Integrale e derivata Integratore e derivatore - Un analisi grafica Matematica Elettronica
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- Davide Agostino Marino
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1 Integrale e derivata Integratore e derivatore - Un analisi grafica Matematica Elettronica Percorso didattico sull integratore e il derivatore svolto in compresenza dai docenti di matematica Lucia Pinzauti e elettronica Leonardo Barsantini dell Istituto secondario di secondo grado E. Balducci di Pontassieve. Il percorso è stato proposto alla classe VB ITI nell anno scolastico Il lavoro riprende una precedente attività, svolta nella classe terza, sulle funzioni definite a tratti. In quella occasione gli studenti avevano studiato tali funzioni tracciandone il grafico e scrivendone delle nuove in funzioni dei parametri forniti loro: ampiezza, periodo, duty cycle. Nella quinta si riprendono le funzioni tracciate allora e scelte per la loro significatività in elettronica: onda quadra, a dente di sega e triangolare. Il lavoro, svolto operativamente dagli studenti sia in classe che a casa, si articola in più fasi. Alcune ore sono state svolte in compresenza. Di seguito sono riportati le fasi del lavoro con alcune indicazioni teoriche per comprendere l attività impostata in classe. 1
2 Le onde Onda quadra Si osservi che qui sono disegnati anche i fronti di salita e discesa dell onda secondo la rappresentazione dell elettronica, ma non secondo quella della matematica, dove non si dovrebbero disegnare i tratti verticali. Di questo abbiamo discusso con gli studenti per porre l accento sulle due diverse rappresentazioni. Dente di sega Onda triangolare 2
3 Fase 1 La derivata Gli studenti applicano le loro conoscenze teoriche per tracciare la derivata delle funzione proposte. Per ogni funzione gli studenti, singolarmente, devono calcolare la derivata; tracciare il grafico della funzione s(t) e della sua derivata, con T = 6ms; indicare gli eventuali punti in cui s(t) non è continua e quelli in cui non è derivabile. Scheda 1 - Onda quadra s(t) 8 V - 5 V per per n T t T 2 T 2 nt nt t T nt con n = 0, 1, 2, Scheda 2 - Onda a dente di sega s(t) = 2(t nt) per n T t < T + nt con n = 0, 1, 2, Il coefficiente angolare è espresso in V/ms. 3
4 Scheda 3 - Onda triangolare 2t - 2nT s(t) - 2t 2(n 1)T con n = 0, 1, 2, per per n T t T 2 T 2 nt nt t T nt Il coefficiente angolare è espresso in V/ms. 4
5 Fase 2 Il derivatore Le stesse funzioni sono ora analizzate con il derivatore, un circuito elettronico realizzato in laboratorio. Gli studenti devono montare il circuito con un amplificatore operazionale, generare i segnali con T=6ms, visualizzare sull oscilloscopio il segnale di ingresso e di uscita dal derivatore reale a operazionale; confrontare i segnali di uscita dal derivatore con le derivate ottenute nella fase 1. (Scheda 4 Scheda 5 Scheda 6 ) Circuito derivatore 5
6 Derivata onda quadra con derivatore Si nota che la derivata ottenuta dal derivatore presenta degli impulsi, verso l alto e verso il basso, che la derivata matematica non presenta. Infatti la derivata di un onda quadra, (costante in ogni tratto) dove esiste, è zero. Qui sono presenti gli impulsi poiché i fronti di salita e di discesa dell onda hanno pendenza molto elevata, ma inferiore a 90. L onda reale è dunque un trapezio più che un quadrato o un rettangolo. Dalla lettura della scala del canale B dell oscilloscopio si deduce che gli impulsi hanno un ampiezza di circa 10 11V (un quadretto in verticale). In realtà la loro ampiezza è molto maggiore, ma qui è limitata dalla saturazione dei derivatori alimentati a ±12V (valore massimo in tensione permesso da un amplificatore operazionale e funzione dell alimentazione). Questo aspetto ha richiesto una specifica discussione con gli studenti per essere compreso. Si noti che il derivatore è invertente, cioè cambia il segno della derivata. 6
7 Derivata dente di sega con derivatore Anche l onda a dente di sega presenta l impulso in corrispondenza del fronte di discesa. Derivata onda triangolare con derivatore La derivata dell onda triangolare mostra un tempo di salita o di discesa, in corrispondenza dei fronti di salita e di discesa, diverso da zero. Qui si nota facilmente il fenomeno dell inversione prodotta dal derivatore: alla salita dell onda triangolare corrisponde, nella derivata, un tratto costante negativo e viceversa. 7
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11 Tutti questi grafici non sono di facile lettura. Il percorso dovrebbe anche permettere agli studenti di incrementare le loro competenze nell uso della strumentazione e, in particolare, nella lettura dell oscilloscopio. Si osservi, ad esempio, che non è tracciato nessun asse orizzontale di riferimento, che pure c è, e ed compito di chi usa lo strumento comprendere dove si trova questo riferimento orizzontale. Su questo abbiamo lavorato con gli studenti nel laboratorio di elettronica. Nelle ultime due foto, i segnali derivati non sono invertiti poiché l oscilloscopio permette, a sua volta, l inversione dei segnali e quindi, usando questa funzione, abbiamo raddrizzato le uscite. 11
12 Fase 3 L integrale Questa fase del percorso è analoga alla fase 1, con la differenza che adesso si devono calcolare gli integrali delle funzioni proposte, tracciare il grafico della funzione s(t) e della sua primitiva S(t), calcolare il valore massimo e minimo di S(t). Il periodo delle onde è sempre fissato a 6ms. Un ulteriore problema: si considerano onde con offset=0v per facilitare la visualizzazione dei segnali integrati sull oscilloscopio senza traslazioni dovute all offset che portano rapidamente in saturazione il segnale di uscita. Infatti l integratore è anche un amplificatore che amplifica soprattutto alle basse frequenze. Un offset nel segnale equivale a un segnale in continua (cioè a frequenza zero) che amplificato porta in saturazione l uscita (cioè oltre il limite concesso dall alimentazione) impedendo (o rendendo difficoltosa) la visualizzazione all oscilloscopio. La comprensione di questo aspetto non è banale per gli studenti. Scheda 7 - Data la funzione (onda a dente di sega) s(t) = 2(t nt)-6 per n T t < T + nt con n = 0, 1, 2, Il coefficiente angolare è espresso in V/ms, la costante 6 in volt. Determina, nel primo periodo, la primitiva S(t) di s(t) in modo che S(0) = 6. L onda a dente di sega è il caso più semplice di determinazione della costante. Per questo è proposto prima delle altre. 12
13 Scheda 8 - Data la funzione (onda quadra) s(t) 5 V - 5 V per per n T t T 2 T 2 nt nt t T nt con n = 0, 1, 2, Determina, nel primo periodo, la primitiva S(t) di s(t) in modo che S(1,5) = 0 e S(t) sia continua. Scheda 9 - Data la funzione (onda triangolare) 2t - 2nT - 3 s(t) - 2t 2(n 1)T - 3 con n = 0, 1, 2, per per n T t T 2 T 2 nt nt t T nt Il coefficiente angolare è espresso in V/ms, la costante 3 in volt. Determina, nel primo periodo, la primitiva S(t) di s(t) in modo che S(0) = 0 e S(t) sia continua. 13
14 L integrazione della funzione presenta un ulteriore passaggio, rispetto alla derivata, nella determinazione della costante di integrazione con le condizioni fornite. Consideriamo la funzione a dente di sega. In questo caso l integrale fornisce: S(t)= t 2 - (2nT+6)t + cost 0 t<6ms Per determinare la costante si impone che, con n=0, nel primo periodo per t=0 f(0)=6v. In tal modo la costante vale 6. f(t)= t 2-6t t<6ms. 14
15 L integrale dell onda quadra fornisce un onda triangolare: f(t)= 5t+cost f (t)=-5t+cost nel primo semiperiodo (0 t<3ms) nel secondo semiperiodo (3 t<6ms). Come si vede dal grafico, per determinare le costanti si può imporre che, con n=0, nel primo semiperiodo f(t)=0 per t=1,5ms e nel secondo semiperiodo f (t)=0 per t=4,5ms. In questo modo si ottiene: cost=-7,5 f(t)= 5t-7,5 f (t)=-5t+22,5 cost =22,5. 0 t<3ms 3 t<6ms (Un periodo può essere sufficiente). L onda triangolare oscilla fra il valore minimo di -7,5V e il valore massimo di 7,5V. 15
16 L integrale dell onda triangolare fornisce: f(t)= t 2 - (2nT+3)t + cost f(t)= -t 2 +[2(n+1)T-3]t + cost 0 t<3ms 3 t<6ms Come si vede dal grafico, per determinare le costanti si può imporre che, con n=0, nel primo semiperiodo f(t)=0 per t=0ms e nel secondo semiperiodo f(t)=0 per t=3ms. In questo modo si ottiene: cost=0 cost =-18. f(t)= t 2-3t f(t)= -t 2 + 9t t<3ms 3 t<6ms L onda f(t) oscilla fra il valore minimo di -2,25V e il valore massimo di 2,25V. 16
17 Fase 4 L integratore Le stesse funzioni sono ora analizzate con l integratore, un circuito elettronico realizzato in laboratorio. Gli studenti devono montare il circuito con un amplificatore operazionale, generare i segnali con T=6ms, visualizzare sull oscilloscopio il segnale di ingresso e di uscita dall integratore reale a operazionale; confrontare i segnali di uscita dall integratore con gli integrali della fase 3. (Scheda 10 Scheda 11 Scheda 12) Integrale dente di sega con integratore Qui si nota l inversione introdotta dall integratore. 17
18 Integrale onda quadra con integratore Integrale onda triangolare con integratore 18
19 Nota al percorso Perché il derivatore deriva La carica sul condensatore è: q=c * (v s -0) Per la legge di Ohm: (0-v o )=R * i Inoltre: q=c * v s -v o =R * i 19
20 Perché l integratore integra v s -0=R * i 20
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