GNU Linear Programming Kit

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "GNU Linear Programming Kit"

Transcript

1 GNU Linear Programming Kit Modeling Language GNU MathProg Versione 4.11 (Draft Edition, July 2006) (Traduzione in italiano, agosto 2007)

2 2 The GLPK package is part of the GNU Project released under the aegis of GNU. Copyright c 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006 Andrew Makhorin, Department for Applied Informatics, Moscow Aviation Institute, Moscow, Russia. All rights reserved. Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA , USA. Permission is granted to make and distribute verbatim copies of this manual provided the copyright notice and this permission notice are preserved on all copies. Permission is granted to copy and distribute modified versions of this manual under the conditions for verbatim copying, provided also that the entire resulting derived work is distributed under the terms of a permission notice identical to this one. Permission is granted to copy and distribute translations of this manual into another language, under the above conditions for modified versions.

3 3 Indice 1 Introduzione Problema di programmazione lineare Oggetti di un modello Struttura della descrizione di un modello Codifica della descrizione di un modello Nomi simbolici Stringhe numeriche Stringhe alfabetiche Parole-chiave Delimitatori Commenti Espressioni Espressioni numeriche Espressioni simboliche Espressioni indicizzanti e indici dummy Espressioni di insiemi Espressioni logiche Espressioni lineari Asserzioni Asserzione di insieme Asserzione di parametro Asserzione di variabile Asserzione di vincoli (lineari) Asserzione della funzione obiettivo Asserzione di soluzione Asserzione di controllo (check) Asserzione di display Asserzione di printf Asserzione di for Definizione dei dati di un modello Codifica della sezione dati Blocco dati di insiemi Blocco dati di parametro A Uso del traduttore di MathProg con le API di GLPK 45 B Risoluzione di modelli con il solver glpsol 46 C Esempio di descrizione di modello 47 C.1 Descrizione di modello scritto in GNU MathProg C.2 Problema LP generato C.3 Soluzione ottima del problem LP generato

4 4 1 Introduzione GNU MathProg è un linguaggio di modeling che permette di descrivere modelli matematici di programmazione lineare 1. La descrizione di un modello scritto nel linguaggio GNU MathProg consiste in un insieme di asserzioni (statements) e di blocchi di dati definiti dall utente usando gli elementi del linguaggio descritto in questo documento. Un programma, chiamato traduttore di modello, analizza il modello descritto con il linguaggio GNU MathProg e lo traduce in strutture dati interne, le quali possono essere usate sia per generare un instanza di un problema di programmazione matematica, sia per ottenere una soluzione numerica del problema. Per ottenere una soluzione numerica si deve usare un altro programma chiamato solver (risolutore). 1.1 Problema di programmazione lineare In MathProg si considera la formulazione di programmazione lineare (LP, Linear Programming) seguente: minimize (maximize) Z = c 1 x m+1 + c 2 x m c n x m+n + c 0 (1) rispettando i vincoli lineari: x 1 = a 11 x m+1 + a 12 x m a 1n x m+n x 2 = a 21 x m+1 + a 22 x m a 2n x m+n (2) x m = a m1 x m+1 + a m2 x m a mn x m+n e i limite (bounds) sulle variabili: l 1 x 1 u 1 l 2 x 2 u 2... l m+n x m+n u m+n (3) dove: x 1,x 2,...,x m sono variabili ausiliarie; x m+1,x m+2,...,x m+n sono variabili strutturali; Z è la funzione obiettivo; c 1,c 2,...,c n sono i coefficienti della funzione obiettivo; c 0 è il termine costante della funzione obiettivo; a 11, a 12,..., a mn sono i coefficienti dei vincoli; l 1,l 2,...,l m+n sono i lower bounds delle variabili; u 1,u 2,...,u m+n sono i upper bounds delle variabili. I bounds delle variabili possono essere sia limitati che illimitati. Inoltre, i bounds di una variabile potrebbero essere uguali tra loro. Quindi, i seguenti tipi di variabili sono possibili: Bounds di una variabile < x k < + l k x k < + < x k u k l k x k u k l k = x k = u k Tipo di variabile Variabile libera e illimitata Variabile con lower bound Variabile con upper bound Variabile con doppio bound Variabile fissata 1 Il linguaggio GNU MathProg è un sottoinsieme del linguaggio AMPL.

5 5 I tipi di variabili mostrati sopra sono validi sia per le variabili strutturalli che le variabili ausiliarie. Oltre a problemi di programmazione lineare puri, MathProg permette di definire problemi di programmazione lineare intera (MIP, Mathematical Integer Programming), dove alcune (o tutte) tra le variabili strutturali sono vincolate ad assumere valori interi. 1.2 Oggetti di un modello In MathProg il modello è descritto in termini di insiemi, parametri, variabili, vincoli, e obiettivi, che sono chiamati gli oggetti di un modello. L utente introduce dei particolari oggetti del modello usando le asserzioni del linguaggio. Ogni oggetto di un modello ha associato un nome simbolico che lo identifica unicamente ed è usato come riferimento all oggetto stesso. Gli oggetti di un modello, compresi gli insiemi, possono essere vettori multidimensionali indicizzati da elementi di un insieme. Formalmente, il vettore n-dimensionali A è la funzione: A : Ξ, (4) dove S 1 S 2... S n è un sottoinsieme del prodotto Cartesiano degli insiemi indice, ed Ξ è un insieme degli elementi del vettore. In MathProg l insieme è chiamato dominio dei pedici (subscript domain). I suoi elementi sono n-tuple (i 1,i 2,...,i n ), dove i 1 S 1, i 2 S 2,..., i n S n. Se n = 0, il prodotto cartesiano (4) ha esattamente un elemento (la 0-tupla), cosi che si può pensare ad oggetti scalari come vettori 0-dimensionali che hanno un solo elemento. Il tipo di elementi di un vettore è determinato dal tipo del corrispondente oggetto di modello come segue: Oggetto di modello Set Parameter Variable Constraint Objective Elemento del vettore Membro dell insieme Numero o simbolo Variabile strutturale Vincolo Funzione obiettivo Per poter accedere ad un particolare membro di un oggetto, l oggetto stesso deve essere provvisto di un pedice. Per esempio, se a è un vettore di parametri a due dimensioni costruito sul prodotto Cartesiano I J, un riferimento al suo particolare membro può essere scritto come a[i,j], dove i I e j J sono gli indici. Gli oggetti scalari essendo a 0-dimensione non hanno bisogno di pedici. 1.3 Struttura della descrizione di un modello È spesso auspicabile descrivere un modello che può usare dati diversi per ogni istanza di problema che si può risolvere usando quel modello. Per questo motivo in MathProg la descrizione del modello consiste di due parti: la sezione di modello e la sezione dati. Sezione di modello è la parte principale di descrizione del modello che contiene la dichiarazione degli oggetti di modello ed è comune per tutti i problemi che corrispondono a quel modello matematico. Sezione dati è una parte opzionale della descrizione del modello che contiene dati specifici per una particolare istanza del problema descritto dal modello.

6 6 Le sezione di modello e di dati possono essere incluse nello stesso file oppure in due file separati. Di solito conviene avere due file separati in modo da poter definire più istanze di uno stesso modello matematico, riutilizzando la stessa sezione di modello.

7 7 2 Codifica della descrizione di un modello La descrizione di un modello è codificata in semplice formato testo usando solo alcuni caratteri ASCII. I caratteri che possono essere usati nella descrizione di un modello sono i seguenti: i caratteri dell alfabeto (inglese): A B... Z a b... z _ i caratteri numerici: i caratteri speciali:! " # & ( ) * +, -. / : ; < = > [ ] ^ { } i caratteri di spaziatura (white-spaces): SP HT CR NL VT FF All interno dei commenti si può usare qualsiasi carattere ASCII (a parte i caratteri di controllo). I caratteri di spaziatura vengono ignorati, ma possono essere usati liberamente per migliorare la leggibilità della descrizione di un modello. Sintatticamente la descrizione di un modello è una sequenza di unità lessicali appartenenti ad una delle seguenti categorie: nomi simbolici; stringhe numeriche; stringhe alfabetiche; parole chiavi; delimitatori; commenti. Le unità lessicali del linguaggio sono descritte nei prossimi paragrafi. 2.1 Nomi simbolici I nomi simbolici consistono di stringhe di caratteri alfabetici e numerici, in cui il primo carattere deve essere obbligatoriamente alfabetico. Tutti i nomi simbolici sono diversi e case sensitive. alpha123 This_is_a_name _P123_abc_321 I nomi simbolici sono usati per identificare gli oggetti di modello (insiemi, parametri, variabili, vincoli, funzione obiettivo) e gli indici dummy. Tutti i nomi simbolici (eccetto gli indici dummy) devono essere unici, cioè la descrizione di un modello non deve avere oggetti con lo stesso nome. I nomi simbolici e gli indici dummy devono essere unici all interno della loro visibilità, ossia dove rimangono validi. 2.2 Stringhe numeriche Una stringa numerica ha la forma xxesyy, dove xx è un numero reale con eventualmente il punto per i decimali, s è il segno + oppure -, yy è un intero per l esponente decimale. La lettera E non è case sensitive e alternativamente può essere usata la e E+5.78

8 e-7 Le stringhe numeriche rappresentano quantità numeriche, ed hanno il loro ovvio significato matematico. 2.3 Stringhe alfabetiche Una stringa alfabetica è una sequenza di caratteri racchiusa tra virgolette singole o doppie. L uso di virgolette singole o doppie è equivalente. Se un virgoletta singola è parte di una stringa alfabetica racchiusa da virgolette singole, allora deve essere inserita due volte. Analogamente, se una virgoletta doppia è parte di una stringa alfabetica racchiusa da virgolette doppie, allora deve essere inserita due volte. This is a string "This is another string" = 3 That s all "She said: ""No""" Le stringhe alfabetiche sono usate per rappresentare quantità simboliche. 2.4 Parole-chiave Una parola-chiave è una sequenza di caratteri alfabetici ed eventualmente di qualche carattere speciale. Tutte le parole chiavi ricadono in due categorie: parole chiavi riservate, che non possono essere usate come nomi simbolici, e parole chiavi non riservate, le quali se riconosciute dal contesto possono essere usate come nomi simbolici. Le parole chiavi sono: and diff if less or union by div in mod symdiff within cross else inter not then Le parole chiavi non riservate sono descritte nelle sezioni seguenti. Tutte la parole chiavi hanno un significato ben preciso, che sarà spiegato quando verrano discussi i relativi costrutti sintattici, dove le parole chiavi sono usate. 2.5 Delimitatori Un delimitatore può essere sia un singolo carattere speciale, che una sequenza di due caratteri speciali: + ^ ==! : ) - & >= && ; [ * < > := ] / <= <>... { ** =!=, ( } Se un delimitatore consiste di due caratteri, non ci può essere nessuno spazio tra i due caratteri. Tutti i delimitatori hanno un significato preciso, che sarà spiegato quando verrano discussi i costrutti sintattici in cui sono usati.

9 9 2.6 Commenti Al fine di documentare la descrizione codificata di un modello matematico si possono inserire dei commenti in due possibili forme. La prima forma è quella di un commento su di una singola linea, che comincia con il carattere # e continua sino alla fine della linea. La seconda forma è una sequenza di commenti, la quale è una sequenza qualsiasi di caratteri racchiusa tra /* e */. set s{1..10}; # This is a comment /* This is another comment */ I commenti sono ignorati dal traduttore di modello e possono apparire in qualsiasi punto della descrizione di un modello, in cui sono consentiti i caratteri di spaziatura.

10 10 3 Espressioni Un espressione è una regola per calcolare un valore. Le espressioni nella descrizione di un modello sono usate come componenti di alcune asserzioni. Nel caso più generale le espressioni consistono di operandi e operatori. Le espressioni sono classificate in base al loro valore di ritorno nel modo seguente: espressioni numeriche; espressioni simboliche; espressioni di indicizzazione; espressioni di insiemi; espressioni logiche; espressioni lineari. 3.1 Espressioni numeriche Un espressione numerica è una regola per calcolare un singolo valore numerico rappresentato come numero in virgola mobile. L espressione numerica primaria può essere una stringa numerica, un indice dummy, un parametro non indicizzato (uno scalare), un parametro con indici, un riferimento ad una funzione interna, un espressione numerica iterata, un espressione numerica condizionale, oppure un altra espressione numerica racchiusa tra parentesi stringa numerica j indice dummy time parametro non indicizzato a[ May 2003,j+1] parametro con pedice (indice) abs(b[i,j]) riferimento a funzione interna sum{i in S diff T} alpha[i] * b[i,j] espressione iterata if i in I and p >= 1 then 2 * p else q[i+1] espressione condizionale (b[i,j] +.5 * c) espressione tra parentesi Espressioni numeriche più generali contenenti due o più espressioni numeriche primarie possono essere costruite usando degli opportuni operatori aritmetici. j+1 2 * a[i-1,j+1] - b[i,j] sum{j in J} a[i,j] * x[j] + sum{k in K} b[i,k] * x[k] (if i in I and p >= 1 then 2 * p else q[i+1]) / (a[i,j] + 1.5) Stringhe numeriche. Se l espressione numerica primaria è una stringa numerica, il valore risultante è ovvio. Indici dummy. Se l espressione numerica primaria è un indice dummy, il valore risultante è il valore corrente assegnato all indice dummy. Parametri senza indici. Se l espressione numerica primaria è un parametro senza indice (che deve essere 0-dimensionale), il valore risultante è il valore del parametro.

11 11 Parametri indicizzati. L espressione numerica primaria, che si riferisce ad un parametro indicizzato, ha la seguente forma sintattica: nome[i 1,i 2,...,i n ] dove nome è il nome simbolico di un parametro, e i 1, i 2,..., i n sono indici (pedici). Ogni indice deve essere un espressione numerica o simbolica. Il numero di indici n deve essere uguale alla dimensione del parametro alla quale la lista di indici è associato. I valori delle espressioni indice sono usati per identificare un particolare membro del parametro che determina il valore risultante dell espressione primaria. Riferimenti a funzioni. In MathProg esistono le seguenti funzioni interne che possono essere utilizzate in espressioni numeriche: abs(x) valore assoluto atan(x) arctan x (in radianti) atan(y,x) arctan y/x (in radianti) card(x) cardinalità (numero di elementi) di un insieme x ceil(x) il più piccolo intero non minore di x ( ceiling of x ) cos(x) cos x (in radianti) floor(x) il più grande intero non maggiore di x ( floor of x ) exp(x) esponenziale base-e: e x length(x) lunghezza della stringa di caratteri x log(x) logaritmo naturale log x log10(x) logaritmo decimale log 10 x max(x 1,x 2,...,x n ) il massimo tra x 1,x 2,...,x n min(x 1,x 2,...,x n ) il minimo tra x 1,x 2,...,x n round(x) arrotondamento di x all intero più vicino round(x,n) arrotondamento di x a n cifre decimali sin(x) sin x (in radianti) sqrt(x) radice quadrata x trunc(x) x arrotondato all intero più vicino trunc(x,n) x arrotondato alla n-essima cifra decimale Irand224() numero intero pseudo-casuale uniformemente distribuito in [0,2 24 ) Uniform01() numero pseudo-casuale uniformemente distribuito in [0,1) Uniform(a,b) numero pseudo-casuale uniformemente distribuito in [a,b) Normal01() numero pseudo-casuale con distribuzione gaussiana µ = 0 e σ = 1 Normal(µ,σ) numero pseudo-casuale con distribuzione gaussiana µ e σ Gli argomenti di queste funzioni (ad eccezione di card e length) devono essere espressioni numeriche. L argomento di card deve essere un espressione di insiemi. L argomento di length deve essere un espressione simbolica. Il valore risultante di un espressione numerica costituita da un riferimento ad una funzione è il risultato dell applicazione della funzione ai suoi argomenti. Si consideri che ogni funzione che genera un numero pseudo-casuale ha un argomento nascosto (un suo proprio stato interno), il quale viene modificato ogni volta che viene applicata la funzione stessa. Quindi, se la funzione è applicata ripetutamente anche con argomenti identici, il valore risultante cambia ogni volta.

12 12 Espressioni iterate. un espressione numerica iterata è un espressione primaria con la seguente forma sintattica: operatore-di-iterazione espressione-di-indici integrando dove operatore-di-iterazione è il nome simbolico dell operatore di iterazione da eseguire, espressione-di-indici è un espressione la quale introduce degli indici dummy e controlla le iterazioni, l integrando è un espressione numerica che partecipa nell operazizone. In MathProg ci sono quattro operatori di iterazione che possono essere usati in espressioni numeriche: sum sommatoria (i 1,...,i x(i n) 1,...,i n ) prod produttoria (i 1,...,i x(i n) 1,...,i n ) min minimo min (i1,...,i n) x(i 1,...,i n ) max massimo max (i1,...,i n) x(i 1,...,i n ) dove i 1,...,i n sono gli indici dummy introdotti dall espressione di indici; è il domino, un insieme di n-tuple specificate dall espressione indicizzante la quale definisce particolare valori assegnati agli indici dummy durante ogni singola iterazione; e x(i 1,...,i n ) è l integrando, un espressione numerica il cui valore risultante dipende dagli indici dummy. Il valore risultante di un espressione numerica iterata è il risultato dell applicazione di un operatore di iterazione ai suoi integrandi appartenenti a tutte le n-tuple contenute nel dominio. Espressioni condizionali. un espressione numerica condizionale è un espressione numerica primaria avente la seguente forma sintattica: if b then x else y if b then x dove b è un espressione logica, ed x e y sono espressioni numeriche. Il valore risultante di un espressione condizionale dipende dal valore dell espressione logica che segue la parola-chiave if. Se il suo valore è true, il valore dell espressione condizionale è il valore dell espressione che segue la parola-chiave then. Altrimenti, se il suo valore è false, il valore dell espressione condizionale è il valore dell espressione che segue la parola-chiave else. Se si usa la forma abbreviata dell espressione condizionale e il valore dell espressione logica è false, allora il valore risultante è zero. Espressioni tra parentesi. Qualsiasi espressione numerica può essere racchiusa tra parentesi che sintatticamente la rendono un espressione numerica primaria. Le parentesi possono essere usate in espressioni numeriche, come in algebra, per specificare l ordine desiderato con il quale le operazioni devono essere eseguite. Quando si usano le parentesi, l espressione tra parentesi viene valutata prima che il suo valore di ritorno sia utilizzato. Il valore di ritorno di un espressione tra parentesi è lo stesso dell espressione racchiusa tra parentesi.

13 13 Operazioni aritmetiche. In MathProg esistono le seguenti operazioni aritmetiche, le quali possono essere usate all interno di espressioni numeriche: x + y addizione x - y sottrazione + x addizione unaria (equivalente a 0+x) - x sottrazione unaria (equiavalente a 0-x) x less y differenza positiva (i.e., if x < y then 0 else x y) x * y moltiplicazione x / y divisione x div y quoziente di una divisione esatta x mod y resto di una divisione esatta x ** y, x ^ y esponenziale (elevazione a potenza) dove x e y sono espressioni numeriche. Se l espressione ha più di un operatore aritmetico, tutte le operazione sono calcolate da sinistra a destra secondo delle regole precise di precedenza (vedi sotto) con la sola eccezzione dell esponenziale che viene eseguito da destra verso sinistra. Il valore risultante di un espressione cha ha degli operatori aritmetici, è il risultato dell applicazione degli operatori ai suoi operandi. Regole di precedenza degli operatori aritmetici. La lista seguente definisce le regole di precedenza degli operatori aritmetici: Operazione Precedenza Valutazione di funzioni (abs, ceil, etc.) 1 Esponenziale (**, ^) 2 Addizione e sottrazione unaria (+, -) 3 Moltiplicazione e sottrazzione (*, /, div, mod) 4 Operatori di iterazioni (sum, prod, min, max) 5 Adddizione e sottrazione (+, -, less) 6 Espressioni condizionali (if...then...else) 7 Queste regole di precedenza definiscono quale tra due operazioni consecutive deve essere eseguita per prima. Se il primo operatore ha una precedenza maggiore o uguale al secondo, viene valutato per primo. Altrimenti, il secondo operatore è confrontato con il terzo, e cosi via. Quando si raggiunge la fine dell espressione, tutte le operazioni rimanenti sono eseguite in ordine inverso. 3.2 Espressioni simboliche Un espressione simbolica è una regola per calcolare un singolo valore simbolico rappresentato come stringa alfabetica. L espressione simbolica primaria può essere una stringa di carattei, un indice dummy, un parametro non indicizzato (una costante), un parametro indicizzato, un riferimento ad funzione interna, un espressione condizionale simbolica, oppure un altra espressione racchiusa tra parentesi. È anche possibile usare un espressione numerica come espressione primaria simbolica, in qual caso il valore risultante di un espressione numerica è automaticamente convertita nel suo tipo simbolico.

14 14 May 2003 stringa alfabetica j indice dummy p parametro non indicizzato s[ abc,j+1] parametro indicizzato substr(name[i],k+1,3) riferimento a funzione if i in I then s[i,j] & "..." else t[i+1] espressione condizionale ((10 * b[i,j]) &.bis ) espressione tra parentesi Espressioni simboliche più generali contenenti due o più espressioni primarie simboliche possono essere costruite utilizzanto degli operatori di concatenazione. abc[ & i &, & j & ] "from " & city[i] & " to " & city[j] I principi di valutazione di espressioni simboliche sono completamente analoghi a quelli dati per le espressioni numeriche (vedi sopra). Riferimenti a funzione. In MathProg ci sono le seguenti funzioni interne che possono essere utilizzate in espressioni simboliche: substr(x,y) substr(x,y,z) sottostringa di x che inizia alla posizione y sottostringa di x che inizia alla posizione y avendo lunghezza z Il primo argomento di substr deve essere un espressione numerica, mentre gli altri due devono essere delle espressioni numeriche. Il valore risultante di un espressioni simbolica costituita da un riferimento ad una funzione, è il risultato di appplicare la funzione ai suoi argomenti. Operatori simbolici. Attualmente in MathProg ci sono gli operatori simbolici seguenti: x & y dove x e y sono espressioni simboliche. Questo operatore concatena i suoi due operandi simbolici, che possono essere delle stringhe alfabetiche. Regole di precedenza delle operazioni La lista seguente definisce le regole di precedenza degli operatori simbolici: Operazione Precedenza Valutazione delle espressioni numeriche 1 7 Concatenazione (&) 8 Valutazione condizionale (if...then...else) 9 Queste regole di precedenza hanno lo stesso significato di quelle definite nella sottosezione Espressioni numeriche.

15 Espressioni indicizzanti e indici dummy Un espressione indicizzante è una costruzione ausiliaria che specifica un insieme di n-tuple e introduce degli indici dummy, e ha due forme sintattiche: {entry 1, entry 2,..., entry m } {entry 1, entry 2,..., entry m : predicato} (5) dove entry 1, entry 2,..., entry m sono entries di indici, e predicato è un espressione logica che specifica un predicato opzionale. Ogni entries di indici può avere una delle tre forme seguenti: t in S (t 1,t 2,...,t k ) in S S (6) dove t,t 1,t 2,...,t k sono indici, ed S è un espressione-insieme (discussa nella sezione seguente) che specifica gli elementi di un insieme. Il numero di indici nella entry indicizzante deve essere lo stesso della dimensione dell insieme base S, cioè se S consiste di 1-tuple, deve essere usate la prima forma, e se S consiste di n-tuple con n > 1 deve essere usata la seconda forma. Se si utilizza la prima forma, l indice t può solo essere un indice dummy. Se invece si usa la seconda forma, gli indici t 1,t 2,...,t k possono essere degli indici dummy o delle espressioni numeriche o simboliche, dove almeno un indice deve essere un indice dummy. La terza forma indicizzante ha lo stesso effetto come se ci fossero t (se S è 1-dimensionale) o t 1,t 2,...,t k (se S è n-dimensionale) elementi tutti specificati come indici dummy. Un indice dummy è un oggetto di modello ausiliare che agisce come una singola variable. I valori assegnati agli indici dummy sono compenenti di n-tuple di insiemi base, cioè sono quantità numeriche o simboliche. A scopi di riferimento, agli indici dummy possono essere dati dei nomi simbolici. Comunque, diversamente dagli oggetti di modello (insiemi, parametri,...) non devono essere esplicitamente dichiarati. Ogni nome simbolico non dichiarato, e usato come indice, è riconosciuto come nome simbolico del corrispondente indice dummy. I nomi simbolici di indici dummy sono validi solo all interno della visibilità delle espressioni indicizzanti, dove gli indici dummy sono introdotti. Al di fuori della loro visibilità gli indici dummy sono completamente inaccesibili, cosi che gli stessi nomi simbolici posson essere usati per altri scopi, in particolare per rappresentare indici dummy di altre espressioni indicizzanti. La visibilità di espressioni indicizzanti, dove la dicharazione implicita di indici dummy rimane valida, dipende dal contesto nel quale l espressione indicizzante è usata: 1. Se l espressione indicizzante è usata in operator di iterazione, la sua visibilità si estende sino alla fine dell integrando. 2. Se l espressione indicizzante è usata come espressione di insiemi primaria, la sua visibilità si estende sino alla fine della stessa espressione indicizzante. 3. Se l espressione indicizzante è usata per definire il dominio degli indici nella dichiarazione di qualche oggetto di modello, la sua visibilità si estende sino alla fine dell asserzione corrispondente. Il meccanismo di indicizzazione realizzato tramite le espressioni indicizzanti è spiegato meglio attraverso gli esempi mostrati sotto

16 16 Supponiamo di avere tre insiemi: A = {4,7,9} B = {(1,Jan),(1,Feb),(2,Mar),(2,Apr),(3, May),(3,Jun)} C = {a,b,c} (7) dove A e C consistono di 1-tuple (singoli valori), B consiste di 2-tuple (coppie). Considera la seguente espressione indicizzante: {i in A, (j,k) in B, l in C} (8) dove i, j, k, e l sono indici dummy. Anche se MathProg non è un linguaggio procedurale, per ogni espressione indicizzante può essere date una descrizione algoritmica-procedurale. In particolare, la descrizione algoritmica dell espressione indicizzante (8) è la seguente: for all i A do for all (j,k) B do for all l C do azione; dove agli indici dummy i, j, k, l sono assegnati consecutivamente gli elementi corrispondenti delle n-tuple dagli insiemi base A, B, C, e azione è una qualche azione che dipende dal contesto in cui l espressione indicizzante è usata. Per esempio, se l azione fosse la stampa a video dei valori correnti degli indici dummy, vedremmo: i = 4 j = 1 k = Jan l = a i = 4 j = 1 k = Jan l = b i = 4 j = 1 k = Jan l = c i = 4 j = 1 k = Feb l = a i = 4 j = 1 k = Feb l = b i = 9 j = 3 k = Jun l = b i = 9 j = 3 k = Jun l = c Suppponiamo di usare l espressione indicizzante (8) nella seguente operazione di iterazione: sum{i in A, (j,k) in B, l in C} p[i,j,k,l] ** 2 (9) dove p[i, j, k, l] può essere un parametro numerico 4-dimensionale oppure qualche espressione numerica il cui valore risultante dipende da i, j, k, e l. In questo caso l azione è una somma, e il valore risultante dell espressione numerica primaria (9) è : i A,(j,k) B,l C (p ijkl ) 2. Ora supponiamo che l espressione indicizzante (8) sia utilizzata come espressione primaria di insieme. In questo caso l azione è di raccogliere tutte le 4-tuple (quadruple) della forma (i, j, k, l) in un singolo insieme, il cui valore risulatante è semplicemente il prodotto cartesiano: A B C = {(i,j,k,l) i A,(j,k) B,l C}.

17 17 Si noti che in questo caso la stessa espressione indicizzante può essere scritta nella forma ridotta: {A, B, C} perchè gli indici dummy i,j,k,l non sono utilizzati e quindi il loro nome simbolico non è necessario. Infine, supponiamo che l espressione indicizzante (8) sia usata come il dominio di indici nella dichiarazione di un oggetto di modello 4-dimensionale, per esempio, di un parametro numerico: par p{i in A, (j,k) in B, l in C}... ; In questo caso l azione è di generare i membri del parametro, dove ogni membro ha la forma p[i, j, k, l]. Come detto prima, alcuni indici in (6) possono essere espressioni numeriche o simboliche, ma non indici dummy. In questo caso il valore risultante di tale espressione gioca il ruolo di qualche condizione logica di selezionare solo le n-tuple dal prodotto Cartesiano degli insiemi base, le quali soddisfano queste condizioni. Considera, per esempio, l espressione indicizzante seguente: {i in A, (i-1,k) in B, l in C} (10) dove i, k, l sono indici dummy, e i 1 è un espressione numerica. La descrizione algoritmica dell espressione indicizzante (10) è la seguente: for all i A do for all (j,k) B and j = i 1 do for all l C do action; Quindi, se l espressione indicizzante (10) è usata come set primario di base, il valore risultante è il seguente: {(4,May,a),(4,May,b),(4,May,c), (4,Jun,a),(4,Jun,b),(4,Jun,c)} Si noti che in questo caso l insieme risultante consiste di triple, e non di quadruple, perchè nell espressione indicizante (10) non c è un indice dummy che corrisponde al primo elemento delle coppie appartenenti all insieme B. La regola generale è : il numero di componenti di n-tuple definito da un espressione indicizzante è lo stesso del numero di indici dummy introdotti da quell espressione indicizzante, dove la corrispondenza tra indici dummy e componenti nelle n-tuple nell insieme risultante è posizionale, cioè il primo indice dummy corrisponde al primo elemento, il secondo indice dummy corrisponde al secondo elemento, e cosi via. In molti casi è necessario selezionare un sottoinsieme del prodotto Cartesiano di alcuni insiemi. Questo può essere ottenuto usando un predicato logico opzionale, il quale è specificato nell espressione indicizzante dopo l ultima o l unica entry indicizzante. Considera, per esempio, la seguente espressione indicizzante: {i in A, (j,k) in B, l in C: i <= 5 and k <> Mar } (11) dove l espressione logica che segue i due punti è un predicato. La descrizione algoritmica di questa espressione indicizzante è la seguente:

18 18 for all i A do for all (j,k) B do for all l C do if i 5 and k Mar then action; Quindi, se l espressione indicizzante (11) è usata come espressione primaria di un insieme, l insieme risultante è il seguente: {(4,1,Jan,a),(4,1,Feb,a),(4,2,Apr,a),...,(4,3,Jun,c)}. Se nessun predicato è specificato nell espressione indicizzante, ne è presente uno implicito di valore true. 3.4 Espressioni di insiemi Un espressione di insiemi è una regola per calcolare un insieme di elementi, ossia una collezione di n-tuple, dove i componenti delle n-tuple sono quantità numeriche o simboliche. L espressione primaria di insieme può essere un insieme alfa-numerico, un insieme non indicizzato, un insieme indicizzato, un insieme aritmetico, un espressione indicizzante, un espressione di insieme iterata, un espressione di insieme condizionale, o un altra espressione di insieme racchiusa tra parentesi. {(123, aaa ), (i+1, bbb ), (j-1, ccc )} insieme alfa-numerico I insieme non indicizzato S[i-1,j+1] insieme indicizzato 1..t-1 by 2 insieme aritmetico {t in 1..T, (t+1,j) in S: (t,j) in F} espressione indicizzante setof{i in I, j in J}(i+1,j-1) espressione iterata di insieme if i < j then S[i,j] else F diff S[i,j] espressione di insiemi condizionale (1..10 union ) espressione di insiemi tra parentesi Espressioni di insiemi più generali contenti due o più espressione primari di insiemi possono essere costruite usando alcuni operatori su insiemi. (A union B) inter (I cross J) cross (if i < j then { a, b, c } else { d, e, f }) Insiemi alfa-numerici. Un insieme alfa-numerico è un espressione primaria di insieme, la quale ha una delle due seguenti forme sintattiche: {e 1,e 2,...,e m } {(e 11,...,e 1n ),(e 21,...,e 2n ),...,(e m1,...,e mn )} dove e 1,..., e m, e 11,..., e mn sono espressioni numeriche o simboliche. Se si usa la prima forma, l insieme risultante consiste di 1-tuple enumerate all interno delle parentesi graffe. Si può specificare un insieme vuoto non avente 1-tuple. Se si usa la seconda forma, l insieme risultante consiste di n-tuple enumerate all interno delle parentesi graffe, dove una particolare n-tupla consiste degli elementi corrispondenti enumerati tra parentesi. Tutte le n-tuple devono avere lo stesso numero di componenti.

19 19 Insiemi non indicizzati. Se l espressione primaria di insieme è un insieme non indicizzato (il quale deve essere 0-dimensionale), l insieme risultante è un insieme di elementi associato con il corrispondente oggetto insieme. Insieme indicizzato. L espressione primaria di insieme, che si riferisce ad un insieme indicizzato, ha la seguente forma sintattica: nome[i 1,i 2,...,i n ] dove nome è un nome simbolico dell oggetto insieme, e i 1, i 2,..., i n sono i pedici (indici). Ogni pedice deve essere un espressione numerica o simbolica. Il numero di pedici nella lista di pedici deve essere della stessa dimensione dell oggetto insieme alla quale la lista è associata. I valori correnti delle espressioni di pedici sono usate per identificare un particolare membro dell insieme oggetto che determina l insieme risultante. Insiemi aritmetici. L espressione primaria di insieme, che costituisce un insieme aritmetico, ha una delle due seguenti forme sintattiche: t 0.. t f by δt t 0.. t f dove t 0, t 1, e δt sono espressioni numeriche (il valore di δt deve essere diverso da zero). La seconda forma è equivalente alla prima con δt = 1. Se δt > 0, l insieme risultante è determinato nel modo seguente: {t : k Z(t = t 0 + kδt, t 0 t t f )} Se δt < 0, l insieme risultante è determinato come segue: {t : k Z(t = t 0 + kδt, t f t t 0 )} Espressioni indicizzanti. Se l espressioni primaria di insieme è un espressione indicizzante, l insieme risultante è determinato come descritto nella sezione Espressioni indicizzanti e indici dummy (vedi sopra). Espressioni di iterazione. un espressione di insieme di iterazione è un espressione primaria di insieme avente una delle due forme seguenti: setof espressione-indicizzante integrando dove l espressione-indicizzante introduce gli indici dummy e controlla le iterazioni, l integrando è o un singolo valore numerico o simbolica, oppure una lista di espressioni numeriche o simboliche separate da virgole e racchiuse tra parentesi. Se l integrando è una singola espressione numerica o simbolica, l insieme risultante è costituito da 1-tuple ed è calcolato come segue: {x : (i 1,...,i n ) },

20 20 dove x è una valore dell integrando, i 1,...,i n sono indici dummy introdotti nell espressione indicizzante, è il dominio, un insieme di n-tuple specificato dall espressione indicizzante che definisce i valori specifici assegnati agli indici dummy durante l eseguzione dell operazione di iterazione. Se l integrando è una lista contente m espressioni numeriche o simboliche, l insieme risultante consiste di m-tuple ed è determinata come segue: {(x 1,...,x m ) : (i 1,...,i n ) }, dove x 1,...,x m sono valori di espressioni nella lista degli integrandi, i 1,...,i n e hanno lo stesso significato visto prima. Espressioni condizionali. Un espressione condizionale di insieme è un espressione primaria di insieme avente la seguente forma sintattica: if b then X else Y dove b è un espressione logica, X e Y sono espressioni di insieme, le quali devono definire insiemi della stessa dimensione. Il valore risultante delle espressione condizionale dipende dal valore dell espressione logica dell espressione condizionale che segue la parola-chiave if. Se il valore è true, l insieme risultante è il valore dell espressione che segue la parola-chiave then. Altrimenti, se l espressione logica assume il valore false, l insieme risultante è il valore dell espressione che segue la parola-chiave else. Espressioni tra parentesi. Qualsiasi espressione di insieme può essere racchiusa tra parentesi e diventare un espressione primaria di insieme. Le parentesi possono essere usate in espressioni di insiemi, come in algebra, per specificare l ordine desiderato in cui le operazioni deveno essere esguite. Dove le parentesi sono usate, l espressioni tra parentesi sono valutate prima di usare il valore di ritorno. Il valore risultante di un espressione tra parentesi è lo stesso del valore dell espressione racchiusa tra parentesi. Operatori di insieme. In MathProg ci sono i seguenti operatori di insieme che possono essere usati in espressioni di insiemi: X union Y X diff Y X symdiff Y X inter Y X cross Y unione X Y differenza X\Y differenenza simmetrica X Y intersezione X Y prodotto Cartesiano X Y dove X e Y sono espressioni di insiemi, i quali devono definire insiemi della stessa dimensione (ad eccezione del prodotto cartesiano). Se l espressione ha più di un operatore di insieme, tutti gli operatori sono eseguiti da sinistra verso destro secondo le regole di precedenza definite nel prossimo paragrafo (vedi sotto). Il valore risultante dell espressione, contenente degli operatori di insieme, è il risultato dell applicazione degli operatori ai loro operandi.

Breve guida all uso di AMPL

Breve guida all uso di AMPL Breve guida all uso di AMPL Renato Bruni AMPL (A Modeling Language for Mathematical Programming) è un linguaggio di modellazione per la programmazione matematica. Serve ad esprimere un problema di ottimizzazione

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione Gli algoritmi Analisi e programmazione Gli algoritmi Proprietà ed esempi Costanti e variabili, assegnazione, istruzioni, proposizioni e predicati Vettori e matrici I diagrammi a blocchi Analisi strutturata

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

Appunti di Logica Matematica

Appunti di Logica Matematica Appunti di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Una proposizione è un affermazione che esprime un valore di verità, cioè una affermazione che è VERA oppure FALSA. Ad esempio: 5

Dettagli

Elementi di informatica

Elementi di informatica Elementi di informatica Sistemi di numerazione posizionali Rappresentazione dei numeri Rappresentazione dei numeri nei calcolatori rappresentazioni finalizzate ad algoritmi efficienti per le operazioni

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 1 RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 Numeri Binari 2 Sistemi di Numerazione Il valore di un numero può essere espresso con diverse rappresentazioni. non posizionali:

Dettagli

Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002

Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002 Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002 Tutti i tipi di dato utilizzati dal Matlab sono in forma di array. I vettori sono array monodimensionali, e così possono essere viste le serie temporali,

Dettagli

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA LA NOTAZIONE SCIENTIFICA Definizioni Ricordiamo, a proposito delle potenze del, che = =.000 =.000.000.000.000 ovvero n è uguale ad seguito da n zeri. Nel caso di potenze con esponente negativo ricordiamo

Dettagli

(anno accademico 2008-09)

(anno accademico 2008-09) Calcolo relazionale Prof Alberto Belussi Prof. Alberto Belussi (anno accademico 2008-09) Calcolo relazionale E un linguaggio di interrogazione o e dichiarativo: at specifica le proprietà del risultato

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

Algebra Relazionale. algebra relazionale

Algebra Relazionale. algebra relazionale Algebra Relazionale algebra relazionale Linguaggi di Interrogazione linguaggi formali Algebra relazionale Calcolo relazionale Programmazione logica linguaggi programmativi SQL: Structured Query Language

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

Introduzione agli algoritmi e alla programmazione in VisualBasic.Net

Introduzione agli algoritmi e alla programmazione in VisualBasic.Net Lezione 1 Introduzione agli algoritmi e alla programmazione in VisualBasic.Net Definizione di utente e di programmatore L utente è qualsiasi persona che usa il computer anche se non è in grado di programmarlo

Dettagli

Lab. 1 - Introduzione a Matlab

Lab. 1 - Introduzione a Matlab Lab. 1 - Introduzione a Matlab Alcune informazioni su Matlab Matlab è uno strumento per il calcolo scientifico utilizzabile a più livelli, dalla calcolatrice tascabile, alla simulazione ed analisi di sistemi

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Algebra di Boole ed Elementi di Logica

Algebra di Boole ed Elementi di Logica Algebra di Boole ed Elementi di Logica 53 Cenni all algebra di Boole L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 8), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni

Dettagli

Quando A e B coincidono una coppia ordinata é determinata anche dalla loro posizione.

Quando A e B coincidono una coppia ordinata é determinata anche dalla loro posizione. Grafi ed Alberi Pag. /26 Grafi ed Alberi In questo capitolo richiameremo i principali concetti di due ADT che ricorreranno puntualmente nel corso della nostra trattazione: i grafi e gli alberi. Naturale

Dettagli

Corso di Fondamenti di Informatica

Corso di Fondamenti di Informatica Corso di Fondamenti di Informatica L uso delle funzioni in C++ Claudio De Stefano - Corso di Fondamenti di Informatica 1 Funzioni Nel C++ è possibile scomporre problemi complessi in moduli più semplici

Dettagli

STRUTTURE (O COSTRUTTI) DI CONTROLLO

STRUTTURE (O COSTRUTTI) DI CONTROLLO Le strutture di controllo Le strutture di controllo STRUTTURE (O COSTRUTTI) DI CONTROLLO determinano l ordine con cui devono essere eseguite le istruzioni sono indipendenti dalla natura delle istruzioni

Dettagli

Esercitazioni su rappresentazione dei numeri e aritmetica dei calcolatori"

Esercitazioni su rappresentazione dei numeri e aritmetica dei calcolatori Esercitazioni su rappresentazione dei numeri e aritmetica dei calcolatori" slide a cura di Salvatore Orlando & Marta Simeoni " Architettura degli Elaboratori 1 Interi unsigned in base 2" Si utilizza un

Dettagli

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t.

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t. Il programma MATLAB In queste pagine si introduce in maniera molto breve il programma di simulazione MAT- LAB (una abbreviazione di MATrix LABoratory). Introduzione MATLAB è un programma interattivo di

Dettagli

Manipolazione di testi: espressioni regolari

Manipolazione di testi: espressioni regolari Manipolazione di testi: espressioni regolari Un meccanismo per specificare un pattern, che, di fatto, è la rappresentazione sintetica di un insieme (eventualmente infinito) di stringhe: il pattern viene

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

Materiale di approfondimento: numeri interi relativi in complemento a uno

Materiale di approfondimento: numeri interi relativi in complemento a uno Materiale di approfondimento: numeri interi relativi in complemento a uno Federico Cerutti AA. 2011/2012 Modulo di Elementi di Informatica e Programmazione http://apollo.ing.unibs.it/fip/ 2011 Federico

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Descrizioni VHDL Behavioral

Descrizioni VHDL Behavioral 1 Descrizioni VHDL Behavioral In questo capitolo vedremo come la struttura di un sistema digitale è descritto in VHDL utilizzando descrizioni di tipo comportamentale. Outline: process wait statements,

Dettagli

Così come le macchine meccaniche trasformano

Così come le macchine meccaniche trasformano DENTRO LA SCATOLA Rubrica a cura di Fabio A. Schreiber Il Consiglio Scientifico della rivista ha pensato di attuare un iniziativa culturalmente utile presentando in ogni numero di Mondo Digitale un argomento

Dettagli

Le funzioni di shell La bash supporta la programmazione procedurale e prevede la possibilità di definire funzioni utilizzando le sintassi

Le funzioni di shell La bash supporta la programmazione procedurale e prevede la possibilità di definire funzioni utilizzando le sintassi Le funzioni di shell La bash supporta la programmazione procedurale e prevede la possibilità di definire funzioni utilizzando le sintassi alternative: function nome { lista-comandi } oppure nome ( ) {

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

Algebra di Boole: Concetti di base. Fondamenti di Informatica - D. Talia - UNICAL 1. Fondamenti di Informatica

Algebra di Boole: Concetti di base. Fondamenti di Informatica - D. Talia - UNICAL 1. Fondamenti di Informatica Fondamenti di Informatica Algebra di Boole: Concetti di base Fondamenti di Informatica - D. Talia - UNICAL 1 Algebra di Boole E un algebra basata su tre operazioni logiche OR AND NOT Ed operandi che possono

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

Arduino: Programmazione

Arduino: Programmazione Programmazione formalmente ispirata al linguaggio C da cui deriva. I programmi in ARDUINO sono chiamati Sketch. Un programma è una serie di istruzioni che vengono lette dall alto verso il basso e convertite

Dettagli

Abstract Data Type (ADT)

Abstract Data Type (ADT) Abstract Data Type Pag. 1/10 Abstract Data Type (ADT) Iniziamo la nostra trattazione presentando una nozione che ci accompagnerà lungo l intero corso di Laboratorio Algoritmi e Strutture Dati: il Tipo

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Prolog: aritmetica e ricorsione

Prolog: aritmetica e ricorsione Capitolo 13 Prolog: aritmetica e ricorsione Slide: Aritmetica e ricorsione 13.1 Operatori aritmetici In logica non vi è alcun meccanismo per la valutazione di funzioni, che è fondamentale in un linguaggio

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1 DIAGRAMMI A BLOCCHI TEORIA ED ESERCIZI 1 1 Il linguaggio dei diagrammi a blocchi è un possibile formalismo per la descrizione di algoritmi Il diagramma a blocchi, o flowchart, è una rappresentazione grafica

Dettagli

Se log a. b = c allora: A) a b = c B) c a = b C) c b = a D) b c = a E) a c = b. L espressione y = log b x significa che:

Se log a. b = c allora: A) a b = c B) c a = b C) c b = a D) b c = a E) a c = b. L espressione y = log b x significa che: MATEMATICA 2005 Se log a b = c allora: A) a b = c B) c a = b C) c b = a D) b c = a E) a c = b L espressione y = log b x significa che: A) y é l esponente di una potenza di base b e di valore x B) x è l

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem)

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Raccolta di Esercizi di Matematica Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Contenuti: 8-1. L ordine Algebrico delle Operazioni 8-2. Problemi sulle Percentuali 8-3. Le Forme Standard e Point-Slope

Dettagli

Estensione di un servizo di messaggistica per telefonia mobile (per una società di agenti TuCSoN)

Estensione di un servizo di messaggistica per telefonia mobile (per una società di agenti TuCSoN) Estensione di un servizo di messaggistica per telefonia mobile (per una società di agenti TuCSoN) System Overview di Mattia Bargellini 1 CAPITOLO 1 1.1 Introduzione Il seguente progetto intende estendere

Dettagli

Excel basi e funzioni

Excel basi e funzioni Esercitazione di Laboratorio Excel basi e funzioni Contenuto delle celle 1. Testo 2. Numeri 3. Formule Formattazione delle celle (1) Formattazione del testo e dei singoli caratteri: Orientamento a 45 Allineamento

Dettagli

Tipicamente un elaboratore è capace di trattare domini di dati di tipi primitivi

Tipicamente un elaboratore è capace di trattare domini di dati di tipi primitivi TIPI DI DATO Tipicamente un elaboratore è capace di trattare domini di dati di tipi primitivi numeri naturali, interi, reali caratteri e stringhe di caratteri e quasi sempre anche collezioni di oggetti,

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

Strutture. Strutture e Unioni. Definizione di strutture (2) Definizione di strutture (1)

Strutture. Strutture e Unioni. Definizione di strutture (2) Definizione di strutture (1) Strutture Strutture e Unioni DD cap.10 pp.379-391, 405-406 KP cap. 9 pp.361-379 Strutture Collezioni di variabili correlate (aggregati) sotto un unico nome Possono contenere variabili con diversi nomi

Dettagli

Linguaggio del calcolatore. Algebra di Boole AND, OR, NOT. Notazione. And e or. Circuiti e reti combinatorie. Appendice A + dispense

Linguaggio del calcolatore. Algebra di Boole AND, OR, NOT. Notazione. And e or. Circuiti e reti combinatorie. Appendice A + dispense Linguaggio del calcolatore Circuiti e reti combinatorie ppendice + dispense Solo assenza o presenza di tensione: o Tante componenti interconnesse che si basano su e nche per esprimere concetti complessi

Dettagli

Esercizi Capitolo 5 - Alberi

Esercizi Capitolo 5 - Alberi Esercizi Capitolo 5 - Alberi Alberto Montresor 19 Agosto, 2014 Alcuni degli esercizi che seguono sono associati alle rispettive soluzioni. Se il vostro lettore PDF lo consente, è possibile saltare alle

Dettagli

VC-dimension: Esempio

VC-dimension: Esempio VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio

Dettagli

Programmazione Funzionale

Programmazione Funzionale Programmazione Funzionale LP imperativi: apparenza simile modello di progettazione = macchina fisica Famiglia dei LP imperativi = progressivo miglioramento del FORTRAN Obiezione: pesante aderenza dei LP

Dettagli

Istruzioni per il controllo di ciclo - ciclo a condizione generica

Istruzioni per il controllo di ciclo - ciclo a condizione generica Istruzioni per il controllo di ciclo - ciclo a condizione generica Permette di ripetere l esecuzione di un blocco di istruzioni finchè non viene verificata una condizione logica. Sintassi istruzione_1...

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi Evelina De Gregori Alessandra Rotondi al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze per la Scuola secondaria di primo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Test d'ingresso NUMERI

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Esercizi sull Association Analysis

Esercizi sull Association Analysis Data Mining: Esercizi sull Association Analysis 1 Esercizi sull Association Analysis 1. Si consideri il mining di association rule da un dataset T di transazioni, rispetto a delle soglie minsup e minconf.

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

Esempi di algoritmi. Lezione III

Esempi di algoritmi. Lezione III Esempi di algoritmi Lezione III Scopo della lezione Implementare da zero algoritmi di media complessità. Verificare la correttezza di un algoritmo eseguendolo a mano. Imparare a valutare le prestazioni

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Indicizzazione terza parte e modello booleano

Indicizzazione terza parte e modello booleano Reperimento dell informazione (IR) - aa 2014-2015 Indicizzazione terza parte e modello booleano Gruppo di ricerca su Sistemi di Gestione delle Informazioni (IMS) Dipartimento di Ingegneria dell Informazione

Dettagli

Introduzione a MySQL

Introduzione a MySQL Introduzione a MySQL Cinzia Cappiello Alessandro Raffio Politecnico di Milano Prima di iniziare qualche dettaglio su MySQL MySQL è un sistema di gestione di basi di dati relazionali (RDBMS) composto da

Dettagli

ALGORITMI 1 a Parte. di Ippolito Perlasca. Algoritmo:

ALGORITMI 1 a Parte. di Ippolito Perlasca. Algoritmo: ALGORITMI 1 a Parte di Ippolito Perlasca Algoritmo: Insieme di regole che forniscono una sequenza di operazioni atte a risolvere un particolare problema (De Mauro) Procedimento che consente di ottenere

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

I FILTRI SED, GREP (e AWK) Tratto da http://www.pluto.it/files/ildp/guide/abs/textproc.html SED

I FILTRI SED, GREP (e AWK) Tratto da http://www.pluto.it/files/ildp/guide/abs/textproc.html SED I FILTRI SED, GREP (e AWK) Tratto da http://www.pluto.it/files/ildp/guide/abs/textproc.html SED SED è un programma in grado di eseguire delle trasformazioni elementari in un flusso di dati di ingresso,

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Funzioni. Corso di Fondamenti di Informatica

Funzioni. Corso di Fondamenti di Informatica Dipartimento di Informatica e Sistemistica Antonio Ruberti Sapienza Università di Roma Funzioni Corso di Fondamenti di Informatica Laurea in Ingegneria Informatica (Canale di Ingegneria delle Reti e dei

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Un ripasso di aritmetica: Conversione dalla base 10 alla base 16

Un ripasso di aritmetica: Conversione dalla base 10 alla base 16 Un ripasso di aritmetica: Conversione dalla base 1 alla base 16 Dato un numero N rappresentato in base dieci, la sua rappresentazione in base sedici sarà del tipo: c m c m-1... c 1 c (le c i sono cifre

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Ricapitoliamo. Ricapitoliamo

Ricapitoliamo. Ricapitoliamo Ricapitoliamo Finora ci siamo concentrati sui processi computazionali e sul ruolo che giocano le procedure nella progettazione dei programmi In particolare, abbiamo visto: Come usare dati primitivi (numeri)

Dettagli

4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO

4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO 4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO 4.0. Esponenziale. Nella prima sezione abbiamo definito le potenze con esponente reale. Vediamo ora in dettaglio le proprietà della funzione esponenziale a,

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Informatica Applicata

Informatica Applicata Ing. Irina Trubitsyna Concetti Introduttivi Programma del corso Obiettivi: Il corso di illustra i principi fondamentali della programmazione con riferimento al linguaggio C. In particolare privilegia gli

Dettagli

1) Le Espressioni regolari

1) Le Espressioni regolari ESPRESSIONI REGOLARI e FILTRI SED, GREP e AWK 1) Le Espressioni regolari Un'espressione regolare è un modello che descrive un insieme di stringhe. Le espressioni regolari sono costruite, in maniera analoga

Dettagli

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati 1 Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati Esercizi sulla Tecnica Divide et Impera N.B. Tutti gli algoritmi vanno scritti in pseudocodice (non in Java, né in C++, etc. ). Di tutti gli algoritmi

Dettagli

ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE

ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE O B I E T T I V I M I N I M I P E R L A S C U O L A P R I M A R I A E S E C O N D A R I A D I P R I M O G R A D O ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE Ascoltare e comprendere semplici consegne operative Comprendere

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

IL LINGUAGGIO C++ Configurazione di Dev-C++

IL LINGUAGGIO C++ Configurazione di Dev-C++ IL LINGUAGGIO C++ Note sull'uso di DevC++ Requisiti di sistema per Dev-C++ - Sistema operativo Microsoft Windows 95, 98, Millenium Edition, NT 4, 2000 o XP - RAM: 8 Mb (consigliati almeno 32 Mb) - CPU:

Dettagli

Logica del primo ordine

Logica del primo ordine Università di Bergamo Facoltà di Ingegneria Intelligenza Artificiale Paolo Salvaneschi A7_4 V1.3 Logica del primo ordine Il contenuto del documento è liberamente utilizzabile dagli studenti, per studio

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli