Appunti per gli studenti. Modelli Quantitativi per il Marketing materiale delle lezioni di laboratorio

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1 UNIVERSITÀ DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA E MARKETING Appunti per gli studenti Modelli Quantitativi per il Marketing materiale delle lezioni di laboratorio VERSIONE PRELIMINARE Margherita Fort 1 Questa versione: Febbraio Università di Bologna, Facoltà di Economia. La versione 2010 della dispensa contiene materiale svilluppato da Tommaso Reggiani. Per segnalare imprecisioni o contribuire al miglioramento della dispensa contattare: margherita.fort@unibo.it. Ufficio: Dipartimento di Scienze Economiche, Piazza Scaravilli 2, Bologna. tel:

2 1 Introduzione Questa dispensa raccoglie gli appunti relativi al laboratorio informatico del corso di Modelli Quantitativi per il Marketing, corso di laurea in Economia e Marketing, tenuto da Margherita Fort nell anno accademico , materiale del corso tenuto dal docente nel con la collaborazione di Elisabetta Olivieri e materiale raccolto e presentato in precedenza da Chiara Monfardini. Il materiale è ampiamente basato sugli esempi proposti in Franses and Paap [2001] e su materiale sviluppato da Chiara Monfardini ed Elisa Montaguti. Il software di riferimento è GRETL, ma altri softwares, quali ad esempio R e STATA tra gli altri, possono essere utilizzati per svolgere gli esercizi 2. La scelta del software da utilizzare per le elaborazioni è, in ultima analisi, una scelta personale e richiede in ogni caso un certo investimento. L enfasi nelle esercitazioni e nel materiale qui presentato è sull approccio alla specificazione di un modello econometrico, la diagnostica e l interpretazione dei risultati e non sulla programmazione in GRETL. Vengono tuttavia illustrati dei codici al solo fine di rendere più facile agli studenti lo sviluppo autonomo di codice di programmazione per analisi di base. Gli autori non si assumono alcuna responsabilità per l utilizzo di questi codici in ambiti diversi da quelli del corso in oggetto. La versione 2010 della dispensa include materiale sviluppato da Tommaso Reggiani. 2 Maggiori informazioni sul software R su e su GRETL su Il software STATA permette una vasta gamma di elaborazioni statistiche e di gestione dei dati ed è ampiamente utilizzato da ricercatori in discipline quali, ad esempio, l economia, la sociologia, la psicologia, la biostatistica. Per maggiori informazioni sul software STATA, gli studenti sono invitati a consultare i collegamenti a sessioni introduttive su vari argomenti disponibili al sito ufficiale 2

3 2 Esercitazione 1 3 In questa sezione, tramite un semplice esercizio applicato, vengono raccolte delle informazioni di base su alcuni comandi basilari di GRETL che saranno utilizzati nelle prossime esercitazioni. Tutte le sequenze in carattere TypeWriter, stanno ad indicare le sequenze di comandi (via icone) necessari a produrre gli outputs e le elaborazioni oggetto di descrizione, spiegazione ed interpretazione. 2.1 Help di GRETL GRETL, come molti programmi, contiene al suo interno una guida per facilitarne l utilizzo. Per accedere al menu si può utilizzare il menu a tendina (ultimo menu in alto a destra) e quindi scegliere l opzione di interesse. Si può accedere alla guida ai comandi anche cliccando sul simbolo del salvagente nella finestra in basso. 2.2 Per cominciare... Prima di poter caricare i dati su GRETL, è bene sapere quale è la cartella preimpostata in cui il programma cerca e salva i file. Per conoscere la cartella di riferimento ed il suo percorso è sufficiente digitare controllare all apposita voce nel menu File. Per cambiare la cartella di lavoro dobbiamo andare nel menu File ed indicare la directory (nel nostro caso ad esempio C:\Econometria2\lab1): nella cartella scelta mettiamo i dati che devono essere utilizzati per le elaborazioni. Nella stessa cartella salveremo i files.inp (con i comandi utilizzati) e file.txt (con l output costruito ed i comandi) che verranno creati nella sessione di lavoro. 4 E inoltre utile salvare come icona (vedi opzione file oppure mouse tasto 3 Questa sezione è stata preparata da Tommaso Reggiani, utilizzando anche materiale svillupato da Elisabetta Olivieri e Margherita Fort. 4 E possibile salvare il file della sessione con i risultati dei comandi ed i comandi stessi con estensione diversa da quella di un file di testo. Qui si consiglia di usare l estensione.txt perchè essa è visibile con un semplice editor di testo. 3

4 destro) ogni elaborazione o analisi effettuata. Questo permette di organizzare in modo rapido ed ordinato un completo backup dei risultati (grafici, descrizioni, regressioni etc..) che puo essere consultato tramite la Finestra Icone (in basso a sinistra, icona n.4). 2.3 Caricare i dati GRETL GRETL offre un ampia gamma di possibilità per importare dati in diversi formati. Per accedere ai comandi, è possibile utilizzare il menu che appare dal menu File nella finestra di GRETL: [ File > Apri dati > Importa ]. In questa nostra prima esercitazione, per prendere confidenza con il software, analizzeremo un dataset che raccoglie informazioni sulle variabili (genere, livello di istruzione, esperienza maturata in ambito lavorativo) che influenzano il livello dei salari all interno mercato del lavoro. Il campione di dati che utilizzeremo si riferisce ad un indagine condotta in USA per l anno 1980 (fonte dati: NLS) ed è composto da 3294 osservazioni Analisi descrittiva La fase di analisi descrittiva dei dati a nostra disposizione, rappresenta un passaggio preliminare molto importante. Se svolto con accuratezza e attenzione, ci premetterà di non incorrere in inutili errori nella successiva fase di analisi econometrica. 2.5 Descrizione delle Variabili Per prima cosa è necessario capire con precisione la tipologia e la descrizione dei dati che ci accingiamo ad analizzare [ Dati > Visualizza informazioni complete ]: vedere un esempio in Figura 1. exper indica gli anni di esperienza lavorativa maturati da ogni soggetto incluso nel dataset; male è una variabile dummy che vale 1 se il soggetto è uomo, assume valore 0 quando il soggetto è donna; 5 Il dataset e la relativa analisi seguono la traccia proposta in Verbeek (2007) cap. 2. 4

5 Figura 1: Descrizione delle variabili Descrizione: The WAGES1 files contain 3296 USA working individuals with the following information for The data are taken from the National Longitudinal Survey. Tipo di dati: non datato Intervallo: (n = 3294) Lista delle variabili: exper male school wage experience in years 1 if male, 0 otherwise years of schooling wage (in 1980 \$) per hour school indica gli anni di istruzione di ogni soggetto incluso nel dataset; wage indica il salario orario ricevuto da ogni lavoratore, espresso in US$ (nel 1980). Ora che conosciamo sommariamente la natura delle variabili a nostra disposizione, possiamo ispezionare dall interno la struttura del dataset [ Dati > Mostra valori ]. Osserviamo che il dataset è stato suddiviso in due parti: il primo gruppo di osservazioni (1-1569) si caratterizzano per avere la variabile male==0, ovvero vengono presentate tutte le osservazioni relative alle lavoratrici (donne); il secondo gruppo di osservazioni ( ) si riferisce invece ai lavoratori (uomini) dove la variabile assume valore male== Statistiche descrittive Procediamo ora a prendere confidenza direttamente con i dati producendo una serie di statistiche descrittive [Visualizza > Statistiche descrittive]: vedere un esempio in Figura 2. 5

6 Figura 2: Statistiche descrittive Statistiche descrittive, usando le osservazioni Media Mediana Minimo Massimo exper 8,0434 8,0000 1, ,000 male 0, ,0000 0, ,0000 school 11,631 12,000 3, ,000 wage 5,7576 5,2058 0, ,809 Dev. Std. Coeff. di variazione Asimmetria Curtosi exper 2,2907 0, , ,65477 male 0, , , ,9910 school 1,6575 0, , ,2380 wage 3,2692 0, ,9709 9,6341 Il valore medio 0.52 assunto dalla variabile dummy male indica la proporzione di uomini nel campione, confermando il fatto che nel nostro campione le osservazioni maschili eccedono quelle femminili (M: 1725; 52% vs F: 1569; 48%). Per quanto concerne il livello di istruzione, il campo di variazione della variabile (range) va da un minimo di 3 anni ad un massimo di 16 anni (laurea) dedicati agli studi. La media, che si attesta a poco meno di 12 anni di educazione (diploma/maturità) ci informa del fatto che in media la forza lavoro USA, già nel 1980, era caratterizzata da un alto livello di capitale umano. Il salario orario varia da un minimo di 0.07 $/h ad un massimo di circa 40 $/h e presenta una media pari a circa 5.8$/h. Alcuni richiami di statistica utili per l intepretazione: Mediana: si definisce come il valore assunto dalle unità statistiche che si trovano al centro della distribuzione. In sostanza la Mediana bipartisce la distribuzione in due sotto-distribuzioni di pari numerosità: la prima a sinistra della Mediana (costituita dalla metà delle unità la cui modalità è minore o uguale alla Mediana) e la seconda a destra della Mediana (costituita dalla metà delle unità la cui modalità è maggiore o uguale alla Mediana). Deviazione Standard - D.S.(Scarto Quadratico Medio): è un indice di dispersione (vale a dire una misura di variabilità di una popolazione o di una variabile casuale) 6

7 derivato direttamente dalla varianza, ha la stessa unità di misura dei valori osservati (mentre la varianza ha come unità di misura il quadrato dell unità di misura dei valori di riferimento). La deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno al valore atteso. Coefficiente di Variazione - C.V.: è un indice di dispersione che permette di confrontare misure di fenomeni riferite a unità di misura differenti, in quanto si tratta di un numero puro (ovvero non riferito ad alcuna specifica unità di misura). Indice di Asimmetria: = 0, nel caso di perfetta simmetria < 0, per l asimmetria a sinistra (es. school) > 0, per l asimmetria a destra (es. wage) Coefficiente di Curtosi: = 0 la curva si definisce normocurtica, cioè piatta come una normale < 0 la curva si definisce platicurtica, cioè più piatta di una normale > 0 la curva si definisce leptocurtica, cioè più appuntita di una normale (es. wage). A questo punto siamo in grado di approfondire l analisi delle singole variabili a nostra disposizione. 2.7 Grafico delle Frequenze Possiamo produrre il grafico delle frequenze della variabile exper [ Variabile > Grafico delle frequenze ]: vedere Figura Analsi delle Frequenze Cumulate Possiamo ottenere l analisi delle frequenze cumulate per la variabile school[ Variabile > Frequenze cumulate ]: vedere Figura Misure di Concentrazione Per la variabile wage, in particolare, è interessante calcolare il coefficiente di concentrazione di Gini [ Variabile > Coefficiente di Gini ]. Vedere Figura 5. 7

8 Figura 3: Grafico Frequenze : exper Il coefficiente di Gini, rappresenta una misura della diseguaglianza di una distribuzione. È spesso usato per misurare la diseguaglianza nella distribuzione del reddito o anche della ricchezza. È un indice compreso tra 0 ed 1. Valori bassi del coefficiente indicano una distribuzione tendenzialmente uguale, con il valore 0 che corrisponde all uguaglianza perfetta, ad esempio la situazione in cui tutti percepiscano esattamente lo stesso reddito; valori alti del coefficiente indicano una distribuzione più diseguale, con il valore 1 che corrisponde alla più completa disuguaglianza, ovvero la situazione in cui una persona percepisce tutto il reddito del paese mentre tutti gli altri hanno un reddito nullo Campionamenti Essendo il nostro dataset suddiviso fra uomini e donne, è interessante osservare come si modifichino i caratteri a seconda del genere. 8

9 Figura 4: Statistica descrittiva delle frequenze cumulate: school Distribuzione di frequenza per school, oss Frequenza Rel. Cum ,03% 0,03% 4 2 0,06% 0,09% 5 5 0,15% 0,24% ,43% 0,67% ,73% 1,40% ,61% 4,01% ,89% 8,89% * ,11% 21,01% **** ,07% 41,07% ******* ,07% 77,14% ************ ,29% 87,43% *** ,01% 95,45% ** ,07% 99,51% * ,49% 100,00% 2.11 Campione degli Uomini Al fine di procedere con tale analisi di genere, isoliamo per primo il sottocampione (subset) di osservazioni riferite agli uomini [ Campione >Imposta in base a condizione > male==1 ]. Possiamo controllare il corretto isolamento del subset maschile ispezionando direttamente i dati dal loro interno e controllando i valori assunti dalla variabile male (==1) [ Dati > Mostra valori ]. Produciamo quindi anche in questo caso la batteria standard di statistiche descrittive relative al sotto-campione maschile [ Visualizza > Statistiche descrittive ]: vedere Figura Campione delle Donne Procediamo ora ad isolare il sottocampione di osservazioni riferite alle donne. Step (1) Ripristino campione completo: [ Campione > Ripristino campione completo ] 9

10 Figura 5: Indice di Concentrazione di Gini: wage; Gini=0, Figura 6: Statistiche descrittive sul subset uomini Statistiche descrittive, usando le osservazioni Media Mediana Minimo Massimo exper 8,3264 8,0000 2, ,000 male 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 school 11,442 12,000 3, ,000 wage 6,3130 5,6543 0, ,809 Dev. Std.Coeff. di variazione Asimmetria Curtosi exper 2,3592 0, , ,79417 male 0, ,00000 NA NA school 1,7373 0, , ,2408 wage 3,4989 0, ,9197 8,8164 Step (2) Definizione del sottocampione femminile: [ Campione > Imposta in base a condizione > male==0 ] 10

11 Possiamo controllare il corretto isolamento del subset femminile ispezionando direttamente i dati dal loro interno controllando i valori assunti dalla variabile male (==0) [ Dati > Mostra valori ]. Produciamo anche in questo caso la batteria di statistiche descrittive inerenti il sottocampione femminile[ Visualizza > Statistiche descrittive ]: vedere Figura 7. Figura 7: Statistiche descrittive subset donne Statistiche descrittive, usando le osservazioni Media Mediana Minimo Massimo exper 7,7323 8,0000 1, ,000 male 0, , , ,00000 school 11,837 12,000 5, ,000 wage 5,1469 4,6933 0, ,497 Dev. Std.Coeff. di variazione Asimmetria Curtosi exper 2,1715 0, , ,21116 male 0,00000 NA NA NA school 1,5394 0, , ,89434 wage 2,8762 0, , , Confronto Uomini vs Donne Con questa prima serie di statistiche descrittive dei due sottocampioni, disponiamo di informazioni utili al fine di eseguire un analisi comparativa fra le differenti caratteristiche presentate dagli uomini e donne intervistate. In primo luogo, è importante notare come in media le donne abbiano circa mezzo anno di scolarità in più rispetto agli uomini, i quali di converso mostrano in media circa mezzo anno in più di esperienza nel mondo del lavoro. Anche gli stipendi medi mostrano una sensibile differenza fra i due sessi: in media gli uomini guadagnano 1.17$/h in più rispetto alle donne (6.31$/h vs 5.14$/h). Ritorniamo ora al campione completo [ Campione > Ripristina campione completo ] per procedere con la nostra analisi. 11

12 2.14 Regressioni OLS Sulla base delle statistiche descrittive nei sottocampioni, abbiamo osservato un premio salariare a favore degli uomini, in altre parole abbiamo notato che il salario orario medio degli uomini è più alto rispetto alle donne. Ora riprodurremo lo stesso risultato utilizzando un modello di regressione semplice, stimato con il metodo dei minimi quadrati ordinari. Utilizziamo come variabile dipendente wage e includiamo tra le esplicative ( controlliamo per ) la variabile dummy male. wage = β 0 + β 1 male [ Modello > OLS: wage/cost,male ] Il risultato della stima è riportato in Figura 8. Figura 8: Regressione 1: wage = β 0 + β 1 male Modello 1: OLS, usando le osservazioni Variabile dipendente: wage coefficiente errore std. rapporto t p-value const 5, , ,37 0,0000 *** male 1, , ,39 6,71e-025 *** Media var. dipendente 5, SQM var. dipendente 3, Somma quadr. residui 34076,92 E.S. della regressione 3, R-quadro 0, R-quadro corretto 0, F(1, 3292) 107,9338 P-value(F) 6,71e-25 Log-verosimiglianza -8522,228 Criterio di Akaike 17048,46 Criterio di Schwarz 17060,66 Hannan-Quinn 17052,82 Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard La costante β 0 ci informa del reddito percepito da un soggetto donna (male==0), mentre β 1 ci informa del premio salariale di cui possono beneficiare gli uomini (male==1). Entrambi i paramenti sono statisticamente significativi al livello del 1% (p-value inferiore a 0.01). Proviamo ora a introdurre nella regressione anche 12

13 le variabili school e exper per verificare il loro specifico impatto (tenendo costanti gli altri fattori, interpretazione ceteris paribus). Il risultato della stima è riportato in Figura 9. wage = β 0 + β 1 male + β 2 school + β 3 exper [ Modello > OLS: wage/cost,male,school,exper ] Figura 9: Regressione 2: wage = β 0 + β 1 male + β 2 school + β 3 exper Modello 3: OLS, usando le osservazioni Variabile dipendente: wage coefficiente errore std. rapporto t p-value const -3, , ,269 4,50e-013 *** male 1, , ,49 5,50e-035 *** school 0, , ,48 4,62e-080 *** exper 0, , ,253 1,59e-07 *** Media var. dipendente 5, SQM var. dipendente 3, Somma quadr. residui 30527,87 E.S. della regressione 3, R-quadro 0, R-quadro corretto 0, F(3, 3290) 167,6302 P-value(F) 4,0e-101 Log-verosimiglianza -8341,091 Criterio di Akaike 16690,18 Criterio di Schwarz 16714,58 Hannan-Quinn 16698,92 Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard Utilizzando questa specificazione del modello, possiamo osservare come a parità di anni di educazione (school) e anni di esperienza nel mercato del lavoro (exper) un uomo guadagna 1.34$/h in più rispetto ad una donna. A parità di genere ed esperienza nel mercato del lavoro, un anno in più di educazione porta ad un aumento di 0.64$ il salario orario. Infine, a parità di genere e di anni di educazione ricevuta, un anno in più di esperienza lavorativa genera un incremento pari a 0.12$/h. Un utile modo per rendere molto intuitiva l interpretazione dei risultati derivanti dal modello di regressione, consiste nell applicare una trasformata logaritmica 13

14 alle variabili di interesse, così da ottenere risultati che possono essere interpretati in termini percentuali, ottenendo così misure di elasticità. Nella nostra indagine circa le determinanti che concorrono ad influenzare i salari, è quindi necessario creare tre nuove variabili su scala logaritmica: wage l wage [ Aggiungi > Logaritmi ] school l school [ Aggiungi > Logaritmi ] exper l exper [ Aggiungi > Logaritmi ] L interpretazione della specificazione Log(Y ) = β 0 +β 1 Log(X) è la seguente: una variazione pari all 1% di X, determina una variazione pari a β 1 % in Y, quindi β 1 rappresenta l elasticità di Y rispetto X. Calcoliamo l elasticità del salario al variare del grado di educazione (vedi risultati della stima in Figura 10) l wage = β 0 + β 1 l school [Modello > OLS : l wage/l school] Figura 10: Regressione 3.a: l wage = β 0 + β 1 l school Modello 3: OLS, usando le osservazioni Variabile dipendente: l_wage coefficiente errore std. rapporto t p-value const -1, , ,303 3,30e-010 *** l_school 1, , ,88 8,39e-055 *** Media var. dipendente 1, SQM var. dipendente 0, Somma quadr. residui 1186,072 E.S. della regressione 0, R-quadro 0, R-quadro corretto 0, F(1, 3292) 252,3170 P-value(F) 8,39e-55 Log-verosimiglianza -2991,646 Criterio di Akaike 5987,292 Criterio di Schwarz 5999,491 Hannan-Quinn 5991,659 Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard 14

15 All incremento dell 1% del grado di istruzione, il salario cresce dello 1.08% circa. Calcoliamo ora l elasticità del salario al variare del grado di esperienza all interno del mercato del lavoro (risultati della stima in Figura 11) l wage = β 0 + β 1 l exper [Modello > OLS : l wage/l exper] Figura 11: Regressione 3.b: l wage = β 0 + β 1 l exper Modello 4: OLS, usando le osservazioni Variabile dipendente: l_wage coefficiente errore std. rapporto t p-value const 1, , ,23 4,86e-057 *** l_exper 0, , ,775 1,46e-011 *** Media var. dipendente 1, SQM var. dipendente 0, Somma quadr. residui 1259,417 E.S. della regressione 0, R-quadro 0, R-quadro corretto 0, F(1, 3292) 45,90566 P-value(F) 1,46e-11 Log-verosimiglianza -3090,469 Criterio di Akaike 6184,938 Criterio di Schwarz 6197,138 Hannan-Quinn 6189,305 Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard All incremento dell 1% del grado di esperienza all interno del mercato del lavoro, il salario cresce dello 0.23% circa Registro dei Comadi Al fine di avere traccia di tutti i principali comandi effettuati durante la sessione di lavoro in GRETL, è possibile ottenere e salvare il Log dei comandi [ Strumenti > Visualizza log comandi > Salva ] 15

16 3 Esercitazioni 2 & 3: analisi dell efficiacia di azioni di marketing Descrizione del problema (da Franses and Paap [2001], capitolo 2 -sez e capitolo 3): Osservando i dati sulle vendite settimanali di ketchup Heinz si notano dei picchi nelle vendite. Interessa esplorare se questi picchi siano collegati alle promozioni attive sul prodotto, ed in ultima analisi verificare quale tra promozioni alternative sia la più efficace. Descrizione dei dati (da Franses and Paap [2001], capitolo 3): Il file heinz chpt3.csv contiene i dati relativi alle vendite settimanali di ketchup Heinz, misurate in dollari (US) e contiene 124 osservazioni, rilevate tra il 1985 ed il 1988 in un supermercato da A.C. Nielsen. In particolare, le variabili incluse nel data set sono: obs numero progressivo ad indicare la settimana di riferimento per la rilevazione; sales livello delle vendite settimanali misurate in dollari; price prezzo per articolo di prodotto, espresso in dollari; displayonly variabile dummy che vale 1 se il ketchup è in promozione di tipo display (ovvero in esposizione) e 0 altrimenti; coupononly variabile dummy che vale 1 se il ketchup è in promozione di tipo coupon (ovvero sul prodotto viene posto un bollino che indica che è in promozione) e 0 altrimenti; displaycoupon variabile dummy che vale 1 se il ketchup è sia in promozione di tipo coupon che in promozione di tipo display e 0 altrimenti. Obiettivi specifici dell analisi: 1. Studiare l associazione tra il livello settimanale delle vendite ed il prezzo. Commentare i risultati. 2. Studiare l associazione tra il livello settimanale delle vendite ed il prezzo, esprimendo le variabili in euro anzichè in dollari. Commentare i risultati alla luce di quanto ottenuto al punto Studiare l associazione tra il logaritmo delle vendite ed il logaritmo del prezzo. Svolgere l analisi sia esprimendo le quantità in dollari che in euro. Commentare i risultati. 16

17 4. Aggiornare le analisi al punto 3 tenendo conto della presenza di promozioni sul prodotto ketchup Heinz senza considerare l interazione tra le promozioni. Qual è secondo voi la promozione più vantaggiosa per l azienda? Motivate la risposta. 5. Esplorate se le conclusioni a cui siete giunti al punto 4, stimando un modello di regressione lineare con il metodo dei minimi quadrati, sono affidabili, usando i residui del modello per fare diagnostica. Motivate le vostre analisi e commentate i risultati delle analisi suddette. 6. Pare sensato, seguendo i risultati di precedenti analisi empiriche che valutano l effetto di promozioni dello stesso tipo su altri prodotti alimentari, considerare una specificazione del modello più flessibile che tenga conto della dinamica. In particolare, si vuole considerare il modello lsales w = α 0 + α 1 lsales w 1 + α 2 lprice w + α 3 lprice w 1 + α 4 displayonly w + α 5 displayonly w 1 + α 6 coupononly w + α 7 coupononly w 1 + α 8 displaycoupon w + α 9 displaycoupon w 1 + ε w Stimare il modello con il metodo dei minimi quadrati ordinari e valutare se tale metodo di stima risulta appropriato per il problema in esame. Commentare i risultati anche tenendo conto di quanto ottenuto al punto Alla luce dei risultati dell analisi condotta al punto precedente, dopo aver apportato le eventuali modificazioni necessarie, dare una indicazione all azienda su quale sia la promozione o combinazione di promozioni più efficace, motivando la risposta. Soluzione e (selezionato) output GRETL 1. Per studiare l associazione tra vendite e prezzo utilizziamo in prima approssimazione un modello di regressione lineare, in particolare stimiamo con il metodo dei minimi quadrati ordinari il modello in equazione (1). sales w = β 0 + β 1 price w + ε w (1) Le stime del modello ottenute con GRETL sono riportate in Figura 12. Sulla base delle stime si sarebbe portati a concludere che il prezzo non influenza 17

18 significativamente il livello delle vendite: si conclude in questa direzione sia osservando il valore della statistica t associata al parametro che esprime l effetto di una variazione unitaria di prezzo sul livello di vendite (β 1 ) 6, sia osservando il valore di probabilità osservato p-value 7, sia osservando gli estremi dell intervallo di confidenza al 95% per β 1 8. Il test F, che testa la significatività dell intera regressione, è coerente con quanto sopra riportato. In questo caso vi è un solo regressore ed è possibile dimostrare che il test F coincide con il quadrato della statistica t associata al parametro relativo all unico regressore. La quota di variabilità della variabile dipendente spiegata dal modello e misurata dall R 2 è meno dell 1% (circa 0.8%). Si osservi che, dal momento che il modello include la costante, è possibile calcolare R 2 secondo la formula R 2 = SQS SQT = 1 SQR SQT Nel caso specifico, SQT = (= (124 1)), SQR = , SQS = (SQT SQR) come si vede dalla tabella relativa a questo modello in figura 12. Il parametro β 1 in questo modello indica quale è la variazione nel livello di vendite in dollari che corrisponde ad una variazione unitaria nel livello del prezzo per articolo: un aumento di un dollaro nel prezzo porterebbe, secondo il modello, se le stime fossero significativamente diverse da zero, ad una riduzione di 110 dollari nelle vendite settimanali. 6 La statistica t assume il valore che è contenuto nella zona di accettazione del test -basata sulla distribuzione asintotica- al livello di significatività 5% [-1.96, 1.96]. Si osserva che il valore osservato del test cade anche nella zona di accettazione del test al livello di significatività 1%, ossia [-1.64, +1.64], ed ovviamente nella regione di accettazione del test al livello di significatività 10% [-2.57, 2.57]. Sulla base del valore della statistica si conclude che i dati sono coerenti con l ipotesi nulla, ovvero con l ipotesi che il vero valore del parametro sia zero. 7 Il p-value associato è infatti più alto di qualunque livello di significatività convenzionalmente adottato. 8 Il valore zero è incluso nell intervallo, quindi al 5% non possiam rigettare l ipotesi nulla che il vero valore del parametro sia zero. 18

19 2. Si stima il modello in equazione (2), analogo a quello in equazione (1), dove sia la variabile dipendente che i regressori sono espressi in euro anzichè in dollari utilizzando il tasso di cambio dollaro/euro al 28 marzo 2008 (0.6333). sales eu w = α 0 + α 1 price eu w + ǫ w (2) Si osserva che α 1 β 1. Lo stimatore ai minimi quadrati ordinari di una regressione semplice è infatti dato dal rapporto tra la covarianza tra la variabile dipendente e l esplicativa e la varianza dell esplicativa e β 1 Cov(sales,price) Var(price) α 1 Cov(sales eu,price eu) Var(price eu) = Cov(sales,price) Var(price) = Cov(sales,price) Var(price) = β 1 Il fatto che i coefficienti coicidano è quindi legato al fatto che la variazione nell unità di misura (la scala) nella variabile dipendente e dell esplicativa è la stessa e non sarebbe vero se la modificazione della scala fosse diversa per la variabile dipendente (sales) e per il regressore (price). Il coefficiente α 1 corrisponde alla variazione attesa in euro delle vendite corrispondente ad un aumento di un euro nel prezzo per articolo. Il coefficiente α 0 corrisponde al livello medio delle vendite in euro (si osservi che la stima di questo coefficiente è pari a β 0 ; per esercizio, utilizzando le formule per lo stimatore ai minimi quadrati ordinari di un modello di regressione semplice, mostrare perchè). Come ci si attendeva, l adattamento del modello non cambia se si cambia l unità di misura in cui sono misurate le variabili. Questo corrisponde all idea che il potere esplicativo del modello resta lo stesso, indipendentemente dall unità di misura. Anche le conclusioni inferenziali (significatività dei coefficienti e dell intera regressione) restano immutate. 19

20 Figura 12: Lab. 2: Output GRETL, domande 1-2. Modello 1: Stime OLS usando le 124 osservazioni Variabile dipendente: sales coefficiente errore std. rapporto t p-value const * price Media variabile dipendente SQM variabile dipendente Somma quadrati dei residui E.S. della regressione R-quadro R-quadro corretto F(1, 122) P-value(F) mod2: Stime OLS usando le 124 osservazioni Variabile dipendente: sales_eu coefficiente errore std. rapporto t p-value const * price_eu Media variabile dipendente SQM variabile dipendente Somma quadrati dei residui E.S. della regressione R-quadro R-quadro corretto F(1, 122) P-value(F) Log-verosimiglianza Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard 20

21 3. I risultati della stima dei modelli corrispondenti a quelli in equazione (1) ed in equazione (2) dove le variabili sono espresse in scala logaritmica anzichè nei livelli, sono riportati in figura 13 e formalmente descritti nelle equazioni (3), (4). lsales w = δ 0 + δ 1 lprice w + ν w (3) lsales eu w = γ 0 + γ 1 lprice eu w + ψ w (4) In questo caso, la stima dei parametri δ 1 e γ 1 coinciderebbe anche se la variazione in scala della variabile dipendente e della variabile esplicativa non coincidessero. Ciò è dovuto all interpretazione dei coefficienti di questo modello (si veda Tabella 1): quando sia la variabile esplicativa che la dipendente sono espresse in scala logaritmica il coefficiente associato all esplicativa esprime la variazione percentuale della dipendente corrispondente ad una variazione percentuale dell esplicativa e quindi non dipende dalla scala in cui sono espresse le variabili. γ 1 ln(y) ln(x) derivata funzione composta {}}{ = y/y x/x γ 1 rappresenta l elasticità di y rispetto ad x e nel modello lineare in scala logaritmica si assume costante (si veda [Cappuccio and Orsi, 2005, pg ; 65-67] e [Monfardini, 2007, sez. 3.4]). Differentemente, nel modello espresso nei livelli, i coefficienti dipendono generalmente dalla scala in cui sono espresse le variabili. β 1 y x Dal momento che la forma funzionale per la variabile dipendente cambia tra i modelli stimati ai punti precedenti e questi modelli, non è possibile confrontare l adattamento dei modelli direttamente sulla base dell R 2 o R 2 (R 2 corretto adjusted ): i modelli non sono infatti nidificati ( nested ). L adattamento per questi modelli è comunque basso e suggerisce di modificare la specificazione del modello cercando di includere variabili per aumentarne il potere esplicativo. 21

22 Figura 13: Lab. 2: Output GRETL, domanda 3. mod3: Stime OLS usando le 124 osservazioni Variabile dipendente: lsales coefficiente errore std. rapporto t p-value const e-064 *** lprice Media variabile dipendente SQM variabile dipendente Somma quadrati dei residui E.S. della regressione R-quadro R-quadro corretto F(1, 122) P-value(F) Log-verosimiglianza Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard Modello 4: Stime OLS usando le 124 osservazioni Variabile dipendente: lsales_eu coefficiente errore std. rapporto t p-value const e-027 *** lprice_eu Media variabile dipendente SQM variabile dipendente Somma quadrati dei residui E.S. della regressione R-quadro R-quadro corretto F(1, 122) P-value(F) Log-verosimiglianza Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard 22

23 Tabella 1: Forme funzionali ed interpretazione dei coefficienti del modello di regressione Modello Variabile Variabile Interpretazione dipendente esplicativa coefficiente livello-livello y x y = β x livello-logaritmo y log(x) y = ( β 100 logaritmo-livello log(y) x % y = (100 β) x logaritmo-logaritmo log(y) log(x) % y = β% x un caso in cui l effetto marginale coincide con misura di elasticità Modello Var.dip. Var. esp. Inter. coef. logaritmo-logaritmo log(y) log(x) β = y/y % y x/x % x Fonte: Wooldridge [2006]. Nota su trasformazione logaritmica La trasformazione logaritmica è una trasformazione frequentemente utilizzata nelle elaborazioni questo perchè la trasformazione permette di ridurre la variabilità della serie originaria (si confronti il range di variazione della variabile sales ed lsales) e rende la distribuzione più simmetrica (vedere grafici in Figura 14). La trasformazione logaritmica è una particolare trasformazione nella classe delle trasformazioni di Box-Cox. Inoltre, come si è visto, nel caso del modello di regressione lineare quando sia la dipendente che l esplicativa di interesse sono espresse in logaritmi i parametri corrispondenti assumono una interpretazione molto conveniente, quella di elasticità. 4. Si considera il modello dove la variabile dipendente è espressa in logaritmi perchè risulta più adeguata in questo caso l ipotesi di normalità (si vedano i grafici in Figura 14; si noti che esistono anche procedure formali per testare l ipotesi di normalità di una variabile casuale, tra gli altri il test proposto da Jarque e Bera trattato nel testo -[Cappuccio and Orsi, 2005, sez ]- con riferimento ai residui ma non trattato in questo corso) che permette di avere risultati esatti sulla distribuzione dello stimatore ai minimi quadrati ordinari 23

24 Figura 14: Istogramma delle vendite di ketchup in dollari e del logaritmo delle vendite. Fonte dati: Franses e Paap (2001). 24