GNU Linear Programming Kit

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1 GNU Linear Programming Kit Modeling Language GNU MathProg Versione 4.11 (Draft Edition, July 2006) (Traduzione in italiano, agosto 2007)

2 2 The GLPK package is part of the GNU Project released under the aegis of GNU. Copyright c 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006 Andrew Makhorin, Department for Applied Informatics, Moscow Aviation Institute, Moscow, Russia. All rights reserved. Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA , USA. Permission is granted to make and distribute verbatim copies of this manual provided the copyright notice and this permission notice are preserved on all copies. Permission is granted to copy and distribute modified versions of this manual under the conditions for verbatim copying, provided also that the entire resulting derived work is distributed under the terms of a permission notice identical to this one. Permission is granted to copy and distribute translations of this manual into another language, under the above conditions for modified versions.

3 3 Indice 1 Introduzione Problema di programmazione lineare Oggetti di un modello Struttura della descrizione di un modello Codifica della descrizione di un modello Nomi simbolici Stringhe numeriche Stringhe alfabetiche Parole-chiave Delimitatori Commenti Espressioni Espressioni numeriche Espressioni simboliche Espressioni indicizzanti e indici dummy Espressioni di insiemi Espressioni logiche Espressioni lineari Asserzioni Asserzione di insieme Asserzione di parametro Asserzione di variabile Asserzione di vincoli (lineari) Asserzione della funzione obiettivo Asserzione di soluzione Asserzione di controllo (check) Asserzione di display Asserzione di printf Asserzione di for Definizione dei dati di un modello Codifica della sezione dati Blocco dati di insiemi Blocco dati di parametro A Uso del traduttore di MathProg con le API di GLPK 45 B Risoluzione di modelli con il solver glpsol 46 C Esempio di descrizione di modello 47 C.1 Descrizione di modello scritto in GNU MathProg C.2 Problema LP generato C.3 Soluzione ottima del problem LP generato

4 4 1 Introduzione GNU MathProg è un linguaggio di modeling che permette di descrivere modelli matematici di programmazione lineare 1. La descrizione di un modello scritto nel linguaggio GNU MathProg consiste in un insieme di asserzioni (statements) e di blocchi di dati definiti dall utente usando gli elementi del linguaggio descritto in questo documento. Un programma, chiamato traduttore di modello, analizza il modello descritto con il linguaggio GNU MathProg e lo traduce in strutture dati interne, le quali possono essere usate sia per generare un instanza di un problema di programmazione matematica, sia per ottenere una soluzione numerica del problema. Per ottenere una soluzione numerica si deve usare un altro programma chiamato solver (risolutore). 1.1 Problema di programmazione lineare In MathProg si considera la formulazione di programmazione lineare (LP, Linear Programming) seguente: minimize (maximize) Z = c 1 x m+1 + c 2 x m c n x m+n + c 0 (1) rispettando i vincoli lineari: x 1 = a 11 x m+1 + a 12 x m a 1n x m+n x 2 = a 21 x m+1 + a 22 x m a 2n x m+n (2) x m = a m1 x m+1 + a m2 x m a mn x m+n e i limite (bounds) sulle variabili: l 1 x 1 u 1 l 2 x 2 u 2... l m+n x m+n u m+n (3) dove: x 1,x 2,...,x m sono variabili ausiliarie; x m+1,x m+2,...,x m+n sono variabili strutturali; Z è la funzione obiettivo; c 1,c 2,...,c n sono i coefficienti della funzione obiettivo; c 0 è il termine costante della funzione obiettivo; a 11, a 12,..., a mn sono i coefficienti dei vincoli; l 1,l 2,...,l m+n sono i lower bounds delle variabili; u 1,u 2,...,u m+n sono i upper bounds delle variabili. I bounds delle variabili possono essere sia limitati che illimitati. Inoltre, i bounds di una variabile potrebbero essere uguali tra loro. Quindi, i seguenti tipi di variabili sono possibili: Bounds di una variabile < x k < + l k x k < + < x k u k l k x k u k l k = x k = u k Tipo di variabile Variabile libera e illimitata Variabile con lower bound Variabile con upper bound Variabile con doppio bound Variabile fissata 1 Il linguaggio GNU MathProg è un sottoinsieme del linguaggio AMPL.

5 5 I tipi di variabili mostrati sopra sono validi sia per le variabili strutturalli che le variabili ausiliarie. Oltre a problemi di programmazione lineare puri, MathProg permette di definire problemi di programmazione lineare intera (MIP, Mathematical Integer Programming), dove alcune (o tutte) tra le variabili strutturali sono vincolate ad assumere valori interi. 1.2 Oggetti di un modello In MathProg il modello è descritto in termini di insiemi, parametri, variabili, vincoli, e obiettivi, che sono chiamati gli oggetti di un modello. L utente introduce dei particolari oggetti del modello usando le asserzioni del linguaggio. Ogni oggetto di un modello ha associato un nome simbolico che lo identifica unicamente ed è usato come riferimento all oggetto stesso. Gli oggetti di un modello, compresi gli insiemi, possono essere vettori multidimensionali indicizzati da elementi di un insieme. Formalmente, il vettore n-dimensionali A è la funzione: A : Ξ, (4) dove S 1 S 2... S n è un sottoinsieme del prodotto Cartesiano degli insiemi indice, ed Ξ è un insieme degli elementi del vettore. In MathProg l insieme è chiamato dominio dei pedici (subscript domain). I suoi elementi sono n-tuple (i 1,i 2,...,i n ), dove i 1 S 1, i 2 S 2,..., i n S n. Se n = 0, il prodotto cartesiano (4) ha esattamente un elemento (la 0-tupla), cosi che si può pensare ad oggetti scalari come vettori 0-dimensionali che hanno un solo elemento. Il tipo di elementi di un vettore è determinato dal tipo del corrispondente oggetto di modello come segue: Oggetto di modello Set Parameter Variable Constraint Objective Elemento del vettore Membro dell insieme Numero o simbolo Variabile strutturale Vincolo Funzione obiettivo Per poter accedere ad un particolare membro di un oggetto, l oggetto stesso deve essere provvisto di un pedice. Per esempio, se a è un vettore di parametri a due dimensioni costruito sul prodotto Cartesiano I J, un riferimento al suo particolare membro può essere scritto come a[i,j], dove i I e j J sono gli indici. Gli oggetti scalari essendo a 0-dimensione non hanno bisogno di pedici. 1.3 Struttura della descrizione di un modello È spesso auspicabile descrivere un modello che può usare dati diversi per ogni istanza di problema che si può risolvere usando quel modello. Per questo motivo in MathProg la descrizione del modello consiste di due parti: la sezione di modello e la sezione dati. Sezione di modello è la parte principale di descrizione del modello che contiene la dichiarazione degli oggetti di modello ed è comune per tutti i problemi che corrispondono a quel modello matematico. Sezione dati è una parte opzionale della descrizione del modello che contiene dati specifici per una particolare istanza del problema descritto dal modello.

6 6 Le sezione di modello e di dati possono essere incluse nello stesso file oppure in due file separati. Di solito conviene avere due file separati in modo da poter definire più istanze di uno stesso modello matematico, riutilizzando la stessa sezione di modello.

7 7 2 Codifica della descrizione di un modello La descrizione di un modello è codificata in semplice formato testo usando solo alcuni caratteri ASCII. I caratteri che possono essere usati nella descrizione di un modello sono i seguenti: i caratteri dell alfabeto (inglese): A B... Z a b... z _ i caratteri numerici: i caratteri speciali:! " # & ( ) * +, -. / : ; < = > [ ] ^ { } i caratteri di spaziatura (white-spaces): SP HT CR NL VT FF All interno dei commenti si può usare qualsiasi carattere ASCII (a parte i caratteri di controllo). I caratteri di spaziatura vengono ignorati, ma possono essere usati liberamente per migliorare la leggibilità della descrizione di un modello. Sintatticamente la descrizione di un modello è una sequenza di unità lessicali appartenenti ad una delle seguenti categorie: nomi simbolici; stringhe numeriche; stringhe alfabetiche; parole chiavi; delimitatori; commenti. Le unità lessicali del linguaggio sono descritte nei prossimi paragrafi. 2.1 Nomi simbolici I nomi simbolici consistono di stringhe di caratteri alfabetici e numerici, in cui il primo carattere deve essere obbligatoriamente alfabetico. Tutti i nomi simbolici sono diversi e case sensitive. alpha123 This_is_a_name _P123_abc_321 I nomi simbolici sono usati per identificare gli oggetti di modello (insiemi, parametri, variabili, vincoli, funzione obiettivo) e gli indici dummy. Tutti i nomi simbolici (eccetto gli indici dummy) devono essere unici, cioè la descrizione di un modello non deve avere oggetti con lo stesso nome. I nomi simbolici e gli indici dummy devono essere unici all interno della loro visibilità, ossia dove rimangono validi. 2.2 Stringhe numeriche Una stringa numerica ha la forma xxesyy, dove xx è un numero reale con eventualmente il punto per i decimali, s è il segno + oppure -, yy è un intero per l esponente decimale. La lettera E non è case sensitive e alternativamente può essere usata la e E+5.78

8 e-7 Le stringhe numeriche rappresentano quantità numeriche, ed hanno il loro ovvio significato matematico. 2.3 Stringhe alfabetiche Una stringa alfabetica è una sequenza di caratteri racchiusa tra virgolette singole o doppie. L uso di virgolette singole o doppie è equivalente. Se un virgoletta singola è parte di una stringa alfabetica racchiusa da virgolette singole, allora deve essere inserita due volte. Analogamente, se una virgoletta doppia è parte di una stringa alfabetica racchiusa da virgolette doppie, allora deve essere inserita due volte. This is a string "This is another string" = 3 That s all "She said: ""No""" Le stringhe alfabetiche sono usate per rappresentare quantità simboliche. 2.4 Parole-chiave Una parola-chiave è una sequenza di caratteri alfabetici ed eventualmente di qualche carattere speciale. Tutte le parole chiavi ricadono in due categorie: parole chiavi riservate, che non possono essere usate come nomi simbolici, e parole chiavi non riservate, le quali se riconosciute dal contesto possono essere usate come nomi simbolici. Le parole chiavi sono: and diff if less or union by div in mod symdiff within cross else inter not then Le parole chiavi non riservate sono descritte nelle sezioni seguenti. Tutte la parole chiavi hanno un significato ben preciso, che sarà spiegato quando verrano discussi i relativi costrutti sintattici, dove le parole chiavi sono usate. 2.5 Delimitatori Un delimitatore può essere sia un singolo carattere speciale, che una sequenza di due caratteri speciali: + ^ ==! : ) - & >= && ; [ * < > := ] / <= <>... { ** =!=, ( } Se un delimitatore consiste di due caratteri, non ci può essere nessuno spazio tra i due caratteri. Tutti i delimitatori hanno un significato preciso, che sarà spiegato quando verrano discussi i costrutti sintattici in cui sono usati.

9 9 2.6 Commenti Al fine di documentare la descrizione codificata di un modello matematico si possono inserire dei commenti in due possibili forme. La prima forma è quella di un commento su di una singola linea, che comincia con il carattere # e continua sino alla fine della linea. La seconda forma è una sequenza di commenti, la quale è una sequenza qualsiasi di caratteri racchiusa tra /* e */. set s{1..10}; # This is a comment /* This is another comment */ I commenti sono ignorati dal traduttore di modello e possono apparire in qualsiasi punto della descrizione di un modello, in cui sono consentiti i caratteri di spaziatura.

10 10 3 Espressioni Un espressione è una regola per calcolare un valore. Le espressioni nella descrizione di un modello sono usate come componenti di alcune asserzioni. Nel caso più generale le espressioni consistono di operandi e operatori. Le espressioni sono classificate in base al loro valore di ritorno nel modo seguente: espressioni numeriche; espressioni simboliche; espressioni di indicizzazione; espressioni di insiemi; espressioni logiche; espressioni lineari. 3.1 Espressioni numeriche Un espressione numerica è una regola per calcolare un singolo valore numerico rappresentato come numero in virgola mobile. L espressione numerica primaria può essere una stringa numerica, un indice dummy, un parametro non indicizzato (uno scalare), un parametro con indici, un riferimento ad una funzione interna, un espressione numerica iterata, un espressione numerica condizionale, oppure un altra espressione numerica racchiusa tra parentesi stringa numerica j indice dummy time parametro non indicizzato a[ May 2003,j+1] parametro con pedice (indice) abs(b[i,j]) riferimento a funzione interna sum{i in S diff T} alpha[i] * b[i,j] espressione iterata if i in I and p >= 1 then 2 * p else q[i+1] espressione condizionale (b[i,j] +.5 * c) espressione tra parentesi Espressioni numeriche più generali contenenti due o più espressioni numeriche primarie possono essere costruite usando degli opportuni operatori aritmetici. j+1 2 * a[i-1,j+1] - b[i,j] sum{j in J} a[i,j] * x[j] + sum{k in K} b[i,k] * x[k] (if i in I and p >= 1 then 2 * p else q[i+1]) / (a[i,j] + 1.5) Stringhe numeriche. Se l espressione numerica primaria è una stringa numerica, il valore risultante è ovvio. Indici dummy. Se l espressione numerica primaria è un indice dummy, il valore risultante è il valore corrente assegnato all indice dummy. Parametri senza indici. Se l espressione numerica primaria è un parametro senza indice (che deve essere 0-dimensionale), il valore risultante è il valore del parametro.

11 11 Parametri indicizzati. L espressione numerica primaria, che si riferisce ad un parametro indicizzato, ha la seguente forma sintattica: nome[i 1,i 2,...,i n ] dove nome è il nome simbolico di un parametro, e i 1, i 2,..., i n sono indici (pedici). Ogni indice deve essere un espressione numerica o simbolica. Il numero di indici n deve essere uguale alla dimensione del parametro alla quale la lista di indici è associato. I valori delle espressioni indice sono usati per identificare un particolare membro del parametro che determina il valore risultante dell espressione primaria. Riferimenti a funzioni. In MathProg esistono le seguenti funzioni interne che possono essere utilizzate in espressioni numeriche: abs(x) valore assoluto atan(x) arctan x (in radianti) atan(y,x) arctan y/x (in radianti) card(x) cardinalità (numero di elementi) di un insieme x ceil(x) il più piccolo intero non minore di x ( ceiling of x ) cos(x) cos x (in radianti) floor(x) il più grande intero non maggiore di x ( floor of x ) exp(x) esponenziale base-e: e x length(x) lunghezza della stringa di caratteri x log(x) logaritmo naturale log x log10(x) logaritmo decimale log 10 x max(x 1,x 2,...,x n ) il massimo tra x 1,x 2,...,x n min(x 1,x 2,...,x n ) il minimo tra x 1,x 2,...,x n round(x) arrotondamento di x all intero più vicino round(x,n) arrotondamento di x a n cifre decimali sin(x) sin x (in radianti) sqrt(x) radice quadrata x trunc(x) x arrotondato all intero più vicino trunc(x,n) x arrotondato alla n-essima cifra decimale Irand224() numero intero pseudo-casuale uniformemente distribuito in [0,2 24 ) Uniform01() numero pseudo-casuale uniformemente distribuito in [0,1) Uniform(a,b) numero pseudo-casuale uniformemente distribuito in [a,b) Normal01() numero pseudo-casuale con distribuzione gaussiana µ = 0 e σ = 1 Normal(µ,σ) numero pseudo-casuale con distribuzione gaussiana µ e σ Gli argomenti di queste funzioni (ad eccezione di card e length) devono essere espressioni numeriche. L argomento di card deve essere un espressione di insiemi. L argomento di length deve essere un espressione simbolica. Il valore risultante di un espressione numerica costituita da un riferimento ad una funzione è il risultato dell applicazione della funzione ai suoi argomenti. Si consideri che ogni funzione che genera un numero pseudo-casuale ha un argomento nascosto (un suo proprio stato interno), il quale viene modificato ogni volta che viene applicata la funzione stessa. Quindi, se la funzione è applicata ripetutamente anche con argomenti identici, il valore risultante cambia ogni volta.

12 12 Espressioni iterate. un espressione numerica iterata è un espressione primaria con la seguente forma sintattica: operatore-di-iterazione espressione-di-indici integrando dove operatore-di-iterazione è il nome simbolico dell operatore di iterazione da eseguire, espressione-di-indici è un espressione la quale introduce degli indici dummy e controlla le iterazioni, l integrando è un espressione numerica che partecipa nell operazizone. In MathProg ci sono quattro operatori di iterazione che possono essere usati in espressioni numeriche: sum sommatoria (i 1,...,i x(i n) 1,...,i n ) prod produttoria (i 1,...,i x(i n) 1,...,i n ) min minimo min (i1,...,i n) x(i 1,...,i n ) max massimo max (i1,...,i n) x(i 1,...,i n ) dove i 1,...,i n sono gli indici dummy introdotti dall espressione di indici; è il domino, un insieme di n-tuple specificate dall espressione indicizzante la quale definisce particolare valori assegnati agli indici dummy durante ogni singola iterazione; e x(i 1,...,i n ) è l integrando, un espressione numerica il cui valore risultante dipende dagli indici dummy. Il valore risultante di un espressione numerica iterata è il risultato dell applicazione di un operatore di iterazione ai suoi integrandi appartenenti a tutte le n-tuple contenute nel dominio. Espressioni condizionali. un espressione numerica condizionale è un espressione numerica primaria avente la seguente forma sintattica: if b then x else y if b then x dove b è un espressione logica, ed x e y sono espressioni numeriche. Il valore risultante di un espressione condizionale dipende dal valore dell espressione logica che segue la parola-chiave if. Se il suo valore è true, il valore dell espressione condizionale è il valore dell espressione che segue la parola-chiave then. Altrimenti, se il suo valore è false, il valore dell espressione condizionale è il valore dell espressione che segue la parola-chiave else. Se si usa la forma abbreviata dell espressione condizionale e il valore dell espressione logica è false, allora il valore risultante è zero. Espressioni tra parentesi. Qualsiasi espressione numerica può essere racchiusa tra parentesi che sintatticamente la rendono un espressione numerica primaria. Le parentesi possono essere usate in espressioni numeriche, come in algebra, per specificare l ordine desiderato con il quale le operazioni devono essere eseguite. Quando si usano le parentesi, l espressione tra parentesi viene valutata prima che il suo valore di ritorno sia utilizzato. Il valore di ritorno di un espressione tra parentesi è lo stesso dell espressione racchiusa tra parentesi.

13 13 Operazioni aritmetiche. In MathProg esistono le seguenti operazioni aritmetiche, le quali possono essere usate all interno di espressioni numeriche: x + y addizione x - y sottrazione + x addizione unaria (equivalente a 0+x) - x sottrazione unaria (equiavalente a 0-x) x less y differenza positiva (i.e., if x < y then 0 else x y) x * y moltiplicazione x / y divisione x div y quoziente di una divisione esatta x mod y resto di una divisione esatta x ** y, x ^ y esponenziale (elevazione a potenza) dove x e y sono espressioni numeriche. Se l espressione ha più di un operatore aritmetico, tutte le operazione sono calcolate da sinistra a destra secondo delle regole precise di precedenza (vedi sotto) con la sola eccezzione dell esponenziale che viene eseguito da destra verso sinistra. Il valore risultante di un espressione cha ha degli operatori aritmetici, è il risultato dell applicazione degli operatori ai suoi operandi. Regole di precedenza degli operatori aritmetici. La lista seguente definisce le regole di precedenza degli operatori aritmetici: Operazione Precedenza Valutazione di funzioni (abs, ceil, etc.) 1 Esponenziale (**, ^) 2 Addizione e sottrazione unaria (+, -) 3 Moltiplicazione e sottrazzione (*, /, div, mod) 4 Operatori di iterazioni (sum, prod, min, max) 5 Adddizione e sottrazione (+, -, less) 6 Espressioni condizionali (if...then...else) 7 Queste regole di precedenza definiscono quale tra due operazioni consecutive deve essere eseguita per prima. Se il primo operatore ha una precedenza maggiore o uguale al secondo, viene valutato per primo. Altrimenti, il secondo operatore è confrontato con il terzo, e cosi via. Quando si raggiunge la fine dell espressione, tutte le operazioni rimanenti sono eseguite in ordine inverso. 3.2 Espressioni simboliche Un espressione simbolica è una regola per calcolare un singolo valore simbolico rappresentato come stringa alfabetica. L espressione simbolica primaria può essere una stringa di carattei, un indice dummy, un parametro non indicizzato (una costante), un parametro indicizzato, un riferimento ad funzione interna, un espressione condizionale simbolica, oppure un altra espressione racchiusa tra parentesi. È anche possibile usare un espressione numerica come espressione primaria simbolica, in qual caso il valore risultante di un espressione numerica è automaticamente convertita nel suo tipo simbolico.

14 14 May 2003 stringa alfabetica j indice dummy p parametro non indicizzato s[ abc,j+1] parametro indicizzato substr(name[i],k+1,3) riferimento a funzione if i in I then s[i,j] & "..." else t[i+1] espressione condizionale ((10 * b[i,j]) &.bis ) espressione tra parentesi Espressioni simboliche più generali contenenti due o più espressioni primarie simboliche possono essere costruite utilizzanto degli operatori di concatenazione. abc[ & i &, & j & ] "from " & city[i] & " to " & city[j] I principi di valutazione di espressioni simboliche sono completamente analoghi a quelli dati per le espressioni numeriche (vedi sopra). Riferimenti a funzione. In MathProg ci sono le seguenti funzioni interne che possono essere utilizzate in espressioni simboliche: substr(x,y) substr(x,y,z) sottostringa di x che inizia alla posizione y sottostringa di x che inizia alla posizione y avendo lunghezza z Il primo argomento di substr deve essere un espressione numerica, mentre gli altri due devono essere delle espressioni numeriche. Il valore risultante di un espressioni simbolica costituita da un riferimento ad una funzione, è il risultato di appplicare la funzione ai suoi argomenti. Operatori simbolici. Attualmente in MathProg ci sono gli operatori simbolici seguenti: x & y dove x e y sono espressioni simboliche. Questo operatore concatena i suoi due operandi simbolici, che possono essere delle stringhe alfabetiche. Regole di precedenza delle operazioni La lista seguente definisce le regole di precedenza degli operatori simbolici: Operazione Precedenza Valutazione delle espressioni numeriche 1 7 Concatenazione (&) 8 Valutazione condizionale (if...then...else) 9 Queste regole di precedenza hanno lo stesso significato di quelle definite nella sottosezione Espressioni numeriche.

15 Espressioni indicizzanti e indici dummy Un espressione indicizzante è una costruzione ausiliaria che specifica un insieme di n-tuple e introduce degli indici dummy, e ha due forme sintattiche: {entry 1, entry 2,..., entry m } {entry 1, entry 2,..., entry m : predicato} (5) dove entry 1, entry 2,..., entry m sono entries di indici, e predicato è un espressione logica che specifica un predicato opzionale. Ogni entries di indici può avere una delle tre forme seguenti: t in S (t 1,t 2,...,t k ) in S S (6) dove t,t 1,t 2,...,t k sono indici, ed S è un espressione-insieme (discussa nella sezione seguente) che specifica gli elementi di un insieme. Il numero di indici nella entry indicizzante deve essere lo stesso della dimensione dell insieme base S, cioè se S consiste di 1-tuple, deve essere usate la prima forma, e se S consiste di n-tuple con n > 1 deve essere usata la seconda forma. Se si utilizza la prima forma, l indice t può solo essere un indice dummy. Se invece si usa la seconda forma, gli indici t 1,t 2,...,t k possono essere degli indici dummy o delle espressioni numeriche o simboliche, dove almeno un indice deve essere un indice dummy. La terza forma indicizzante ha lo stesso effetto come se ci fossero t (se S è 1-dimensionale) o t 1,t 2,...,t k (se S è n-dimensionale) elementi tutti specificati come indici dummy. Un indice dummy è un oggetto di modello ausiliare che agisce come una singola variable. I valori assegnati agli indici dummy sono compenenti di n-tuple di insiemi base, cioè sono quantità numeriche o simboliche. A scopi di riferimento, agli indici dummy possono essere dati dei nomi simbolici. Comunque, diversamente dagli oggetti di modello (insiemi, parametri,...) non devono essere esplicitamente dichiarati. Ogni nome simbolico non dichiarato, e usato come indice, è riconosciuto come nome simbolico del corrispondente indice dummy. I nomi simbolici di indici dummy sono validi solo all interno della visibilità delle espressioni indicizzanti, dove gli indici dummy sono introdotti. Al di fuori della loro visibilità gli indici dummy sono completamente inaccesibili, cosi che gli stessi nomi simbolici posson essere usati per altri scopi, in particolare per rappresentare indici dummy di altre espressioni indicizzanti. La visibilità di espressioni indicizzanti, dove la dicharazione implicita di indici dummy rimane valida, dipende dal contesto nel quale l espressione indicizzante è usata: 1. Se l espressione indicizzante è usata in operator di iterazione, la sua visibilità si estende sino alla fine dell integrando. 2. Se l espressione indicizzante è usata come espressione di insiemi primaria, la sua visibilità si estende sino alla fine della stessa espressione indicizzante. 3. Se l espressione indicizzante è usata per definire il dominio degli indici nella dichiarazione di qualche oggetto di modello, la sua visibilità si estende sino alla fine dell asserzione corrispondente. Il meccanismo di indicizzazione realizzato tramite le espressioni indicizzanti è spiegato meglio attraverso gli esempi mostrati sotto

16 16 Supponiamo di avere tre insiemi: A = {4,7,9} B = {(1,Jan),(1,Feb),(2,Mar),(2,Apr),(3, May),(3,Jun)} C = {a,b,c} (7) dove A e C consistono di 1-tuple (singoli valori), B consiste di 2-tuple (coppie). Considera la seguente espressione indicizzante: {i in A, (j,k) in B, l in C} (8) dove i, j, k, e l sono indici dummy. Anche se MathProg non è un linguaggio procedurale, per ogni espressione indicizzante può essere date una descrizione algoritmica-procedurale. In particolare, la descrizione algoritmica dell espressione indicizzante (8) è la seguente: for all i A do for all (j,k) B do for all l C do azione; dove agli indici dummy i, j, k, l sono assegnati consecutivamente gli elementi corrispondenti delle n-tuple dagli insiemi base A, B, C, e azione è una qualche azione che dipende dal contesto in cui l espressione indicizzante è usata. Per esempio, se l azione fosse la stampa a video dei valori correnti degli indici dummy, vedremmo: i = 4 j = 1 k = Jan l = a i = 4 j = 1 k = Jan l = b i = 4 j = 1 k = Jan l = c i = 4 j = 1 k = Feb l = a i = 4 j = 1 k = Feb l = b i = 9 j = 3 k = Jun l = b i = 9 j = 3 k = Jun l = c Suppponiamo di usare l espressione indicizzante (8) nella seguente operazione di iterazione: sum{i in A, (j,k) in B, l in C} p[i,j,k,l] ** 2 (9) dove p[i, j, k, l] può essere un parametro numerico 4-dimensionale oppure qualche espressione numerica il cui valore risultante dipende da i, j, k, e l. In questo caso l azione è una somma, e il valore risultante dell espressione numerica primaria (9) è : i A,(j,k) B,l C (p ijkl ) 2. Ora supponiamo che l espressione indicizzante (8) sia utilizzata come espressione primaria di insieme. In questo caso l azione è di raccogliere tutte le 4-tuple (quadruple) della forma (i, j, k, l) in un singolo insieme, il cui valore risulatante è semplicemente il prodotto cartesiano: A B C = {(i,j,k,l) i A,(j,k) B,l C}.

17 17 Si noti che in questo caso la stessa espressione indicizzante può essere scritta nella forma ridotta: {A, B, C} perchè gli indici dummy i,j,k,l non sono utilizzati e quindi il loro nome simbolico non è necessario. Infine, supponiamo che l espressione indicizzante (8) sia usata come il dominio di indici nella dichiarazione di un oggetto di modello 4-dimensionale, per esempio, di un parametro numerico: par p{i in A, (j,k) in B, l in C}... ; In questo caso l azione è di generare i membri del parametro, dove ogni membro ha la forma p[i, j, k, l]. Come detto prima, alcuni indici in (6) possono essere espressioni numeriche o simboliche, ma non indici dummy. In questo caso il valore risultante di tale espressione gioca il ruolo di qualche condizione logica di selezionare solo le n-tuple dal prodotto Cartesiano degli insiemi base, le quali soddisfano queste condizioni. Considera, per esempio, l espressione indicizzante seguente: {i in A, (i-1,k) in B, l in C} (10) dove i, k, l sono indici dummy, e i 1 è un espressione numerica. La descrizione algoritmica dell espressione indicizzante (10) è la seguente: for all i A do for all (j,k) B and j = i 1 do for all l C do action; Quindi, se l espressione indicizzante (10) è usata come set primario di base, il valore risultante è il seguente: {(4,May,a),(4,May,b),(4,May,c), (4,Jun,a),(4,Jun,b),(4,Jun,c)} Si noti che in questo caso l insieme risultante consiste di triple, e non di quadruple, perchè nell espressione indicizante (10) non c è un indice dummy che corrisponde al primo elemento delle coppie appartenenti all insieme B. La regola generale è : il numero di componenti di n-tuple definito da un espressione indicizzante è lo stesso del numero di indici dummy introdotti da quell espressione indicizzante, dove la corrispondenza tra indici dummy e componenti nelle n-tuple nell insieme risultante è posizionale, cioè il primo indice dummy corrisponde al primo elemento, il secondo indice dummy corrisponde al secondo elemento, e cosi via. In molti casi è necessario selezionare un sottoinsieme del prodotto Cartesiano di alcuni insiemi. Questo può essere ottenuto usando un predicato logico opzionale, il quale è specificato nell espressione indicizzante dopo l ultima o l unica entry indicizzante. Considera, per esempio, la seguente espressione indicizzante: {i in A, (j,k) in B, l in C: i <= 5 and k <> Mar } (11) dove l espressione logica che segue i due punti è un predicato. La descrizione algoritmica di questa espressione indicizzante è la seguente:

18 18 for all i A do for all (j,k) B do for all l C do if i 5 and k Mar then action; Quindi, se l espressione indicizzante (11) è usata come espressione primaria di un insieme, l insieme risultante è il seguente: {(4,1,Jan,a),(4,1,Feb,a),(4,2,Apr,a),...,(4,3,Jun,c)}. Se nessun predicato è specificato nell espressione indicizzante, ne è presente uno implicito di valore true. 3.4 Espressioni di insiemi Un espressione di insiemi è una regola per calcolare un insieme di elementi, ossia una collezione di n-tuple, dove i componenti delle n-tuple sono quantità numeriche o simboliche. L espressione primaria di insieme può essere un insieme alfa-numerico, un insieme non indicizzato, un insieme indicizzato, un insieme aritmetico, un espressione indicizzante, un espressione di insieme iterata, un espressione di insieme condizionale, o un altra espressione di insieme racchiusa tra parentesi. {(123, aaa ), (i+1, bbb ), (j-1, ccc )} insieme alfa-numerico I insieme non indicizzato S[i-1,j+1] insieme indicizzato 1..t-1 by 2 insieme aritmetico {t in 1..T, (t+1,j) in S: (t,j) in F} espressione indicizzante setof{i in I, j in J}(i+1,j-1) espressione iterata di insieme if i < j then S[i,j] else F diff S[i,j] espressione di insiemi condizionale (1..10 union ) espressione di insiemi tra parentesi Espressioni di insiemi più generali contenti due o più espressione primari di insiemi possono essere costruite usando alcuni operatori su insiemi. (A union B) inter (I cross J) cross (if i < j then { a, b, c } else { d, e, f }) Insiemi alfa-numerici. Un insieme alfa-numerico è un espressione primaria di insieme, la quale ha una delle due seguenti forme sintattiche: {e 1,e 2,...,e m } {(e 11,...,e 1n ),(e 21,...,e 2n ),...,(e m1,...,e mn )} dove e 1,..., e m, e 11,..., e mn sono espressioni numeriche o simboliche. Se si usa la prima forma, l insieme risultante consiste di 1-tuple enumerate all interno delle parentesi graffe. Si può specificare un insieme vuoto non avente 1-tuple. Se si usa la seconda forma, l insieme risultante consiste di n-tuple enumerate all interno delle parentesi graffe, dove una particolare n-tupla consiste degli elementi corrispondenti enumerati tra parentesi. Tutte le n-tuple devono avere lo stesso numero di componenti.

19 19 Insiemi non indicizzati. Se l espressione primaria di insieme è un insieme non indicizzato (il quale deve essere 0-dimensionale), l insieme risultante è un insieme di elementi associato con il corrispondente oggetto insieme. Insieme indicizzato. L espressione primaria di insieme, che si riferisce ad un insieme indicizzato, ha la seguente forma sintattica: nome[i 1,i 2,...,i n ] dove nome è un nome simbolico dell oggetto insieme, e i 1, i 2,..., i n sono i pedici (indici). Ogni pedice deve essere un espressione numerica o simbolica. Il numero di pedici nella lista di pedici deve essere della stessa dimensione dell oggetto insieme alla quale la lista è associata. I valori correnti delle espressioni di pedici sono usate per identificare un particolare membro dell insieme oggetto che determina l insieme risultante. Insiemi aritmetici. L espressione primaria di insieme, che costituisce un insieme aritmetico, ha una delle due seguenti forme sintattiche: t 0.. t f by δt t 0.. t f dove t 0, t 1, e δt sono espressioni numeriche (il valore di δt deve essere diverso da zero). La seconda forma è equivalente alla prima con δt = 1. Se δt > 0, l insieme risultante è determinato nel modo seguente: {t : k Z(t = t 0 + kδt, t 0 t t f )} Se δt < 0, l insieme risultante è determinato come segue: {t : k Z(t = t 0 + kδt, t f t t 0 )} Espressioni indicizzanti. Se l espressioni primaria di insieme è un espressione indicizzante, l insieme risultante è determinato come descritto nella sezione Espressioni indicizzanti e indici dummy (vedi sopra). Espressioni di iterazione. un espressione di insieme di iterazione è un espressione primaria di insieme avente una delle due forme seguenti: setof espressione-indicizzante integrando dove l espressione-indicizzante introduce gli indici dummy e controlla le iterazioni, l integrando è o un singolo valore numerico o simbolica, oppure una lista di espressioni numeriche o simboliche separate da virgole e racchiuse tra parentesi. Se l integrando è una singola espressione numerica o simbolica, l insieme risultante è costituito da 1-tuple ed è calcolato come segue: {x : (i 1,...,i n ) },

20 20 dove x è una valore dell integrando, i 1,...,i n sono indici dummy introdotti nell espressione indicizzante, è il dominio, un insieme di n-tuple specificato dall espressione indicizzante che definisce i valori specifici assegnati agli indici dummy durante l eseguzione dell operazione di iterazione. Se l integrando è una lista contente m espressioni numeriche o simboliche, l insieme risultante consiste di m-tuple ed è determinata come segue: {(x 1,...,x m ) : (i 1,...,i n ) }, dove x 1,...,x m sono valori di espressioni nella lista degli integrandi, i 1,...,i n e hanno lo stesso significato visto prima. Espressioni condizionali. Un espressione condizionale di insieme è un espressione primaria di insieme avente la seguente forma sintattica: if b then X else Y dove b è un espressione logica, X e Y sono espressioni di insieme, le quali devono definire insiemi della stessa dimensione. Il valore risultante delle espressione condizionale dipende dal valore dell espressione logica dell espressione condizionale che segue la parola-chiave if. Se il valore è true, l insieme risultante è il valore dell espressione che segue la parola-chiave then. Altrimenti, se l espressione logica assume il valore false, l insieme risultante è il valore dell espressione che segue la parola-chiave else. Espressioni tra parentesi. Qualsiasi espressione di insieme può essere racchiusa tra parentesi e diventare un espressione primaria di insieme. Le parentesi possono essere usate in espressioni di insiemi, come in algebra, per specificare l ordine desiderato in cui le operazioni deveno essere esguite. Dove le parentesi sono usate, l espressioni tra parentesi sono valutate prima di usare il valore di ritorno. Il valore risultante di un espressione tra parentesi è lo stesso del valore dell espressione racchiusa tra parentesi. Operatori di insieme. In MathProg ci sono i seguenti operatori di insieme che possono essere usati in espressioni di insiemi: X union Y X diff Y X symdiff Y X inter Y X cross Y unione X Y differenza X\Y differenenza simmetrica X Y intersezione X Y prodotto Cartesiano X Y dove X e Y sono espressioni di insiemi, i quali devono definire insiemi della stessa dimensione (ad eccezione del prodotto cartesiano). Se l espressione ha più di un operatore di insieme, tutti gli operatori sono eseguiti da sinistra verso destro secondo le regole di precedenza definite nel prossimo paragrafo (vedi sotto). Il valore risultante dell espressione, contenente degli operatori di insieme, è il risultato dell applicazione degli operatori ai loro operandi.