda carta, ammesso di avere già pescato una figura (senza reintrodurla nel mazzo); d) di ottenere tre figure (sempre senza reimmissione delle carte estratte nel mazzo). Lezione 10 11

12 Probabilità condizionata Dati due eventi A e B appartenenti allo spazio campionario Ω, compatibili tra di loro. La probabilità che l evento A si verifichi, una volta verificatosi l evento B, o in altri termini, la probabilità condizionata di A dato B, è pari a : PAB ( ) = PA ( B) PB ( ) Ω B P(A B) A Lezione 10 12

13 Esempio Si lanci una coppia di dadi. Se la somma è 6 (evento B), si calcoli la probabilità che uno dei due dadi abbia dato l esito 2. { } ( ) ( )( )( ) ( ) A= un 2 su un dado { } B= somma= 6 = 1,5, 2,4, 3,3, 4,2, 5,1 ( 2, 4 ),( 4, 2) { } (A B)= Poiche lo spazio campionario è costituito da 36 elementi P(A B)=2/36 P(B)=5/36 2 PA ( B) 36 2 PAB ( ) = = = PB ( ) Lezione 10 13

14 Nel caso in cui siano indipendenti (e non mutualmente escludentesi) P( A B) = P( A) Poiché P( A B) = P( A) P( B) In modo analogo PAB ( ) = PA ( ) Lezione 10 14

15 Differente utilizzo delle probabilità condizionate PAB ( ) = PA ( B) PB ( ) PA ( B) = PBPAB ( ) ( ) = PAPB ( ) ( A) Lezione 10 15

16 Diagrammi ad Albero Uno strumento efficace e di facile costruzione per calcolare le probabilità di ogni evento è rappresentato dal diagramma ad albero. Esempio Una moneta,modificata in modo che P(T)=2/3 e P(C)=1/3, Viene lanciata. Se si presenta croce, viene scelto a caso un numero tra 1 e 5, se si presenta testa, viene scelto un numero a caso tra 1 e 9. Si determini la probabilità che venga scelto un numero pari. Lezione 10 16

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18 Teorema di Bayes Siano H 1, H 2,,H n una partizione dello spazio campionario Ω, cioè che gli eventi A i siano incompatibili e che la loro unione sia Ω. La probabilità condizionata che si verifichi l evento H i dato l evento A èpari a PH ( A) = i P(H i A) probabilità a posteriori P(H i ) probabilità a priori P(A H i ) probabilità probativa 1 1 PH ( ) PA ( H) i PH ( ) PA ( H) + L+ PH ( ) PA ( H) i n n Lezione 10 18

19 Esempio Dei ragazzi fanno uno scherzo ad un amico, accompagnandolo ad una festa a tema dove tutti, uomini e donne sono vestiti da donne e sono indistinguibili a vista. Alla festa partecipa il 20% di donne Il 40% delle donne ed il 70% degli uomini sono favorevoli ad una love story. Il ragazzo mentre balla con un partecipante alla festa (uomo/donna??), lo invita a bere qualcosa e si appartano nel privé del locale. All uscita della festa, gli amici gli raccontano dello scherzo. Il ragazzo, preoccupato si rivolge ad uno statistico e gli chiede: Qual è la probabilità che, dato che abbia avuto una relazione con questa persona, sia donna? Lezione 10 19