Distribuzioni per unità

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1 Questa ota cosiste per la maggior parte ella traduzioe (co alcue modifiche e itegrazioi) da Descriptive statistics di J. Shalliker e C. Ricketts, 000, Uiversity of Plymouth Questa ota si occupa dell illustrazioe dei metodi per il calcolo degli idici di posizioe di ua distribuzioe. I particolare si vedrà l uso di Excel per il calcolo: i) della media aritmetica ii) della mediaa iii) della moda iv) dei quartili Vegoo presetate separatamete l aalisi dei dati sotto forma di distribuzioe per uità e l aalisi dei dati sotto forma di distribuzioe di frequeza. Nell illustrazioe dei metodi useremo il file esercizio4_dati.xls articolato i tre fogli di lavoro. Distribuzioi per uità La media aritmetica Data ua distribuzioe uitaria a, a,, a, la media aritmetica è data dalla somma delle osservazioi divisa per, cioè a a a µ = = a i i= Si ricordi che la media aritmetica si può calcolare quado il carattere è quatitativo. Cosideriamo come esempio il data set coteuto el foglio di lavoro statura del file esercizio4_dati.xls. Esiste ua fuzioe statistica i Excel che calcola automaticamete la media aritmetica di ua distribuzioe data sotto forma di distribuzioe uitaria. Quidi calcolare la media è molto semplice. Vediamo come fare: - ella cella F0 scrivere il titolo Media= - posizioarsi ella cella G0 e scrivere la formula =MEDIA(D4:D0) Se o vi ricordate la fuzioe da usare: ua volta posizioati ella cella G0, ella barra dei comadi cliccare su Iserisci e el meu che si apre scegliere Fuzioe. Si apre ua fiestra di dialogo. I questa scegliere le fuzioi statistiche (i questo modo vedrete la lista di tutte le fuzioi statistiche. I questa lista scegliere MEDIA. Cliccare su OK. Si apre ua uova fiestra di dialogo. Nello spazio chiamato Num iserire l itervallo i cui si trovao i dati (ossia D4:D0). Cliccare su OK. Nel ostro esempio il risultato sarà 70, - A questo puto potete ache cambiare il umero di cifre decimali che volete siao visualizzate. Per fare questo ella barra dei comadi cliccare su Formato e el meu che si apre scegliere Celle. Si apre ua fiestra di

2 dialogo costituita da varie pagie. Posizioatevi sulla pagia Numero. Verificate che ella lista chiamata Categoria sia selezioato Numero. Nel lato di destra della pagia potete scegliere il umero di cifre decimali (qui chiamate Posizioi decimali) che volete visualizzare. Cliccare su OK. La mediaa La mediaa è quella modalità che divide i due la distribuzioe ua volta che questa è stata ordiata rispetto alle modalità del carattere rilevato. I geerale, quado si ha ua distribuzioe uitaria a, a,, a dove i termii soo posti i ordie o decrescete, a) se la umerosità del collettivo è dispari allora la mediaa è data a + e cioè dalla modalità presetata dall uità che occupa il posto cetrale ella distribuzioe ordiata; b) se la umerosità del collettivo è pari allora, le modalità mediae soo a e a. + Data la defiizioe formale di mediaa (per la quale si rimada a testi di statistica), la mediaa è data da a e cioè dalla modalità presetata dall uità che occupa il posto ella distribuzioe ordiata. I molto casi però la mediaa quado è pari, viee calcolata come media aritmetica delle due modalità mediae, ossia viee posta per covezioe pari a a + a M e = + Ache Excel se è pari calcola la mediaa come M e = a + a + Per i caratteri quatitativi esiste ua fuzioe statistica i Excel che calcola automaticamete la mediaa di ua distribuzioe uitaria. Quidi calcolare la mediaa è molto semplice. Cosideriamo per esempio il data set el foglio di lavoro statura del file esercizio4_dati.xls e vediamo come fare: - ella cella F scrivere il titolo Mediaa= - posizioarsi ella cella G e scrivere la formula =MEDIANA(D4:D0) Se o vi ricordate la fuzioe da usare: ua volta posizioati ella cella G, ella barra dei comadi cliccare su Iserisci e el meu che si apre scegliere Fuzioe. Si apre ua fiestra di dialogo. I questa scegliere le fuzioi statistiche (i questo modo vedrete la lista di tutte le fuzioi statistiche. I questa lista scegliere MEDIANA. Cliccare su OK. Si apre ua uova fiestra di dialogo. Nello spazio chiamato Num iserire l itervallo i cui si trovao i dati (ossia D4:D0). Cliccare su OK. Nel ostro esempio il risultato sarà 69,7

3 Calcolata la mediaa, se ecessario è possibile cambiare il formato del umero esattamete come visto per il calcolo della media. Nota: la fuzioe mediaa cosete u calcolo molto rapido della mediaa perché ordia automaticamete le osservazioi e dopo cerca quella (se è dispari) o quelle due (se è pari) osservazioi che dividoo i due la distribuzioe. Se il carattere è qualitativo ordiato la fuzioe mediaa o può essere utilizzata. I tal caso si hao due strade: ) dare ua codifica umerica alle modalità del carattere e poi usare la fuzioe MEDIANA; ) calcolare la mediaa a partire dalla distribuzioe di frequeza (vedremo questo metodo più avati ella ota). Cosideriamo per esempio i dati el foglio di lavoro Categoria fodi el file esercizio4_dati.xls, le categorie possoo essere ricodificate come segue: piccole medie gradi 3. Fatta la ricodifica si può usare la fuzioe MEDIANA. I questo caso la mediaa del data set ricodificato risulta pari a. Quidi o resta che adare a vedere a quale categoria corrispode. Vediamo che corrispode alla categoria medie. Quidi la mediaa della ostra distribuzioe è medie. Trovate questo esempio svolto el file esercizio4_svolto.xls. La moda La moda è u idice di posizioe molto comuemete usato e molto semplice da calcolare. È usato pricipalmete el caso i cui il carattere rilevato sia qualitativo scoesso. Lo si usa ache quado il carattere è qualitativo ordiato e quatitativo discreto. Nel caso dei caratteri quatitativi cotiui, si calcola moda pricipalmete se si lavora su ua distribuzioe i classi. Per illustrare il calcolo della moda usiamo il foglio di lavoro Voto chiarezza del file esercizio4_dati.xls. Per i caratteri quatitativi esiste ua fuzioe statistica i Excel che calcola automaticamete la moda di ua distribuzioe data sotto forma di distribuzioe uitaria. Quidi calcolare la moda è molto semplice. Vediamo come fare: - ella cella E scrivere il titolo Moda= - posizioarsi ella cella F e scrivere la formula =MODA(C4:C55) Se il carattere è qualitativo la fuzioe moda o può essere utilizzata. I tal caso si hao due strade: ) dare ua codifica umerica alle modalità del carattere e poi usare la fuzioe MODA; ) calcolare la moda a partire dalla distribuzioe di frequeza. Questa è la strada più semplice. Ifatti la moda è data dalla modalità del carattere a cui corrispode la frequeza assoluta (o relativa o percetuale) più elevata. Se, Se la distribuzioe è uitaria e il carattere è quatitativo cotiuo allora molto probabilmete i valori rilevati soo tutti (o quasi) diversi fra loro e quidi o ha seso trovare il valore più frequete. 3

4 ivece della distribuzioe, si ha u grafico, la moda è la modalità a cui corrispode la barra più elevata oppure il astro orizzotale più lugo oppure la fetta di torta più grade. Ad esempio el foglio di lavoro Categoria fodi del file esercizio4_dati.xls dal grafico si vede che Moda = piccole. Distribuzioi di frequeze I molto casi può accadere che o si dispoga della distribuzioe per uità ma solo della distribuzioe di frequeza. Allora Excel o dispoe di fuzioi per il calcolo automatico di media aritmetica, mediaa e moda e occorre derivarle eseguedo dei calcoli. La media aritmetica Ricordiamo che data ua geerica distribuzioe di frequeze X i f i x f x i i f i x K K f K la media aritmetica si defiisce come segue K K µ = x o equivaletemete µ = x f i i i i i= i= Cosideriamo come esempio il data set coteuto el foglio di lavoro Voto chiarezza del file esercizio4_dati.xls. I particolare lavoriamo solo sulla tabella di frequeza (igorado la lista di dati). Il calcolo della media prevede (se si usa la prima delle due formule sopra) ) il calcolo del prodotto tra ciascua modalità e la sua rispettiva frequeza ) la somma dei prodotti eseguiti el passo precedete 3) la divisioe del totale per la umerosità della popolazioe Vediamo come fare co Excel - ella cella H6 scrivere il titolo x*freq. - ella cella H7 scrivere la formula =E7*F7 e trasciare la formula fio a coprire la cella H3. - Nella cella H5 calcolare la somma del prodotti appea eseguiti usado il tasto di somma automatica Σ oppure scrivedo =somma(h7:h3). - Nella cella E scrivere Media= - Nella cella F scrivere la formula =H5/F5. A questo puto, se si vuole, è possibile cambiare il formato del umero. Il risultato el ostro esempio è 5,6. Se volete potete verificare che il risultato che si ottiee i questo modo è lo stesso che si otterrebbe se dispoessimo di tutta la lista dei dati. Questo succede prevaletemete quado si lavora su dati raccolti e già elaborati (almeo parzialmete) da altri, quali ad esempio ISTAT o eti goverativi. 4

5 Dati raggruppati i classi Se il carattere è raggruppato i classi X i f i c 0 c f c i- c i i f i c K- c K K f K data l i-esima classe, di estremi c i e c i, se e calcola il valore cetrale come segue: ci ci c xi = + e la media aritmetica pertato si calcola così K K c xii c xi fi i= i= µ = = Quado la classe è aperta allora si fao opportue ipotesi sul valore rappresetativo della classe. Cosideriamo come esempio il data set coteuto el foglio di lavoro statura del file esercizio4_dati.xls. I particolare lavoriamo solo sulla tabella di frequeza (igorado la lista di dati). Il calcolo della media i questo caso è approssimato visto che ogi classe viee rappresetata dal suo valore cetrale. Il calcolo si svolge ei segueti passi (se si usa la prima delle due formule sopra) ) Il calcolo del valore cetrale di ciascua classe (valore che chiamiamo qui cetro) el ostro esempio già dispoiamo del valore cetrale e quidi o è ecessario ricalcolarlo ) il calcolo del prodotto tra il cetro di ciascua classe e la sua rispettiva frequeza assoluta 3) la somma dei prodotti eseguiti el passo precedete 4) la divisioe del totale per la umerosità della popolazioe Vediamo come fare co Excel - ella cella M3 scrivere il titolo cetro*freq. - ella cella M4 scrivere la formula =J4*K4 e trasciare la formula fio a coprire la cella M5. - Nella cella M7 calcolare la somma del prodotti appea eseguiti usado il tasto di somma automatica Σ oppure scrivedo =somma(m4:m5). - Nella cella F scrivere Media approssimata= - Nella cella G scrivere la formula =M7/K7. A questo puto, se si vuole, è possibile cambiare il formato del umero (ad es. si può fissare pari a il umero di cifre decimali). Il risultato el ostro esempio è 70,. I questo caso si verifica che la media calcolata a partire dalla distribuzioe i classi (media che abbiamo chiamato media approssimata ) differisce, sebbee di poco, dalla media calcolata a partire dalla lista completa dei dati. 5

6 La mediaa Ricordiamo che, data ua geerica distribuzioe di frequeze i cui le modalità del carattere soo state ordiate, la mediaa è la più piccola modalità, diciamo x j, tale che F j- < 0.5 e F j 0.5 Per calcolare la mediaa occorre, quidi, calcolare le frequeze relative cumulate. Cosideriamo la distribuzioe di frequeza el foglio di lavoro Voto chiarezza del file esercizio4_dati.xls. (quato diciamo ora vale ache per le distribuzioi di frequeza egli altri due fogli di lavoro del file esercizio4_dati.xls ). - Nella cella I6 scrivere il titolo Freq. Cum. - Nella cella I7 scrivere la formula =somma(g$7:g7) e trasciare la formula fio a coprire la cella I3. Se l operazioe è stata eseguita i modo corretto, la frequeza relativa cumulata associata all ultima modalità (ossia el ostro esempio quella ella cella I3) deve essere pari a. Applicado la defiizioe di mediaa vediamo che il voto mediao è 6 (ifatti la frequeza relativa cumulata associata al voto che lo precede, cioè 5, è miore di 0.5 e la frequeza relativa cumulata associata a 6 è maggiore di 0.5). Dati raggruppati i classi Se il carattere è raggruppato i classi la mediaa si calcola i due passi ) trovare la classe mediaa, cioè la classe (c i-, c i ) tale che F i- < 0.5 e F i 0.5. ) idividuare la mediaa all itero della classe mediaa (c i-, c i ) co la seguete formula ci c M i e = c i + ( 0. 5 Fi ) fi Cosideriamo la distribuzioe di frequeza el foglio di lavoro Statura del file esercizio4_dati.xls. Come prima cosa occorre calcolare le frequeze relative cumulate come illustrato sopra. - Nella cella N3 scrivere il titolo Freq. Cum. - Nella cella N4 scrivere la formula =somma(l$4:l4) e trasciare la formula fio a coprire la cella N5. Se l operazioe è stata eseguita i modo corretto, la frequeza relativa cumulata associata all ultima modalità (ossia el ostro esempio quella ella cella N5) deve essere pari a. Nel ostro esempio la classe mediaa è 69,5 7,5 Ora o resta che trovare la posizioe della mediaa all itero della classe. - Nella cella F3 scrivere Mediaa approssimata= - Nella cella G3 scrivere la formula =I8+(I9-I8)*(0.5-N8)/L9. A questo puto, se si vuole, è possibile cambiare il formato del umero. Nel ostro esempio la mediaa approssimata 3 risulta pari e 69,6. 3 La mediaa è approssimata perché viee calcolata sulla base dell ipotesi di uiforme distribuzioe all itero delle classi. 6

7 La moda Ricordiamo che, data ua geerica distribuzioe di frequeze per u carattere sia qualitativo sia quatitativo discreto o raggruppato i classi purché di uguale ampiezza, la moda è data dalla modalità (o dalla classe) a cui è associata la frequeza (assoluta o relativa o percetuale) maggiore. Se il carattere è quatitativo raggruppato i classi di diversa ampiezza allora la moda è data dalla classe a cui è associata la desità (assolta o relativa) maggiore. Può accadere che più di ua modalità (o classi) abbiao la stessa frequeza (o desità) massima. I tal caso si ha ua distribuzioe plurimodale. Nell esempio el foglio di lavoro statura la distribuzioe è bimodale. Ifatti soo due le classi di statura a cui è associata la frequeza massima. Le due classi modali soo: 64,75 67 e 7,5 73,75 etrambe aveti frequeza assoluta 5. Nell esempio el foglio Voto chiarezza la distribuzioe ha come moda il voto 6 ( a cui è associata la frequeza assoluta ). Nell esempio el foglio Categoria fodi la distribuzioe ha come moda la categoria piccole ( a cui è associata la frequeza assoluta 60). I quartili Ache i quartili soo degli idici di posizioe. Costituiscoo l ultimo argometo di questa ota vista l importaza che hao ache ello studio e ella misurazioe della variabilità a cui è dedicata la prossima ota. Ricordiamo che i quartili, così come la mediaa, possoo essere calcolati per caratteri quatitativi e qualitativi ordiati. I quartili dividoo la distribuzioe, prelimiarmete ordiata, i quattro distribuzioi parziali ciascua coteete il 5% delle osservazioi totali. Il procedimeto di calcolo dei quartili è del tutto simile a quello di calcolo della mediaa. Distribuzioe per uità Per i caratteri quatitativi esiste ua fuzioe statistica i Excel che calcola automaticamete i quartili di ua distribuzioe uitaria. Cosideriamo per esempio i dati el foglio di lavoro statura del file esrcizio4_dati.xls. Vediamo come fare: - ella cella F4 scrivere il titolo Primo quartile= - posizioarsi ella cella G4 e scrivere la formula =QUARTILE(D4:D0;) - ella cella F5 scrivere il titolo Terzo quartile= - posizioarsi ella cella G5 e scrivere la formula =QUARTILE(D4:D0;3) Nel ostro esempio troviamo che il primo quartile è 65,7 e che il terzo quartile è 73,9. Si ricordi che il secodo quartile coicide co la mediaa quidi o occorre calcolarlo visto che precedetemete avevamo già calcolato la mediaa. Se il carattere è qualitativo ordiato la fuzioe QUARTILE o può essere utilizzata. I tal caso si hao due strade: ) dare ua codifica umerica alle modalità del carattere e poi usare la fuzioe QUARTILE; ) calcolare i quartili a partire dalla distribuzioe di frequeza (vedremo questo metodo più avati ella ota). 7

8 Cosideriamo per esempio i dati el foglio di lavoro Categoria fodi e la stessa ricodifica vista sopra el calcolo della mediaa. piccole medie gradi 3. Fatta la ricodifica si può usare la fuzioe QUARTILE. I questo caso il primo quartile del data set ricodificato risulta pari a. Quidi o resta che adare a vedere a quale categoria corrispode. Vediamo che corrispode alla categoria piccole. Quidi il primo quartile è piccole. Il terzo quartile del data set ricodificato risulta pari a 3. Quidi o resta che adare a vedere a quale categoria corrispode 3. Vediamo che corrispode alla categoria gradi. Quidi il terzo quartile è gradi. Trovate questo esempio svolto el file esercizio4_svolto.xls. Distribuzioe di frequeze Ricordiamo che, data ua geerica distribuzioe di frequeze i cui le modalità del carattere soo state ordiate, e data ua frazioe α, 0 < α <, il quatile di ordie α, è la più piccola modalità x del carattere tale che F j- < α e F j α I quartili si hao per α = 0,5, α = 0,5 4, α = 0,75 Per calcolare i quartili occorre, quidi, calcolare le frequeze relative cumulate. Per fare questo vedete i questa ota la parte relativa alla mediaa per distribuzioi di frequeze. Cosideriamo la distribuzioe di frequeza el foglio di lavoro Voto chiarezza del file esercizio4_dati.xls. Di questa distribuzioe abbiamo già calcolato le frequeze relative cumulate (si trovao elle celle I7:I3. Applicado la defiizioe, troviamo che il primo quartile è 5 (ifatti la frequeza relativa cumulata associata al voto che lo precede, cioè 4, è miore di 0.5 e la frequeza relativa cumulata associata a 5 è maggiore di 0.5). Il terzo quartile è 6 (ifatti la frequeza relativa cumulata associata al voto che lo precede, cioè 5, è miore di 0.75 e la frequeza relativa cumulata associata a 5 è 0.75). Co lo stesso ragioameto si trova che, co riferimeto alla distribuzioe di frequeze el foglio di lavoro Categoria fodi, il primo quartile è la categoria piccole metre il terzo quartile è la categoria gradi : Dati raggruppati i classi Se il carattere è raggruppato i classi i quartili, così come la mediaa, si calcolao i due passi ) trovare la classe del primo quartile, cioè (c i-, c i ) tale che F i- < 0.5 e F i 0.5. ) idividuare il primo quartile all itero della classe (c i-, c i ) co la seguete formula c c Q c. F ( 0 5 ) = i i i + i fi 4 Il caso di α = 0,5, ossia il secodo quartile, o viee trattato ora visto che corrispode alla mediaa. 8

9 Si segue lo stesso procedimeto per il terzo quartile: ) trovare la classe del terzo quartile, cioè (c i-, c i ) tale che F i- < 0.75 e F i ) idividuare il terzo quartile all itero della classe (c i-, c i ) co la seguete formula c c Q c. F ( 0 75 ) 3 = i i i + i fi Cosideriamo la distribuzioe di frequeza el foglio di lavoro Statura del file esercizio4_dati.xls. Come prima cosa occorre calcolare le frequeze relative. Nella cella N3 scrivere il titolo Freq. Cum. - Nella cella N4 scrivere la formula =somma(l$4:l4) e trasciare la formula fio a coprire la cella N5. Se l operazioe è stata eseguita i modo corretto, la frequeza relativa cumulata associata all ultima modalità (ossia el ostro esempio quella ella cella N5) deve essere pari a. Nel ostro esempio la classe che cotiee il primo quartile è 64, Per trovare la posizioe del primo quartile all itero della classe: - ella cella F6 scrivere Primo quartile approssimato= - ella cella G6 scrivere la formula =I6+(I7-I6)*(0.5-N6)/L7. Nel ostro esempio il primo quartile approssimato 5 risulta pari e 65,5. Nel ostro esempio la classe che cotiee il terzo quartile è 73, Per trovare la posizioe del terzo quartile all itero della classe: - ella cella F7 scrivere Terzo quartile approssimato= - ella cella G7 scrivere la formula =I0+(I-I0)*(0.75-N0)/L. Nel ostro esempio il terzo quartile approssimato risulta pari e 74,. Si oti che el caso del primo e terzo quartile approssimati, i valori si discostao dai rispettivi valori esatti calcolati dalla lista dei dati. 5 Il primo e il terzo quartile, così come la mediaa, soo approssimati perché vegoo calcolati sulla base dell ipotesi di uiforme distribuzioe all itero delle classi. 9