Regolatori standard LT-Cap. 11/ Appendice B

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1 Controllo Digitale a.a Regolatori standard LT-Cap. 11/ Appendice B Ing. Federica Pascucci

2 Regolatori standard Regolatori: controllori che funzionano SOLO con ingressi costanti!!! Struttura fissa Taratura parametri

3 PID vs controllori Vantaggi Ingressi costanti o costanti a tratti Facilità di installazione Flessibilità Svantaggi Basse prestazioni

4 Struttura dei PID tempo continuo Regolatore standard analogico ( U(s) = K p ) T i s + T ds E(s) 3 azioni 1. Proporzionale 2. Integrale 3. Derivativa

5 Azione proporzionale Azione proporzionale: K p + Aumenta la banda passante + Riduce l effetto di variazioni parametriche e disturbi Riduce i margini di stabilità

6 Azione integrale Azione integrale: K i s + Azzera l effetto di disturbi a valle Riduce la banda passante Riduce i margini di stabilità

7 Azione derivativa Azione derivativa: K d s + Migliora i margini di stabilità + Riduce sovraelongazioni e il transitorio Usato da solo azzererebbe il guadagno per ω 0 Enfatizza le alte frequenze Sollecita gli attuatori Non è realizzabile K d s 1 + εs

8 Azioni combinate In genere non si usano mai singolarmente Possibili combinazioni Proporzionale (P) Proporzionale-integrale (PI) Proporzionale-derivativa (PD) Proporzionale-integrale-derivativa (PID)

9 Regolatore PI PI = K P + K ( i s = K p ) T i s

10 Regolatore PD PD = K p + K d s = K p (1 + T d s)

11 Regolatore PID PID = K p + K ( i s + K ds = K p ) T i s + T ds

12 Regolatori standard digitali Regolatori PID (dominio si Laplace) ( U(s) = K p ) T i s + T ds E(s) Regolatori PID (tempo continuo) ( u(t) = K p e(t) + 1 t ) de(t) e(τ)dτ + T d T i dt Regolatori PID (tempo discreto - integrazione rettangolare) ( u n = K p e n + T T i 0 n e k + T ) d T (e n e n 1 ) k=0

13 Forma di velocità con l integrazione rettangolare Serve per eliminare la sommatoria a secondo membro Si considera ( u n 1 = K p e n 1 + T n 1 e k + T ) d T i T (e n 1 e n 2 ) k=0 si calcola la differenza [ u n u n 1 = K p e n e n 1 + T e n + T ] d T i T (e n 2e n 1 + e n 2 ) da cui si ottiene [ u n = u n 1 + K p e n e n 1 + T e n + T ] d T i T (e n 2e n 1 + e n 2 )

14 Algoritmo di velocità con l integrazione rettangolare L equazione alle differenze che caratterizza l algoritmo di velocità con integrazione è data da u n = u n 1 + q o e n + q 1 e n 1 + q 2 e n 2 dove ( q 0 = K p 1 + T + T ) d ( T i T q 1 = K p T ) d T q 2 = K p T d T

15 Forma di velocità con l integrazione trapezoidale Se si considera l approssimazione dell integrale tramite una forma trapezoidale t 0 e(τ)dτ n k=0 e k + e k 1 T 2 Si ottiene la seguente espressione per u n [ u n = K p e n + T T i n k=0 e k + e k T ] d T (e n e n 1 ) che in forma di velocità diventa [ u n = u n 1 +K p e n e n 1 + T (e n +e n 1 )+ T ] d 2T i T (e n 2e n 1 +e n 2 )

16 Algoritmo di velocità con l integrazione trapezoidale L equazione alle differenze che caratterizza l algoritmo di velocità con integrazione è data da u n = u n 1 + q o e n + q 1 e n 1 + q 2 e n 2 dove ( q 0 = K p 1 + T + T ) d ( 2T i T q 1 = K p T ) T d 2T i T q 2 = K p T d T

17 Termine derivativo La funzione di trasferimento del PID analogico ( G(s) = K p 1 1 ) T i s + T ds non è fisicamente realizzabile (deg(num)>deg(den))!!! Modificando il termine derivativo in D = T ds 1 + T d s N con 3 N 20 si ottiene un regolatore corretto.

18 Termine derivativo digitale Il corrispondente regolatore digitale si ottiene discretizzando il termine derivativo con il metodo delle differenze all indietro... T d s 1 + T ds N s= z 1 zt = T ds z 1 zt 1 + T d N z 1 zt = T d T + T d N z z 1 T d NT +T d

19 Termine derivativo digitale... e discretizzando il termine integrale con il metodo delle differenze in avanti da cui G(z) = K p [1 + 1 T i s s= z 1 T = T T i (z 1) + T T i (z 1) T d T + T d N z z 1 T d NT +T d ]

20 Termine derivativo digitale Ponendo e si ottiene α = T T i β = NT d NT + T d γ = q 0 = K p (1 + β) q 1 = K p (1 + γ α + 2β) q 2 = K p (γ αγ + β) G(z) = q 0z 2 + q 1 z + q 2 (z 1)(z γ) T d NT + T d da cui si può facilmente ricavare l equazione alle differenze associata.

21 Tuning dei parametri Per definire un regolatore PID bisogna definire i parametri K p T i T d in altre parole bisogna 1. Caratterizzare il sistema da controllare 2. Trovare i parametri desiderati in base al sistema da controllare con: metodi basati sul transitorio metodi basati sull ottimizzazione di indici di costo

22 Caratterizzazione del sistema Si considera un modello semplificato del primo ordine (cioè si tagliano fuori parecchie dinamiche del sistema) dove K guadagno del sistema P(s) = K e θs 1 + τs τ costante di tempo del modello θ è il ritardo del sistema. Se il PID che si vuole implementare è digitale, allora si considera θ = θ + T 2 per tenere conte dell organo di tenuta.

23 Parametri del sistema

24 Progetto con Ziegler-Nichols Si basa sul rapporto di smorzamento r tra due picchi successivi della risposta al gradino a ciclo chiuso. Si caratterizza il processo da controllare Si decidono le azioni correttrici da utilizzare Si calcolano i parametri del regolatore tramite opportune tabelle

25 Progetto con indice di costo integrale Ottimizzano indici di costo di tipo integrale ISE = IAE = ITAE = [e(t)] 2 dt e(t) dt t e(t) dt Le tabelle per il calcolo sono fornite per variazioni di set point carico

26 Progetto con indice di costo integrale Si caratterizza il processo da controllare Si decidono le azioni correttrici da utilizzare Si ricavano i parametri A,B dalle tabelle Si calcola il valore di Y secondo la relazione ( ) θ B Y = A Y = A + B θ τ τ Si interpreta Y a seconda dell azione che si vuole ottenere P Y = KK p I Y = τ T i D Y = T d τ

27 Configurazioni dei regolatori standard Configurazione classica Configurazione con rete anticipatrice

28 Configurazioni dei regolatori standard Azione derivativa spostata Azione proporzionale e derivativa spostata

29 Gestione dei ritardi Sistema con ritardo Configurazione del PID

30 Gestione dei ritardi Risultato