Lezione 2. Sommario. Il sistema binario. La differenza Analogico/Digitale Il sistema binario

Transcript

1 Lezione 2 Il sistema binario Sommario La differenza Analogico/Digitale Il sistema binario 1

2 La conoscenza del mondo Per poter parlare (ed elaborare) degli oggetti (nella visione scientifica) si deve poter assegnare a questi una descrizione questa descrizione riassume tutta l informazione che ci interessa conoscere su un dato oggetto/fenomeno la descrizione può essere: categorica ordinale numerale Descrizione Categorica Lunedì/Martedì/../Domenica Antonio/Mario/ /Ugo Ordinale Disgustoso/Insipido/Saporito/Gustoso Banale/Comune/Originale Brutto/Bello Numerale 1,2,3,,99, , E +12 2

3 Dati e interi NOTA E possibile mettere in corrispondenza i dati categorici e ordinali con i numeri interi Lunedì=1, Martedì=2,, Domenica=7 Disgustoso=0, Insipido=1, Saporito=2, Gustoso=3 Nel caso di dati categorici vale il concetto di dizionario Nel caso di dati ordinali vale il concetto di relazione di ordine Dati e interi...non significa che tutte le operazioni o relazioni ammissibili su gli interi hanno adesso senso per i dati categorici o ordinali (la corrispondenza non è biunivoca) per i categorici ha senso solo la relazione di egualianza per gli ordinali ha senso solo la relazione di ordinamento < > = 3

4 Le grandezze numerali Sono molto importanti è possibile definire operazioni: es. date due lunghezze di due corde A e B è possibile determinare la lunghezza complessiva A+B Le grandezze numerali possono essere continue o discrete continuo: la temperatura discreto: il numero di abitanti di una nazione Le grandezze continue si rappresentano con i numeri reali Le grandezze discrete con i numeri naturali Continuo/Discreto Numeri razionali: A/B con A e B in N Si possono esprimere frazioni un terzo di una torta 2/3 di un giorno Possiamo pensare ad un numero razionale come ad una indicazione di quante sotto unità considerare 2/3 = prendere 2 sotto unità da 1/3? se disponiamo di un modo per indicare la sotto unità per rappresentare i razionali ci bastano i naturali 4

5 Continuo/Discreto Si può approssimare un numero reale con un numero razionale in pratica significa che ci fermiamo dopo un certo numero di cifre decimali 2,34 significa: scegli come sotto unità 0,01 e prendine 234 si possono dare approssimazioni razionali arbitrariamente vicine ad un reale: 3,14 = 314 x , = x Analogico/Digitale Il predicato analogico è l equivalente di continuo, digitale di discreto dato un segnale analogico/continuo se ne può costruire una approssimazione digitale/discreta arbitrariamente vicina 5

6 Esempio Immagine: foto scansione computerizzata Esempio Digitale Analogico 6

7 Approssimazione Digitale Analogico Analogico/Digitale L apparato sensoriale degli esseri umani è limitato oltre una certa risoluzione/definizione i sensi non distinguono più fra discreto e continuo es: audio (CD a 44KHz) [approfondire esempio] risoluzione di arco (immagini) 7

8 Conclusione Se siamo in grado di elaborare i numeri naturali indichiamo in qualche modo la unità frazionaria allora siamo in grado di elaborare i numeri razionali e quindi siamo in grado di approssimare i numeri reali Digitale+informatica L informatica vuole trattare l informazione L informazione può essere di tipo categorico, ordinale, numerale Ogni tipo di informazione può essere elaborata come se stessimo elaborando informazione numerica (con opportune restrizioni sulle operazioni e relazioni ammesse) il calcolatore tratta solo grandezze discrete 8

9 I dati numerici La conoscenza di una proprietà di un oggetto è data dalla coppia <valore della misura, unità di misura> il valore della misura è espresso tramite un numero es: Quale è il peso di un dato tavolo? proprietà di interesse=il peso unità di misura=kg conoscenza: questo tavolo pesa <30 kg> Dati numerici La manipolazione delle quantità numeriche prevede l introduzione del concetto di operazione op(num1, num2)=num3 es: somma(23,3)=26 potenza(2,3)=8 egualianza(4,5)=0, egualianza(5,5)=1 9

10 Rappresentazione dei numeri E possibile rappresentare i numeri in modi diversi quale e il modo più semplice ed affidabile per rappresentare i numeri e fare operazioni? Il sistema decimale Il sistema di numerazione comunemente impiegato è quello posizionale in base 10 o decimale il sistema decimale si basa su dieci simboli diversi detti cifre: un numero è rappresentato da una sequenza di cifre 2876 è un numero 23A$12 non è un numero 10

11 Il sistema decimale Il termine posizionale indica che il valore assunto da ciascuna cifra dipende dalla sua posizione entro la sequenza in 392, la cifra 2 vale 2 unità ovvero 2, la cifra 9 vale 9 decine ovvero 9x10=90, la cifra 3 vale 3 centinaia ovvero 3x100=100 in sintesi: 8453=8x1000+4x100+5x10+3 ovvero: 8453=8* * * *10 0 La base numerica I numeri si possono rappresentare anche con altri sistemi di numerazione posizionale si consideri un sistema in base 3 si hanno 3 simboli o cifre: 012 un numero è sempre rappresentato da una sequenza di cifre è un numero non è un numero 11

12 Base numerica A quale numero in base 10 equivale il numero 2102 in base 3? Il valore associato ad ogni cifra dipende dalla posizione: 2102= 2* * * *3 0 =2*27+9+2=65 Base numerica In generale dato un numero in base numerica B: c n c n-1 c 1 c 0 dove la cifra c i assume uno di B possibili valori il valore in base decimale è dato da c n *B n +c n-1 *B n-1 + c 1 *B 1 +c 0 *B 0 12

13 Fine prima parte Binario Il sistema numerico più semplice possibile è quello binario le cifre sono: 01 le cifre sono chiamate bit una sequenza di cifre è un numero binario è un numero non è un numero 13

14 Conversione binario decimale Quale numero in base 10 rappresenta il seguente numero in base 2? = 1* * * * *2 0 = =26 Ottale I calcolatori usano numeri in base 2,8 o 16 come si vedrà la conversione di numeri fra queste basi è molto semplice in base 8 si ha il sistema ottale le cifre ammesse sono: = 1* * *8 0 = =122 14

15 Esadecimale Un sistema numerico in base 16 è detto esadecimale le cifre ammesse sono: ABCDEF A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15 7C1= 7* C(=12)* *16 0 = 7*256+12*16+1=1985 Intervallo di rappresentazione Se il numero di cifre con cui rappresentare un numero è limitato allora anche l intervallo di numeri rappresentabile è limitato es. in base decimale con due cifre si possono rappresentare i numeri da 0 a 99 cioè 100 numeri con tre cifre da 0 a 999 cioè 1000 numeri 15

16 Esercizio Le targhe: se una targa è così composta: 2 lettere 3 numeri 2 lettere, dove le lettere appartengono ad un alfabeto di 25 simboli, quante targhe distinte si possono ottenere? Intervallo di rappresentazione In generale in un sistema in base B con n cifre si rappresentano numeri nell intervallo [0, B n -1] ovvero B n numeri in base 2 pertanto con n cifre si rappresentano 2 n numeri 16

17 Esercizio Scrivere le potenze del 2 scrivere quanti bit sono necessari per rappresentare i seguenti numeri: 4,9,23,78,2567 Conversione decimale-binario Per convertire da decimale a binario si procede secondo il seguente algoritmo: si divide il numero decimale per 2 si considera il quoziente e il resto il resto può valere 0 o 1 e rappresenta la cifra binaria di peso minore si ripete il procedimento fino a quando il quoziente non è nullo la sequenza dei resti delle divisioni (presi in ordine inverso rispetto a come sono ottenuti) è il numero binario cercato 17

18 Esempio 173(10)=?(2) 173/2 86 resto 1 86/2 43 resto 0 43/2 21 resto 1 21/2 10 resto 1 10/2 5 resto 0 5/2 2 resto 1 2/2 1 resto 0 1/2 0 resto Perché funziona l algoritmo? 173=86*2+1 ma 86=23*2+0 allora 173=(23*2+0)*2+1 ma 23=12*2+1 allora 173=((12*2+1)*2+0)*2+1 cioè 173=12*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 quindi stiamo proprio determinando i pesi da dare alle potenze del due ovvero le cifre in notazione binaria 18