Algoritmi e Strutture Dati. Alberi Binari di Ricerca

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1 Algortm e Strutture Dat Alber Bar d Rcerca

2 Alber bar d rcerca Motvazo gestoe e rcerche grosse quattà d dat lste, array e alber o soo adeguat perché effcet tempo O) o spazo Esemp: Matemeto d archv DataBase) I geerale, matemeto e gestoe d corp d dat su cu s effettuao molte rcerche, evetualmete alterate a operazo d sermeto e cacellazoe.

3 Alber bar d rcerca Defzoe: U albero baro d rcerca è u albero baro che soddsfa la seguete propretà: se X è u odo e Y è u odo el sottoalbero sstro d X, allora key[y] key[x]; se Y è u odo el sottoablero destro d X allora key[y] key[x] 8 4

4 Alber bar d rcerca Assumamo che valor e od dell albero sao tutt dstt. Assumamo che valor e od le chav) possao essere ordat. 8 4 Propretà degl ABR Per og odo X, valor e od del sottoalbero sstro soo tutt mor del valore el odo X, e tutt valor e od del sotto-albero destro soo maggor del valore d X

5 Alber bar d rcerca: esempo Rcerca del valore Propretà degl ABR Per og odo X, valor e od del sottoalbero sstro soo tutt mor del valore el odo X, e tutt valor e od del sotto-albero destro soo maggor del valore d X

6 Alber bar d rcerca: esempo Rcerca del valore 4 4 < 8 4 Propretà degl ABR Per og odo X, valor e od del sottoalbero sstro soo tutt mor del valore el odo X, e tutt valor e od del sotto-albero destro soo maggor del valore d X

7 Alber bar d rcerca: esempo Rcerca del valore 4 4 sta el sottoalbero sstro d 8 4 Propretà degl ABR Per og odo X, valor e od del sottoalbero sstro soo tutt mor del valore el odo X, e tutt valor e od del sotto-albero destro soo maggor del valore d X

8 Alber bar d rcerca: esempo Rcerca del valore 4 4 > 8 4 Propretà degl ABR Per og odo X, valor e od del sottoalbero sstro soo tutt mor del valore el odo X, e tutt valor e od del sotto-albero destro soo maggor del valore d X

9 Alber bar d rcerca: esempo Rcerca del valore 4 4 sta el sottoalbero destro d 8 4 Propretà degl ABR Per og odo X, valor e od del sottoalbero sstro soo tutt mor del valore el odo X, e tutt valor e od del sotto-albero destro soo maggor del valore d X

10 Alber bar d rcerca: esempo Rcerca del valore 4 4 = 4 : rovato! 8 4 Propretà degl ABR Per og odo X, valor e od del sottoalbero sstro soo tutt mor del valore el odo X, e tutt valor e od del sotto-albero destro soo maggor del valore d X

11 Alber bar d rcerca I geerale, la rcerca è cofata a od poszoat lugo u sgolo percorso path) dalla radce ad ua fogla empo d rcerca = Oh) h = altezza dell albero

12 AD albero baro d rcerca: tpo d dato È ua specalzzazoe dell AD albero baro Gl elemet statc soo essezalmete gl stess, l uca dffereza è che s assume che dat coteut le chav) sao ordabl secodo qualche relazoe d orde. typedef *odo ARB; struct { elemeto key; ARB dx, sx; } odo; sx key dx

13 AD albero baro d rcerca: fuzo Selettor: root) fglo_dx) fglo_sx) key) Costruttor/Dstruttor: crea_albero) ARB_sersc,x) ARB_cacella,x) Propretà: vuoto) = retur =Nl) Operazo d Rcerca ARB_rcerca,k) ARB_mmo) ARB_massmo) ARB_successore,x) ARB_predecessore,x) Rtora l valore del test d uguaglaza

14 Rcerca Alber bar d rcerca ARB_rcerca,k) IF NIL HEN IF k Key[] HEN IF k < Key[] HEN retur ARB_rcercasx[],k) ELSE retur ARB_rcercadx[],k) ELSE retur ELSE retur NOA: Questo algortmo cerca l odo co chave k ell albero e e rtora l putatore. Rtora NIL el caso o essta alcu odo co chave k.

15 Rcerca Alber bar d rcerca ARB_rcerca,k) IF = NIL OR k = Key[] HEN retur ELSE IF k < Key[] HEN retur ARB_rcerca sx[],k) ELSE retur ARB_rcerca dx[],k) NOA: Varate stattca del precedete algortmo!

16 Rcerca Alber bar d rcerca I geerale, la rcerca è cofata a od poszoat lugo u sgolo percorso path) dalla radce ad ua fogla empo d rcerca = Oh) h = altezza dell albero Oh) = Olog N), dove N è l umero d od ell albero, solo se l albero è balacato coè la lughezza del percorso mmo è vco a quella del percorso massmo).

17 ARB: rcerca del mmo e massmo Il Mmo d è Il Massmo d è

18 ARB: rcerca del mmo e massmo Il Mmo d 8 è 8 Il Massmo d 8 è

19 ARB: rcerca del mmo e massmo Il Mmo d è Il Massmo d è

20 ARB: rcerca del mmo e massmo

21 ARB: rcerca del mmo e massmo ARB ABR-Mmox:ARB) WHILE sx[x] NIL DO x = sx[x] retur x ARB ABR-Massmox: ARB) WHILE dx[x] NIL DO x = dx[x] retur x

22 ARB: rcerca del mmo e massmo ARB ABR-Mmox:ARB) WHILE x NIL && sx[x] NIL DO x = sx[x] retur x ARB ABR-Massmox: ARB) WHILE x NIL && dx[x] NIL DO x = dx[x] retur x ARB ARB_Mmox:ARB) IF x NIL AND sx[x] NIL HEN retur ARB_Mmosx[x]) retur x

23 ARB: rcerca del successore Il successore d u odo X è l pù pccolo odo maggore del odo X

24 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo Il successore d u odo X è l pù pccolo odo maggore del odo X

25 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo = odo Il successore d u odo X è l pù pccolo odo maggore del odo X

26 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo = odo Se x ha u fglo destro, l successore è l mmo odo d quel sottoalbero

27 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo

28 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo = odo

29 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo = odo Se x NON ha u fglo destro, e x è fglo sstro del padre, l successore è l padre

30 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo

31 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo 4 = odo

32 ARB: rcerca del successore Rcerca del successore del odo 4 = odo Se x NON ha u fglo destro, ed è fglo destro del padre, l successore è l ultmo ateato per l quale x s trova el suo sottoalbero 8 sstro

33 ARB: rcerca del successore ABR-Successore,k) Z = Y = NIL WHILE Z!=NIL && key[z]!=k) Y = Z IF key[z] < k) HEN Z = dx[y] ELSE IF key[z] > k) HEN Z = sx[y] IF Z!= NIL && dx[z]!=nil) HEN retur ABR-Mmodx[Z]) ELSE WHILE Y!= NIL AND Z = dx[y]) DO Z = Y Y = padre[z] retur Y Se x NON ha u fglo destro, ed è fglo destro del padre, l successore è l ultmo ateato per l quale x s trova el suo sottoalbero sstro.

34 ARB: rcerca del successore ABR-Successore,k) Z = Y = NIL WHILE Z!=NIL && key[z]!=k) Y = Z IF key[z] < k) HEN Z = f_dx[y] ELSE IF key[z] > k) HEN Z = f_sx[y] IF Z!= NIL && f_dx[z]!= NIL) HEN retur ABR-Mmof_dx[Z]) Questo algortmo assume che og odo abba l putatore ELSE al padre WHILE Y!= NIL AND Z = f_dx[y]) DO Z = Y Y = padre[z] retur Y

35 ARB: rcerca del successore II y z NIL

36 ARB: rcerca del successore II y z

37 ARB: rcerca del successore II y 8 z 4 9 5

38 ARB: rcerca del successore II y z NIL

39 ARB: rcerca del successore II y z

40 ARB: rcerca del successore II y z

41 ARB: rcerca del successore II y z NIL

42 ARB: rcerca del successore II y NIL z

43 ARB: rcerca del successore II y NIL 8 z 4 9 5

44 ARB: rcerca del successore II y NIL 8 4 z 9 5

45 ARB: rcerca del successore II Izalzzamo l successore a NIL Partedo dalla radce dell albero: og volta che s segue l ramo sstro per raggugere l odo, s aggora l successore al odo padre; og volta che s segue u ramo destro per raggugere l odo, NON s aggora l successore al odo padre;

46 ARB: rcerca del successore y puta sempre al ARB ABR-Successore, k) odo caddato a z = essere successore y = NIL WHILE z!= NIL && key[z]!= k) IF key[z] < k) z = dx[z] ELSE IF key[z] > k) y = z z = sx[z] IF z!= NIL && dx[z]!= NIL) HEN y = ABR-Mmodx[z]) retur y

47 ARB: rcerca del successore rcorsva ABR-Successore_rc,k,Y) IF!= NIL) HEN IF k > key[]) HEN retur ABR-Successore_rc dx[],k,y) ELSE IF k < key[]) HEN retur ABR-Successore_rc sx[],k,) ELSE /* k = key[] */ IF dx[]!= NIL) HEN retur ABR-Mmodx[]) retur Y ABR-Successore,k) retur ABR-Successore_rc,k,NIL)

48 ARB: rcerca del successore rcorsva ABR-Successore_rc,k) IF!= NIL) HEN IF key[] < k) HEN retur ABR-Successore_rcdx[],k) ELSE IF key[] = k) retur ABR-Mmodx[]) ELSE /* key[] > key */ succ = ABR-Successore_rcsx[],k) IF succ!= NIL) HEN retur succ ELSE retur ELSE retur NIL

49 ARB: costo delle operazo eorema. Le operazo d Rcerca, Mmo, Massmo, Successore e Predecessore su d u Albero Baro d Rcerca possoo essere esegute tempo Oh), dove h è l altezza dell albero.

50 ARB: Isermeto d u odo caso I) 5 z

51 ARB: Isermeto d u odo caso I) 5 z y 5 < 8 Rcerca poszoe del uovo odo 4 9 5

52 ARB: Isermeto d u odo caso I) 5 y z 5 > 8 Rcerca poszoe del uovo odo 4 9 5

53 ARB: Isermeto d u odo caso I) 5 z 5 > 4 y 8 Rcerca poszoe del uovo odo rovata! 4 9 5

54 ARB: Isermeto d u odo caso I) fglo-dx[y]=z oppure fglo-sx[y]=z 8 y 4 z 5 9 5

55 ARB: Isermeto d u odo caso II) 5 z NIL Albero è vuoto

56 ARB: Isermeto d u odo caso II) z Root[] = z 5 Albero è vuoto Il uovo odo da serre dvee la radce

57 ARB: Isermeto d u odo ABR-sersc,k) z = alloca odo ARB key[z] = k y = NIL x = WHILE x!= NIL) DO y = x IF key[z] < key[x]) HEN x = sx[x] ELSE x = dx[x] IF y = NIL HEN = z ELSE IF key[z] < key[y] HEN sx[y] = z ELSE dx[y] = z

58 ARB: Isermeto d u odo ABR-sersc, k) z = alloca odo ARB key[z] = k y = NIL x = WHILE x!= NIL) DO y = x IF k < key[x]) HEN x = sx[x] ELSE x = dx[x] IF y = NIL HEN = z ELSE IF k < key[y] HEN sx[y] = z ELSE dx[y] = z Rcerca poszoe del uovo odo caso II) caso I)

59 ARB: Isermeto d u odo ABR-sert_rc,z) IF!= NIL HEN IF key[z] < key[] HEN sx[]= ABR-sert_rcsx[],z) ELSE dx[]= ABR-sert_rcdx[],z) retur ELSE retur z Rcordate che qu z è l odo che cotee la chave da serre

60 ARB: Isermeto d u odo ABR-sert_rc,k) IF!= NIL HEN IF k < key[] HEN sx[]= ABR-sert_rcsx[],k) ELSE dx[]= ABR-sert_rcdx[],k) retur ELSE z = alloca odo ARB key[z] = k retur z Qu vece k è la chave da serre. S deve qud allocare l odo!

61 Cacellazoe rcorsva Iput <k Output <k = cacella,k)

62 Cacellazoe rcorsva Iput >k Output >k = cacella,k)

63 Cacellazoe rcorsva Iput k

64 Cacellazoe rcorsva caso I) Iput Output k

65 Cacellazoe rcorsva caso II) Iput Output k

66 Cacellazoe rcorsva caso III) Iput Output k m{} = stacca-mmo)

67 ARB: Cacellazoe rcorsva ABR-Cacella-rck,) IF!= NIL HEN IF k < key[] HEN sx[]=arb-cacella-rck,sx[]) ELSE IF k > key[] HEN dx[]=arb-cacella-rck,dx[]) ELSE /* k = key[] */ odo = IF dx[odo] = NIL HEN = sx[odo] ELSE IF sx[odo] = NIL HEN = dx[odo] ELSE odo = Stacca-mdx[],) copa odo deallocaodo) retur cas I e II caso III

68 ARB: Cacellazoe rcorsova Stacca-m,P) IF NIL HEN IF sx[] NIL HEN retur Stacca-msx[],) ELSE /* successore trovato */ IF = sx[p] sx[p] = dx[] Il parametro P deota l padre d og chamata. ELSE /* m è l prmo odo passato */ dx[p] = dx[] retur NOA. L algortmo stacca l odo mmo dell albero e e rtora l putatore. Può ache rtorare NIL caso o essta u mmo è vuoto). Il valore d rtoro dovrebbe essere qud verfcato dal chamate prma dell uso. Nel caso della cacellazoe rcorsva però samo scur che l mmo esste sempre e qud o è ecessaro esegure alcu cotrollo!

69 ARB: Cacellazoe d u odo caso I) Caso semplce: l odo z o ha fgl z

70 ARB: Cacellazoe d u odo caso I) Caso semplce: l odo z o ha fgl Possamo elmarlo y 9 5 z

71 ARB: Cacellazoe d u odo caso II) Caso II: l odo ha u solo fglo 8 4 z 9 5

72 ARB: Cacellazoe d u odo caso II) 8 Caso II: l odo ha u fglo Scartare l odo e coettere l padre al fglo x 4 y z 9 5

73 ARB: Cacellazoe d u odo caso II) 8 Caso II: l odo ha u fglo Scartare l odo e coettere l padre al fglo x 4 y z 9 5

74 ARB: Cacellazoe d u odo caso II) 8 Caso II: l odo ha u fglo Scartare l odo e coettere l padre al fglo x 4 y z 9 5

75 ARB: Cacellazoe d u odo caso III) Caso III: l odo ha due fgl z

76 ARB: Cacellazoe d u odo caso III) Caso III: l odo ha due fgl Calcolare l successore y z 8 4 y x

77 ARB: Cacellazoe d u odo caso III) Caso III: l odo ha due fgl Calcolare l successore y z 8 y NOA: Il successore d u odo co due fgl o può avere u fglo sstro 5.5 x

78 ARB: Cacellazoe d u odo caso III) Caso III: l odo ha due fgl Calcolare l successore y z 4 8 Staccare l successore y e coettere l padre al fglo destro y x

79 ARB: Cacellazoe d u odo caso III) Caso III: l odo ha due fgl Calcolare l successore y.5 z y 4 x Staccare l successore y e coettere l padre al fglo destro Copa l coteuto del successore el odo 5 da cacellare

80 ARB: Cacellazoe d u odo caso III) Caso III: l odo ha due fgl Calcolare l successore y.5 z y 4 x Staccare l successore y e coettere l padre al fglo destro Copa l coteuto del successore el odo 5 da cacellare

81 ARB: Cacellazoe d u odo caso III) Caso III: l odo ha due fgl y.5 z x Calcolare l successore y Staccare l successore y e coettere l padre al fglo destro Copa l coteuto del successore y el odo 5 da cacellare Deallocare l odo staccato y

82 ARB: Cacellazoe d u odo Caso I: Il odo o ha fgl. Semplcemete s elma. Caso II: Il odo ha u solo fglo. S collega l padre del odo al fglo e s elma l odo. Caso III: Il odo ha due fgl. s cerca l suo successore che ha u solo fglo destro); s elma l successore come Caso II); s copao camp valore del successore el odo da elmare.

83 ARB: Cacellazoe d u odo ABR-Cacella,z) IF sx[z] = NIL OR dx[z] = NIL) HEN y = z ELSE y = ARB-Successorez) IF sx[y]!= NIL HEN x = sx[y] ELSE x = dx[y] IF x!= NIL HEN padre[x]=padre[y] IF padre[y] = NIL HEN = x ELSE IF y = sx[padre[y]] HEN sx[padre[y]]=x ELSE dx[padre[y]]=x IF y!= z HEN copa camp d y z dealloca y retur

84 ARB: Cacellazoe d u odo ABR-Cacella,z) IF sx[z] = NIL OR dx[z] = NIL) HEN y = z ELSE y = ARB-Successorez) IF sx[y]!= NIL HEN x = sx[y] ELSE x = dx[y] IF x!= NIL HEN padre[x]=padre[y] IF padre[y] = NIL HEN = x ELSE IF y = sx[padre[y]] HEN sx[padre[y]]=x ELSE dx[padre[y]]=x y è l odo da elmare IF y!= z HEN copa camp d y z dealloca y retur cas I e II caso III

85 ARB: Cacellazoe d u odo ABR-Cacella,z) IF sx[z] = NIL OR dx[z] = NIL) HEN y = z ELSE y = ARB-Successorez) IF sx[y]!= NIL HEN x = sx[y] ELSE x = dx[y] IF x!= NIL HEN padre[x]=padre[y] IF padre[y] = NIL HEN = x ELSE IF y = sx[padre[y]] HEN sx[padre[y]]=x ELSE dx[padre[y]]=x IF y!= z HEN copa camp d y z dealloca y retur cas I e II y è l odo da elmare e x è l suo sosttuto y è sosttuto da x caso III

86 ABR-Cacella-ter,k) p = NIL z = WHILE z!= NIL && key[z]!=k) DO p = z IF key[z] > k) HEN z = sx[z] ELSE z = dx[z] y è l odo da elmare p è l padre d y x è l sosttuto d y IF z = NIL) HEN retur /* ulla da cacellare */ IF sx[z] = NIL OR dx[z] = NIL) HEN y = z ELSE /* z ha fgl: s cerca l successore */ y = dx[z]; p = z WHILE sx[y] NIL) DO p = y y = sx[y] IF sx[y] NIL) HEN x = sx[y] ELSE x = dx[y] IF p = NIL) HEN = x /* s sta cacellado la radce */ ELSE IF y = sx[p]) HEN sx[p]=x ELSE dx[p]=x IF y!= z) HEN /* z ha due fgl */ copa camp d y z dealloca y retur

87 ABR-Cacella-ter,k) p = NIL z = WHILE z!= NIL && key[z]!=k) DO p = z IF key[z] > k) HEN z = sx[z] ELSE z = dx[z] IF z = NIL) HEN retur /* ulla da cacellare */ IF sx[z] = NIL OR dx[z] = NIL) HEN y = z ELSE /* z ha fgl: s cerca l successore */ y = dx[z]; p = z WHILE sx[y] NIL) DO p = y y = sx[y] IF sx[y] NIL) HEN x = sx[y] ELSE x = dx[y] IF p = NIL) HEN = x /* s sta cacellado la radce */ ELSE IF y = sx[p]) HEN sx[p]=x ELSE dx[p]=x IF y!= z) HEN /* z ha due fgl */ copa camp d y z dealloca y retur y è l odo da elmare p è l padre d y x è l sosttuto d y Rcerca d k Cas I e II Rcerca successore Caso III Dstacco odo y da elmare e aggorameto del padre Copa successore Caso III

88 ARB: costo d Isermeto e Cacellazoe eorema. Le operazo d Isermeto e Cacellazoe sull seme damco Albero Baro d Rcerca possoo essere esegute tempo Oh) dove h è l altezza dell albero

89 Costo delle operazo su ABR L algortmo d sermeto NON garatsce che l albero rsultate sa blacato. Nel caso peggore l altezza h può essere par ad N umero de od) 8 9 5

90 Costo delle operazo su ABR L algortmo d sermeto NON garatsce che l albero rsultate sa blacato. Nel caso peggore l altezza h può essere par ad N umero de od) 8 9 Qud tutte le operazo vste hao costo ON) el caso peggore 5

91 Costo medo delle operazo su ABR Dobbamo calcolare la lughezza meda a) del percorso d rcerca. Assumamo che le chav arrvo orde casuale tutte abbao uguale probabltà d presetars). Allora la probabltà che ua chave sa la radce dell albero è /; Assumamo, oltre, che la probabltà che ua chave vega cercata sa /. a) = = p dove p è la lughezza meda su tutt possbl ABR) del percorso al odo

92 Costo delle operazo su ABR Se la chave è la radce dell albero, allora l sottoalbero sstro avrà - od e a) = = p l sottoalbero destro avrà - od - -

93 Costo delle operazo su ABR Se la chave è la radce dell albero, allora l sottoalbero sstro avrà - od e l sottoalbero destro avrà - od a) = = p cascuo degl - od a sstra hao lughezza meda del percorso a-)+ la radce ha lughezza del percorso par ad cascuo degl - od a sstra hao lughezza meda del percorso a-)+ - -

94 Costo delle operazo su ABR a ) sa la lughezza meda del percorso d rcerca co chav quado la radce è la chave a ) = [ a ) ] [ a ) ] a-) è la lughezza meda del percorso d rcerca co - chav a-) è la lughezza meda del percorso d rcerca co - chav

95 Costo delle operazo su ABR a ) sa la lughezza meda del percorso d rcerca co chav quado la radce è la chave a) è la meda degl a ), dove cascu a ) ha probabltà /, coè la probabltà che propro la chave sa la radce dell albero. a a a = ] ) [ ] ) [ ) = = a a ) ) allora

96 Costo delle operazo su ABR a) è la meda degl a ), dove cascu a ) ha probabltà / a a a = ] ) [ ] ) [ ) = = = a a ) ) allora = = a a ] ) [ ] ) [

97 Costo delle operazo su ABR = = a a a ] ) [ ] ) [ ) = = a a ) ) ) ) = = a ) ) = = 0 ) a

98 Costo delle operazo su ABR = = 0 ) ) a a = = 0 ) ) ) a a

99 Costo delle operazo su ABR = = 0 ) ) a a = = 0 ) ) ) a a = = 0 ) ) ) a a

100 Costo delle operazo su ABR = = 0 ) ) a a = = 0 ) ) ) a a = = 0 ) ) ) a a ) ) ) 0 = = a a

101 Costo delle operazo su ABR = = 0 ) ) ) ) a a a ) ) ) 0 = = a a ) ) ) = a a

102 Costo delle operazo su ABR Fuzoe armoca ) ) ) = a a ) ) = H a H... ) = Dmostrare per duzoe

103 Costo delle operazo su ABR a ) = H ) Dmostrare per duzoe a ) = l ) = l c H ) = l... Formula d Eulero dove 0.577

104 Alber perfettamete blacat Defzoe: U albero baro s dce Perfettamete Blacato se, per og odo, l umero de od el suo sottoalbero sstro e l umero de od del suo sottoalbero destro dfferscoo al pù d

105 Alber perfettamete blacat Defzoe: U albero baro s dce Perfettamete Blacato se, per og odo, l umero de od el suo sottoalbero sstro e l umero de od del suo sottoalbero destro dfferscoo al pù d La lughezza meda a ) del percorso u albero perfettamete blacato APB) co od è approssmatvamete a' ) = log

106 Cofroto tra ABR e APB Il rapporto tra la lughezza meda a) del percorso u albero d rcerca e la lughezza meda a ) ell albero perfettamete blacato è per suffcetemete grade) è approssmatvamete a ) a' ) = l log c l log = l,8 trascurado term costat)

107 Cofroto tra ABR e APB Cò sgfca che, se ache blacassmo perfettamete l albero dopo og sermeto l guadago sul percorso medo che otterremmo NON supererebbe l 9%. a a' = l log c = l log = l.8 Scosglable ella maggor parte de cas, a meo che l umero de od e l rapporto tra rcerche e sermet sao molto grad.

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