Daniele Marini. Aliasing spaziale e blending di immagini

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1 Daniele Marini Aliasing spaziale e blending di immagini

2 Cos è un alias? Alias - In telecomunicazione un falso segnale dovuto a interferenza tra frequenza del segnale e frequenza di campionamento aliasing c è ovunque in computer graphics poichè il rendering è un processo di campionamento Esempi: linee a dente di sega (jagged lines) false tramature di texture (moirée) 2

3 Aliasing spaziale di linee e di texture Osserviamo aliasing sia su singole linee o bordi (denti di sega) sia su texture (moirée) 3

4 Aliasing temporale Si osserva aliasing anche in sequenze di immagini: 4

5 Il rendering è un processo di campionamento 5

6 Il rendering è un processo di campionamento rendere una curva 6

7 Campionare segnali Due passi nella rappresentazione digitale di un segnale: campionamento e ricostruzione Campionamento: da segnale continuo a campioni discreti Ricostruzione: dai valori discreti al segnale continuo Aliasing può derivare da entrambi i passaggi 7

8 Alias temporale provocato da sottocampionamento una ruota sembra girare in senso inverso Osserva solo a 1/4 della frequenza problema di sotto campionamento 8

9 Alias provocato da sotto-campionamento segnale 1D segnale effettivo segnale campionato 9

10 Alias spaziale provocato da sottocampionamento segnale 2d: moirée aliasing moderato aliasing più forte 10

11 Alias e spettro Si può comprendere matematicamente il fenomeno dell aliasing considerando che lo spettro di un segnale a supporto finito si ripete periodicamente Se la frequenza di campionamento è inferiore alla frequenza massima del segnale queste ripetizioni si sovrappongono nelle code 11

12 Alias e spettro 12

13 Se aumentiamo la frequenza di campionamento? f=1 rpm 1 campione per rivoluzione 1 < campione/rivoluzione < 2 2 campioni/rivoluzione > 2 campioni/rivoluzione 13

14 Quanto basta? qual è la giusta frequenza di campionamento? teorema del campionamento (o limite di Nyquist) - la frequenza di campionamento deve essere almeno doppia della massima frequenza del segnale due campioni in questo periodo 14

15 Si può evitare totalmente aliasing.... dato il limite di Nyquist? In realtà no la frequenza massima potrebbe essere infinita, segnale non limitato in banda La maggior parte delle scene grafiche e le immagini non sono bandlimited: bordi netti non possono mai venire campionati correttamente in modo digitale (point sampling) Si può limitare il segnale in banda con un filtro passa basso Come si può correggere o limitare l aliasing? 15

16 Ricostruzione Dopo aver campionato (idealmente) in modo corretto, dobbiamo ricostruire il segnale continuo Si procede usando filtri di ricostruzione 16

17 Alcuni filtri di ricostruzione Filtri più comuni: Box - Interpolazione Nearest neighbour Filtro a tenda Interpolazione lineare 17

18 Alcuni filtri di ricostruzione Interpolazione bicubica 18

19 Box Molto semplice ma non molto buono 19

20 Filtro triangolare Lineare Basato su interpolazione lineare. Migliore ma ancora non smooth 32x32 Nearest neighbor 20

21 Bicubico Filtro passa basso ideale: nearestneighbor bicubica lineare 21

22 Ricampionamento Supponiamo che i campioni siano a intervalli unitari: 0,1,2,3,4, Ricampionare in modo che la loro distanza valga a a< 1 produce magnification a>1 produce minification 22

23 Ri-campionamento Minification e Magnification ricampiona il segnale a risoluzioni diverse Minification Magnification (in questo caso la minificazione è stata fatta male) 23

24 Magnification facile da usare, ricampiona in modo semplice il segnale da ricostruire Segnale ricostruito Ricampionamento a frequenza doppia del segnale ricostruito 24

25 Minification Raddoppiamo la distanza tra i campioni Si ha un effetto di sfocatura 25

26 Minification Più difficile La frequenza del segnale è troppo alta per evitare aliasing Soluzioni possibili: Accresci l ampiezza del filtro passa basso del filtro ideale sinc - sfoca l immagine Prima sfoca l immagine (con qualunque metodo), poi ricampionala 26

27 Piramidi di immagini Nota come Gaussian Pyramid [Burt and Adelson, 1983] Nella grafica si usa per gestire texture: mip map [Williams, 1983] Ogni immagine si ottiene sfocando con filtro gaussiano e sottocampionando

28 A cosa serve? Precomputazione Per accedere all immagine a differenti livelli di sfocature Utile per il texture mapping a risoluzione differenti (chimato mip-mapping) Image Processing Elaborarare le diverse bande di frequenza separatamente ad esempio per image blending Migliorare la ricerca in banche dati di immagini Applicare il template matching a scale differenti

29 Costruzione della piramide Gaussiana Maschera di filtraggio Repeat Filtra Sottocampiona Until risoluzione minima raggiunta Si può specificare il numero di livelli desiderato

30 Sotto campionamento di immagini 1/8 1/4 Scarta una riga e una colonna ogni due per creare un immagine a 1/2 scala - Chiamato image sub-sampling

31 Sotto campionamento di immagini 1/2 1/4 (2x zoom) 1/8 (4x zoom) Perchè così brutte? Non abbiamo rispettato il limie di Nyquist!

32 Pre filtraggio gaussiano G 1/8 G 1/4 Gaussian 1/2 Soluzione: filtra l immagine, poi sottocampiona A ogni passo di ½ riduzione il filtro deve raddoppiare

33 Sottocampionamento con pre filtro gaussiano Gaussian 1/2 G 1/4 G 1/8

34 Confronto con il metodo ingenuo 1/2 1/4 (2x zoom) 1/8 (4x zoom)

35 Image Blending

36 Image Blending

37 Feathering, basato su alpha channel

38 Feathering, basato su alpha channel = Controlliamo la trasparenza sul bordo I(x,y) = (αr, αg, αb, α) I blend = I left + I right

39 Dipende dall estensione 1 left 1 0 right effetto fantasma (ghost) 0

40 Dipende dall estensione

41 Dimensione ottimale dell intervallo di blending 1 Smooth senza effetto fantasma (ghost) Esempio Matlab blend.m 0

42 Qual è la dimensione ottimale dell intervallo? Per evitare cuciture Intervallo >= size della figura più rilevante Per evitare ghosting Intervallo <= 2*size della figura più rilevante

43 Qual è la dimensione ottimale dell intervallo? Per evitare cuciture Intervallo >= size della figura più rilevante Per evitare ghosting Intervallo <= 2*size della figura più rilevante Se lavoriamo nel dominio di Fourier frequenza maggiore <= 2*size della frequenza minima Il contenuto frequenziale dell immagine dovrebbe occupare una ottava (frequenze in rapporto 2:1) FFT

44 Se la gamma di frequenze è elevata? FFT

45 Se la gamma di frequenze è elevata? FFT Idea (Burt and Adelson) Calcola F left = FFT(I left ), F right = FFT(I right ) Scomponi la trasformate di Fourier in bande F left = F 1 left + F 2 left + Miscela sfumando le bande corrispondenti (1-t) F i left + t F i right Antitrasforma Si può implementare nel domino spaziale

46 Ricordiamo l effetto della sfocatura original

47 Sfocata smoothed (5x5 Gaussian)

48 Filtro passa alto Sfocata originale: I bordi e le alte frequenze

49 Costruzione piramide Piramide gaussiana (filtri passa basso) Piramide Laplaciana (immagini a bande di frequenza) Creata dalla piramide gaussian per sottrazione

50 Costruzione piramide Piramide gaussiana (filtri passa basso) Piramide Laplaciana (immagini a bande di frequenza) Creata dalla piramide gaussian per sottrazione

51 Piramide Laplaciana Ci serve questa! Original image Come ricostruiamo l immagine(collassiamo la piramide)?

52 Piramide Laplaciana Ci serve questa! Original image Come ricostruiamo l immagine(collassiamo la piramide)?

53 Piramide Laplaciana Lo schema con Simulink: costruzione e ricostruzione (collassare la piramide) - laplacianwarping.mdl

54 Osservazione impyramid (X, reduce ) riduce una MxN in una ceil(m/2) x ceil(n/2) impyramid (X, expand ) espande a (2*M-1) x (2*N-1) Se M o N non sono potenze di 2 o sono dispari occorre ridimensionare l immagine ricostruita dopo expand per poter collassare la piramide Non usare imresize! (opera uno smooth), meglio imcrop (per ridurre) o padarray (per allargare)

55 Blending piramidale Piramide sinistra blend Piramide destra

56 Blending piramidale

57 Livello laplaciano 4 Livello laplaciano 2 Livello laplaciano 0 Piramide sin. Piramide des. Piramide miscelata

58 Blending con piramide laplaciana Approccio generale: 1. Costruisci piramide Gaussiana GA e GB dalle immagini A e B 2. Costruisci piramide Laplaciana LA e LB dalle immagini A e B 3. Costruisci piramide Gaussiana GM della maschera di blending 4. Forma piramide combinata LS da LA e LB usando nodi di Gm come pesi: LS(I,j) = GM(I,j,)*LA(I,j) + (1-GM(I,j))*LB(I,j) 5. Miscela con GM livello N GA livello N e GB livello N 6. Collassa la piramide LS per ottenere l immagine finale miscelata Esempio MATLAB pyramid_blending.m

59 Blending di regioni

60 Horror Photo prof. dmartin

61 Blending a due bande Brown & Lowe, 2003 Usa solo due bande: alta freq. e bassa freq. Miscela con smoothing la bassa frequenza Miscela alta frequenza senza smoothing: usa una maschera binaria

62 Blending a due bande Alta frequenza (λ < 2 pixel) Bassa fequenza (λ > 2 pixel)

63 Blending lineare

64 Blending a due bande

65 Dominio del gradiente Nel Blending piramidale abbiamo decomposto l immagine in derivate 2 nd (Laplaciano) e a bassa risoluzione Consideriamo ora la derivata prima (gradiente): Non abbiamo bisogno della bassa risoluzione Cattura tutta l informazione (fino alle costanti) Idea: Deriva Miscela Integra

66 Blending nel dominio del Gradiente (1D) due segnali chiaro scuro Blending regolare Blending delle derivate

67 Gradient Domain Blending (2D) Più complesso in 2D: Prendi derivate parziali dx e dy (campo del gradiente) Elabora (smooth, blend, feather, etc) Re-integra Ma ora integral(dx) può essere diverso da integral(dy) Trova la soluzione più gradevole (Equivalent to solving Poisson equation) Si può usare FFT, deconvolution, o altro

68 Confronti: Levin et al, 2004

69 Perez et al., 2003

70 Perez et al, 2003 editing Limiti: Non si può invertire il contrasto (gray on black -> gray on white) Sfondo colorato stinge Le immagini devono essere allineate molto bene

71 Non miscelare: TAGLIA! Gli oggetti in movimento creano effetto fantasma (ghost)

72 Davis, 1998 Segmentare creando un mosaico Ogni segmento è una immagine sorgente Elimina artefatti lungo i contorni Algoritmo di Dijkstra s

73 Efros & Freeman, 2001 blocco Input texture B1 B2 B1 B2 B1 B2 Blocchi posti casualmente Forza blocchi vicini a sovrapporsi Minimal error boundary cut

74 Minimal error boundary Blocchi sovrapposti Confine verticale 2 _ = Errore di sovrapposizione min. error boundary

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