INTRODUZIONE ALLA TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT)

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1 ITRODUZIOE ALLA TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT) Esempi di DFT La trasfrmata discreta di Furier, cmunemente nta in letteratura cn l acrnim DFT (Digital Furier Transfrm) rispnde all esigenza di implementare al calclatre la trasfrmata di Furier di una funzine del temp. L implementazine numerica ha infatti alcune caratteristiche peculiari, che pssiam genericamente definire tecniche digitali di analisi, e che impngn di mdificare la definizine cnvenzinale di trasfrmata (e antitrasfrmata) di Furier, al fine di ttenere una prcedura di calcl efficiente. In quest paragraf tali mdifiche verrann richiamate e attravers un cert numer di esempi, sviluppati essenzialmente per via grafica, si metterann in evidenza i prblemi legati all implementazine. Il ricrs alla frmulazine matematica sarà minim, ed utilizzat sl all scp di giustificare le perazini eseguite per via grafica. In definitiva, si avrà un utile esercizi di applicazine del terema del campinament e delle prprietà della trasfrmata di Furier. Per ulteriri apprfndimenti ci si può riferire al classic test di E. Oran Brigham ( The Fast Furier Transfrm and its Applicatins, Prentice Hall, 988) da cui sn state estratte le figure riprtate di seguit. Si cnsiderin la funzine h(t) e la sua trasfrmata di Furier H(f) riprtate in Figura (a). Per determinare la trasfrmata di Furier di h(t) mediante tecniche di analisi digitale è necessari campinare la funzine h(t). Il campinament è realizzat mltiplicand h(t) per la sequenza campinante (t) illustrata a sinistra in Figura (b): essa è cstituita da una sequenza di impulsi matematici ideali (delta di Dirac) distanziati di T l un dall altr, e la sua trasfrmata di Furier ha dunque l andament illustrat in Figura (b) a destra. Il risultat del campinament è illustrat in Figura (c): la sequenza dei campini ha una trasfrmata di Furier che si ttiene replicand infinite vlte la trasfrmata di Furier del segnale riginale, ciascuna replica essend centrata su un multipl della frequenza di campinament /T. Se dunque tale frequenza nn è sufficientemente grande cmpare il fenmen dell aliasing, per cui tali repliche risultan svrappste. Ciò è mstrat in Figura (c), e frnisce una prima imprtante differenza dell implementazine numerica rispett alla cppia funzine-trasfrmata riginale. Il prblema dell aliasing può essere eliminat (cme è nt dal terema del campinament) campinand cn una frequenza almen pari al dppi della massima frequenza nell spettr di h(t). D altr cant, se H(f) ha estensine illimitata l aliasing ptrà essere sltant ridtt assumend per T il valre più piccl pssibile. Una secnda differenza, causata dall implementazine numerica, rispett al risultat attes, risulta evidente dalle Figure (d)-(e): il numer di campini di h(t) cnsiderati nn ptrà essere arbitrariamente elevat. Se dunque h(t) ha durata temprale mlt grande (al limite si estende per < t < ) una przine di segnale nn sarà campinata. Graficamente, ciò crrispnde ad assumere una finestra di campinament di durata T (illustrata in Figura (d)) e quindi, in frequenza, in virtù della prprietà del prdtt, ad avere la cnvluzine tra la trasfrmata X(f) della funzine rettanglare e la funzine H(f) (f). In definitiva, si ttiene l spettr mstrat in Figura (e) a destra, il quale differisce da quell riginale per l aliasing (dvut alla frequenza di campinament) e per il ripple (dvut al trncament). Al fine di ttenere una buna ricstruzine per via numerica della trasfrmata di Furier queste differenze (che, di fatt, si traducn in errri di valutazine) devn essere minimizzate. Si è ricrdat spra cme ridurre Qui cme nel seguit di quest paragraf, cerentemente cn il Brigham, ci si riferirà alla trasfrmata di Furier cme funzine della frequenza f anziché della pulsazine ω; ricrdand che ω = 2πf, il legame tra le due rappresentazini è evidente riducendsi, per gli scpi presenti, ad una semplice scalatura dell asse.

2 Figura 2

3 l aliasing; per ridurre il ripple è invece necessari assumere una finestra di trncament che sia la più estesa pssibile. D altr cant, la rappresentazine di Figura (e) nn è ancra quella finale; anche la trasfrmata di Furier, infatti, sarà prcessata dal calclatre in frma numerica. Ciò significa che anche l spettr del segnale, alla stregua di h(t), sarà in realtà campinat. Il campinament nel dmini della frequenza sarà realizzat cn una sequenza di impulsi matematici di perid /T, e prdurrà il risultat mstrat in Figura (g). La scelta di un perid di campinament in frequenza pari all invers della finestra di campinament cnsente di evitare che le repliche della funzine h(t) (t)x(t) si svrappngan. ~ Le funzini h(t) e H ~ (f ) mstrate in Figura (g) sn adeguate per l implementazine numerica in quant descritte da una sequenza di valri discreti. La funzine riginale del temp è apprssimata cn = T /T campini e, all stess md, anche la trasfrmata di Furier è apprssimata cn campini. Questi campini definiscn la cppia segnale-trasfrmata di Furier discreta e, nel sens precisat, cstituiscn un apprssimazine della cppia segnale-trasfrmata riginale. E interessante sservare che il campinament nel dmini del temp ha prdtt una funzine peridica in frequenza, mentre il campinament nel dmini della frequenza ha prdtt una funzine peridica nel temp. Ciascun perid, nel temp e in frequenza, cntiene campini. L esempi sviluppat cnsente di frmalizzare la cppia segnale-trasfrmata discreta. Un altr esempi è mstrat in Figura 2; in lug di un espnenziale bilaterale si ha qui un espnenziale unilaterale (sl t ). Inltre, la finestra di campinament nn è centrata nell rigine; le ragini di questa scelta risulterann chiare nel seguit. Utilizzand la ntazine di Fig. 2 (che è cmunque la stessa di Figura ), è chiar che si può scrivere: h (t) (t) = h(t) δ(t kt) = h(kt) δ(t kt) () Assumere campini significa mltiplicare la () per la funzine x(t), cn ciò ttenend: h (t) (t)x(t) = h(t) δ(t kt) x(t) = h(kt) δ(t kt) (2) Alla funzine campinante nel dmini della frequenza, (f), crrispnde nel dmini del temp la funzine t) = T δ(t rt ) r= ( (3) Operand la cnvluzine tra la (2) e la (3) (in cnseguenza del campinament nel dmini della frequenza) si ttiene: 3

4 Figura 2 4

5 ~ h(t) = [ h(t) (t)x(t)] (t) = = T h(kt) δ(t kt) T r= r= h(kt) δ(t kt rt δ(t rt ) ) = (4) La scelta perata in Figura 2(d) per la finestra di campinament cnsente di semplificare la ntazine in quant nella (2) si è ptut prre k = per rappresentare il prim campine. ndimen, nn si tratta di una scelta bbligata. Ciò che cmunque è imprtante (e, anzi, necessari) è che gli estremi della finestra nn cadan in crrispndenza di due campini (e ciò si verifica sia in Figura che in Figura 2) perché altrimenti, a seguit della peridicizzazine nel dmini del temp, il campine -esim di un perid si svrapprrebbe al prim campine del perid successiv. In pratica si avrebbe aliasing nel dmini del temp, seppur limitatamente ad un infinità numerabile di punti (due per ciascun perid). La trasfrmata della (4) si ricava ricrdand l espressine della trasfrmata di Furier di un segnale peridic. Quest è un risultat che è già stat ricavat in precedenza. el dmini della pulsazine (ω) si era trvat che se un segnale s(t) è peridic cn perid T la sua trasfrmata di Furier vale n= 2π S ( ω) = S (nω ) δ( ω nω ) (5) T dve ω = 2π/T mentre S (ω) è la trasfrmata di Furier della rappresentazine elementare del segnale, all intern di un perid. Si dimstra che la stessa relazine scritta nel dmini della frequenza (f), dve la trasfrmata di una cstante A vale A δ(f), diventa n= S (f ) = S (nf ) δ( f nf ) (6) T cn f = /T. Applicand dunque la (6) alla (4), e cerentemente cn la Figura 2(d), si deve prre: H ~ (nf ) = = T T T / 2 T / 2 e ~ h(t)e i2πnt / T i2πnt / T h(kt) dt = T T T / 2 T / 2 dt = T T / 2 T / 2 T T / 2 T / 2 δ(t kt)e T i2πnt / T r= h(kt) δ(t kt)e dt = T h(kt) δ(t kt rt i2πnt / T h(kt)e dt = ) i2πnkt / T (7) ella (7) si è tenut cnt che l integrale è estes ad un perid (r = ) e si è applicata, nell ultim passaggi, la prprietà di campinament della delta di Dirac. 5

6 A quest punt, in virtù della (6) pssiam scrivere per estes la H ~ (f ). Tenend anche presente che T = T, si ttiene: i2πnk / H ~ (f ) = H ~ (nf ) δ( f nf ) = h(kt)e δ( f nf ) (8) T n= n= Ai fini pratici, interessa l area del generic impuls matematic, che esprime il valre dell n-esim campine di H ~ (f ) ; direttamente dalla (8), per ess si ha: n n i2πnk / H ~ (nf ) = H ~ = H ~ = h(kt) e (9) T T Pssiam verificare esplicitamente che la (9) è peridica di perid /T = /T ; si ha infatti: n + i2π(n+ )k / i2πnk / i2πk H ~ = h(kt)e = h(kt)e e () T Ma e i2πk =, e quindi: n + i2πnk / n H ~ = h(kt)e = H ~ () T T In cnsiderazine della peridicità, la trasfrmata discreta di Furier è descritta dalla sla sequenza di campini, per cui la (9) può essere megli precisata cme segue: n H ~ = h(kt)e T i2πnk /, n =,,, (2) La (2) esprime dunque la DFT della funzine h(t). Essa cnsente il calcl degli campini nel dmini della frequenza a partire dalla cnscenza degli campini nel dmini del temp. La ~ esprime il fatt che si tratta, in generale, di una apprssimazine della H(f). el seguit, peraltr, anche negli esempi grafici, la ntazine sarà semplificata per cui, in lug della (2), si cnsidererà la G n T = g(kt)e i2πnk /, n =,,, (3) Per cmpletare la frmalizzazine algebrica, dbbiam esplicitare la frmula, duale della (3), che cnsente di calclare la sequenza degli campini nel dmini del temp a partire dalla cnscenza degli campini nel dmini della frequenza. Tale frmula, in effetti, si scrive: 6

7 g = n= n T i2π ( kt) G e nk /, k =,,, (4) Per verificarne la crrettezza, è sufficiente sstituire la (4) nella (3) e dimstrare che il risultat è un identità. In effetti: n r i2πrk / i2πnk / G = G e e (5) T = T k r= Si nti che nella smmatria entr parentesi quadre l indice è stat cambiat in r, csì cme richiest dalla necessaria generalità. Invertend l rdine delle smmatrie, si ttiene: G n T = r= G r T e i2πnk / e i2πrk / = G n T (6) dve si è tenut cnt del fatt (dimstrabile) che i2πnk / e e i2πrk / = per r = n per r n (7) La peridicità di g(kt), cn perid T = T, si dimstra immediatamente sservand che risulta: g ( kt + T) = = n= n= G G n T n T e e i2πn(k+ ) / i2πnk / = = g(kt) n= G n T e i2πnk / e i2πn = (8) Quindi, csì cme riprtat nella (4), la funzine g(kt) è effettivamente descritta dalla sla sequenza di campini per k. A quest punt, i necessari aspetti frmali sn stati chiariti nel cas generale, e pssiam dedicare la parte restante del paragraf ad illustrare un cert numer di casi particlari di pratic interesse. Cme dett nella premessa, si privilegerà l apprcci grafic rispett a quell analitic. a) Frme d nda peridiche a banda limitata: finestra di campinament uguale al perid. In Figura 3 è illustrat il cas di una funzine csinusidale di perid T, la cui trasfrmata è data da due impulsi matematici allcati in /T e /T, rispettivamente. Vgliam analizzare quale risultat si ttiene applicand la DFT. Scrrend rapidamente le varie parti della Figura 3 sserviam che: - il campinament nel dmini del temp nn prduce aliasing; - il campinament nel dmini del temp prduce una scalatura delle ampiezze nel dmini delle frequenze (già evidenziat, ma nn cmmentat, in Figura 2) per cui l area riginale (A/2) delle delta di Dirac viene ridtta del fattre /T (e diventa dunque A/2T); 7

8 Figura 3 8

9 - la finestra di campinament include esattamente un perid della funzine csinusidale, e gli campini nel dmini del temp sn cntenuti entr quest perid; - il risultat del prdtt nel dmini del temp tra la frma d nda campinata e la finestra di campinament (Figura 3(e)) ha un spettr frtemente distrt rispett alla H(f) riginale; - quand però si effettua il campinament nel dmini della frequenza questa distrsine sparisce (vedi Figura 3(g)). L eliminazine della distrsine è pssibile perché gli impulsi campinanti nel dmini della frequenza sn allcati in crrispndenza di multipli di /T. A queste frequenze la H(f) (f) X(f) è nulla tranne che in ±/T, ( )/T, ( + )/T, ( )/T, ( + )/T, Per maggire evidenza, quest risultat è illustrat in Figura 4 per la przine di spettr nell intrn dell rigine. I due impulsi matematici allcati in ±/T crrispndn esattamente alla Trasfrmata di Furier riginale, a men del fattre mltiplicativ T /T dvut alle perazini di campinament e trncament. Quest fattre, peraltr, nn è causa di alcuna distrsine. La cnvluzine nel dmini del temp, cnseguente al campinament in frequenza, riprduce (campinata) esattamente la funzine csinusidale assegnata; anche in quest cas infatti la sla, marginale, differenza è nell ampiezza, ra pari ad AT. In definitiva, la cppia segnale-trasfrmata discreta per l esempi in esame è mstrata in Figura 3(g). Il fattre T è cmune ai campini del segnale e a quelli della trasfrmata, e dunque può essere eliminat (in pratica, ciò si ttiene campinand nel temp cn impulsi matematici di area /T anziché di area unitaria). A quest punt la trasfrmata discreta differisce da quella riginale sl per il fattre mltiplicativ /T che a sua vlta può essere eliminat mltiplicand per T la (3) (nel mment in cui si esegue il calcl). La classe di funzini presa in esame, e di cui si è cnsiderat il cas, particlarmente semplice, di funzine csinusidale, rappresenta l unica classe di funzini per cui trasfrmata discreta e trasfrmata cntinua sn esattamente cincidenti (la discretizzazine, ciè, nn intrduce alcuna apprssimazine). L equivalenza delle trasfrmate richiede dunque: - che la funzine del temp h(t) sia peridica; - che h(t) sia a banda limitata; - che la frequenza di campinament temprale sia almen pari al dppi della massima frequenza del segnale peridic; - che la finestra di campinament (vver, esplicitamente, la funzine di trncament x(t)) sia diversa da zer su un intervall esattamente pari ad un perid ( un multipl inter di peridi) di h(t). b) Frme d nda peridiche a banda limitata: finestra di campinament diversa dal perid. Rimuviam ra una delle iptesi che rendn pssibile la cincidenza tra trasfrmata cntinua e trasfrmata discreta di Furier: sempre cn riferiment al cas semplice di segnale csinusidale, cme mstrat in Figura 5, suppniam che la finestra di campinament abbia durata diversa (nel cas in esame, maggire) di un perid. Cme cnseguenza di questa scelta, si ttiene la funzine g(kt) mstrata in Figura 5(g), che differisce cnsiderevlmente dalla funzine iniziale: si tratta ancra (e nn ptrebbe essere altrimenti, essend questa una cnseguenza del campinament in frequenza) di una funzine peridica, ma l andament all intern di un perid nn è una replica (eventualmente a men del fattre di scala) della h(t). E facile pensare che le trasfrmate delle funzini h(t) e g(kt) sian diverse tra lr e che dunque la discretizzazine abbia intrdtt in quest cas un errre, che può essere anche significativ. 9

10 Figura 4

11 Figura 5

12 In effetti, la Figura 4 è in quest cas sstituita dalla Figura 6, ve si è cnsiderat il cas, per fissare le idee, di T = 3.5T (T è il perid della h(t)). Cntrariamente alla Figura 4, il risultat del campinament in frequenza è in generale divers da zer per tutti i valri di n/t ; nn sn presenti le delta di Dirac in ±/T, che invece frniscn la trasfrmata riginale, mentre cmpare una sequenza di altri impulsi matematici che certamente nn apparivan nella trasfrmata riginale. In definitiva, a seguit della scelta nn crretta della finestra di campinament, la funzine G(n/T) è del tutt diversa dalla H(f) e la DFT nn prduce una accettabile apprssimazine della trasfrmata cntinua. Ci sn altre cnsiderazini utili ai fini della cmprensine. Cme si vede in Figura 5(g) a sinistra, la peridicizzazine della funzine trncata ha prdtt una g(kt) che ha valr medi divers da zer. Di cnseguenza, è lecit aspettarsi che la sua trasfrmata abbia cmpnente nn nulla nell rigine 2. La cmparsa delle altre cmpnenti può a sua vlta essere giustificata qualitativamente sulla base dell sservazine che il trncament nel dmini del temp ha in quest cas prdtt una funzine che presenta frti discntinuità (vedi ancra Figura 5(g)). Cme nt dalla teria generale della trasfrmata di Furier, una funzine più rapidamente variabile ha assciat un spettr cn un maggir numer di cmpnenti armniche. In sstanza, l spettr si allarga e cmpain lbi laterale che nn eran presenti nella trasfrmata riginale. Quest fenmen viene denminat leakage (letteralmente: dispersine) ed è implicit all perazine di trncament. el cas a) precedente (Figura 3) era stat cmpensat dalla scelta pprtuna della durata di x(t) rispett al perid di h(t); venend men questa scelta, nel cas in esame, l effett di leakage risulta evidente e prduce una intllerabile distrsine. c) Frme d nda di durata finita. Cnsideriam la funzine h(t) illustrata in Figura 7(a). Se, cme nel cas in esame, la h(t) ha durata limitata, la sua trasfrmata di Furier ha certamente estensine illimitata (dalle prprietà della trasfrmata). In quest cas, allra, l aliasing nel dmini della frequenza sarà inevitabile e ccrre scegliere il perid di campinament T in md tale da minimizzarne gli effetti. In realtà, cntravvenend (vlutamente, per scpi didattici) a questa indicazine, nell esempi di Figura 7 il valre di T è stat assunt trpp grande e di cnseguenza (vedi Figura 7(c)) l aliasing è in quest cas significativ. Essend la funzine h(t) di durata finita, l perazine di mltiplicazine per x(t) (finestra di campinament) nn è necessaria; gli campini verrann distribuiti, cn distanza T l un dall altr, entr l intervall T in cui la funzine è diversa da zer. Campinand in frequenza cn perid /T nn si ha distrsine nel dmini del temp: la funzine g(kt) è vviamente peridica ma riprduce fedelmente la frma d nda riginale. La sua trasfrmata però (funzine G(n/T) di figura) risente dell effett di aliasing dvut al campinament. Questa è peraltr l unica distrsine intrdtta dalla DFT e, cme dett, può essere cntrllata agend sul perid di campinament. Per l esempi in questine, ess dvrebbe essere ridtt. In cnclusine, per la classe di funzini in esame, la DFT può frnire (cn la scelta adeguata del perid di campinament) un ttima apprssimazine della trasfrmata di Furier cntinua. Sfrtunatamente, nella pratica, sn pchi i casi in cui interessa cnsiderare funzini del tip in esame. d) Frme d nda peridiche generiche. La Figura 7 può anche essere utilizzata per illustrare il legame tra trasfrmata discreta e trasfrmata cntinua nel cas di funzini peridiche ma nn a banda limitata. 2 Si ricrdi che l ampiezza nell rigine della trasfrmata di Furier di una funzine s(t) è prprzinale al valre medi; si ha infatti S() = s(t)e i2π t dt = s(t)dt 2

13 Figura 6 3

14 Figura 7 4

15 Suppniam, infatti, che la h(t) di Figura 7(a) rappresenti l evluzine all intern di un singl perid di una frma d nda peridica. Se questa frma d nda viene campinata e trncata assumend una finestra di campinament esattamente pari ad un perid (T ) il risultat sarà di nuv la funzine mstrata in Figura 7(c) a sinistra. In quest cas la H(f) è cstituita, a men di un fattre mltiplicativ, da una successine di infinite delta di Dirac, distanziate di /T l una dall altra e di area pari al valre lcale della trasfrmata di Furier della rappresentazine elementare del segnale (si nti che in Figura è stat riprtat il H(f) mentre, in generale, ccrrerebbe cnsiderare anche la fase; per gli scpi presenti, però, la relazine tra i mduli è più che sufficiente). Tenend anche cnt della finestra di campinament (ra necessaria) la Figura 7(c) a destra deve essere mltiplicata per una successine di funzini del tip sin(f)/f (trasfrmata dell impuls rettanglare) centrate su multipli di /T. Queste funzini intrducn, al slit, un ripple sulla frma della trasfrmata ma nn in crrispndenza di n/t (n =, ±, ±2, ) ve esse si annullan. Di cnseguenza, gli impulsi di campinament in frequenza (funzine (f)) a men di un inessenziale (e sempre cmpensabile) fattre di scala campinan una funzine che, nei punti di interesse, ha l stess valre della trasfrmata di Figura 7(c), e quindi, cme risultat del campinament, si ha la stessa G(n/T) di Figura 7(e). Cme per le funzini di tip c), l unica fnte di errre è data dall aliasing; il risultat, dunque, è bun quant nel cas precedente e anzi, frmalmente (ma nn sstanzialmente) anche di più se si cnsidera che anche la trasfrmata riginale è discreta. D altr cant, queste cnclusini sn vere a patt di aver scelt la durata della finestra di campinament esattamente pari ad un perid ( un multipl inter di un perid) della h(t). Se csì nn è, vann applicate le cnsiderazini già sviluppate per il cas b) e che cmprtan, cme si è vist, la pssibilità di avere una distrsine significativa della trasfrmata. e) Frme d nda generiche. La classe di funzini più imprtante in pratica è vviamente quella delle funzini nn peridiche, nn limitate nel temp e nn limitate in banda. Un esempi di applicazine della DFT ad una funzine di quest tip è riprtat in Figura 8. In quest cas, devn vviamente essere applicate tutte le limitazini ed i prblemi evidenziati in precedenza. In particlare: - il campinament nel dmini del temp prduce aliasing in frequenza (Figura 8(c)); - il trncament nel dmini del temp intrduce un ripple in frequenza (Figura 8(e)); - il campinament nel dmini della frequenza prduce una nuva funzine illimitata ma che, cntrariamente (in generale) alla h(t) riginale, è peridica e riprduce l andament sl di una przine (di durata T ) di h(t). Il risultat è dunque la cppia di funzini mstrata in Figura 8(g) e che differisce, in misura più men marcata, dalla cppia riginale di Figura 8(a). Per ridurre l entità dell errre ccrrerebbe, in linea di principi, assumere valri di T i più piccli pssibile e valri di T i più grandi pssibile. E evidente che ambedue queste sluzini vann nella direzine di aumentare il valre di, il che è cntr la lgica della DFT che cerca di perare su un numer limitat di campini. Occrre dunque trvare un cmprmess, che tipicamente va cercat ad hc per la particlare funzine cnsiderata. Vi è pi tutta una serie di accrgimenti che vengn psti in essere all att dell implementazine numerica (ad esempi la scelta di funzini di trncament sagmate al pst della funzine rettanglare per ridurre il ripple in frequenza) la cui discussine nn può essere apprfndita in quest cntest. 5

16 Figura 8 6

17 7

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