CAPACITA' Capacità pag 11 A. Scimone

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1 Capacità pag 11 A. Scimone CAPACITA' Ci occupiamo aesso elle popietà ei conensatoi, ispositivi che accumulano la caica elettica. I conensatoi vengono usati in vai tipi i cicuiti. Un conensatoe è un insieme i ue conuttoi isolati, i foma abitaia, (che saanno chiamati amatue, inipenentemente alla loo foma) caicati in moo che esista una iffeenza i potenziale fa i conuttoi. Si assume che essi siano totalmente isolati ispetto agli oggetti cicostanti e che abbiano caiche ello stesso valoe e segno opposto ispettivamente + e - Ogni linea i foza uscente a + finisce su -. Inolte si suppone che i conuttoi siano nel vuoto. + - Definizione i capacità Consieiamo ue conuttoi ta i quali è stabilita una iffeenza i potenziale. Supponiamo che i conuttoi abbiano caiche opposte ma i uguale moulo. Possiamo ottenee ciò collegano i ue conuttoi ai poli i una batteia. La capacità C i un conensatoe viene efinita come il appoto ta la caica e la iffeenza i potenziale. Essa è una costante che ipene solo alla geometia el sistema. C = o anche C= ove inica la iffeenza i potenziale. L'unità i capacità è il coulomb/volt che pene il nome i Faa in onoe i Michael Faaay. Si ha 1 faa = 1 coulomb/ 1 volt Il faa è una unità i misua molto gane, nella patica i conensatoi oinai hanno capacità che vanno ai micofaa (1 µ F = 1-6 F) ai picofaa (1 p F = 1-1 F).

2 Capacità pag 1 A. Scimone Calcolo i capacità Calcoliamo la capacità i un conuttoe sfeico isolato i aggio R (si consiea come secono conuttoe una sfea cava i aggio infinito) Se la caica sulla sfea è, il suo potenziale saà = k R La capacità saà ata a: R C = = = = 4π R k k R Da cui si vee che la capacità i una sfea caica isolata è popozionale al aggio e non ipene né alla caica, né alla iffeenza i potenziale. Conensatoe piano S A B Consieiamo un conensatoe a amatue piane e paallele (conensatoe piano), nel quale i conuttoi sono ue amatue piane, paallele e i aea S a una istanza. Se connettiamo le amatue ai mosetti si una batteia compaià la caica + q su una i esse e la caica - q sull'alta. Se è piccolo ispetto alle imensioni elle amatue, l'intensità el campo elettico E ta le amatue saà unifome. Pe calcolae la capacità obbiamo tovae la elazione ta, iffeenza i potenziale ta le amatue, e q, caica el conensatoe. Dal teoema i Gauss, esseno E costante, si ha : Φ E = q e quini, esseno Φ E = ES otteniamo ES= q. Il lavoo necessaio pe potae una caica i pova q a una amatua all'alta si può espimee o come L = q oppue come pootto ella foza q E pe la istanza, ossia L= qe Eguagliano le ue espessioni avemo = E La capacità saà

3 Capacità pag 13 A. Scimone C q ES S = = = E La elazione tovata mosta che la capacità i un conensatoe ipene alla geometia ei conuttoi (amatue) cioè a S e a. Enegia immagazzinata in un conensatoe Se le amatue i un conensatoe caico vengono collegate a un conuttoe, a esempio un filo elettico, la caica si tasfeisce a un amatua all alta finché ambeue sono scaiche. La scaica può essee ossevata come una scintilla visibile. Se accientalmente si toccano le amatue i un conensatoe caico, le ita fanno a conuttoe, attaveso il quale il conensatoe può scaicasi e si pene la scossa che ipene alla capacità e alla iffeenza i potenziale applicata al conensatoe. eiamo cosa avviene uante la caica i un conensatoe. Immaginiamo i avee un conensatoe piano a b + - +q -q sull'amatua avente la caica positiva si avà il potenziale a, mente sull'alta amatua si avà il potenziale b. La iffeenza i potenziale saà a - b = E con a > b Supponiamo i caicae il conensatoe, cioè i aumentae le caiche. Si ha: + q + q+ q q q q questo implica che un elemento i caica q tansita alla piasta caica negativamente e va sulla piasta caica positivamente. Ciò non può avvenie spontaneamente, pe cui si ovà compiee un lavoo conto le foze el campo. Così come nel caso i un fluio è necessaio spenee lavoo pe pompae il fluio al basso veso l'alto, così obbiamo spenee lavoo pe effettuae lo spostamento i caiche

4 Capacità pag 14 A. Scimone conto la iezione nomale che è quella che va a potenziale più alto a potenziale più basso. (saà necessaio un geneatoe) Il lavoo necessaio conto le foze el campo è L = ( A B) q ove q A B = C Poiché L accesce l'enegia potenziale el sistema si ha: U = q L = C q Avemo quini: q U C q 1 = = C esseno = C otteniamo: U = 1 C Consieiamo l'enegia potenziale U = 1 C e calcoliamo la ensità i enegia, cioè l'enegia pe unità i volume U u = ol. S A B Il volume saà: ol.= S e quini u= 1 1 C S esseno C avemo cioè u= 1 E J m 3 S = SE u = 1 S

5 Capacità pag 15 A. Scimone e non ipene alle caatteistiche geometiche el campo elettico pesente nel conensatoe. uesto isultato vale anche in geneale. Cioè la ensità i enegia el campo elettostatico in un ato punto ello spazio è popozionale al quaato el campo in quel punto. In tutte le egioni ello spazio ove è pesente un campo elettico punto una ensità i enegia 1 E ove E = E E (pootto scalae i E pe se stesso). E è associato punto pe Conensatoi con ielettici Un ielettico è un mateiale non conuttoe, come gomma, veto o cata paaffinata. uano si intouce un mateiale ielettico ta le amatue i un conensatoe, la capacità aumenta i un fattoe che pene il nome i costante ielettica elativa. Consieiamo un conensatoe piano i caica e capacità C in assenza i ielettico. La iffeenza i potenziale misuata saà = C Se intouciamo un ielettico ta le amatue la iffeenza i potenziale iminuisce i un fattoe, si ha: = Esseno <, avemo che > 1. Poiché la caica C = e quini: C = = C el conensatoe non cambia, la capacità saà = ove C è la capacità in assenza i ielettico. Nel caso i un conensatoe piano, se è completamente iempito con un ielettico avemo: C S = Da quanto visto semba che la capacità possa essee esa gane a piacee iminueno, istanza ta le amatue. In patica il minimo valoe i è limitato alla scaica che può avvenie attaveso il ielettico che sepaa le amatue. Pe ogni istanza fissata, la iffeenza i potenziale massima che può essee applicata a un conensatoe senza che si

6 Capacità pag 16 A. Scimone pouca la scaica, ipene alla igiità ielettica (massima intensità el campo elettico) el ielettico, (pe l aia è m. Il moello atomico ei ielettici Poiché la iffeenza i potenziale ta le amatue è uguale al pootto el campo elettico pe la ìstanza, anche il campo elettico si iuce el fattoe. uini, in pesenza el ielettico si ha: E E = Si può intepetae ciò in temini i polaizzazione el ielettico. A livello atomico, isulta polaizzato un mateiale le cui caiche positive e negative sono lievemente sepaate. Se le molecole el ielettico possieono momento i ipolo, pemanente anche in assenza i campo esteno, vengono chiamate molecole polai. Se le molecole el ielettico non possieono un momento i ipolo pemanente, vengono chiamate molecole non polai. In questo caso un campo elettico esteno povoca una sepaazione i caica e i momenti i ipolo isultanti vengono etti inotti e tenono a allineasi con il campo esteno, causano una iuzione el campo elettico inteno. Consieiamo un ielettico in un campo elettico unifome E, le pati positive elle molecole vengono spostate nella iezione el campo elettico e le pati negative vengono spostate nella iezione opposta. uini il campo elettico applicato polaizza il ielettico. L effetto sul ielettico è la fomazione i una caica supeficiale positiva i ensità σ i (inotta) sulla faccia esta e i una equivalente caica supeficiale negativa sulla faccia sinista. ueste caiche inotte sul ielettico geneano un campo elettico inotto opposto al campo E = E E i E. Il campo elettico totale saà E i

7 Capacità pag 17 A. Scimone Collegamento i conensatoi Conensatoi in paallelo Due conensatoi collegati come in figua penono il nome i collegamento in paallelo. 1 = = 1 C 1 C + - Le amatue i sinista sono collegate al polo positivo ella batteia e isultano allo stesso potenziale analogamente quelle i esta sono collegate al polo negativo. La caica accumulata ai conensatoi è = 1 + esseno = 1 C1 e = C avemo: = 1 + = C1 + C Se sostituiamo i ue conensatoi con un alto i capacità equivalente avemo lo stesso effetto ei ue oiginali, si ha quini: = C Sostitueno otteniamo C = C1 + C e quini C = C 1 + C Esteneno il agionamento a te o più conensatoi otteniamo C = C + C C n

8 Capacità pag 18 A. Scimone Si ha La capacità equivalente i un insieme i conensatoi collegati in paallelo è uguale alla somma elle capacità ei singoli conensatoi e è maggioe ella capacità i ciascuno ei singoli conensatoi. Collegamento in seie Due conensatoi collegati come in figua penono il nome i collegamento in seie 1 C 1 C + - Pe il collegamento in seie ei conensatoi, il valoe assoluto ella caica eve essee lo stesso su tutte le amatue. La iffeenza i potenziale ai capi i ognuno ei conensatoi saà 1 = e = C1 C Se consieiamo un conensatoe equivalente otteniamo = C Inolte si ha = 1 + Sostitueno otteniamo = + C C1 C semplificano, aiviamo alla elazione = + C C1 C Applicano la stessa analisi a più conensatoi in seie si tova = C C1 C C n Si ha L inveso ella capacità equivalente i un insieme i conensatoi collegati in seie è uguale alla somma egli invesi elle capacità ei singoli conensatoi e è minoe elle capacità i ciascuno ei singoli conensatoi.

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